Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. A v B Definition. En vektor v är mängden av riktade sträckor, som har egenskapen att två riktade sträckor AB och CD båda tillhör v om och endast om de kan överföras till varandra genom parallellförflyttning. Varje riktad sträcka i mängden utgör en representant för vektorn.
Terminologi. 4 / 18 Riktad sträcka AB. Fotpunkt, spets I uttrycket AB sägs A vara dess fotpunkt och B dess spets. Nollvektor Om A B i vektordefinitionen så får vi nollvektorn 0. Längd Med längden av en vektor menas längden av en av dess representanter. Längden betecknas v.
Räkneoperationer för vektorer. 5 / 18 Två grundläggande operationer: u u+v v u v u+v u tu Addition, Multiplikation med skalär.
6 / 18 v u-v -v u Anmärkning. Vektorer kan subtraheras: u v u p 1q v. Definition. En vektor e med egenskapen e 1 kallas en enhetsvektor. Att normera en vektor v görs genom att dividera med vektorns längd: e ˆv v v
7 / 18 Exempel. Låt O, A, B vara tre punkter i rummet. Antag vidare att OA u och OB v. Om M är mittpunkten på AB så gäller att OM 1 2 pu vq. Visa det. A u M O v B
Basbegreppet. 8 / 18 Ett koordinatsystem i planet består av en punkt O och en bas te x, e y u. Vi skall titta litet närmare på vad en bas är för något. y v y e y v (x,y) O e x v x x Plana fallet Låt e x, e y vara två icke-parallella vektorer i planet. Då kan varje vektor v i planet skrivas v v x v y x e x y e y, x, y P R. 3-dim. fallet Låt e x, e y, e z vara tre vektorer som inte ligger i ett plan. Då kan varje vektor v i rummet skrivas v x e x y e y z e z, x, y, z P R.
Koordinater. 9 / 18 Definition. Planet Två icke-parallella vektorer e x, e y är en bas för vektorerna i planet. I uttrycket v x e x y e y x är koordinaterna för vektorn v m. a. p. y basen te x, e y u. Rummet Tre vektorer e x, e y, e z, som inte ligger i samma plan, är en bas för vektorerna i rummet. I uttrycket v x e x y e y z e z är x y koordinaterna för vektorn v m. a. p. basen z te x, e y, e z u. Uttryck av typen x e x y e y kallas en linjärkombination av e x resp. e y. Basen är ortogonal om basvektorerna är inbördes ortogonala. Är dessutom basvektorernas längder lika med 1, har vi en ortonormerad bas eller en ON-bas.
10 / 18 Anmärkning. När en ON-bas te x, e y u är definierad, förenklas beteckningarna och kalkylerna avsevärt. Man skriver normalt v x e x y e y på x den kortare formen v. y Antag att u ON-bas.) Vi får: u tu v tu1 tu 2 u1 u 2 u1 v 1 u 2 v 2.. och v v1 v 2 (m.a.p. en
11 / 18 y u P:(p,q) A:(a,b) r Q:(p-a,q-b) O x Vi betraktar ett rätvinkligt koordinatsystem i planet. Antag att vektorn u AP har sin fotpunkt i punkten A : pa, bq och sin spets i punkten P : pp, qq. Då gäller att vektorn AP har koordinaterna AP u p a q b Längden av vektorn AP blir med Pythagoras sats AP a pp aq 2 pq bq 2.. Anmärkning. Vi noterar att vektorn AP är ekvivalent med ortsvektorn r OQ, som har fotpunkt i origo och spets i punkten Q.
Exempel. Låt u 1 2 och v 4. 3 12 / 18 1. Beräkna 2u 3v. 2. Beräkna v. 3. Bestäm en enhetsvektor med samma riktning som v. 4. Betrakta punkterna P : p1, 2q och Q : p4, 3q. Bestäm avståndet mellan P och Q.
Exempel. 13 / 18 Betrakta triangeln ABC. Antag att 2 AP P C samt att CQ 1 CB. Bestäm koordinaterna till vektorn P Q med avseende på basen 4 tab, ACu. C Q P A B
14 / 18 Exempel. Uttryck en godtycklig enhetsvektor u i två olika ON-baser. ON-basen tv 1, v 2 u är vriden vinkeln α i förhållande till ON-basen te 1, e 2 u. Enhetsvektorn u bildar vinkeln β med basvektorn v 1. v 2 e 2 u v 1 e 1 M.a.p. ON-basen tv 1, v 2 u gäller u cos β v 1 sin β v 2. (1) M.a.p. ON-basen te 1, e 2 u gäller u cospα βq e 1 sinpα βq e 2. (2)
15 / 18 Vi skriver ett samband mellan de bägge baserna: v 1 cos α e 1 sin α e 2, v 2 sin α e 1 cos α e 2. (3) Vi sätter in (3) i (1) och får u cos β pcos α e 1 sin β p sin α e 1 sin α e 2 q cos α e 2 q pcos α cos β sin α sin βq e 1 psin α cos β cos α sin βq e 2. Vi har med elementär vektorräkning fått de (välkända?) additionsformlerna, genom att vi identifierar slututtrycket med (2).
A D 16 / 18 Exempel. B Låt ABCD vara en oregelbunden fyrhörning i planet. Om A väljs som origo och vektorerna AB och AD väljs till basvektorer får C koordinaterna p2, 3q, dvs. AC 2 AB 3 AD. Vilka koordinater får A om C väljs till origo och vektorerna CB och CD väljs till basvektorer? C
Lösningsförslag. 17 / 18 A D B C Ur förutsättningarna får vi: AC 2AB BC AB AD AC 3AD 3AD CD
Detta ger att 18 / 18 AC 2pBC 3pAC CDqq 3pAC CDq. Förenkling ger AC 2BC 6AC 6CD 3AC 3CD. Vi löser ut AC: 4AC 2BC 3CD dvs. AC 1 2 BC 3 4 CD Slutligen får vi: CA 1 2 CB 3 4 CD, dvs. koordinaterna för punkten A är p 1 2, 3 4 q med avseende på basen pcb, CDq.
Projektion, koordinater. 1 / 21 u s u v v Definition. Låt u vara en godtycklig vektor och L en rät linje med riktningsvektor v. Den ortogonala projektionen u v på L är den vektor med egenskapen u v L, u u v K L.
2 / 21 Det är ofta praktiskt att uttrycka en vektor som en summa av två andra vektorer, parallella med och ortogonala mot en föreskriven riktning. v v N v L Definition. Låt L och N vara två vinkelräta linjer i planet med riktningsvektorer v L och v N. En godtycklig vektor v kan då uttryckas som summan v v L v N (1) Vektorerna v L och v N kallas v:s komposanter. Uttrycket (1) kallas en komposantuppdelning av v.
3 / 21 Exempel. Ett föremål dras längs en vågrät väg L med en kraft F som bildar en vinkel φ med förflyttningen. F 2 F ø F 1 s Enligt definitionen av arbete utför kraften F arbetet W F s cos φ. Vi komposantuppdelar F och finner att F cos φ F 1. Definitionen av arbete visar att W F 1 s.
Skalärprodukt. 4 / 21 Föregående exempel kan tjäna som inledning till begreppet skalärprodukt. u ø v Definition. Skalärprodukten u v, där u, v 0, definieras som u v u v cos φ, och φ är vinkeln mellan u och v.
Speciellt gäller: 5 / 21 u u u 2, Om u v 0 så är u och v ortogonala (vinkelräta) (eller någon faktor är lika med nollvektorn), Om u v 0 så är vinkeln spetsig. Om u v 0 så är vinkeln trubbig.
Räkneregler. 6 / 21 (Kommutativ lag) u v v u, (Distributiv lag) u pv wq u v u w, (För λ P R) pλ uq v λpu vq. Exempel. Vektorerna u och v har längden 3 respektive 4 och bildar vinkeln π. Bestäm längden 4 av 1. deras summa, 2. deras skillnad.
ON-baser och skalärprodukt. 7 / 21 Sats. Om x1 u y 1, v x2 y 2, i ON-basen te x, e y u, så är u v x 1 x 2 y 1 y 2. Anmärkning. rummet. Motsvarande gäller för vektorer i 1 2 3 och v 1 (ON- Exempel. u 1 1 bas). Bestäm vinkeln mellan vektorerna.
Vinkelrät projektion. 8 / 21 Vektorn u är godtycklig. Linjen L har riktningsvektor v. Komposanten u L kallas u:s (vinkelräta) projektion på L. Det gäller att u L u cos φ u v cos φ v u v. v φ u v u L L
Vi dividerar med v och får 9 / 21 u L v u v v 2 u v v v. Vi frigör u L och får den s.k. projektionsformeln: u L u v v v v. (2) Anmärkning. I (2) kan vi sätta enhetsvektorn e v och får alternativt v u L pu eq e. (3)
10 / 21 Exempel. u 2 8 1 Givet vektorn samt linjen L med riktningsvektor v 2 1 2 Bestäm ortogonala projektionen u L samt dess längd.
11 / 21 Exempel. Låt u 1 1 1 1 och v 0 2. Komposantuppdela: u u u K, där u är parallell med v och u K är ortogonal mot v.
12 / 21 Exempel. Vektorerna u och v har längderna 1 resp. 2 längdenheter. Vinkeln mellan u och v är π{3. 1. Bestäm längden av vektorn 3 u 2 v. 2. Bestäm a så att vektorerna 3 u 2 v och 2 u a v blir ortogonala. 3. En parallellogram vars sidor är lika långa kallas en romb. Visa (med skalärprodukt) att diagonalerna i en romb är vinkelräta.
Vektorprodukt. 13 / 21 Definition. Vektorprodukten av u och v, u v, är en vektor som uppfyller: 1. u v u v sin θ, där θ är vinkeln mellan u och v, 2. pu, v, u vq är en högerorienterad trippel, 3. u v är ortogonal mot såväl u som v, 4. u v 0 ô u och v är parallella.
14 / 21 u v P v u
15 / 21 Anmärkning. Två viktiga skillnader mellan skalär- och vektorprodukt: skalärprodukten är ett tal, vektorprodukten en vektor, vektorprodukten gäller endast i det tredimensionella rummet. De viktigaste räknereglerna för vektorprodukten redovisas i följande Sats. 1. v u u v, 2. u pv wq u v u w, 3. pλuq v λpu vq.
16 / 21 Komponenträkning i en högerorienterad ON-bas. Sats. u Om u och v har koordinatframställningen x 1 x2 y 1, v y 2 z 1 m. a. p. en högerorienterad ON-bas te x, e y, e z u, så gäller att z 2 u v y 1 z 2 z 1 y 2 z 1 x 2 x 1 z 2 x 1 y 2 y 1 x 2.
Bevis-skiss. Från definitionen: 17 / 21 e x e x e y e y e z e z 0, e x e y e z, e y e z e x, e z e x e y. Detta ger (för z-komponenten): u v px 1 e x y 1 e y z 1 e z q px 2 e x y 2 e y z 2 e z q x 1 y 2 pe x e y q px 1 y 2 y 1 x 2 qe z y 1 x 2 pe y e x q Vi resonerar på analogt sätt för de återstående komponenterna.
18 / 21 Minnesregel (Sarrus regel). - - - e x e y e z e x e y x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 7 7 7 + + + Exempel. 5 3 1. 2 3 1 1 1 2 lomon... Sarrus regel
19 / 21 1 1 Exempel. Bestäm arean av triangeln med hörn i punkterna A p1, 1, 0q, B p3, 0, 2q samt C p0, 1, 1q. C 0 A 1 1 0 B 3 0 2 Den sökta arean är hälften av arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna AB och AC. Men höjden mot AB är lika med AC sin θ, där θ är vinkeln mellan AB och AC. Vi åberopar def. av vektorprodukt och den sökta arean blir: 1 2 AB AC.
v Trippelprodukt. 20 / 21 w u h w v Definition. Uttrycket u pv wq kallas (den skalära) trippelprodukten av vektorerna u, v och w. Geometrisk tolkning: Volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och wq är beloppet av trippelprodukten av vektorerna u, v och w.
21 / 21 Anmärkning. Trippelprodukten pu vq w används ofta för att avgöra om tre vektorer ligger i ett plan. u pv wq $& % 0 ñ u, v, w högerorient. 0 ñ u, v, w vänsterorient. 0 ñ u, v, w i samma plan Exempel. Bestäm a så att punkten P : pa, 2, 6q ligger i samma plan som punkterna P 1 : p7, 3, 8q,P 2 : p 5, 3, 10q och P 3 : p4, 3, 1q.
Räta linjen i planet och i rummet. 1 / 13 z v r r 0 P P 0 r r 0 x y En rät linje i R 2 och R 3 bestäms (entydigt) av en punkt P 0 (med ortsvektor r 0 ) och en riktningsvektor v. En punkt P (med ortsvektor r) ligger på linjen om och endast om vektorn r r 0 är parallell med v.
Detta uttrycks med 2 / 13 Räta linjens ekvation på vektorform r r 0 t v (1) eller r r 0 t v, (2) där t P R.
v Vi betraktar situtationen i rummet. Om vektorerna r α β γ x y z, r 0 x 0 y 0 z 0, kan (2) alternativt skrivas: 3 / 13 och Räta linjens ekvation på parameterform $ & % x x 0 t α y y 0 t β z z 0 t γ där t P R.
Räta linjen i planet. 4 / 13 Antag att en rät linje passerar genom punkterna P : px 1, y 1 q och Q : px 2, y 2 q. y Q x 2 y 2 D y y 2 y 1 P x 1 y 1 x 2 x 1 C x 2 y 1 x x Linjens riktningskoefficient k y 2 y 1 x 2 x 1
5 / 13 Om R : px, yq är en godtycklig punkt på linjen, så gäller y y 1 x x 1 k, (3) så att y kpx x 1 q y 1. (4) Uttrycket (4) kan alternativt uttryckas som en generell linjär ekvation: Ax By C 0, där A och B inte är noll samtidigt.
är normalvek- A Exempel. Visa att vektorn B tor till linjen Ax By C 0. 6 / 13 Punkterna P px 1, y 1 q resp. Qpx 2, y 2 q antas ligga på linjen. Därför gäller: " Ax1 By 1 C 0 Ax 2 By 2 C 0 Vi subtraherar och får Apx 2 x 1 q Bpy 2 y 1 q 0.
7 / 13 Detta kan alternativt uttryckas som skalärprodukten A B x2 x 1 y 2 y 1 0. A Detta betyder att vektorerna och P Q B x2 x 1 A är ortogonala, dvs. är en y 2 y 1 B normalvektor till linjen, eftersom P Q är en riktningsvektor till linjen.
8 / 13 Exempel. Bestäm en riktningsvektor till linjen med ekvationen 1. y kx m, 2. Ax By C 0. 1. Välj den oberoende variabeln x som parameter, dvs. sätt x t. Detta medför att y kt m, och vi skriver linjens ekvation på parameterform blir " x t y m kt
På vektorform blir linjens ekvation x y 0 m t 1 k 9 / 13 Vi konstaterar: Vektorn v är en riktningsvektor till linjen. 2. Välj t.ex. vektorn u till riktningsvektor. B A 1 k
10 / 13 v 2 α v 1 Exempel. linjerna Bestäm vinkeln 0 α π{2 mellan y k 1 x m 1 och y k 2 x m 2
11 / 13 Genom att parameterframställa linjerna, erhålls 1 1 riktningsvektorerna v 1 resp. v 2. k 1 Med definitionen på skalärprodukt får vi att k 2 cos α 1 k 1 k 2 a 1 k 2 1 a 1 k 2 2. Om k 1 k 2 =-1 så är linjerna ortogo- Anmärkning. nala.
Exempel. 12 / 13 1. Punkterna P 1 och P 2 har koordinaterna p1, 0, 1q resp. p4, 3, 3q i ett ON-system. Undersök om någon av punkterna p 2, 3, 1q, p5{2, 3{2, 2q och p11{2, 9{2, 4q ligger på sträckan P 1 P 2. 2. Visa att linjerna L 1 : $ & % x 5 t y 2 t z 3 t och L 2 : $ & % x 1 2t y 3 3t z 2 t skär varandra och bestäm skärningspunkten.
13 / 13 Exempel. Bestäm ekvationen för linjen genom punkterna P 0 p1, 3q och P p 2, 0q på parameterform. En partikel som rör sig rätlinjigt med konstant fart, befinner sig vid tiden t 0 i punkten P 0 p 1, 3, 7q och vid t 1 i punkten Q p3, 5, 3q. Ekvationen för den linje som utgör partikelbanan? Vid vilken tidpunkt passeras xy-planet? Partikelns läge då?
Planets ekvation. 1 / 24 z n r 0 P 0 r r 0 P r x y Figure 10-27 Ett plan bestäms (entydigt) av en punkt P 0 (med ortsvektor r 0 ) och en normalvektor n 0. En punkt P (med ortsvektor r) ligger på planet om och endast om vektorn r r 0 K n. Detta uttrycks med
Planets ekvation på vektorform. 2 / 24 P 0 P n 0 (1) eller pr r 0 q n 0, (2) där P 0 P ligger i planet. A B, r x y Om n C z kan (2) alternativt skrivas: och r0 x 0 y 0 z 0, Planets ekvation på parameterfri form. Apx x 0 q Bpy y 0 q Cpz z 0 q 0 Detta kan skrivas mer förenklat: Ax By Cz D 0 (3) där D Ax 0 By 0 Cz 0.
3 / 24 Anmärkning. Observera att (3) är ekvationen för ett plan. I R 3 skrivs räta linjer enbart på parameterform. Exempel. Genom punkterna P 1 : p1, 0, 1q, P 2 : p1, 1, 0q och P 3 : p0, 1, 1q (ON-system) går ett plan. Bestäm dess ekvation.
4 / 24 Exempel. Bestäm skärningslinjen mellan planen x y z 0 och y 2z 6. De två planen har normalvektorerna n 1 resp. n 2 0 1 1 1 1. Eftersom linjen ligger i bägge 2 planen är dess riktningsvektor v ortogonal mot såväl n 1 som n 2. Därför är v n 1 n 2... 3 2 1.
5 / 24 Vi behöver veta en punkt på linjen för att kunna teckna linjens ekvation. Man väljer en koordinat godtyckligt, sätt t.ex. z 0 i de bägge ekvationerna. Detta ger y 6 och x 6. Slutligen får vi skärningslinjens parametriserade ekvation: L : $ & % x 6 3t y 6 2t z t
Exempel. 6 / 24 1. Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten p2, 3, 0q och har 2 1 som normalvektor. 3 2. Låt Π vara planet x 2y az 3 0, där a är en konstant. Ange a så att linjen L : $ & % ligger i Π. x t y 1 t z 2 2t
Avståndsberäkningar: Punkt-plan. 7 / 24 z P 0 s r 0 r n P 1 r P x y Figure 10-31 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : px 0, y 0, z 0 q och planet Π : Ax By Cz D 0.
1. Planets normalvektor n A B C. 8 / 24 2. Vi normerar n : n e 1? A B A 2 B 2 C 2 C. 3. Välj punkten P godtyckligt i planet, t.ex. P : p0, 0, D{Cq. Vi tecknar vektorn P P 0 z 0 x 0 y 0 D{C.
4. Det sökta avståndet är enligt projektionssatsen 9 / 24 s P P 0 n e, vilket ger: s 1? A B A 2 B 2 C 2 C z 0 x 0 y 0 D{C Ax 0 By 0 Cz 0 D? A 2 B 2 C 2.
10 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : p 1, 3, 2q och planet Π : 2x 3y z 1 0. 1. Planets normalvektor n 2 3 1. 2. Vi normerar n : n 1 e? 2 3 14 1. 3. Välj punkten P godtyckligt i planet, t.ex. P : p0, 0, 1q. Vi tecknar vektorn P P 0 1 3 3
4. Det sökta avståndet är enligt projektionssatsen 11 / 24 s P P 0 n e, vilket ger: s 1? 1 3 14 3 2 3 1? 14.
Avståndsberäkningar: Punkt-linje. 12 / 24 P 1 v R s L P 0 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 och linjen L : r r 1 t v. 1. Normera v. v e v v. 2. Bestäm annan punkt godtyckligt på L. Exempelvis ger t 0 punkten P 1 med ortsvektor r 1. 3. Teckna P 1 P 0 r 0 r 1. 4. P 1 R är P 1 P 0 :s komposant parallell med L.
Projektionssatsen: 13 / 24 P 1 R P 1 P 0 v e. 5. Sökta avståndet b P 1 P 0 2 P 1 R 2. s Anmärkning. som Alternativt kan avståndet beräknas s P 1 P 0 v e P 1 P 0 v v
14 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : p2, 0, 3q och linjen L : x y 1 1 t. z 3 0 3 4 1. Bestäm annan punkt P 1 godtyckligt på L. Exempelvis ger t 0 punkten P 1 : p1, 1, 3q. 2. Teckna P 1 P 0 1 1 0. 3. P 1 R är P 1 P 0 :s komposant parallell med L. P 1 R pp 1 P 0 v e q v e. 4. Normera linjens riktningsvektor. v 1 e? 0 3 25 4.
5. Projektionssatsen: 15 / 24 P 1 R P1 P 0 v e 3 5. 6. Sökta avståndet: Alt. 1 s b P 1 P 0 2 P 1 R 2 a 2 9{25? 41 5. Alt. 2 s P 1 P 0 v e 1{5 1{5 1 1 0 4 4 3 0 3 4? 41 5.
Avståndsberäkningar: Linje-linje. 16 / 24 L 2 P 2 v 2 n s P 1 L 1 v 1 Exempel. Bestäm avståndet s mellan linjerna L 1, som går genom punkten P 1 med riktningsvektor v 1 respektive L 2, som går genom punkten P 2 med riktningsvektor v 2.
1. Linjernas ekvationer: 17 / 24 L 1 : r r 1 t v 1 resp. L 2 : r r 2 t v 2. 2. Bestäm godtyckliga punkter på L 1 resp. L 2. Exempelvis ger t 0 punkterna P 1 resp. P 2. 3. Teckna P 1 P 2 r 2 r 1.
18 / 24 4. s är längden av P 1 P 2 :s komposant längs den gemensamma enhetsnormalvektorn till linjerna, s P 1 P 2 v e. 5. Normalens enhetsriktningsvektor v e v 1 v 2 v 1 v 2. 6. Sökta avståndet: s v e P 1 P 2.
19 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan linjerna L 1, som går genom punkterna P : p1, 2, 1q och Q : p0, 2, 1q respektive L 2, som går genom punkterna R : p 1, 2, 0q och S : p 1, 0, 2q. 1. Linjernas ekvationer: L 1 : x y z 1 2 1 t 1 0 2 resp. L 2 : x y z 1 2 0 t 0 2 2.
20 / 24 2. Bestäm godtyckliga punkter P 1 på L 1 resp. P 2 på L 2. Exempelvis P 1 P p1, 2, 1q resp. P 2 R p 1, 2, 0q. 3. Teckna P 1 P 2 2 4 1. 4. s är längden av P 1 P 2 :s komposant längs den gemensamma enhetsnormalvektorn till linjerna, s P 1 P 2 v e.
5. Normalens enhetsriktningsvektor 21 / 24 v e v 1 v 2 v 1 v 2... 1? 4 2 24 2. 6. Sökta avståndet: s 1? 2 4 24 1 4 2 2 7? 6.
Bestäm avståndet mellan de två linjer- Exempel. na nedan. L 1 : $ & % 22 / 24 x 2 t y t z 1 t L 2 : $ & % x 2 4t y 2 6t z 5 t
Exempel. 23 / 24 Bestäm en ekvation för det plan som innehåller linjen L : $ & % x 1 t y 2t z 1 3t och punkten p2, 3, 3q. Bestäm avståndet från punkten p0, 1, 1q till planet.
. 24 / 24 Visa att linjerna L 1 : $ & % x 2 t y 3 2t z 1 3t resp. L 2 : $ & % x 3 t y 5 3t z 2 2t skär varandra. Bestäm skärningspunkten samt ekvationen för det plan som innehåller båda linjerna.