BIOELEKTRICITET. Sammanfattning:

BIOELEKTRICITET Funderingar kring mätproblemen. Forward och inverseproblemet. Sammanfattning: Signaler för att överföra information mellan nervceller består av elektriska strömmar som har uppstått över cellmembranet. Strömmarna genomflyter såväl den intracellulära som den extracellulära vätskan och har sitt ursprung i förflyttning av joner (Na+, K+, Ca2+, Cl-). Jämfört med isolerade metalliska material är nerver en mycket dålig ledare av elektricitet. Cellmembranet uppför sig som en imperfekt isolator och tillåter läckage av joner i båda riktningarna. Membranet har också möjlighet att lagra och isolera elektriska laddningar. Disposition Cellens yttre och inre miljö Nernst-Plank's ekvation Ekvivalent konduktans Nernst Potential Vilopotentialer och jämnvikter Analoga elektriska modeller Aktionspotentialen Signalöverföring E. Göran Salerud 1 Reviderad April 23, 2007

Allmänt Cellmembranet har en heterogen struktur och en tjocklek av ca: 75 Å. 70% är lipid. Den polära delen av lipiden riktar sig mot vattnet och bildar därvid ett tvålagers membran. Den inre delen uppför sig som en isolator (d = 30 Å). Ex 1: Beräkna kapacitansen för membranet. Dielektricitetskonstanten k=3. Svar. C = k 9 310 0 d = 36 = 0,9 μf/cm 2 3 10 9 Cellens inre och yttre miljö Intracellulärt Extracellulärt Na + 12 Na + 145 K + 155 K + 4 Övriga 4 katjoner Cl - 4 Cl - 120 HCO - 3 8 HCO - 3 27 Proteiner 155 Diffusion Nernst-Plank Ekvationen Diffusionen går från en region med högre koncentration till en lägre. Fick's lag j d = DC= fluxet = antalet partiklar (joner) som rör sig per tidsenhet genom en enhetstvärsnittsyta där C är koncentration och D diffusionskonstant (för gas D=lv/3, l=fri medelväglängd) Elektriskt fält Eftersom joner är laddade kommer de även att omfattas av elektriska fält och dess påverkansmekanismer. Fluxet beror på mobilitet, valenstal osv. E. Göran Salerud 2 Reviderad April 23, 2007

Fluxet j e = u p Z p Z p C p där u p är hastigheten per fältstyrkeenhet är gradienten ax x + a y y + a z z är det elektriska fältet Z p är tecknet på kraften från jon p Z p Einstein's ekvation Det finns ett samband mellan Fick's konstant och mobilitet som kan skrivas enligt följande Totala flödet D p = u prt Z p F T är absolut temperatur F Faradays konstant R allmänna gaskonstanten Fluxet j p = j d + j e eller j p D p (C p + Z p C p F ) (Nernst-Planck ekv.) RT Strömmen J p = D p FZ p (C p + Z pc p F ) RT eller J p = (u p RT Z p Z p C p + u p Z p C p F) E. Göran Salerud 3 Reviderad April 23, 2007

Ekvivalent konduktans Den elektriska ström som uppstår i en elektrolyt då en jon rör sig under inflytande av det elektriska fältet El. ström J p e = u p Z p C p F e J KCl = FC KCl [ u K + u Cl ]E J KCl = E där är den effektiva elektrisk konduktansen = FC KCl [ u K + u Cl ] Nernst potential Ett excitabelt cellmembran uppvisar selektiv permeabilitet. Nernst jämnvikt Beskriver förhållandet hos en jon vid jämnvikt i två faser. Membranet separerar permeabla joner. Definierar potentialen över ett membran såsom att om jonenaktiviteten är lika på båda sidor om membranet befinner sig systemet i jämnvikt. Strömmen J p = 0 = D p FZ p (C p + Z pc p F ) RT dc p dx dc p dc = - Z pc p F RT = -Z pf RT d d dx ) e dc p = - Z pf dc RT i ln e i d [ C p ] e = -( Z pf [ C p ] i RT ){ e - i } E. Göran Salerud 4 Reviderad April 23, 2007

Membranpot [ ] e [ C p ] i V m = ( RT C p Z p F )ln V m = ( 25 C p Z p F )ln [ ] e mv [ C p ] i Ex 2: Antag att vi har en jätteaxon med radie 500 μm. Den totala laddningen kan uttryckas som Q = C V. Om C = 1 μf/cm 2 och V = 100 mv för en 1 cm lång axon Q = 1x10-6 xx0.1x1x0.1 = 0.03142x10-6 C För en intracellulär koncentration av 400 mm kalicum fås Q K = 0.4 0.052 1 96487 = 0.303 C 1000 Den relativa laddningsförändringen är bara 10-7. E Na = 26.7ln 145 12 E K = 26.7ln 4 155 E Cl = - 26.7ln 120 4 = 66.5 mv = - 97.6 mv = - 90.8 mv Vilopotentialer Intracellulärt Extracellulärt Na + 12 Na + 145 K + 155 K + 4 Övriga 4 katjoner Cl - 4 Cl - 120 HCO - 3 8 HCO - 3 27 Proteiner 155 Donnan jämnvikt När alla ingående permeabla joner är i jämnvikt kallas detta Donnanjämnvikt. Dvs alla joner intar sina Nernst-potentialer. [ K + ] e K + [ ] i = [ Na + ] e Na + [ ] i = [ Cl ] e Cl [ ] i = r V m = RT F ln(r) Goldmans ekvation E = RT zf ln(p K [ K e ]+ P Na [ Na e ]+ P Cl Cl e P K [ K i ]+ P Na [ Na i ]+ P Cl Cl i [ ] [ ] ) P K = 20 nm/s P Cl = 40 nm/s P Na = 0.2 nm/s E = 85.3 mv E. Göran Salerud 5 Reviderad April 23, 2007

TRANSPORT ÖVER CELLMEMBRANET Storlek, fettlöslighet och laddning avgör transportmekanismen över membranet. Fri diffusion: Katalyserad: diffusion längs med koncentrationgradienten genom porer. Vatten, K +, Cl - oh O 2 flödar snabbt men Na + långsamt eller icke alls glukos ej fettlösligt, samt en storlek överstigande porernas tvärssnittsdiameter. Elektriska och tryckgardienter är två andra sätt att transportera ämnen över membranet. Aktiv transport: K + och Cl - passerar normalt men Na + är helt utestängd. För att upprätthålla vilospänningen sker en transport i riktning mot gradienten. Denna process kräver energi som frigörs då ATP ADP + energi. Na + -K + -pumpen: Na + transporteras ut ur cellen och K + in. natrium fäster konformationsförändring aktiveras med enzym, NaK- ATPase. Carriermodell i riktning mot gradienten. ELEKTRISK MODELL AV CELLMEMBRANET Cellmembranet är en kapacitans som åtskiljer extracellulär- och intracellulärvätskan. Skillnader i jonkoncentrationer gör att en spänning uppstår över membranet (Nernst lag). Nenst ekvation för cellens elektrolyter, diffusionspotential E = (μ + μ ) (μ + + μ ) * RT zf ln(c e C i ) Uppmätt potential (extracellulärt ref.) = -90 mv E K, därför att kaliumjonen har högre mobilitet än Natriumjonen. Om man gör membranet genomsläppligt, uppstår en jonrörelse E förändras med tiden. Om C e C i E 0 E. Göran Salerud 6 Reviderad April 23, 2007

Jonflödet modelleras med en membrankonduktans g = 1/resistans. Intracellulärt Extracellulärt - E + C m External fluid g K g Cl g Na E K E Cl E Na V m Elektrisk modell av cellmembranet. g Na och g K är konduktansen för natrium respektive kalium. I C = CdV m = 0 dt Internal fluid För kalium gäller: I K = (E K -E)g K För natrium gäller: I Na = (E+E Na )g Na Klor ställer in sig så att man ej får något nettoflöde, dvs E Cl = E. Vid vila är Na + -flödet = K + -flödet, dvs I K = I Na. (E K -E)g K = (E+E Na )g Na Om nu g Na g K = 1 20 E = E K g Na (g Na + g K ) (E K + E Na ) E = 89.9 mv Sammanfattning: Na-K-pumpen bygger m.h.a. metabolisk energi upp koncentrationsgardienter. Inläckande Na pumpas ut, K plockas in. Cellens vilopotential är en konsekvens av detta. Stänger vi av pumpen går vilopotentialen mot noll. Membranpotentialen ligger mellan jämnviktspotentialen för Na och K. Då någon konduktivitet går mot närmar sig potentialen dess jämnviktspotential, E. Göran Salerud 7 Reviderad April 23, 2007

AKTIONSPOTENTIALEN Aktionspotentialen är nervernas språk, ansvarig för våra handlingar och upplevelser, våra tankar och känslor. All aktionspotentialer från en och samma nerv utbreder sig med samma amplitude. Signalerna frekvensmodulerade. Man kan störa cellens viloläge genom att aktivera den kemiskt, elektriskt eller mekaniskt. Störningen leder till en snabb förändring i natriumkonduktansen och också till en förändring i kaliumkonduktansen. Störningen orsakar en kort positiv förändring i membranpotentialen, det uppkommer en s.k. aktionspotential. Depolarisering av membranet ökning av g Na depolarisationen fortsätter om detta får fortsätta blir g Na = och E = E Na. Vid depolarisering ökar även g K. Detta medför ett ökat K + -utflöde, E sjunker och cellen repolariseras (hyperpolariseras) mot E K. Depolarisering: Membranet börjar släppa in mer natrium in i cellen och potentialen inne i cellen ökar från vilovärdet -90 mv mot ett värde med omvänd polaritet. Vid ett tröskelvärde av -50 mv kommer en ännu snabbare, spontan depolarisering att vidta, därför att natriumkonduktansen ökar snabbt. Kalium-konduktansen är fördröjd och stiger ej lika snabbt. Natriuminflödet strävar efter att föra potentialen mot jämnviktspotentialen för natrium. Kalium-utflödet stoppar denna strävan och en återgång till vilopotential sker. Membranpotentialen får en positiv topp på ca 20-40 mv. Under tiden cellen är depolariserad kan ingen ny aktionspotential uppträda, den absoluta refraktärperioden och denna varierar för olika celler, t.ex. en myeliniserad nervcell har en refraktärperiod på mellan 0.5-1 ms medan en hjärtmuskelcell har en betydligt längre period. Ur refraktärperioden kan man räkna fram antalet impulser som t.ex. en grov E. Göran Salerud 8 Reviderad April 23, 2007

nervcell kan leda i en sekund. Med de siffror som anges ovan fås antalet till 1000-2000 impulser/sekund. Efter den absoluta refraktärperioden kommer den relativa refraktärperioden då cellen kräver ett starkare stimuli än normalt för att en depolarisering ska äga rum. Den lokalt utlösta aktionspotentialen kan i sin tur depolarisera intilliggande delar av samma cell utan att det krävs ytterligare retning. Denna impulsspridning sker genom det strömflöde som impulsen själv ger upphov till i cellen. Transmission av aktionspotentialen: Resistiviteten intracellulärt är ungefär lika för olika axon. är omvänt proportionellt mot radien i kvadrat. En ströminjektion i punkten noll medför spänningshöjning. Spänningen fördelas längs axonet. Local curcuit theory, Den vandrande impulsen kan ses som en i cellen vandrande dipol. Aktionspotentialen utbreder sig med en konstant hastighet, dämpas och distorderas ej. Nerv: 20-140 m/s, hjärtmuskel: 0.2-0.4 m/s. Den transmitterade potentialen uppfyller också vågekvationen d 2 V dt 2 = 2 d 2 V V = f(x t) 2 = utbredningshastigheten dx E. Göran Salerud 9 Reviderad April 23, 2007

SIGNALÖVERFÖRING I KROPPSVÄVNADER Antag att vi skall konstruera ett djur, ca 2 m högt (från hjärna till fot). Det skall kunna promenera med en hastighet av 6 km/h, dvs 1.7 m/s. Om stegen är ungefär 1 m långa måste signalen gå till benen åtminstone var 0.6:e sekund. Om nästa steg planeras i början av pågående steg krävs en ledningshastighet av ca 3 m/s. Snabb start och stopp kräver åtminstone en 10 ggr högre ledningshastighet, dvs åtminstone 30 m/s: Lösning I: Använd koppartråd i stort antal och bygg upp nerverna. Dock, koppartrådar existerar inte i naturen. Vi får hålla oss till godo med vävnadsvätska, men låt oss använda konstruktionsiden. Lösning II: Vi gör alltså en tråd innehållande saltlösning. Tråden är omgiven av en isolator och nedsänkt i extracellulärvätska, i vilken returströmmen leds. 100 mv Fosfolipidmembran Signalöverföringen är en kabel vilken vi kan modellera enligt r i r i Effektor organ r m r m r e r e r e r i r m resistans extracellulärt, försummas resistans i axoplasman, /m, resistivitet i membranresistans, /m, resistivitet m E. Göran Salerud 10 Reviderad April 23, 2007

b a l 4 R i = i ( a, r i = i a 2 /m 2 )2 R m = m b al, r m = m b a /m Spänningen över kabeln är med x längs densamma V m = V o e -x/ där är utbredningskonstanten = r m r i = m i * ab 4 Materialegenskaper: Isolera med dubbelt fosfolipidlager, det bästa vi kan få i organismen m = 1.6. 10 7 /m Bästa ledare är saltvatten i = 0.5 /m Vi får med a = 10 μm, b = 6 nm = 1.6. 10 7 10-6 *6. 10-9 0.5 * 4 = 6.9. 10-4 = 0.69 mm För x = 2 m fås V m = V o e - 6.9. 10-4 = V o e -3000 Om a = 2 m x E. Göran Salerud 11 Reviderad April 23, 2007

= 1.6. 10 7 2 * 6. 10-9 0.5 * 4 = 1 och vi får V m = V o e -x dämpningen 1/e vid 1 m Med koppar och teflon fås = 7.7. 10 5 m = 7.7. 10 2 km Kabelekvationen: Injicera ström i s (x,t) i axonet. V m beror av tid och rum (x-koordinat) enligt "kabelekvationen". 2 2 V m x 2 - V m t - V m = -r i 2 i s där = r m C m är kabelns tidskonstant b a Obs att C m = r o A b = r o al b Notera att = r m C m = m r o, dvs en ren materialkonstant En strömpuls vid tid t = 0 i x = 0, dvs initialspänning V m (x=0,t=0) = (x)(t) har lösningen V m (x,t) = e -t/ 2 2 t/ * e -x2 /4 2 t Detta är en gaussisk funktion vars amplitud avtar med tiden. V m t Bredd 2 Hastigheten svår att tolka men 1/e-punkten rör sig ut med hastigheten / vid t = E. Göran Salerud 12 Reviderad April 23, 2007

Vi har sett att passiva nervfibrer bara kan föra en signal en mycket kort distans. Detta gäller signaler under en viss tröskelnivå. Vi får garderade potentialer, vars amplitud sjunker med avståndet från stimulationspunkten. En puls leder till en utdöende Gaussisk signal i x = 0. Vidare gäller för dessa signaler Ohm s lag. Potentialer summeras. Vi såg ovan indikation på att ledningshastigheten är u ~ ~ ab Hastigheten ökas genom att 1/ göra diametern a större 2/ göra membrantjockleken b större. Metod för detta är att linda en myelinskida runt axonet På detta sätt kan membrantjockleken ökas 300 ggr, från 6 nm till ca 2 μm. Detta ger ca 300 ggr hastighetsökning.- För en myeliniserad fiber fås 5 mm Hade vi inga "hål" i myelinskidan skulle aktionspotentialen dö ut. Resistiviteten i skidan är nämligen så hög att membranströmmen är för låg att ge membranförändring och förstärkning av signalen. Därför lägger vi in noder, Ranviers noder, några mm från varandra. Med 2 mm mellan noderna dämpas aktionspotentialen e -x/ = e -2/5 = 0.67 Om en nod är blockerad och "ur funktion" blir dämpningen mellan första och tredje noden = 0.45, dvs ingen större sänkning För att blockera en aktionspotential måste flera noder blockeras E. Göran Salerud 13 Reviderad April 23, 2007