M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 10 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 24

Integralkalkyl, Föreläsning 9 Betrakta räta linjen y = kx + m, a x b. Använd avståndsformeln för att bestämma linjesegmentets längd. Verifiera denna längd med båglängdsintegralen. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 2/ 24

Tillämpningar:Beräkning av volymer Vi låter Ω beteckna en kropp i rummet, med egenskapen att arean av ett godtyckligt plant snitt vinkelrätt mot en viss linje är en kontinuerlig funktion av snittets läge. Vi väljer x-axeln till denna linje och betecknar snittarean med A(x). Vi antar vidare att kroppen är belägen mellan planen x = a och x = b. Figure 7-2 a b x Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 3/ 24

Låt oss betrakta ett litet volymselement V i genom att snitta kroppen så att en planparallell skiva med bredd x i uppkommer. I intervallet [x i 1, x i ] väljer vi en punkt c i. Skivans volym kan då approximeras med en cylindervolym : V i = A(c i ) x i xi 1 ci xi x Figure 7-3 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 4/ 24

Vi adderar dessa bidrag för att få ett närmevärde till volymen: V = n A(c i ) x i, i=1 vilket är en Riemannsumma för integralen b V = A(x) dx a Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 5/ 24

Skivformeln Volymen V(Ω) av en kropp Ω mellan x = a och x = b med tvärsnittsarea A(x) kan skrivas V(Ω) = b a A(x) dx. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 6/ 24

Anmärkning Skivformelns huvudproblem är att bestämma areafunktionen A(x). Detta är i allmänhet ingen trivial uppgift. Vi skall i denna kurs betrakta ett viktigt specialfall. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 7/ 24

Rotationsvolymer y=f(x) Antag att området, begränsat av funktionskurvan y = f (x), x-axeln samt linjerna x = a och x = b roterar kring x-axeln. A(x) x Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 8/ 24

Cirkulärt tvärsnitt Tvärsnittet är cirkulärt med arean A(x) = πf 2 (x), (π ggr radien i kvadrat) och rotationskroppens volym är b b V = A(x) dx = πf 2 (x) dx. a a Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 9/ 24

Exempel Bestäm volymenav avett klot med radiea, a, genomatt att låta kurvan y = y a aa 2 2 xx 22,, a a ď x ď a, rotera kring x-axeln. Staffan Lundberg M0043M V14 10/ 24 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 10/ 24

Exempel Vid rotation av kurvan y = x 2, 1 x 2, kring x-axeln uppkommer en rotationskropp. Bestäm dess volym. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 11/ 24

Rotation kring y-axeln Exempel Bestäm volymen av den rotationskropp som uppkommer då området, begränsat av kurvan y = x2 5 + ` 1, y-axeln samt linjerna y = 1 och y = 6 roterar kring y-axeln. 4 3.5 3 y 2.5 2 1.5 1 4 2 x 0 2 4 4 2 0 2 4 Staffan Lundberg M0043M V14 12/ 24 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 12/ 24

Lösningsförslag Lösningsförslag 6 5 Vi Vi betraktar figuren och inser att snittytanärär cirkulär med arean πx πx 2. 2. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x Staffan Lundberg M0043M V14 13/ 24 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 13/ 24

Volymen av rotationskroppen blir med skivformeln V = 6 1 πx 2 dy. Vi måste uttrycka x som funktion av y. Detta ger V = 6 1 π 5(y 1) }{{} x 2 dy =... = 125/2 π. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 14/ 24

Beräkning av volymer:cylindriska rör Ibland måste man använda andra volymselement än cylindriska skivor. 6 Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området, begränsat av kurvan y = x 2 /5 + 1, x-axeln och linjerna x = 0 och x = 5 roterar kring y-axeln. 5 4 3 2 1 4 2 0 2 4 x Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 15/ 24

Rörelement 6 5 Vi betraktar rotationskroppen, efter att ha gjort en indelning i tunna segment. 4 3 2 1 4 2 0 2 4 x Låt det markerade segmentet rotera kring y-axeln. Då uppkommer ett tunt cylindriskt rör vars mått vi approximativt kan sätta till följande: Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 16/ 24

Rörelementets volym radie x, tjocklek dx, höjd y. dx Om vi böjer ut röret, kan vi enkelt bestämma rörets volym dv. y 2πx dv = 2πx dx y. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 17/ 24

Rörformeln och rotationskroppens volym är 5 5 V = dv = 2πx y dx 0 0 Den sökta volymen blir (med y = x 2 /5 + 1): V = 5 0 2πx y dx = 5 0 2πx ( x2 5 + 1) dx. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 18/ 24

slutande exempel Avslutande exempel Det Det skuggade skuggade området området (se (sefi- gur), gur), begränsat begränsat av av x-axeln, x-axeln, linjen linjen fi- x x π{2 = π/2 och och kurvan kurvan y y = sin sin 2 x, 2 x, bringas bringas i rotation i rotation kring kringy-axeln. Beräkna Beräkna volymen av avden denupp- komna rotationskroppen. komna Det är viktigt att du på egen hand läser Det är viktigt att du på egenhandläser (och löser) de två följande exemplen. Exemplen (och visar löser) på nyttiga de två strategier följande i exemplen. räknearbetet. Exemplen visar på nyttigastrategieriräknearbetet. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 19/ 24

Räkna på egen hand Beräkna volymen V av den rotationskropp som uppstår då området, begränsat av kurvan y = x 2 e x2, positiva x-axeln samt linjen x = X roterar runt y-axeln. 1 X Beräkna även lim X V. Svar: 2 π 1 2 ( X 2 +1 2 ) e X2 resp. π Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 20/ 24

släs och och lös lös på på egenhand hand Betrakta Betrakta området området R begränsat R av av kurvorna kurvorna y y = x och x och y y = x 2. x 2. Beräkna Beräkna volymen volymen V av V av den den resulterande kroppen när området R resulterande kroppen när området R roteras kring y-axeln. roteras kring y-axeln. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 21/ 24

Lösningsförslag tjuvkika inte Areaelementet A(y) är en ihålig Betrakta området R begränsat av cirkelskiva: kurvorna y x A(y) = π( och y x 2. Beräkna volymen V av y) 2 den πyresul- terande kroppen när området R 2. roteras Volymselementet kring y-axeln. dv = A(y) dy. 1 V = π (y y 2 ) dy =... (Svar π/6.) 0 Staffan Lundberg M0043M V14 21/ 24 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 22/ 24

Extraövning Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området begränsat av y = x och linjerna y = 1, x = 4 roteras kring y = 1. (Svar 7/6π) Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 23/ 24

Lösningsförslag tjuvkika inte Skivformeln. V = dv = Volymelementet dv = π( x 1) 2 dx = π(x + 1 2 x) dx = 4 1 π(x + 1 2 x) dx =... = π 63 56 6 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 24/ 24