Tentamen Lösningsförslag

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA7 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 8..8 4.3 7.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. p: U. 6 p: 3. 7 p: 4. p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 73 763 7 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex. 5 6 7.. Vi har parameterkurvan x cos t, ysin t, för t π. (a) Skissa kurvan. (p) (b) Bestäm koordinaterna för de punkter på kurvan där tangentlinjen är horisontell. (3p) (a) Eftersom funktionerna är periodiska räcker det att göra upp en värdetabell för t π/, resten blir likadant med andra tecken. För uppritningens skull gör vi en approximation av de irrationella värdena: t x y π/6 3,7 3/,9 π/4,4 π/3 3/,9.5.5 π/ Rättningsnorm: p för helt rätt. p för inte helt fel. (b) Om tangentlinjen är horisontell måste dy dt. ( dx dt ska helst inte vara noll samtidigt; sådana punkter motsvara ofta men inte alltid skarpa hörn på kurvan, och då finns ingen tangentlinje.) dy dt d dt sin t cos t tπ + nπ tπ 4 + nπ

MMA3 Tentamen 8..8 Lösningsförslag Sida (av 7) De lösningar som ligger i det givna intervallet är tπ/4, t3π/4, t 5π/4 och t7π/4. De motsvarar punkterna (, ), (, ), (, ) och (, ). Detta stämmer väl med bilden. Rättningsnorm: p för insikten att dy dt ska vara noll. p för korrekt derivata. p för korrekt lösning av ekvationen.. Lös differentialekvationen xy y x 3 e x, x> med bivillkoret y(/). Standardform: xy y x 3 e x y x y x e x Integrerande faktor: F(x) x dx ln x (+C)ln (+ C) x (Vi behöver inte ha med +C eftersom vi bara är ute efter någon lösning, och vi behöver inget absolutbelopp i ln x eftersom det var givet att x>.) e F(x) e ln(/x) x Multiplicera med den integrerande faktorn: x (y x y) x x e x x y y xex x d dx ( y) xex x x y x e x dx x ex xex ex 4 + C ex dx y x( xex ex 4 + C) x e x xex 4 + Cx (Observera att man här behöver + C!) Insatt bivillkor ger nu y( ) ( ) e / Svar: y x e x xex 4 + 4x e / + 4 C e 8 e 8 + C C C 4

MMA3 Tentamen 8..8 Lösningsförslag Sida 3 (av 7) Rättningsnorm: p för beräkning av integrerande faktor. (Denna poäng ryker om man missar att minustecknet ska vara med). p för korrekt användning av den integrerande faktorn. p för lösande av integralen. (Denna poäng erhålls om även man gjorde fel med integrerande faktor och fick en hopplös integral, men trots allt kom en bit på väg.) p för korrekt allmän lösning. p för hantering av bivillkoret. 3. (a) I denna uppgift ska du söka största och minsta värde för en funktion. Men allra först: Det är faktiskt inte säkert att en funktion har något största eller minsta värde. Tala om under vilka omständigheter som vi kan vara säkra på att funktionen har största och minsta värde (redan innan vi har försökt räkna ut dem). (p) (b) Vi har funktionen f (x, y) x + y definierad på en randen till en triangel med hörn i (, ), (, ) och (, ). Bestäm största och minsta värde för denna funktion på denna rand. (4p) (a) Om funktionen är kontinuerlig och definierad på en sluten begränsad mängd så har den garanterat ett största och ett minsta värde. (Funktionen i b uppfyller dessa krav.) (Observera att det inte frågas efter hur man gör för att hitta dessa värden, utan hur man kan vara säker på att de finns.) Tydlign var frågan luddigt formulerad, så jag godtar också svar på tolkningen vilka punkter ska vi undersöka då vi letar efter max och min?. Det korrekta svaret på den frågan är: Punkter där samtliga förstaderivator är noll, punkter där någon förstaderivata är odefinierad samt randpunkter. Rättningsnorm: p för helt rätt. (b) Grafisk lösning Uppgiften kan lösas rent grafiskt. Vi kan skissa en bild med nivåkurvor och triangeln. Nivåkurvorna är cirklar (eftersom funktionen uttryckt i polära koordinater blir f (r,θ)r).

MMA3 Tentamen 8..8 Lösningsförslag Sida 4 (av 7) 3 3 3 3 Ju närmre origo, ju mindre funktionsvärde. De två nedre hörnen på triangeln är de punkter som ligger som längst från origo, så där antar funktionen sitt största värde: f (, ) f (, ) + ( ) 8 (,8) De punkter som ligger närmast origo är på de lutande sidorna. Närmaste punkten är den som man kommer till om man går vinkelrätt mot linjen från origo. Linjen till höger har lutningen 3/; vinkelräta riktning har lutningen /3. Skärningen mellan y 3 x+ och y 3 x uppfyller 3 x+ 3 x, vilket ger x6/3,5 och y4/3,3. (Decimaluppskattningen är till för att man ska kunna rimlighetskontrollera mot figuren.) Skärningen med vänstra linjen får ett minus på x:et men samma siffror. Funktionens lägsta värde är f ( 6 3, 4 6 ) f ( 3 3, 4 3 ) 5 3 3 Rättningsnorm: En ordenlig motivering till att maxvärden finns i de bortre hörnen krävs. p om man bara undersökt hörnen och inte motiverat vidare. Standardlösning Vi tittar på figuren för att kunna analysera triangeln. Den nedre kanten kan skrivas y, x. Hitta max och min för g(x) f (x, ) x + 4 g (x) x x + 4 Denna derivata är noll för x. Vi jämför värdet här och i ändpunkterna: g() + 4 g()g( ) + 4 8 måste vara det lägsta värdet och det högsta på denna sträcka.

MMA3 Tentamen 8..8 Lösningsförslag Sida 5 (av 7) Högerkanten kan skrivas y (3/)x, x. Vi söker max och min för 3x h(x) f (x, (3/)x) 3x+ 4 h 6x (x) 4 3x x+4 Denna derivata är noll för x /6 6/3. Vi undersöker värdena: h( 6 3 ) 4/3h() + h()g() h(6/3) är minst av dessa värden (eftersom 4/3<), 8 är störst. Värdena på tredje kanten blir av symmetriskäl lika med de på den här kanten. Så: minst värde 4/3 och störst värde 8. Rättningsnorm: p om man tagit fram korrekta uttryck för kanterna. p för korrekt analys av någon av kanterna. p för korrekt analys av resten av kanterna. p för korrekt svar. Om man inte uppfattat att det eftertryckligt står på randen utan även letar inne i triangeln blir poängen utspädd till p för korrekt hantering av det inre området och 3 p för undersökning av randen. (Observera att varken :a- eller :a-derivatorna är definierade i origo, så andraderivatatestet kan inte användas.) Polära koordinater Standardvarianten kan också räknas i polära koordinater, där x r cos θ och yr sinθ. Vi söker maximala värdet på x + y r. Nederkanten y, x, kan i polära koordinater uttryckas r sinθ, dvs. r / sinθ, 5π/4 θ 7π/4. Största och minsta värdet här kan vi få fram utan derivering, eftersom vi vet hur en sinuskurva ser ut. Vänsterkanten y +(3/)x, x kan skrivas r sinθ + (3/)r cosθ, dvs. r/( sinθ 3 cosθ) förπ/ θ 5π/4. Derivera och sätt till noll: dr ( cosθ 3 sinθ) dθ ( sinθ 3 cosθ) ) tanθ 3 θarctan( 3 )+π ( + π kommer från det att arctan(negativt) ligger i 4:e kvadranten, och vi är ute efter ett svar i :a.) Resten av denna lösning orkar jag inte skriva in, eftersom det inte var någon som gjort så här. Lagranges multiplikatormetod Jag skriver inte in detaljerna, men uppgiften kan lösas med Lagranges multiplikatormetod också. Det blir en ganska lång lösning, eftersom man får separaträkna på de olika kanterna, och dessutom måste kolla hörnen. Grundtanken är att hitta de punkter där randkurvan tangerar höjdkurvorna, vilket här ger minvärdena. 4. (a) Ta fram MacLaurinpolynomet av 7:e graden för g(x) x sin x, och bestäm också g (4) (). Gammalt talesätt: Man ska inte skjuta myggor med kanon. Varför använda en komplicerad metod då det finns en enkel som funkar?

MMA3 Tentamen 8..8 Lösningsförslag Sida 6 (av 7) (b) f (r)ln r, där r x + y + z. Bestäm f f f x + y + z (a) Sätt in x på x:s plats mmaclaurinutvecklingen av sin x, och multiplicera med x: g(x) x ((x ) (x ) 3 + (x ) 5 (x ) 7 +... ) x 3 x7 3! 5! 7! 3! + x 5! +... De första två termerna är svaret. (Man kan ju gå på definitionen istället, men man blir förmodligen galen!) 4:e-derivatans värde för x kan man ta fram ur koefficienten för 4:egradsternen i MacLaurinutvecklingen. Eftersom vi inte ser någon 4:egradsterm så måste denna koefficient vara noll, och då är 4:e-derivatan det också. Rättningsnorm: p för korrekt polynom, p för korrekt derivata. (b) Vi kallar funktionsvärdet för u, snyggare beteckningar. Vi kan börja med :a-derivatan m.a.p. x: u x x u( r(x, y, z) ) du dr r x r x + y + z x x + y + z x x x + y + z x + y + z (Deriveringen kan utföras på en massa andra sätt också!) :a-derivatan får vi genom att derivera igen: u u x x x ( ) x x x + y + z (x + y + z ) x x (x + y + z ) x + y + z (x + y + z ) Eftersom funktionen som vi deriverar är fullständigt symmetrisk i x, y och z måste de andra derivatorna se likadana ut, men med x:s roll övertagen av y respektive z: u x y + z u x + y z y (x + y + z ) z (x + y + z ) Om vi lägger ihop de tre andraderivatorna får vi u u u x + y + z x y + z x + y z x + y + z (x + y + z ) + (x + y + z ) + (x + y + z ) x + y + z (x + y + z ) x + y + z (Det här är något som man ganska ofta har anledning att beräkna för olika funktioner; slå på Laplaceoperatorn om ni vill veta mer.) Rättningsnorm: p för en korrekt beräknad andraderivata. p för resten.

MMA3 Tentamen 8..8 Lösningsförslag Sida 7 (av 7) 5. Beräkna R xe xy da där R är det område som uppfyller x, xy. Det verkar enklast att integrera med avseende på y först. Det andra villkoret kan skrivas om till /x y /x (eftersom x>). Med detta kan man sätta igång och integrera: R xe xy da /x /x xe xy dy dx [( x ] /x ) xe xy dx /x ( e x /x ( e x /x ) ) dx ( e + e ) dx (e e ) dxe e (Sista integralen beräknades med snabbmetoden integralen av en konstant är konstanten gånger intervallängden, eftersom beräkningen motsvarar att beräkna arean av en rektangel.) Integralen kan också lösas med avseende på x först, men det är betydligt mer arbete. Rättningsnorm: p för korrekt uppställning med gränser. p för korrekt integrering. p för förenkling. p för andra integreringen.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA7 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9.3.9 8.3.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. p: U. 6 p: 3. 7 p: 4. p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 73 763 7 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex. 5 6 7.. Bestäm och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f (x, y) 4x 3 + 6x + xy 4x 3y (5p) Det finns inga singulära punkter. Det vi kan hoppas att hitta är punkter med derivatorna noll. f x x + x + y 4 f y x 6y Nedre ekvationen är enklast; den ger y x. Detta insatt i övre ekvationen ger x + x + x 4 x + 36x 4 x 3x + x,5 ±,5,5 ±,5 De intressanta punkterna är alltså (, 4) och (, ). För att klassificera punkterna behöver vi andraderivatorna: A f 4x + x B f x y C f y 6

MMA3 Tentamen 9.3.9 Lösningsförslag Sida (av 8) Kontroll av diskriminanten: (, 4) : AC B ( 4 + ) ( 6) 7 > extrem. C 6 < max (, ) : AC B ( 4 + ) ( 6) 7 < sadel Funktionen har ett maximum i (, 4), (, ) är en sadelpunkt. Rättningsnorm: Deriverat rätt: p. Hittat nollställena: + p. Korrekta andraderivator: + p. Korrekt klassificering: + p.. (a) Ta fram allmänna lösningen till följande differentialekvation: y 8y + 6y (p) (b) Ta fram allmänna lösningen till följande differentialekvation: y 8y + 6y 6e 4x (Observera att vänsterledet är samma som i a-uppgiften!) (p) (c) Bestäm den lösning till ekvationen i b som uppfyller följande randvillkor: y(), y() e 4x. (Om du inte lyckades lösa b så gör samma sak för ekvationen i a istället.) (p) Tryckfel i frågan, andra bivillkoret skulle vara y() e 4. (a) Karaktärisktisk ekvation: r 8r + 6 r 4 ± 4 6 4 ± 4 Dubbelrot. Lösningen till ekvationen är y (Ax + B)e 4x Rättningsnorm: Rätt karaktäristisk ekvation: p. Rätt lösning, baserat på ekvationens rötter: + p. (b) Lösningen sätts ihop av en homogenlösning och en partikulärlösning, och homogenlösningen har vi redan. Partikulärlösningen fordrar en ansats. Givet högerledet 6e 4x verkar y p Ce 4x bra, men detta är en av homogenlösningarna och kommer därför inte att fungera. (Det märker man om man sätter in den!) En bättre ansats är y p p(x) e 4x, där vi än så länge inte vet vad p(x) är. Detta ger: y p p(x) e 4x y p p (x) e 4x + p(x) 4e 4x ( p (x) + 4p(x) ) e 4x y p ( p (x) + 4p (x) ) e 4x + ( p (x) + 4p(x) ) 4e 4x

MMA3 Tentamen 9.3.9 Lösningsförslag Sida 3 (av 8) ( p (x) + 8p (x) + 6p(x) ) e 4x vilket insatt i ekvationen ger y p 8y p + 6y p ( p (x) + 8p (x) + 6p(x) ) e 4x 8 ( p (x) + 4p(x) ) e 4x + 6p(x) e 4x p (x) e 4x Vi borde ha fått högerledet 6e 4x, så p (x) 6. I så fall fungerar p (x) 6x, p(x) 3x. (Behövs inga + C, eftersom vi bara är ute efter en av de möjliga lösningarna.) Så y p 3x e 4x, vilket ger den allmänna lösningen y 3x e 4x + (Ax + B)e 4x (3x + Ax + B)e 4x Rättningsnorm: Korrekt ananalys av en felaktig ansats: p. Korrekt ansats, men ej lösning: p. Lösning som gav det korrekta svaret: p. (c) Första bivillkoret ger y() (3 + A + B)e 4 B Andra bivillkoret ger nu y() (3 + A + )e 4 (5 + A)e 4 e 4 A 5 så y (3x + 5x + )e 4x. Rättningsnorm: Korrekt angreppssätt: p. 3. (a) Förklara vad det innebär att en funktion f är deriverbar i punkten (x, y) (a, b). (p) Att f x (a, b) och f y (a, b) båda är definierade. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? Trodde jag! Jag menade att f var en funktion R R, men flera har tolkat frågan som att y f (x), och att b f (a). Denna tolkning är inte orimlig, så jag får acceptera svar som är korrekta givet denna innebörd hos frågan. Dessutom har en del tolkat frågan som nämn någon konsekvens av att funktionen är deriverbar, vilket givet formuleringen inte heller är orimligt. Sådana svar ger därför också poäng, och jag ska formulera mig klarare i fortsättningen! (b) Förklara vad det innebär att en funktion f är differentierbar i punkten (x, y) (a, b). Att funktionen i en omgivning till (a, b) kan approximeras med en linjär funktion med ett fel som går mot noll snabbare än avståndet till (a, b). (Går att formulera på ett antal mer eller mindre formella sätt, det här var en mellanvariant.) Rättningsnorm: Vad som helst som med lite välvilja kan tolkas som att man fattar innebörden i begreppet ger poäng. (p)

MMA3 Tentamen 9.3.9 Lösningsförslag Sida 4 (av 8) (c) Vi har ytan x + y z Bestäm en ekvation för tangentplanet till ytan i punkten (x, y, z) (,, 3). (3p) Via funktionsuttryck Vi vet hur man hanterar en funktionsyta, så vi försöker skriva om den här ytan till en sådan: x + y z z x + y + z ± x + y + Den punkt som vi ska undersöka har ett negativt z-värde, så det måste vara negativa roten som gäller. x f x (x, y) x z f (x, y) x + y + + y + y f y (x, y) x + y + I den givna punkten har vi f x (, ) /3, f y (, ) /3. Tangentplanet blir då z f (, ) + f x (, )(x ) + f y (, ) ( y ( ) ) 3 3 (x ) + (y + ) 3 3 x + 3 y 3 Rättningsnorm: Korrekt löst ut z (med minustecken): p. Deriverat korrekt: + p. Satt upp planets ekvation: + p. Via nivåyta Den givna ytan är en nivåyta till funktionen g(x, y, z) x + y z Funktionens gradient pekar i den riktning där värdena ökar fortast, vilket är vinkelrätt mot nivåytan. Den är alltså en normalvektor till nivåytan. g(x, y, z) g x (x, y, z), g y (x, y, z), g z (x, y, z) x, y, z I punkten blir det g(,, 3) 4, 4, 6 Planets ekvation kan nu tas fram med punkt normal: 4, 4, 6 x, y +, z + 3 4(x ) 4(y + ) + 6(z + 3) 4x 4y + 6z + (Om vi multiplicerar med /6 och flyttar över z ser vi att det är samma svar som i föregående beräkning. Rättningsnorm: Korrekt beräknad gradient: p. Kommit vidare till ett plan: + p. Inte kommit rätt, men visat att man har ett hum om hur ett plans ekvation tas fram: + p.

MMA3 Tentamen 9.3.9 Lösningsförslag Sida 5 (av 8) 4. Vi har integralen y cos( + x 3 ) dx dy y/ (a) Rita upp integrationsområdet. (b) Beräkna integralen. (p) (4p) Det var en siffra fel i frågan, och det gjorde den betydligt svårare än vad som meningen var. Rättningen kommer därför att göras på ett mycket snällt sätt! (a) Området kan skrivas y/ x, y : Området är parallellepipeden nertill. (Andra gränsen för y skulle ha varit 4, så att området blev en snygg triangel.) Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (b) Att integrera uttrycket som det nu står är inte genomförbart, så för att komma någonstans alls måste man byta integrationsordning. För att uttrycka området först i y får vi dela det i en triangel och en rektangel: y x, x,5 tillsammans med y,,5 x. På första delområdet får vi: I,5 x,5,5 [ y y cos( + x 3 ) dy dx cos( + x3 ) ( (x) ] x,5 x cos( + x 3 ) dx dx ) cos( + x 3 ) cos( + x3 ) dx

MMA3 Tentamen 9.3.9 Lösningsförslag Sida 6 (av 8) + x 3 t 3x dt dx x dx 3 dt,5 [ 3 sin t cos t dt 3 ],5 (sin,5 sin ) 3 På andra delområdet får vi I,5,5,5,5 [ y y cos( + x 3 ) dy dx cos( + x3 ) ( och här ger man sig. x,5 t,5 x t ] dx ) cos( + x3 ) cos( + x3 ) cos( + x 3 ) dx Rättningsnorm: Insett att man ska byta integrationsgränser: p. Korrekt uttryckt områdena: + p. Löst den inre integralen: + p. Fixat den första yttre integralen: + p. En uträkning som visar att man åtminstone kan principerna för dubbelintegraler ger p. dx 5. För de som läste kursen hösten 8: Vi har kurvan r θ, π θ π. (Polära koordinater.) (a) Skissa kurvan (Du kan använda approximationen π 3; det blir tillräckligt rätt.) (3p) Gör upp en värdetabell. r blir samma för positiva och negativa θ, så det räcker med värden för ena halvan av varvet. π/8 (,5 ) är ganska lätt att

MMA3 Tentamen 9.3.9 Lösningsförslag Sida 7 (av 8) sikta på vid ritning, så vi går med den steglängden: θ r π/8,4 π/4,56 3π/8 π/,5 5π/8 3,5 3π/4 5,6 7π/8 6,89 π 9 Radien ökar med vinkeln, så vi får en expanderande spiral. Andra halvan av kurvan är en likadan spiral, fast medurs. Tillsammans ger de ovanstående bild. Rättningsnorm: Någon form av vettig start: p. Bild som ser ut som någon form av potatis: + p. Helt korrekt bild (hjärtformad): + p. (b) Beräkna arean av det område som omsluts av kurvan. För araberäkning i polära koordinater gäller formeln A b a r dθ vilket med aktuella värden insatta ger A π π (θ ) dθ π π θ 4 [ ] θ 5 pi dθ π5 5 π ( π)5 (p) π5 5 ( 6,) (Någon form av approximation är bra att göra, så kan man rimlighetsgranska svaret i relation till figuren.) Rättningsnorm: Rätt formel: p. Korrekt beräkning: + p. För övriga: Kurvan y x 3x och x-axeln begränsar tillsammans ett ändligt område. (a) Bestäm volymen av den kropp som erhålls om området roteras kring x-axeln. (p) Kurvan skär x-axeln vid x och x 3. Vid rotation runt x-axeln används skivmetoden: V 3 π(x 3x) } {{ } radie tjocklek {}}{ dx π 3 (x 4 6x 3 + 9x ) dx

MMA3 Tentamen 9.3.9 Lösningsförslag Sida 8 (av 8) [ ] x 5 3 π 5 6x4 4 + 9x3 8π 3 Rättningsnorm: Korrekt formel: p. Korrekt beräkning: + p. (b) Bestäm volymen av den kropp som erhålls om området roteras kring linjen x. (3p) Vid rotation runt en vertikal axel används skalmetoden: V 3 höjd π ( x ( ) ) { }} {} {{ } radie ( (x 3x) ) dx }{{} tjocklek π π [ x4 4 + x3 3 + 3x ( x 3 +x +3x) dx ] 3 45π Radien är avståndet till rotationsaxeln, höjden är avståndet mellan överkant och underkant på området. Rättningsnorm: Helkorrekt formel: p. Formel som på något sätt virrat till någon detalj: p. Korrekt beräkning: + p. Lycka till!

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA7 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9.6. 8.3.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. p: U. 6 p: 3. 7 p: 4. p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 73 763 7 88. Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Delpoäng utdelas, så lämna in allt som du gjort även om du inte lyckades slutföra uppgiften. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex. 5 6 7. Anm. Alla uppgifter på denna tenta är lösbara både för de som läste specialvarianten hösten 8 och för de som läst den normala varianten.. Ett landskap beskrivs av uttrycket z sin x cos y, där x och y anger vår position i horisontalled och z höjden över havet. Just nu befinner vi oss i den punkt där (x, y) (π/4, π/4). (a) Vi önskar gå i riktning mot punkten (x, y) (, ). Hur mycket lutar marken i den riktningen? (3p) Vi söker riktningsderivatan i riktningen från (x, y) (π/4, π/4) till (x, y) (, ). Inspektion ger att denna riktning är i samma riktning som v,. Normering (dela med vektorns längd) ger att ˆv /, / är en enhetsvektor i den önskade riktningen. Skalärprodukten av den och gradienten i punkten ger lutningen ( riktningsderivatan). z z x, z cos x cos y, sin x sin y y { i (x, y) (π/4, π/4) } /, / Riktningsderivatan blir ˆv z /, / /, /

MMA3 Tentamen 9.6. Lösningsförslag Sida (av 7) (dvs marken lutar inte alls i den riktningen, den är parallell med höjdkurvan genom punkten.) Rättningsnorm: Rätt vektor: p. Rätt gradient: p. Sammanställning av informationen: p. Vi tappar en spelkula på marken, och den börjar rulla åt det håll som marken lutar mest. (b) Åt vilket håll rullar kulan? (p) Gradienten pekar åt det håll som värdena ökar snabbast, dvs. uppför backen. Nerför bör vara åt raka motsatta hållet, /, /. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (c) Hur mycket lutar marken åt det hållet? (p) Gradientens storlek anger lutningen i dess riktning, z /. Lutningen åt motsatta hållet är densamma men med minustecken. Rättningsnorm: Accepterar svar utan minus också. Och har man angett ett helt annat håll på (b) bör svaret här stämma med det hållet.. Bestäm det största och det minsta värde som f (x, y) (x y) kan anta på och i en cirkel med radien 5 och medelpunkt i origo. Motivera noga! (Anm. Uppgiften kan lösas på flera olika sätt.) (5p) Elegant lösning: Det lägsta värde som (x y) kan anta är, och detta värde antas utmed linjen x y, dvs utmed x y. Ju mer vi avlägsnar oss från denna linje, ju högre blir värdena. Största värdet antas i de punkter på cirkeln som är längst bort från linjen, vilket borde vara i de punkter som har koordinater av typen x y. Det är punkterna (5/, 5/ ) och ( 5/, 5/ ), och funktionsvärdet där (det är samma i båda punkterna) är (±/ ) / 5. Mer standardmässig lösning: Börja leta punkter med derivatorna noll. f (x, y) (x y) x xy + y f x (x, y) x y f y (x, y) x + y Detta ger x y, alla punkter på en linje. Försöker vi göra andraderivatatestet får vi AC B, dvs. testet säger ingenting. Tittar man på funktionen igen ser man att alla punkter på denna linje har värdet, som måste vara det lägsta värdet. (Andraderivatatestet kollar ju om punkterna i närheten har högre eller lägre värde, eller lite blandat. I just det här fallet fanns det punkter med samma värde, vilket gav det här resultatet.) Randen, variant : En cirkel med radie 5 kan parametriseras som x 5 cos t, y 5 sin t, t π. Detta insatt ger g(t) f (5 cos t, 5 sin t) (5 cos t 5 sin t) 5 cos t 5 cos t sin t+5 sin t 5 5 cos t sin t 5 5 sin t.

MMA3 Tentamen 9.6. Lösningsförslag Sida 3 (av 7) (Sista omskrivningen var för att slippa produktregeln). g (t) 5 cos t ger t π/ + nπ, t π/4 + nπ/. De lösningar som ligger i intervallet är t π/4, t 3π/4, t 5π/4 och t 7π/4. Randen, variant : En cirkel med radien 5 kan beskrivas med ekvationen x + y 5. Säg att g(x, y) x + y, och använd Lagranges multiplikatormetod: f λ g ger (x y) λx (x y) λy x + y 5 Multiplicerar man första ekvationen med x och andra med y och sätter dem lika får man x(x y) y(x y)x xy xy y x y x ±y Detta insatt i sista ekvationen ger de fyra lösningarna (5/, 5/ ), (5/, 5/ ), ( 5/, 5/ ) och ( 5/, 5/ ), med samma värden som i föregående lösningsvariant. Rättningsnorm: Inre området: deriverat rätt: p. Använt derivatan korrekt: p. Kommit till en slutsats: p. Alternativt: Resonerat korrekt: 3 p. Randen: Satt upp problemet på ett konstruktivt sätt: p. Kommit till lösning: p. 3. En intressant klass av kurvor är evolventkurvor. (Förmodligen har du inte hört talas om sådana förut!) Evolventkurvan till enhetscirkeln definieras så här: Man tar en enhetscirkel, lindar ett snöre om den, knyter fast en penna i ändan på snöret med udden i (x, y) (, ) och lindar långsamt av snöret. Pennan ritar då en kurva. Denna kurva kan på parameterform skrivas x cos(v) + v sin(v), y sin(v) v cos(v), för v. (v är vinkeln på den cirkelsektor som man har hunnit linda av snöret från.) (a) Skissa kurvan fram till v π. (Använd approximationen π 3). Välj en förnuftig skala! (p) (b) Bestäm koordinaterna för den första punkt på kurvan (efter startpunkten) där tangentlinjen är horisontell. (p) (c) Bestäm koordinaterna för den första punkt på kurvan där tangentlinjen är vertikal. (p) (a) Enklaste sättet att skissa den här kurvan är att gå efter beskrivningen och inte efter formeln. (Själv valde jag att använda dator... )

MMA3 Tentamen 9.6. Lösningsförslag Sida 4 (av 7) (b) Horisontell tangentlinje innebär derivatan noll: dy dy dx dv dx dv d dv d dv (sin v v cos v) cos v cos v v( sin v) (cos v + v sin v) sin v + sin v + v cos v v sin v v cos v tan v ger v nπ. Startpunkten var vid v, nästa punkt måste vara då v π, ger (x, y) (cos π + π sin π, sin π π cos π) (, π). Alternativt: Pennan sitter i ändan av ett snöre. Strecket den ritar bör vara horisontellt då snöret går vertikalt. Det gör det då vi lindat av ända fram till (x, y) (, ), dvs. då avlindningsvinkeln v är π. Ger samma svar som föregående metod. (c) Vid vertikal tangentlinje är derivatan inte definierad, och tan v är odefinierad för v π/ + nπ. Första tillfället är vid v π/, motsvarande punkten (x, y) (cos π/ + (π/) sin π/, sin π/ (π/) cos π/) (π/, ). Både detta svar och föregående stämmer bra med bilden. Alternativt tittar man efter när snöret går horisontellt, vilket det gör från punkten (x, y) (, ), motsvarande v π/. Rättningsnorm: Bild: p, beroende på hur pass bra den ser ut. p för derivataformeln, p för varje punkt. p avdrag om de beräknade punkterna inte stämmer med bilden (oavsett om bilden är rätt eller fel). 3 p för välformulerat resonemang i ord, som onödiggör derivataberäkningen. Kuriosa: Denna kurva används för profilen på kuggar på kugghjul. Just denna kurvform har egenheten att kuggarna kommer att rulla mot varandra istället för att glida mot varandra. Det minskar nötningen avsevärt. (Just denna intressanta aspekt var för komplicerad att ge som räkneuppgift här, men det var då jag läste maskinelement som jag första gången hörde talas om kurvan.) 4. Vi har differentialekvationen xy + y cos x, x > (a) Visa att följande funktion löser differentialekvationen: f (x) ( ) n n+ x n (n + )! n (3p)

MMA3 Tentamen 9.6. Lösningsförslag Sida 5 (av 7) Det är något lättare att se vad man gör om man skriver uttrycket utan summatecken: vilket ger f (x) ( ) x + ( ) 3 x + ( ) 5 x 4 + ( ) 3 7 x 6! 3! 5! 7!! 3 x + 5 x 4 7 x 6 3! 5! 7! f (x) 3 x 3! + 5 4x 3 5! 7 6x 5 7! Detta insatt i vänsterledet ger VL x f (x) + f (x) x ( 3 x + 5 4x 3 3! 5! ( x + 3 x! 3! ( 3 x + 5 4x 4 3! 5! ( x + 3 x! 3! x! x! 3 x! + 5 x 4 5! 7 6x 5 7! 7 6x 6 7! + 5 x 4 5! 3 x + 3 x 3! 3 3 x 3! + 5 x 4 4! + 5 5 x 4 5! 7 x 6 6! 7 x 6 7! ) ) 7 x 6 7! ) ) + 5 4x 4 + 5 x 4 5! 7 7 x 6 7! 7 6x 6 + 7 x 6 7! Vi vet att (eller kan på ett kladdpapper härleda att) cos t t /! + t 4 /4!..., och med t x insatt ger detta HL ( x + 4 x 4 6 x 6 )! 4! 6! 3 x! + 5 x 4 4! 7 x 6 6! VL HL; lösningsförslaget passade in i ekvationen och är därmed en lösning. (Ska man vara fullständig så bör man påpeka att alla de inblandade serierna är konvergenta för alla x, men eftersom vi inte tittat så noga på alla konvergenskriterier som finns så blir det full poäng utan detta påpekande.) Rättningsnorm: Vettig hantering av vänsterledet: p. Vettig hantering av högerledet: p. Delpoäng för konstruktiva försök, även om de inte leder ända fram.

MMA3 Tentamen 9.6. Lösningsförslag Sida 6 (av 7) (b) Ta fram samtliga lösningar till differentialekvationen. (p) Ekvationen är linjär. Man kan gå hela vägen med integrerande faktor, men gör man det så kommer man tillbaka till ekvationen precis som den står: x y + y cos x d (x y) cos x dx x y cos x dx sin x + C y sin x + C x Rättningsnorm: Konstruktiv början: p. Kommit ända till slutet (inklusive +C ): p. 5. De två paraboloiderna z x + y och z (x + ) y + 5 begränsar tillsammans en ändlig kropp. Beräkna volymen på denna kropp. (5p) OBS! Det är tillåtet att avbryta beräkningen då det bara är ett integraltecken kvar. (Sista delen av uträkningen är jobbig men ointressant, och inte värd att slösa tid på.) Paraboler ser ut som skålar. Här ligger den andra med botten upp (vilket innebär att den utgör ovansida). Kroppen är det område som ligger mellan skålarna. Vi behöver kanten på kroppen, dvs. skärningslinjen mellan ytorna. Sätt uttrycken lika: x + y (x + ) y + 5 x + y x x y + 5 y 4 x x y x x y ± x x Ena roten är framkant och andra bakkant. Gränserna för x ges av x x x + x x +,5x +,5,5 (x +,5),5 (x )(x + ) x En bild sedd rakt från sidan:

MMA3 Tentamen 9.6. Lösningsförslag Sida 7 (av 7) Volymen av området kan beräknas enligt V x x x x x x x x ( ( (x + ) y + 5) (x + y ) ) dy dx (4 x x y ) dy dx [(4 x x )y y3 3 ] x x x x ( (4 x x ) x x 4 ) 3 ( x x) x x dx Och här bryter vi beräkningen; slutet är bara rent råjobb. Svaret blir för övrigt V 6π/3. Rättningsnorm: Insett att man ska ha skärningskurvan: p. Rätt gränser i y: + p. Rätt gränser i x: + p. Rätt integrand: + p. Korrekt lösning av första integralen: + p. Delpoäng för vettiga angreppssätt som inte leder ända fram. dx Lycka till!