Miniporträttet ANDREJS DUNKELS Fibonacci I serien berömda matematiker har NÄMNAREN denna gång valt Fibonacci. Frågan är hur våra siffror sett ut idag om inte Fibonacci lagt ner så stor möda på att sprida de arabiska siffrorna i Europa. Andrejs Dunkels tecknar här ett porträtt. Bonaccios son Den mest framstående och mest produktive matematikern under medeltiden var Leonardo av Pisa. Han är bäst känd under namnet Fibonacci, som uttalas med en tydlig nysning på slutet. Med Systembolagets utmärkta uttalsbeteckningar blir det "Fibånna'tji". Detta namn anses vara en hopdragning av "Filius Bonacci" som betyder "Bonaccis son" och som skulle svara mot vårt sätt att bilda t ex "Johansson" av "Johans son". Fibonaccis far hette nämligen Guglielmo Bonacio. Fibonacci föddes i Pisa år 1175 (ca) men växte upp i Algeriet, där hans far, som var köpman, tjänstgjorde vid handelshuset i Bougie. Som vuxen företog Fibonacci många resor, men redan under uppväxttiden fick han ofta följa med fadern till olika handelscentra kring Medelhavet. På detta sätt kom han i kontakt med olika bokföringssystem och olika sätt att skriva tal. Av sina arabiska lärare hade han tidigt lärt sig det hindu-arabiska sättet att skriva tal, dvs positionssystemet med basen tio, och han fann detta vara det överlägset bästa han sett. Då, på 1200-talet, var ju fortfarande det romerska systemet det som allmänt användes i såväl Fibonaccis hemland Italien som det övriga Europa. Fibonacci skrev en lärobok, "Liber Abaci" ("Abacusboken"), som kom ut år 1202. Denna bok anses vara det verk som betytt mest
för de arabiska siffrornas spridning i Europa. Men att sprida idéerna gick trögt i början. Dels var boktryckarkonsten inte uppfunnen ("Liber Abaci" var handskriven, och man hade inte tillgång till några snabba kopieringsapparater som vi tar som någonting självklart idag), dels tillhörde Fibonacci inte de akademiska kretsarna, han var inte utbildad vid något av de universitet som började växa fram ur olika kyrk- och klosterskolor. Universitetsfolket ville till att börja med inte befatta sig med hans idéer. Abacusboken "Liber Abaci" behandlar främst aritmetik och algebra. Boken har 15 kapitel med följande innehåll: 1. Hur man läser och skriver tal i det hindu-arabiska systemet. ("Nouem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cvm his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur numerus.") 2. Multiplikation av heltal. 3. Addition av heltal. 4. Subtraktion av heltal. 5. Division av heltal. 6. Multiplikation av heltal med bråk. 7. Ytterligare arbete med bråk. 8. Varors pris. 9. Byteshandel. 10. Kompanjonskap. 11. Regler för blandningar. 12. Problemlösning. 13. Regula Falsi. 14. Kvadratrötter och kubikrötter. 15. Geometri (i betydelsen mätningsproblem) och algebra. Endast en senare upplaga (från 1228) av "Liber Abaci" finns bevarad, så man vet inte exakt hur siffrorna såg ut i 1202 års upplaga. I figuren visas hur siffrorna förmodligen såg ut, de är hämtade från andra skrifter från ungefär samma tid. Emellertid varierade siffrornas utseende mycket fram till dess att böcker började tryckas. Kapitel 13 behandlade alltså "Regula falsi", dvs lösning av ekvationer genom att man först gissar en rot. Det verkar för oss märkligt att man skulle behöva några gissningsmetoder för de ekvationer det här var frågan om, det gällde nämligen ekvationer av typen ax + b = 0. Med vårt beteckningssätt är det en enkel sak att lösa ekvationen, men på Fibonaccis tid gjorde man så här. Först tog man två gissningar, g 1 och g 2, säg. Så räknade man ut motsvarande fel (dvs värdet av vänsterledet med x = g 1 och x = g 2 ). Vi kallar felen f 1 resp f 2. Så bildade man, med våra beteckningar, f 1 g 2 f 2 g 1 och dividerade detta med f 1 f 2. Resultatet ger ekvationens rot. (Jag överlåter åt läsaren att bevisa att metoden ger rätt resultat). Bråk med bråk I "Liber Abaci" redovisar Fibonacci en metod att skriva om ett bråk mellan 0 och 1 på "egyptisk form". Det var ju så att egyptierna inte skrev bråk med täljare och nämnare som vi gör idag, ut-
an man använde bara s k stambråk, dvs bråk med täljaren 1, och alla stambråken skulle vara olika. Rhind-papyrusen (vars original är från ca 2000 f Kr) börjar med en tabell över förvandling av 2/n till stambråk, t ex duger inte, eftersom stambråken är lika. Fibonacci anger följande algoritm: "Dividera det större talet med det mindre och om divisionen inte går jämnt ut så se efter mellan vilka två heltal som kvoten hamnar. Ta så det störres del, drag ifrån den och behåll resten. Det vill säga, subtrahera från det givna bråket det största stambråk som inte är större än bråket självt. Fortsätt att göra detta till dess att man når 0." Med moderna beteckningar betyder detta att om vi börjar med bråket a/b, där 0<a/b<1, så skall vi först dividera b med a för att få talet n enligt figuren ovan. Sedan skall vi bilda differensen. som vi kan kalla a/bp och som uträknad blir Om a 1 = 0 (eller om a 1 = 1) så är saken klar. I annat fall får vi tillgripa samma behandling på a l /b 1 som vi tillämpat på a/b. Och anledningen till att proceduren med säkerhet kommer att sluta med att vi får 0 är att täljarna är heltal och successivt kommer att avta. Vi har ju (se figur ovan). Låt oss tillämpa metoden på ett av Fibonaccis egna exempel i "Liber Abaci", nämligen på bråket 19/53. Först har vi Vi skall sedan bilda differensen
Så får vi fortsätta med varav alltså På medeltiden gjordes många försök att lösa tredjegradsekvationen av europeiska lärde, framförallt i Italien. Fibonacci behandlade lösning av algebraiska ekvationer i sin bok "Flos", som kom ut år 1225. Där tar han bl a upp ett problem som han fått av den lärde munken Magister Johannes från Palermo: "... quidam cubus numerus, qui cum suis duobus qudratis et decem radicibus in unum collectis essent uiginti." ("... sök ett tal vars kub med dess dubbla kvadrat och tio gånger talet självt tillsammans blir tjugo.") Problemet leder till ekvationen Fibonacci visade att ekvationen har en rot mellan 1 och 2, att denna rot inte kan vara rationell och att den inte kan vara kvadratroten ur ett heltal. För det sistnämnda använder han omskrivningen Resultatet är bara 1/31 104 000 000 för stort. Fibonacci redovisar inte hur han fått värdet, så att vi vet idag inte om han räknat ut det själv eller haft det med sig i bagaget från någon av sina många resor. Det är känt att ekvationer av detta slag löstes i Kina vid den här tiden. (Detta visar vikten av att redovisa tankegången och inte bara skriva ut själva svaret!)
De underbara Fibonaccitalen Fibonaccis namn är idag inte alls förknippat med hans epokgörande insatser för framförallt de arabiska siffrornas spridning i Europa, utan med talföljden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., som börjar med två ettor och där varje tal är summan av de två föregående. Det var den franske 1800-talsmatematikern Edouard Lucas som började kalla denna följd för Fibonacciföljden och dess element för Fibonaccital. Han fann att talen dök upp så ofta att det var praktiskt med ett namn på dem. Anledningen till hans namnval är att talen förekommer i en övningsuppgift om kaninförökning i "Liber Abaci". Antalet kaniner i varje generationssteg i uppgiften blir ett tal i Fibonacciföljden, men Fibonacci själv såg inte talen som något speciellt, han använde bara kaninerna som kamouflage för en övningsuppgift i att addera. Och Fibonacci skulle nog bli väldigt förvånad om han såg alla de sammanhang i vilka Fibonaccitalen dyker upp. De förekommer i tillämpningssammanhang vid bl a optimerings- och sorteringsproblem. Och de finns alltid med när det är frågan om s k rekreativ matematik. Det finns mycket skrivet om Fibonaccitalen och det är lätt för den som är lagd åt det digitalromantiska hållet att gripas av "Fibonomani", vilket innebär att man ser Fibonaccital överallt, att man inte tycker det är speciellt märkvärdigt med 50-årsdagar, men att man ser fram emot sin 34-årsdag, sin 55-årsdag, och att man blir lycklig över att få telefonnumret 196 418. På 1960-talet bildades i USA en förening, "The Fibonacci Association", som fortfarande är mycket aktiv och bl a ger ut en tidskrift "The Fibonacci Quarterly", där man publicerar uppsatser i talteori med speciell tonvikt på sådant som rör Fibonaccitalen med generaliseringar. Här skall jag bara ta upp en av de många kuriositeterna förknippade med Fibonaccitalen och hänvisar i övrigt till den litteratur som finns. (Att lämna en fullständig litteraturförteckning är omöjligt, och jag har nöjt mig med ett litet urval, som jag
själv funnit intressant.) I NÄMNARENS förra nummer presenterades Pascals triangel. Om man tittar på summorna av talen i "diagonaler" dragna enligt figuren nedan, så får man först 1, så får man 1 en gång till. Nästa gång blir det 2, så får man 3, och därefter kommer 5. Det ser ut att bli Fibonaccital som dyker upp. Hur blir det i fortsättningen? Kommer man att få bara Fibonaccital? Och vad beror det på i så fall? Litteratur A Primer for the Fibonacci Numbers, Fibonacci Association, 1973. R E Bellman/ S E Dreyfus. Applied Dynamic Programming. Princeton University Press, 1962. A Dunkels, Fibonaccital mums för digitalromantiker men också för praktiker. Svenska Matematikersamfundet, 1980. (Föredrag hållet vid Svenska Matematikersamfundets utbildningsdag lördagen den 15 mars 1980 i Umeå.) A Dunkels, Från kanin till max och min. Elementa 59 (1976), s 173 178. M Gardner, Mathematical Games. The Multiple Fascination of the Fibonacci Sequence. Scientific American, March 1969. O Hanner, Kombinatorik och algebra. Gleerups, 1974, s 32. P Häggmark, Fibonaccital NÄMNAREN 2/1976, s 11 25. D E Knuth, Fundamental Algorithms. The Art of Computer Programming Vol 1. Addison-Wesley, 1973, s 78 85 (bl a). D E Knuth, Sorting and Searching. The Art of Computer Programming Vol 3. Addison-Wesley, 1975. F Land, The Language of Mathematics. John Murray, 1966. D E Smith, History of Mathematics, Vol I och II. Dover, 1951. L Råde, Fibonacci. Specialarbete i matematik för programmerbar miniräknare. L Råde, Äventyr med räknedosan. Biblioteksförlaget, 1976. N N Vorobev, Fibonacci Numbers. Pergamon Press, 1961.