Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I

Innehåll En liten tillbakablick: Ortogonala projektioner Avbildningar Linjära avbildningar Några exempel på linjära avbildningar i planet Några exempel på linjära avbildningar i rummet Ett exempel på en icke-linjär avbildning 2(25)

En liten tillbakablick: Ortogonala projektioner Avsikten med denna föreläsning är att vi ska börja titta på så kallade linjära avbildningar. Med hjälp av linjära avbildningar kan man bilda nya vektorer utifrån gamla, genom att t.ex. rotera, spegla eller projicera dem. För att bl.a. kunna handskas med projektioner av vektorer, ska vi inleda med att härleda en formel, som man ibland kallar för projektionsformeln. Denna formel finns inte omnämnd vid detta namn i boken, men man kan ana den i exempel 7 i kapitel 4. Problemet är följande: Vi vill projicera en vektor x ortogonalt mot en annan vektor v 0. Resultatet y av projektionen kommer då att uppfylla y = λv för något tal λ, eftersom y och v är parallella. Frågan är hur vi räknar ut detta λ. Eftersom det rör sig om en ortogonal projektion, kommer vi (givetvis) förutsätta att vi använder oss av en ON-bas. x y v 3(25)

För att luska ut hur λ i formeln y = λv kan tänkas se ut, börjar vi med att sätta u = x y. Då är u den blå vektorn i figuren nedan. Denna vektor är ortogonal mot v, så med hjälp av räknelagarna för skalärprodukt får vi 0 = u v = (x y) v = x v y v y v = x v. Vi vet ju att y = λv, eftersom y och v är parallella. Om vi i vänsterledet till ekvationen y v = x v därför ersätter y med λv så får vi, med ytterligare lite hjälp av några räkneregler för skalärprodukt, att λv v = x v λ(v v) = x v λ = x v v 2. Vi har funnit ett uttryck för λ som enbart innehåller x och v (de två vektorer som är givna redan från början). x u = x y y v 4(25)

Sats (Projektionsformeln) Om y är den ortogonala projektionen av en vektor x på en annan vektor v 0, så är y = λv, där λ = x v v 2. Exempel Bestäm den ortogonala projektionen y av x = (1, 1, 2) på vektorn v = (1, 3, 1). Lösning. Eftersom λ = x v v 2 1 1 + ( 1) 3 + 2 ( 1) = 1 2 + 3 2 + ( 1) 2 = 4, så ger projektionsformeln y = 4 v = ( 4, 12, 4 ). Lägg märke till att y och v pekar i motsatta riktningar (vilket beror på att vinkeln mellan x och v är trubbig). 5(25)

Avbildningar I dina tidigare matematikstudier har du säkert sysslat en hel del med funktioner. En funktion är en regel som talar om hur man ska räkna ut ett tal utifrån ett redan givet tal, ofta med hjälp av en formel. Exempel på funktioner är f 1 (x) = sin x, f 2 (x) = x 2 + 1 och f 3 (x) = ln(x + 2). Här säger de olika reglerna (formlerna) att vi, för varje reellt tal x, ska f 1 : Beräkna sinus av x f 2 : Kvadrera x och addera sedan 1 till resultatet f 3 : Addera 2 till x och beräkna sedan (den naturliga) logaritmen av resultatet. Ett annat namn för funktioner är avbildningar, fast ibland betraktar man sådana som mer generella än vad funktioner är. Om man håller på med funktioner, är det nämligen ofta underförstått att man arbetar med tal; man matar in ett tal i funktionen, och funktionen svarar genom att mata ut ett tal. När det gäller avbildningar behöver det inte vara just tal som utgör in- och utdata; för vår del kommer det att vara vektorer i rummet eller i planet. 6(25)

Definition (Avbildning, Bild) Med en avbildning F av rummets vektorer, avser vi en regel som till varje vektor u ordnar en entydigt bestämd vektor F(u) i rummet. Vektorn F(u) kallas för bilden av vektorn u genom F. I definitionen ovan kan vi även ersätta rummet med planet, så alltså vi även kan tänka oss avbildningar av planets vektorer. Exempel på avbildningar av rummets vektorer skulle kunna vara Spegla varje vektor i rummet i ett givet plan Rotera varje vektor i rummet ett halvt varv runt en given rät linje Projicera varje vektor i rummet ortogonalt mot ett givet plan. Om vi har givet en avbildning F och känner koordinaterna för en vektor u (i en given bas), så vill vi smidigt kunna räkna ut vilka koordinater som bilden F(u) har. För s.k. linjära avbildningar visar det sig att sambandet mellan koordinaterna för u och F(u) kan uttryckas med hjälp av en matris. 7(25)

Om X är en kolonnmatris med tre element (d.v.s. en 3 1-matris), och om A är en 3 3-matris, så kommer Y, där Y = AX, att liksom X vara en kolonnmatris med tre element. Detta kan vi utnyttja, för att definiera en avbildning F av rummets vektorer, på följande vis: Låt x = (x 1, x 2, x 3 ) vara en vektor i rummet, och låt X vara motsvarande kolonnmatris. Vi definierar bilden F(x) som den vektor y = (y 1, y 2, y 3 ) som svarar mot kolonnmatrisen Y = AX, där A är en given 3 3-matris. 8(25)

Exempel Vi definierar en avbildning F av rummets vektorer med hjälp av matrisen 1 4 0 A = 3 2 1. 2 0 2 Här ges bilden till vektorn x = (1, 2, 5) genom F av F(x) = (7, 6, 12), eftersom 1 4 0 1 7 3 2 1 2 = 6. 2 0 2 5 12 Vektorn x = (3, 1, 2) har å sin sida bilden F(x) = (1, 9, 14) (verifiera detta!). 9(25)

Med anknytning till föregående exempel: Låt x 1 och x 2 vara två vektorer i rummet, och X 1, X 2 motsvarande kolonnmatriser. Då får vi F(x 1 + x 2 ) genom att beräkna matrisprodukten A(X 1 +X 2 ). Enligt en räknelag för matrisräkning gäller A(X 1 +X 2 ) = AX 1 +AX 2. Här är AX 1 och AX 2 de kolonnmatriser som svarar mot F(x 1 ) respektive F(x 2 ). Matrisekvationen ovan kan alltså även skrivas F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ). (1) Vidare: Om x är en vektor i rummet med motsvarande kolonnmatris X, och om λ är ett godtyckligt reellt tal, så fås F(λx) genom att beräkna matrisprodukten A(λX). Men A(λX) = λax, där högerledet kan tolkas som λf(x). Alltså har vi även att F(λx) = λf(x). (2) Avbildningar med egenskaperna (1) och (2) är av speciellt intresse... 10(25)

Linjära avbildningar Definition (Linjär avbildning) En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det (i) för alla vektorer x 1 och x 2 i rummet (planet) gäller F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ), (ii) för varje vektor x i rummet (planet) och varje reellt tal λ gäller F(λx) = λf(x). Varje linjär avbildning F uppfyller F(0) = 0. I boken visas detta genom att sätta λ = 0 i formeln F(λx) = λf(x), men vi kan också visa detta genom att sätta x 1 = x 2 = 0 i formeln F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ): F(0 + 0) = F(0) + F(0). Vänsterledet är här lika med F(0). Alltså är F(0) + F(0) = F(0) och nu följer F(0) = 0 genom att subtrahera båda leden med F(0). (25)

Några exempel på linjära avbildningar i planet Om inget annat sägs, utgår vi ifrån att det koordinatsystem (O, e 1, e 2 ) som används är ortonormerat. Exempel (Ortogonal projektion på en rät linje) Betrakta den räta linje L i planet som på normalform har ekvationen 2x 1 + 3x 2 = 0. (Lägg märke till att denna linje går genom origo O.) Låt P vara den avbildning av planets vektorer som projicerar varje vektor ortogonalt på O L. L P (x) = (y 1, y 2) Antag att x = (x 1, x 2 ) är en vektor i planet, och att P(x) = (y 1, y 2 ) är resultatet av att x projiceras ortogonalt på L. Vi letar efter ett samband mellan (y 1, y 2 ) och (x 1, x 2 ). x = (x 1, x 2) Ett sådant samband kan vi hitta genom att använda projektionsformeln som vi härledde inledningsvis; vi kan helt enkelt se P(x) som den ortogonala projektionen av x på en riktningsvektor till L. 12(25)

Vi behöver alltså en riktningsvektor till L för att komma vidare. En sådan är enkel att läsa av, om ekvationen för linjen är skriven på parameterform: Genom att i ekvationen 2x 1 + 3x 2 = 0 sätta t.ex. x 2 = 2t och sedan lösa ut x 1, får vi { x1 = 3t x 2 = 2t, så en riktningsvektor för L ges alltså av v = ( 3, 2). Projektionsformeln ger nu att P(x) = λv, där På koordinatform får vi därmed λ = x v v 2 = 3x 1 + 2x 2. 13 (y 1, y 2 ) = λ( 3, 2) = 3x 1 + 2x 2 ( 3, 2) = 1 13 13 (9x 1 6x 2, 6x 1 + 4x 2 ). Vi får ett linjärt samband mellan (y 1, y 2 ) och (x 1, x 2 ) enligt { y1 = 9 13 x 1 6 13 x ( ) 2 y1 y 2 = 6 13 x 1 + 4 13 x = 1 ( ) ( ) 9 6 x1. 2 y 2 13 6 4 x 2 Sambandet mellan x och P(x) kan alltså beskrivas med hjälp av en matris, så P är därmed en linjär avbildning. 13(25)

Exempel (Spegling i en rät linje) Låt L vara samma räta linje i planet, som i det förra exemplet, d.v.s. linjen 2x 1 + 3x 2 = 0. Låt S vara den avbildning av planets vektorer som speglar varje vektor i L. S(x) = (y 1, y 2) O 2u L u = P (x) x x = (x 1, x 2) I förra exemplet kom vi fram till att P(x), projektionen av x på L, kan skrivas med hjälp av projektionsformeln som P(x) = λv, där v är en riktningsvektor för linjen och λ = (x v)/ v 2. Sätt u = P(x) x. Då blir S(x) = x + 2u = x + 2(P(x) x) = 2λv x. Med samma riktningsvektor v = ( 3, 2) som tidigare, så blir detta på koordinatform (y 1, y 2 ) = 2λ( 3, 2) (x 1, x 2 ) = ( 6λ x 1, 4λ x 2 ), där, precis som i exemplet med projektionen, λ = 3x 1 + 2x 2. 13 14(25)

Koordinaterna y 1 och y 2 blir därmed lika med respektive y 1 = 6λ x 1 = 6 3x 1 + 2x 2 x 1 13 = 1 13 ( 6( 3x 1 + 2x 2 ) 13x 1 ) = 1 13 (5x 1 12x 2 ) y 2 = 4λ x 2 = 4 3x 1 + 2x 2 x 2 13 = 1 13 (4( 3x 1 + 2x 2 ) 13x 2 ) = 1 13 ( 12x 1 5x 2 ). På matrisform kan vi skriva detta som ( ) y1 = 1 ( ) ( ) 5 12 x1, y 2 13 12 5 x 2 så även denna avbildning är linjär. 15(25)

Exempel (Sned projektion på en rät linje) Låt som tidigare L vara den räta linjen 2x 1 + 3x 2 = 0, och låt a = (1, 2) vara en vektor i planet. Vi definierar P a som den avbildning som projicerar vektorerna i planet på L, längs med vektorn a. a = (1, 2) O P a(x) = (y 1, y 2) x = (x 1, x 2) Vi har här vad man ibland kallar för en sned projektion; projektionen är inte ortogonal. Därför kan vi inte använda projektionsformeln för att plocka fram koordinaterna för P a (x); den fungerar bara för ortogonala projektioner. I stället utnyttjar vi att (y 1, y 2 ) måste vara skärningspunkten mellan L och den räta linje som går genom punkten (x 1, x 2 ) och har a som riktningsvektor. En godtycklig punkt på denna linje har koordinaterna (x 1, x 2 ) + t(1, 2) = (x 1 + t, x 2 + 2t) för något värde på t, och vi söker t så att denna punkt också ligger på L, d.v.s. så att 2(x 1 + t) + 3(x 2 + 2t) = 0 t = 1 8 (2x 1 + 3x 2 ). 16(25)

Detta ger att och y 1 = x 1 + t = x 1 1 8 (2x 1 + 3x 2 ) = 1 8 (6x 1 3x 2 ) y 2 = x 2 + 2t = x 2 2 8 (2x 1 + 3x 2 ) = 1 8 ( 4x 1 + 2x 2 ). Även här är det alltså frågan om en linjär avbildning, eftersom sambandet mellan koordinaterna för P a (x) och x kan skrivas på matrisform ( ) y1 = 1 ( ) ( ) 6 3 x1. y 2 8 4 2 x 2 17(25)

Några exempel på linjära avbildningar i rummet Vi kommer, liksom i fallet med avbildningar i planet, utgå från att vi använder ett ortonormerat koordinatsystem (O, e 1, e 2, e 3 ). Exempel (Ortogonal projektion på ett plan) Låt P vara den avbildning av rummets vektorer som projicerar varje vektor i rummet ortogonalt mot planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0. (Notera att origo O ligger i planet.) Vektorn u = x P(x) är parallell med planets normalvektor n, så u = λn för något tal λ, vilket ger P(x) = x u = x λn. Talet λ kan räknas ut med hjälp av projektionsformeln, eftersom u kan tolkas som den ortogonala projektionen av x på n. x n u = x P (x) = λn P (x) 18(25)

Av planets ekvation x 1 + 3x 2 x 3 = 0 framgår det att n = (1, 3, 1), så ekvationen P(x) = x λn blir på koordinatform (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ) λ(1, 3, 1) = (x 1 λ, x 2 3λ, x 3 + λ). Enligt projektionsformeln är λ = x n n 2 = x 1 + 3x 2 x 3, vilket ger y 1 = x 1 λ = x 1 x 1 + 3x 2 x 3 y 2 = x 2 3λ = x 2 3 x1 + 3x 2 x 3 y 3 = x 3 + λ = x 3 + x 1 + 3x 2 x 3 eller på matrisform y 1 y 2 = 1 y 3 Avbildningen är alltså linjär. = 1 (10x 1 3x 2 + x 3 ), = 1 ( 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 ) = 1 (x 1 + 3x 2 + 10x 3 ), 10 3 1 3 2 3 1 3 10 x 1 x 2 x 3. 19(25)

Låt v 1 = (2, 4, 3), v 2 = (1, 3, 1) och v 3 = (2, 0, 2). Vad är då P(v 1 ), P(v 2 ) respektive P(v 3 ), d.v.s. hur ser den ortogonala projektionen på planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0 ut, för respektive vektor? Koordinaterna för P(v 1 ) får vi genom matrismultiplikationen 10 3 1 2 1 3 2 3 4 = 1 1 = 1, 1 3 10 3 44 4 så P(v 1 ) = (1, 1, 4). Denna vektor är alltså den skugga som v 1 kastar på planet, då detta belyses rakt uppifrån. När det gäller v 2 så noterar vi att v 2 = n är normalvektor till planet. Som sådan kan den inte någon skugga alls på planet, eftersom projektionen ju är ortogonal. Alltså P(v 2 ) bör vara nollvektorn. Detta bekräftas också av att 1 10 3 1 3 2 3 1 3 10 1 0 = 0. 0 3 1 20(25)

Slutligen beräknar vi P(v 3 ), där v 3 = (2, 0, 2), på samma sätt; vi får 10 3 1 1 3 2 3 2 0 = 1 22 0 = 2 0. 1 3 10 2 22 2 Vi noterar att P(v 3 ) = v 3, d.v.s. v 3 är lika med sin egen skugga. Hur kommer det sig? Förklaringen är att v 3 är parallell med planet, och därmed ortogonal mot den riktning som projektionen sker. 21(25)

Exempel (Spegling i ett plan) Vi ska här studera den avbildning S som speglar varje vektor i samma plan x 1 + 3x 2 x 3 = 0 som i föregående exempel. Om u är den ortogonala projektionen av x på normalvektorn n, så är S(x) + 2u = x, vilket ger S(x) = x 2λn, där n = (1, 3, 1) och λ = x 1 + 3x 2 x 3 (se föregående exempel). x = (x 1, x 2, x 3) n u = λn S(x) = (y 1, y 2, y 3) 22(25)

Ekvationen S(x) = x 2λn blir på koordinatform (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ) 2λ(1, 3, 1) = (x 1 2λ, x 2 6λ, x 3 + 2λ), och med uttrycket λ = (x 1 + 3x 2 x 3 )/ insatt får vi efter litet räkningar y 1 = x 1 2 x1 + 3x 2 x 3 y 2 = x 2 6 x1 + 3x 2 x 3 y 3 = x 3 + 2 x1 + 3x 2 x 3 d.v.s. på matrisform y 1 y 2 = 1 y 3 = 1 (9x 1 6x 2 + 2x 3 ) = 1 ( 6x 1 7x 2 + 6x 3 ) = 1 (2x 1 + 6x 2 + 9x 3 ), 9 6 2 6 7 6 2 6 9 x 1 x 2 x 3 Med andra ord har vi att göra med ännu en linjär avbildning.. 23(25)

Hur ser då spegelbilderna ut, av samma tre vektorer v 1 = (2, 4, 3), v 2 = (1, 3, 1) och v 3 = (2, 0, 2), som vi tidigare projicerade ortogonalt på samma plan? Vi har att S(v 1 ) = (0, 2, 5), eftersom 9 6 2 2 1 6 7 6 4 = 1 0 0 22 = 2. 2 6 9 3 55 5 Vi skulle kunna räkna ut S(v 2 ) och S(v 3 ) på samma sätt, men kan också föra ett geometriskt resonemang om vad resultatet måste bli. Vektorn v 2 är ju normalvektor till planet. Med detta i åtanke, hur bör dess spegelbild S(v 2 ) se ut? När vi beräknade projektionen av v 3 på planet, fann vi att v 3 var lika med sin egen skuggbild, eftersom v 3 är parallell med planet. Hur bör därför dess spegelbild S(v 3 ) i samma plan se ut? Verifiera slutsatserna genom att beräkna motsvarande matrismultiplikationer. 24(25)

Ett exempel på en icke-linjär avbildning De avbildningar vi hittills sett exempel på, har alla varit linjära, eftersom de har kunnat beskrivas med hjälp av matriser, såtillvida att y = F(x) motsvaras av Y = AX för någon matris A. Här kommer ett exempel på en avbildning som inte är linjär: Exempel (Translation av vektor) Låt a 0 vara en vektor i rummet (planet), och betrakta avbildningen T a, som för varje vektor x definieras av T a (x) = x + a. Avbildningen T a är en s.k. translation. T a(x) = x + a a x Om T a vore linjär, skulle den ha avbildat nollvektorn på sig själv, med det gör den inte: T a (0) = 0 + a = a 0. 25(25)