TENTAMEN Tillämpad systemanalys 5hp 1RT242 Tid: 2017-01-10, 14.00 19.00. Plats: Bergsbrunnagatan 15, sal 1. Ansvarig lärare: Hans Rosth Tillåtna hjälpmedel: Ett A4-papper med egna anteckningar (båda sidor), miniräknare och matematisk formelsamling (Mathematics handbook, BETA, TEFYMA, Formel och tabellsamling i sannolikhet och statistik, samt Physics handbook). Preliminära betygsgränser: Betyg Poäng 3 [30, 38[ 4 [38, 45[ 5 [45, 60] Uppgift Max poäng 1 15 2 14 3 8 4 13 Skrivningspoäng 50 Bonuspoäng 10 Totalt 60 OBS: Skriv dina lösningar på separat papper och skriv din personliga kod på varje blad. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade. Börja alltid en uppgift på ett nytt papper. Lycka till!
Uppgift 1 Betrakta följande linjärprogrammeringsproblem: maximera x 1,x 2 3x 1 + 2x 2 under bivillkoren 2x 1 2x 2 3, x 1 2, 2x 1 + x 2 6, x 1, x 2 0. (1) (a) Lös problemet grafiskt. Längst bak i provhäftet finns ett blad med ett koordinatsystem använd detta blad och bifoga det med din lösning! Rita in alla bivillkor, markera det tillåtna rummet, rita in gradienten och/eller nivåkurvor för kriteriefunktionen samt markera den optimala lösningen. Ange även vad lösningen blir rent numeriskt. (4p) (b) Ställ upp den initiala simplextablån för problemet i ekvation (1), och utför den första iterationen. (Svaret ska alltså bestå av två simplextablåer den initiala och den efter första iterationen.) (3p) (c) Med utgångspunkt från den grafiska lösningen i (a) och simplextablån i (b), förklara kortfattat hur simplexmetoden fungerar var börjar metoden och hur tar den sig till den optimala lösningen? Hur många iterationer kommer det att behövas för att hitta den optimala lösningen i detta fall? (Du behöver inte utföra fler simplexiterationer än de du redan gjort i (b).) (3p) För problemet i (1) blir den slutgiltiga simplextablån: Basvariabler f x 1 x 2 s 3 s 4 s 5 Högerled f 1 1 0 0 0 2 12 s 4 0 1 0 0 1 0 2 x 2 0 2 1 0 0 1 6 s 3 0 6 0 1 0 2 15 Här är s 3, s 4 och s 5 slackvariabler. (d) Vad är skuggpriserna för den optimala lösningen? (e) Ställ upp det duala problemet till (1). Ange också det duala problemets lösning (behöver ej beräknas). (3p) 1
Uppgift 2 Slalombacken i Kollentuna har en enstaka ankarlift som börjar gå kl 09.00 varje morgon och stänger kl 16.30. Det finns N stycken skidåkare och alla står redo när liften öppnar. Liften går i jämn fart på 3 [m/s], det är 600 [m] till toppen och 10 [m] mellan varje liftbygel. Tiden det tar att åka nerför backen från toppen till ingången till liften beskrivs med slumpvariabeln T s. (a) Skidåkarna har lite olika nivå, så det är såklart en viss spridning i tiden det tar att åka ner för backen. Argumentera för hur en rimlig täthetsfunktion (sannolikhetsfördelning) för T s bör se ut, och visa med en skiss. (b) Vad är den begränsade resursens kapacitet (d.v.s antal kunder betjänade per tidsenhet)? (c) Gör ett flödesschema som beskriver kund -processen. Motivera eventuella egna antaganden. (d) Implementera modellen m.h.a SimEvent-block. Skriv en kort förklaring till varje block. Du kan anta att simuleringen kan initieras med N skidåkare i kön, och behöver inte beskriva hur just detta går till. (3p) (e) SkiSun som driver skidbacken är intresserade i att undersöka m.h.a en simuleringsstudie om det är en bra idé att bygga ytterligare en skidlift. Beskriv i 4-5 meningar hur en sådan studie bör läggas upp. (3p) (f) Ange 3 händelser eller utvidgningar som inte står i beskrivningen ovan, men som kan göra modellen mer realistisk. 2
Uppgift 3 (a) SkiSun, ägaren till liften i Kollentuna (i uppgift 2), har funderingar på att investera i en ny, andra lift samt några ytterligare nedfarter. En sådan investering kostar 20 miljoner kronor, men skulle generera fler sålda liftkort. En risk i sammanhanget är en eventuellt sämre tillgång på snö i framtiden (p.g.a. den globala uppvärmningen). Denna risk kan minskas något genom att även investera i ett system med snökanoner detta skulle kosta ytterligare 4 miljoner kronor. Efter att ha konsulterat en klimatforskare kommer man på SkiSun fram till att det finns tre möjliga scenarier för det framtida lokala vinterklimatet: Scenario 1: Ett gynnsamt scenario, infaller med 20% sannolikhet. Scenario 2: Ett troligt scenario, infaller med 50% sannolikhet. Scenario 3: Ett extremt scenario, infaller med 30% sannolikhet. Utifrån detta beräknar man följande förväntade förändringar av de totala nettointäkterna (driftkostnader borträknade) de närmaste tio åren: Intäktsökning på tio år i miljoner kronor Scenario lift lift+kanon ingen invest. 1 (p = 0.2) 31 31 0 2 (p = 0.5) 23 28-0.5 3 (p = 0.3) 15 22-1 Hur kan SkiSun maximera lönsamheten de närmaste tio åren, bör man investera bara i en ny lift, i en ny lift och snökanoner, eller avstå helt? Vilket beslut (i) är rationellt? (ii) fattar optimisten? (iii) fattar pessimisten? (4p) (b) En miljövårdsinriktad biståndsorganisation har samlat in pengar som räcker till att anlägga tre vattenreningsverk i östra Afrika. Man inriktar sig på tre regioner, och man har beräknat hur många liv man kan rädda i termer av personår (i tusental) i respektive region. Detta kommer att bero på antalet reningsverk per region, vilket framgår av tabellen nedan: Tusentals personår räddade Antal reningsverk Region 1 Region 2 Region 3 0 0 0 0 1 45 20 50 2 70 45 70 3 90 75 80 Använd dynamisk programmering för att avgöra hur de tre vattenreningsverken ska fördelas på de tre regionerna för att maximera antalet räddade personår. (4p) 3
Uppgift 4 Figuren nedan visar två seriekopplade vattentankar med fritt utflöde. q x 1 x 2 De två vattentankarna är cylindriska 1 och identiskt utformade, med tvärsnittsarean A. Inflödet, q, till den övre tanken är konstant, medan vattennivåerna, x 1 och x 2, varierar med tiden beroende på de initiala nivåerna. Utflödet från respektive tank är enligt Torricellis princip proportionellt mot kvadratroten av vattennivån i respektive tank ( d.v.s. utflödet från den övre tanken är proportionellt mot x 1, och utflödet från den undre är proportionellt mot x 2 ). (a) Vilken av följande modeller är en korrekt beskrivning för dubbeltanksystemet? dx 1 (i): dt = αx2 1 + βq, dx 2 dt = αx2 1 αx 2 2, dx 1 (ii): dt = αx 1 + βq, dx 2 dt = αx 1 αx 2, Här är α och β positiva konstanter. Vad blir β uttryckt i A? (b) Bestäm uttryck för nollisoklinerna för din modell i (a). dx 1 (iii): dt = α x 1 + βq, dx 2 dt = α x 1 α x 2. (c) Längst bak i provhäftet finns ett blad med ett påbörjat fasporträtt där nollisoklinerna är utritade. Gör följande i det påbörjade fasporträttet: 1. Markera vilken axel som hör till x 1 respektive x 2. 2. Markera vilken nollisoklin som hör till x 1 respektive x 2. 3. Ange vad C och D är uttryckta i konstanterna q, α och β. (d) Bestäm, samt markera i fasporträttet, flödets/lösningarnas riktningar på nollisoklinerna. (3p) (e) Bestäm, samt markera i fasporträttet, jämviktspunkterna. Resonera kring huruvida de är stabila eller inte. (f) Rita en grafisk Simulink-modell för dubbeltanksystemet. 1 Det innebär att vattenytans area är densamma, d.v.s. A, oavsett vattennivån. 4
5
OBS: Fyll i och bifoga denna sida till tentan då du lämnar in! Uppgift 1a x 2 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x 1 Uppgift 4 (c), (d) & (e) D C
Lösningar Uppgift 1 (a) x 2 Optimal punkt 6 5 4 3 2 1 x 1 = 2 f 2x 1 2x 2 = 3 2x 1 + x 2 = 6 1 2 3 4 5 6 x 1 Lösningen är alltså x 1 = 0, x 2 = 6, och f = 3x 1 + 2x 2 = 12. (b) Då problemet är på kanonisk form kan vi direkt ställa upp den initiala Simplextablån genom att införa slack-variabler i alla olikheter och använda dessa som initial bas. Basvariabler f x 1 x 2 s 3 s 4 s 5 Högerled f 1 3 2 0 0 0 0 s 3 0 2 2 1 0 0 3 s 4 0 1 0 0 1 0 2 s 5 0 2 1 0 0 1 6 f 1 0 5 1.5 0 0 4.5 x 1 0 1 1 0.5 0 0 1.5 s 4 0 0 1 0.5 1 0 0.5 s 5 0 0 3 1 0 1 3 1.5 0.5 1 0.5 (c) Simplexmetoden börjar i en tillåten baslösning vilken motsvarar ett hörn av den tillåtna mängden (det område som begränsas av bivillkoren). Här är detta hörn (x 1, x 2 ) = (0, 0). 7
Sedan vandrar metoden till ett närliggande hörn i den riktning som ökar kriteriet maximalt (här (1.5, 0)), och fortsätter så tills det inte längre går att gå till ett närliggande hörn som har ett högre kriterievärde. Då vet man att man har nått den optimala lösningen på grund av att problemet är konvext. I detta fall kommer simplexmetoden i första iterationen alltså hoppa till (1.5, 0), därefter till (2, 0.5), vidare till (2, 2) för att slutligen nå optimum i (0, 6). Det krävs alltså fyra iterationer. (d) Skuggpriserna är derivatan av kriteriefunktionen f med avseende på bivillkorens högerled, och de återfinns i f-raden under slackvariablerna. Här är alltså skuggpriserna [ 0 0 2 ]. (e) Det duala problemet (D) formuleras enklast utifrån det primala problemet (P) på kanonisk form: Primala problemet (P): maximera x f = c T x Duala problemet (D): minimera y g = b T y under BV Ax b under BV A T y c x 0 y 0 Här står problemet (1) redan på kanonisk form, och vi har Det duala problemet (D) är alltså c T = [ 3 2 ] 2 2 3, A = 1 0, b = 2. 2 1 6 minimera y 1,y 2,y 3 g = 3y 1 + 2y 2 + 6y 3 under BV 2y 1 + y 2 + 2y 3 3, 2y 1 + y 3 2, y 1, y 2, y 3 0. Den optimala lösningen till (D) ges direkt i den slutgiltiga simplextablån: g = min y g = max f = f = 12, och y = skuggpriserna, d.v.s. [ ] [ ] y x 1 y2 y3 = 0 0 2. Uppgift 2 (a) För alla täthetsfunktioner gäller att den alltid är positiv, och att arean under kurvan är lika med ett. Här ska täthetsfunktionen beskriva sannolikhetsfördelning för den tiden det tar att åka från toppen till botten. Den tiden måste vara positiv, så täthetsfunktionen 8
måste vara noll för negativa argument. Utöver detta så finns en fysikalisk gräns för hur snabbt det går att ta sig ner backen med bara tyngdkraften som drivkraft (t = 2h g utan friktion). Det är endast väldigt få åkare som åker så snabbt, utan de flesta ligger kring någon medelhastighet, med enstaka väldigt långsama nybörjare. Det ger upphov till en fördelning som ser ut ungefär som i figuren nedanför. 0 (b) Det finns flera sätt att tänka. Man kan se varje ankare som en betjäningsstation, och att liften har 1200/10=120 parallella betjäningsstationer. Under en cykel betjänare ett ankare två skidåkare, vilken tar t = 1200/3 = 400 sekunder. Kapaciteten blir därmed 120 2/t = 240/400 = 0.6 åkare per sekund. Man kan också tänka som så att det tar 10/3 sekunder från det att ett ankare lämnat av ett par skidåkare till nästa ankare når toppen. På denna period betjänas två kunder. Det ger 2 10 = 0.6 kunder per sekund. 3 (c) Start In i kö Upp med lift. Vänta 200 s Åka nerför. Vänta T s 9
(d) in Signal Scope #n IN OUT IN OUT IN OUT FIFO Queue N-Server Åka nerför (e) Man behöver implementera de två alternativa modellerna, med en respektive två liftar. De intressanta prestandamåtten är 1) medeltiden som en kund spenderar i kö och i liften, vilket man vill minimera; samt 2) nyttjandegraden av ressursen (procent av maximal kapacitet som utnyttjas), vilket man vill maximera. För varje modell gör man upprepade simuleringar. Man kan med fördel göra parade simuleringar där man använder samma serie pseudoslumptal (för att bestämma tiden det tar att åka ner backen) för både modellerna. Sedan bildar man differenser mellan de parade simuleringarna och beräknar relevant statistik på dessa, t.ex konfidensintervall för medelvärdet. (f) Tänkbara förbättringar av modellen - Varierande antal skidåkare under dagen - Skidliften får stopp, eventuellt att farten (= kapaciteten) varierar. - Slumpvariablen T s som beskriver tiden det tar att åka ner backen kan tänkas variera under dagen, beroende på vilken sammansättning åkare som finns i backen på olika tidpunkter. Uppgift 3 (a) Nyttan (utility) för respektive val och beslut är den förväntade intäkten minus investeringskostnaden. Detta kan sammanfattas i följande tabell: scenario 1 scenario 2 scenario 3 lift 11 3-5 lift+kanon 7 4-2 ingen invest. 0-0.5-1 10
(i) Det rationella beslutet är det som ger maximal förväntad nytta (MEU). För fallet med bara liftinvestering blir den förväntade nyttan EU = 0.2 11 + 0.5 3 + 0.3 ( 5) = 2.2 miljoner kronor, för fallet med lift- och kanoninvestering blir den EU = 0.2 7 + 0.5 4 + 0.3 ( 2) = 2.8 miljoner kronor, och utan investering blir förväntade nyttan EU = 0.2 0 + 0.5 ( 0.5) + 0.3 ( 1) = 0.55 miljoner kronor. Alltså är MEU=2.8 miljoner kronor, vilket fås med investering på både en ny lift och ett snökanonsystem. Detta är alltså det rationella beslutet. (ii) Optimisten väljer det alternativ vars största nytta är störst (maximax), vilket är investering bara i en ny lift (största nyttan är 11 miljoner kronor). (iii) Pessimisten väljer det alternativ som ger störst nytta ifall det sämsta scenariot/utfallet (för respektive alternativ) infaller (maximin). Detta är alternativet att inte göra någon investering. (b) Vi vill maximera totala antalet räddade personår. Låt varje region representera ett beslutssteg, tillståndet s i = antalet kvarvarande reningsverk vid steg i, samt beslutet x i = antalet reningsverk man anlägger i region i. Vid dynamisk programmering utnyttjar vi optimalitetsprincipen, och börjar bakifrån. Vid region/steg 3 är det naturligt att det optimala valet är att x 3 = s 3 (varför?). i = 3 s 3 f3 (s 3) x 3 0 0 0 1 50 1 2 70 2 3 80 3 i = 2 f 2 (s 2, x 2 ) = p 2 (x 2 ) + f3 (s 3) x 2 0 1 2 3 f2 s 2 2) x 2 0 0 + 0 = 0 - - - 0 0 1 0 + 50 = 50 20 + 0 = 20 - - 50 0 2 0 + 70 = 70 20 + 50 = 70 45 + 0 = 45-70 0, 1 3 0 + 80 = 80 20 + 70 = 90 45 + 50 = 95 75 + 0 = 75 95 2 i = 1 f 1 (s 1, x 1 ) = p 1 (x 1 ) + f2 (s 2 ) x 1 0 1 2 s 1 3 f1 (s 1 ) x 1 3 0 + 95 = 95 45 + 70 = 115 70 + 50 = 120 90 + 0 = 90 120 2 Det är alltså optimalt att anlägga 2 reningsverk i region 1. Då finns det ett reningsverk kvar när vi kommer till region 2, d.v.s. s 2 = 1, och då är x 2 = 0 s 3 = 1 och x 3 = 1. Den optimala fördelningen är alltså två reningsverk i region 1 och det tredje i region 3, vilket sparar 120 tusen personår. 11
Uppgift 4 (a) Vattenvolymen i respektive tank är V i = Ax i, och den har förändringstakten dv i = [inflöde] [utflöde]. dt Utflödet från den övre tanken är k x 1 för något k > 0, och därför får vi dv 1 dt = Adx 1 dt = q k x 1 dx 1 dt = k x1 + 1 A A q. Utflödet från den övre tanken är inflödet till den undre tanken, medan utflödet från den undre tanken är k x 2 med samma k som ovan. Därför blir dv 2 dt = Adx 2 dt = k x 1 k x 2 dx 2 dt = A k x1 k x2. A Modellen för dubbeltanksystemet blir alltså (b) dx 1 dt = α x 1 + βq, dx 2 dt = α x 1 α x 2, Nollisoklinen för x 1 : Nollisoklinen för x 2 : med α = k A, β = 1, d.v.s. modell (iii). A dx 1 dt = 0 0 = α x 1 + βq x 1 = ( ) 2 βq. α dx 2 dt = 0 0 = α x 1 α x 2 x 2 = x 1. (c) Av (b) framgår att den gröna heldragna linjen är nollisoklinen för x 1, medan den röda streckade linjen är nollisoklinen för x 2. Vidare hör den horisontella axeln till x 1 och den vertikala hör till x 2. Slutligen är C = D = ( ) βq 2. α Se figuren nedan. (d) På nollisoklinen för x 1 är flödet vertikalt (ty ẋ 1 = 0), och riktningen får genom att stoppa in x 1 = ( ) βq 2 α i uttrycket för dx 2 : dt ( ) 2 βq ) dx 2 dt = α 2 ( βq α >0 för x 2 < uppåt, α x 2 = ( ) α 2 βq <0 för x 2 > nedåt. α 12
På nollisoklinen för x 2 är flödet horisontellt (ty ẋ 2 = 0), och riktningen får genom att studera uttrycket för dx 1 dt : ( ) 2 βq dx >0 för x 1 < höger, 1 dt = α α x 1 + βq = ( ) 2 βq <0 för x 1 > vänster. α x 2 D = ( ) βq 2 α jämviktspunkt ẋ 1 = 0 ẋ 2 = 0 C = ( ) βq 2 x 1 α (e) Jämviktspunkt ẋ 1 = ẋ 2 = 0, d.v.s. skärningspunkterna mellan nollisoklinerna. Här är det bara en sådan punkt, i x 1 = x 2 = ( ) βq 2. α Stabiliteten: Flödets x 1 - och x 2 -komponenter byter tecken på respektive nollisoklin. Därför är x 1 - komponenten positiv till vänster om x 1 :s nollisoklin, och negativ till höger om den. På samma sätt är x 2 -komponenten positiv under x 2 :s nollisoklin och negativ ovanför den. Flödet till vänster-under nollisoklinerna har därför tecken (+, +), till vänster-ovan har tecken (+, ), till höger-ovan är tecknet (, ), och till höger-under är tecknet (, +) (detta indikeras med röda pilar i figuren ovan). Alla flöden måste därför gå mot jämviktspunkten, som därmed är stabil. 13
(f) q Inflöde -Kbeta 1 s Integrator1 x_1 1 Out1 u Sqrt -K- Alfa 1 s Integrator2 x_2 2 Out2 -Kalfa u Sqrt1 14