Stockholms Univ., Statistiska Inst. Finansiell Statistik, GN, 7,5 hp, VT009 Inlämningsuppgift (1,5hp) Nicklas Pettersson 1 Anvisningar och hålltider Uppgiften löses i grupper om -3 personer och godkänt betyg kan endast ges för uppgiften som helhet. En delvis avklarad inlämningsuppgift kan alltså inte tillgodoräknas kommande terminer. Lösningar på uppgiften redovisas i en statistisk rapport. Uppgiften skall lämnas in senast klockan 1.00 fredagen den 5/6 009, via e-mail till övningsläraren. Resultatet av vilka grupper som godkänts publiceras i en lista på hemsidan senast fredagen den 1/6, och kan sedan hämtas ut. Eventuell komplettering skall vara inkommen senast klockan 1.00 fredagen den 19/6. Tips! Stressa inte igenom uppgifterna, utan ta dem steg för så minskar risken att ni gör något slarvfel. Var bl.a. observanta på när ni använder varianser respektive standardavvikelser. Datamaterial och programvara Programvara för att att lösa inlämningsuppgifterna är valfritt, men då hjälpkoder (http : ==www:stat:su:se=nstat=inlkod:r) samt datamaterial (http : ==www:stat:su:se=nstat=inluppgift:rdata) åter nns i programspråket R rekommenderas detta program. Studenternas gruppnummer avgör vilka variabler som skall användas. Utförligare instruktioner ges nedan under respektive del. Ett generellt tips är att spara den kod man skriver för att lätt kunna gå tillbaka till den (om man använder R eller något annat program där koden kan sparas vill säga). 1
3 DEL 1 TVÅ INDEXFONDER I första delen av inlämningsuppgiften studeras två stycken fonder, låt oss kalla dem fonda och fondb. Fonderna har olika placeringsstrategier men använder båda samma jämförelseindex. FondA är en aktivt förvaltad fond, där förvaltaren har stor möjlighet att välja branscher och bolag tämligen fritt. Målet för fonden är att gå minst lika bra som, eller åtminstone följa sitt jämförelseindex så nära som möjligt. En årlig avgift om % nns inbakad i kursen. FondB är en passivt förvaltad fond som till stor del styrs av en datorprogrammerad algoritm (vilken delvis är baserad på teknisk analys). Denna syftar inte bara till att replikera sitt jämförelseindex, utan även att klara sig bättre. En årlig avgift om 0,5% tas ut, vilken är inbakad i kursen. Vilka variabler som används baseras på det gruppnummer som erhölls första datorövningen. Grupp 1 använder de variabler som hämtas genom kommandot variable[ 1], grupp variable[ ], grupp 3 variable[ 3], osv. 3.1 Beskrivning och jämförelse av index och fonder När data analyseras är det viktigt att först plotta dessa. Tre typer av diagram för att analysera en enskild variabel är histogram, boxplot och tidsserieplot. För två eller era serier är det vanligt att använda tidsserier och spridningsdiagram. Ett ertal mått kan beräknas för att beskriva sina variabler, t ex centralmått såsom medelvärde och median samt spridningsmått såsom varians, kvartilavstånd och variationskoe cient. Korrelationskoe cienten är också ett viktigt sambandsmått. Exercise 1 Diskutera för och nackdelar med histogram, boxplot och tidsserieplot för att undersöka en variabel. Tar något av diagrammen hänsyn till ordningen i data, och vilken betydelse har det när en tidsserie studeras? Vilken/vilka plottar är bäst för att upptäcka extrema observationer (s.k. outliers)? Exercise Jämför serierna fonda t ; fondb t ; och Index t ; t = 1; :::; n, i en tidsserieplott. Behöver någon justering göras för att underlätta jämförelsen? Gör i sådana fall denna.
Exercise 3 Visa på lämpligt sätt hur samvariation ser ut, samt styrkan på samvariation mellan Index t och fonda t (respektive Index t och fondb t ). 3. Mått på avkastning Två olika sätt att beräkna avkastning är enkel avkastning (motsvarande e ektiv ränta) SR t = (P t P t 1 )=P t 1 och ränteintensitet R t = (ln P t ln P t 1 ), där P t betecknar pris dag t. Sambandet mellan då två måtten kan skrivas som R t = ln (1 + SR t ). Exercise 4 Visa att det givna sambandet mellan R t och SR t stämmer. Exercise 5 Jämför båda måtten för fondb t, dvs R t (fondb t ) och SR t (fondb t ), med hjälp av boxplottar och histogram. Exercise 6 Diskutera för- och nackdelar med de två måtten i följande situationer: Vid jämförelse av data som hämtats in med olika frekvens (t ex dagsvisa och veckovisa kursnoteringar). Om avkastningen från de ingående delarna av en portfölj (där de ingående delarnas vikter är kända) skall summeras för hela portföljen vid en given tidpunkt. Om avkastningen från olika tidsperioder skall summeras för en och samma tillgång, t ex avkastning år 1 och år för en aktie. 3.3 Fördelning och kon densintervall för R t (Index) Utgå från ränteintensiteten som avkastningsmått för jämförelseindex. Ett icke-parametriskt sätt att bilda kon densintervall är att använda sig av kvantiler. Ett sådant 95%igt intervall motsvaras då av,5% och 97,5% kvantilerna. Exercise 7 Ser R t (Index) ut att följa någon fördelning om ingen hänsyn tas till tidsordningen? Visa gra skt, samt med hjälp av läges- och spridningsmått. Diskutera för- och nackdelarna med de olika central- och spridningsmåtten i detta fall. 3
Exercise 8 Jämför ett 95%igt kon densintervall med ett naivt 95%igt kon- densintervall för R t (Index). Baserat på uppgiften innan, är något av de två intervallen att föredra i detta fall? Exercise 9 Antag att vi har en riskfri placeringsmöjlighet (t ex statsskuldväxlar eller statsobligationer) med fast dagsränta motsvarande X% per år. Hur hög är då samvariationen mellan R t (Index) och denna placering? 3.4 Följer fonderna index olika bra? Ett sätt att bedöma hur väl de båda fonderna replikerar index är att se på den kvadrerade avvikelsen i avkastningen mellan index och respektive fond, så kallat tracking error; T E t (F ondx) = [R t (F ondx) Antag här att T E t (F ondx) R t (Index)] ; (t = 1; :::; n). (1); (t = 1; :::; n) kan betraktas som ett slumpmässigt urval från en stor population oberoende av värdet på t. (Dessa antaganden kan självklart ifrågasättas, men vi bortser från detta här). Den genomsnittliga variatonen kan skattas med ^ = 1 n P n P T Et (F onda) + n T Et (F ondb) t=1 t=1 Exercise 10 Ni misstänker att TE (som mått på aktivitetsrisk) är högre för fonda än för fondb. Testa på lämpligt sätt om så är fallet. Tips! Eftersom (1), (t = 1; :::; n) antas vara oberoende så kommer P n T Et (F ondx) (n). 3.5 Exponentiell utjämning och prognoser : t=1 T Et (F ondx) Fokus ligger nu endast på den ursprungliga serien för jämförelseindex, Index t ; (t = 1; :::; n). Tanken är nu att undersöka om denna serie kan modelleras för att senare skapa prognoser av den. Två mått för att avgöra vilken prognosmodell som är bäst är mean absolute deviation MAD = np jy t t=i n 4 ^y t j = np j t j t=i n
och mean squared error MSE = np (y t ^y t ) t=i n = np t t=i n : Exercise 11 Skatta de tre nedanstående modellerna och beräkna MAD och MSE. Vilket av måtten påverkas mest av stora (extrema) prediktionsfel? Varför är MAD och MSE så högt i fallet med linjär regression? linjär regression med index som beroende och tiden som förklarande variabel. Tips! En tidsvariabel tid skapas enklast med kommandot tid <- 1:n. exponentiellt utjämnad serie. Sätt alfa=0.3. exponentiellt utjämnad serie med trend (Holt- och Winter s metod). Sätt alfa=0.3 och beta=0. Exercise 1 Gör prognoser (inklusive 95%iga prognosintervall) för de exponentiellt utjämnade metoderna för en och två tidpunkter framåt. Vilka antaganden påverkar tillförlitligheten hos prognoserna? Är tillförlitligheten beroende av prognoslängden? 5
4 DEL EVENT STUDIE I denna del studeras huruvida en typ av händelse kan antas påverka värdet på en tillgång, dvs att händelsen ger upphov till en över- eller underavkastning i relation till den förväntade marknadsavkastningen, så kallad abnormal return (AR). Händelsen kan vara unik för den underliggande tillgången, såsom en aktiesplit eller ett uppköp, eller generella såsom en lagändring eller en räntesäkning. Denna typ av studie brukar kallas för Event study, och kan utföras på olika sätt. Vi kommer här att använda oss av en något förenklad variant. Vi kan anta att händelsen i detta fall består utav att ett byte av VD annonserats. Frågan är då huruvida det skickar en signal till marknaden, vilken påverkar den förväntade avkastningen på kort sikt. I den studerade branschen genomfördes 9 stycken byten av VD inom loppet av tio år, men varje grupp erhåller endast ett slumpmässigt urval om N = 36 stycken. Handeln i samtliga aktier antas ha hög likviditet. För att avgöra huruvida avvikande avkastning förekommit på kort sikt används en vecka efter att VD bytet annonseras, vilket sker vid tidpunkten T = 0. Misstanke nns dock om läckage av nyheten varför även avkastningen veckan innan läggs till det fönster som studeras. Fönstret består således av avkastningen perioden T = 5 till och med T = 5, dvs totalt 11 dagar se gur 1. Figur 1. Tidslinje för en Event study Förväntad avkastning för företag I för tidpunkterna inom fönstret beräknas utifrån den så kallade marknadsmodellen, baserat på tidsperioden T = 65 till och med T = 6, dvs n = 60 dagar innan händelsefönstret. Först skattas regressionsekvationen R IT = I + I R MT + IT ; IT N(0; I ); (T = 65; :::; 6) 6
för vart och ett av företagen I, där R IT och R MT är aktieavkastningen respektive marknadsavkastningen (mätt som ränteintensitet). Parameterskattningarna ^ I och ^ I används sedan för att skatta den avvikande avkastningen under perioden T = 5 till och med T = 5 som: h AR IT = R IT ^ I + ^ i I R MT ; (T = 5; :::; 5): Varianserna för AR IT vid respektive tidpunkt T = V,V = 5; :::; 5, skattas som 3 ^ AR IV = ^ I 6 4 1 + 1 n + (R MV M ) 7 P 6 (R MT M ) 5 ; där M = 1 60 T = 65 P 6 T = 65 R MT. För enkelhets skull studeras här endast den summerade avvikande avkastningen (cumulative abnormal return): CAR I = 11 AR IT, vars varians P skattas som ^ CAR I = 5 P V = 5 ^ AR IV. Den genomsnittliga kumulerade avvikande avkastningen för de N företagen beräknas sedan som CAR = 1 CAR NP N I och den skattade variansen som ^ CAR = 1 N i=1 T =1 i=1 NP ^ CAR I. Under nollhypotesen om ingen genomsnittlig kumulativ avvikande avkastning kan antas att CAR t (N 1), dvs t-fördelad med CAR N 1 frihetsgrader. I variablerna cari[,gruppnummer] samt carivar[,gruppnummer] åter nns CAR I och ^ CAR I för N 1 företag. Det saknade företaget motsvarar ert gruppnummer. Aktiekurs och indexkurs för det saknade företaget åter nns i variablerna comp[,gruppnummer] och market[,gruppnummer]. Båda dessa omfattar tidsperioden T = 66; :::; 5. 4.1 Marknadsmodellen Marknadsmodellen används normalt för att beräkna risken i en aktie (eller portfölj), där anger det genomsnittliga sambandet mellan marknadsavkastningen och aktiens avkastning. Aktie I:s totala risk ( R I ) kan då delas upp i 7
systematisk ( R M ) och speci k risk ( I ). Det primära syftet här är dock att använda modellen för prediktion. Exercise 13 Skatta marknadsmodellen för det företag(=ert gruppnummer) som parameterskatttningarna saknas för. Hur stor är den systematiska respektive den speci ka risken i en portfölj endast bestående av denna aktie? Tips! Variablerna market[,gruppnummer] och comp[,gruppnummer] innehåller kurserna för jämförelseindex och aktien och inget annat. Exercise 14 Verkar antagandet om normalfördelade residualer, IT N, att vara uppfyllt? Undersök genom att plotta (ni behöver alltså inte göra något formellt test). 4. CAR och ^ CAR för företag I Nästa steg är att beräkna abnormal return för företag I, samt att skatta tillhörande varianser. Exercise 15 Använd ^ I och ^ I från tidigare uppgift för att beräkna AR IT för perioden T = 5; :::; 5. Exercise 16 Beräkna också ^ AR IV, för T = V,V = 5; :::; 5. På sidan 613 i kursboken ses att detta är prognosticerade varianser. Varför använder vi (de elva framräknade) ^ AR IV istället för ^ I som variansskattning för perioden T = V = 5; :::; 5? Exercise 17 Beräkna slutligen CAR I och ^ CAR I för det företag som dessa saknas för. Tips! Sätt sedan in de framräknade värden i de serier där de saknas. 4.3 Test av CAR Beteckna den förväntade genomsnittligt avvikande överavkastningen med E[CAR] med. Exercise 18 Testa hypotesen H 0 : = 0 mot lämplig mothypotes. Det är ok att skatta CAR med ^ CAR. Lycka till! Se till att hålla inlämningstiden, fredagen den 5/6 klockan 1.00, annars kommer er uppgift inte att rättas alls. 8