Pelare ÖVNING 27 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft 850. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Betong C30/37, b 350, 350, c 50, 3. Armeringen utgörs av 4 16 B500BT. Pelaren kan antas fast inspänd i botten och fri i toppen. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Pelarens böjstyvhet kan sättas till 6,5 10, φ 2. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 30 20 1,5 33 27,5 1,2 Armering 500 435 1,15 435. 10 2,17. 10 200. 10 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1
2 2 36 Dimensioneringsvillkor Bestämning av 1 1 1,,. 0 850 0,015 12,75 6000 15 400 400. Antag 1,0 6,5 10 6 1782 1 M 1 12,75 1,92 12,75 24,5 kn 1782 850 1 Momentkapacitet vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter 0,8 850 10 20 10 0,15 0,8 0,35 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,3 0,15 3,5 10 3,5 10 ε 0,15 2,17 ok! 0,15 0,05 3,5 10 2,33 10 ε 0,15 2,17 ok! M F d 0,4x F d d` N d h/2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 2
M 0,8 x d 0,4x f. A dd` N d h/2 M 20 10 0,8 0,15 0,350,3 0,4 0,15 435 10 2 201 10 0,3 0,05 850 10 0,3 0,175 139,1 knm Dimensioneringsvillkor Svar: 139,1 knm 24,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3
ÖVNING 28 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft N 500 kn och en jämnt utbredd sidolast q 3 kn/m. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Betong C30/37, b 400 mm, a 400 mm, c 50 mm;, 5 m. Armeringen utgörs av 4 ϕ16 B500BT. Pelaren kan antas fast inspänd i botten och ledad i toppen 0,77. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Pelarens böjstyvhet kan sättas till EI 2,2 10 Nm, φ 1,8. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 30 20 1,5 33 27,5 1,2 Armering 500 435 1,15 435. 10 2,17. 10 200. 10 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4
0,77 3,85 Antar att armering flyter 1. Dimensioneringsvillkor 2. Bestämning av, 3850 9,625 400 400, 8 3 5,0 8 500 0,0096 14,175 1 1 Antag 1,0., 2,2 10 3,85 1465 1 1,0 500 1465 1 14,175 1,517 14,175 21,5 Bestämning av momentkapacitet Antar att armering flyter F F F N ; men F F F N FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5
0,8 500 10 0,078 0,8 0,8 0,4 20 10 M F d 0,4x F d d` N d h/2 0,8 d 0,4x f. A d d` N d h/2 M 20 10 0,4 0,8 0,0780,35 0,4 0,078 435 10 402 10 0,35 0,05 500 10 0,35 0,2 136,6 knm,,! Kontroll av och ε ε dx x ε ε xd x σ 200 1,256 251,2MPa 0,35 0,078 3,5 10 12 10 ε 0,078 ok! 0,078 0,05 3,5 10 1,256 20 ε 0,078 ej ok! M 20 10 0,4 0,8 0,0780,35 0,4 0,078 251,2 10 402 10 0,35 0,05 500 10 0,35 0,2 114,4 knm Svar: 114,4 knm 21,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 6
ÖVNING 29 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft 550 och en jämnt utbredd sidolast q 2,0 kn/m. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Armeringen utgörs av 4 16 B500BT. Pelaren kan antas fast inspänd i botten och fri i toppen. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Pelarens böjstyvhet kan sättas till EI 3,0 10 Nm. Betong C20/25, φ 2. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C20/25 30 20 1,5 33 27,5 1,2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 7
Armering,.,.., Dimensioneringsvillkor Bestämning av 1 1 1,,. 2 2,0 3,0 2 ö 6000 15 400 400. Antag 1,0. 3,0 10 6 822 550 0,015 17,25 1 1 1 17,25 822 550 1 1 550 17,25 3 17,25 52 822 Momentkapacitet vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter F F F N ; men F F F N FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 8
0,8 0,8 550 10 0,8 13,3 10 0,13 0,4 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,355 0,13 3,5 10 6,1 10 ε 0,13 2,17 ok! 0,13 0,045 3,5 10 2,3 10 ε 0,13 2,17 ok! M F d 0,4x F d d` N d h/2 M 0,8 d 0,4x f. A dd` N d h/2 M 13,3 10 0,8 0,13 0,40,355 0,4 0,13 435 10 2 201 10 0,355 0,045 550 10 0,355 0,2 136,6 knm Dimensioneringsvillkor Svar: 136,6 knm 52 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 9
ÖVNING 30 En pelare med mått enligt figur belastas med centriskt placerad normalkraft N Ed =700 kn. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Pelaren har längden l och kan anses vara ledad både nedtill och upptill. Andra ordningens effekter ska beaktas. Armeringen utgörs av 4 ϕ16 B500BT och byglar B500B ϕ8. Pelarens böjstyvhet kan sättas till EI 1,9 10 Nm. Betong C30/37, kryptal φ ef =2,2. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C25/30 30 20 1,5 31 25,8 1,2 Armering 500 435 1,15 435 10 2,17 10 200 10 4,5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 10
350 45 305 45 Dimensioneringsvillkor Bestämning av β 1 1 N 1 N M,. 0 700 0,0113 7,9 ö 4500 11,25 400 400. 1,9 10 4,5 926 1 1 7,9 4,1 7,9 32,4 926 700 1 Momentkapacitet vid centrisk normalkraft Antag att all armering flyter F F F N ; men F F F N f b 0,8x N 0,8 700 10 0,8 20 10 0,125 0,35 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 11
Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,305 0,125 3,5 10 5,04 10 ε 0,125 2,17 ok! 0,125 0,045 3,5 10 2,24 10 ε 0,125 2,17 ok!, ` / M f b 0,8xd 0,4x f. A dd` N d h/2 M 20 10 0,8 0,125 0,350,35 0,4 0,125 435 10 2 201 10 0,305 0,045 700 10 0,305 0,35 164,5 knm 2 Dimensioneringsvillkor Svar: 164,5 knm 32,4 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 12
ÖVNING 31 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft N 750 kn och en jämnt utbredd sidolast q 12 kn/m. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Betong C35/45, b 300 mm, a 300 mm, c 40 mm;, 6,0 m. Armeringen utgörs av 4 ϕ20 B500BT. Pelaren har längden l och kan anses vara ledad både nedtill och upptill.. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Pelarens böjstyvhet kan sättas till EI 1,8 10 Nm. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C35/45 35 23,3 1,5 33 27,5 1,2 Armering 500 435 1,15 435 10 2,17. 10 200 10 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 13
6 Dimensioneringsvillkor Bestämning av, 6000 15 400 400, 8 12 6 8 750 0,015 65,25 1 1, 1,8 10 6 493,5 1 1 750 493,5 1 65,25 2,92 65,25 73 Bestämning av momentkapacitet Antar att armering flyter 600 10 0,092 0,8 0,8 0,35 23,3 10 M F d 0,4x F d d` N d h/2 0,8 d 0,4x f. A d d` N d h/2 M 23,3 10 0,35 0,8 0,0920,3 0,4 0,092 435 10 402 10 0,30 0,05 600 10 0,30 0,5 0,35 126,7 knm,! FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 14
Kontroll av och ε ε dx x ε ε xd x σ 200 1,6 320Mpa 0,30 0,092 3,5 10 7,9 10 ε 0,092 ok! 0,092 0,05 3,5 10 1,6 20 ε 0,092 ej ok! M 23,3 10 0,35 0,8 0,0920,3 0,34 0,092 320 10 402 10 0,30 0,05 600 10 0,30 0,5 0,35 115,13kNm Svar: 115,13 knm 73 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 15
ÖVNING 32 Beräkna erforderlig armering av ϕ12 B500BT till en betongpelare med knäckningslängden 1 0 =0,77l enligt figuren nedan. Pelaren belastas med centriskt placerad normalkraft N Ed =800 kn. Betong C30/37, b=280 mm, a =280 mm, c =34 mm,l=5000 mm. Pelaren kan antas vara fast inspänd i botten och ledad i toppen. Pelaren är stagad i veka riktningen. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas, φ 1,6. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong /,,, Armering f f 500 435 MPa γ 1,15 ε f 435. 10 2,17. 10 E 200. 10 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 16
1,6 0,77 0,77 5 4,9 Effektiv höjd 280 34 246. 34. Imperfektionen för pelare e l 3900 9,75 mm 400 400 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner,, 0 0 800 0,01 8 knm Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas Med slankhetstalet vi definierat tidigt som 3,9 48,3 0,28 12 12 20 n A 800 10 0,51 0,28 0,28 20 10 1 1 0,76 1 0,2 φ 1 0,2 1,6 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,76 1,1 0,7 λ 16,4 0,51 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 17
λ 48,3 λ 16,4 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M 1,5 M. 1,5 8 12 knm Använd iteraktionsdiagrammet. n 800 10 0,51 0,28 0,28 20 10 M 12 10 b f 0,28 0,28 0,03 20 10 Välj minimiarmering d.v.s. A 0,0002 0,002 0,28 0,28 156,8 10 Välj 2ϕ 12 på varje sida 4ϕ 12 452 10 Kontrollera tvärsnitt β M 1 N 1 N M. EIK E I K E I 452 10 0,0058 0,002 0,28 0,28 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 18
k k n λ 170 k 1,22 0,15 1 1,6 II A a 1,22 48,3 0,51 0,15 0,2 ok 170 0,07 a d h 2 EI 0,07 27,5 10 0,28. 0,28 12 10,88 MNm 1 200 10 452 10 0,246 0,28 2 N π 10,88 3,9 7,06 MN 1 M 1 8 1,13 8 9 knm 7,06 0,8 1 Enligt interaktionsdiagrammet n 800 10 0,51 0,28 0,28 20 10 M 9 10 b f 0,28 0,28 0,02 20 10 Välj minimiarmering d.v.s. A 0,0002 0,002 0,28 0,28 156,8 10 Välj 2ϕ 12 på varje sida 4ϕ 12 452 10 Svar: 2 2ϕ12 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 19
ÖVNING 33 Beräkna erfordelig armering av ϕ25, B500B till en pelare i figuren nedan. Knäcklängd l 0 =0,77l om den ska utformas med tvärsnitt 400x400 mm. Pelaren är belägen inomhus i uppvärmd lokal. Den ska uppbära den dimensionerande centriska normalkraften N Ed = 580 kn(inkl. egentyngd) och en jämnt utbredd last med dimensioneringsvärde q d =30kN/m. Betong C30/37, φ ef = 2,7, Ø by = 8 mm. Påverkan av imperfektionen och felaktig lastställning behöver ej medräknas. Kontroll skall göras om andra ordningens effekter behöver medräknas. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong 30/37 f f 30 20 MPa γ 1,5 E E 33 27,5GPa γ 1,2 Armering f f 500 435 MPa γ 1,15 ε f 435 10 2,17. 10 E 200 10 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 20
2,1 Effektiv höjd d=h c min Δc dur ϕ/2=400 25 10 12,5=352,5 mm. d = c min +Δc dur +ϕ/2=25+10+12,5=47,5 mm. Imperfektionen för pelare l 0,77 l 0,77 7 5,4m e 5,4 0,0135 m 400 400 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner.. 8 30 7 8 580 0,0135 191,6 knm Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λλ Med slankhetstalet vi definierat tidigt som och 20 där n A 580 10 0,18 0,4 0,4 20 10 1 1 0,65 1 0,2 φ 1 0,2 2,7 B 12ω 1,1 (okänd) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 21
20 0,65 1,1 0,7 λ 23,6 0,18 5,4 46,8 0,4 12 12 λ 46,8 λ 23,6 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 M 1,5 M, 1,5 191,6 287,4 knm Använd iteraktionsdiagrammet. n 580 10 0,18 0,4 0,4 20 10 M 287,4 10 b f 0,4 0,4 0,225 20 10, A ω b.h f 20 10 0,39 0,4 0,4 f 435 10 2869 10 m Välj 3ϕ 25 på varje sida 6ϕ 25 2945 10 Kontrollera tvärsnitt β M 1 N 1 N M, där EI nominella styvheten enligt nedan EIK E I K E I 2945 10 0,4 0,4 0,019 0,01 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 22
ö, får följande faktorer användas 0 k 0,3 0,3 0,128 1 0,5φ 1 0,5 2,7 EI 0,128 20 10 0,4. 0,4 12 5,46 MNm N π EI l π 5,46 5,4 1,85 MN β π π 1,03 c 9,6 β M 1 M N, 1 1,03 191,6 1,47 191,6 281,7kNm 1,85 1 N 0,58 1 Enligt interaktionsdiagrammet n 580 10 0,18 0,4 0,4 20 10 M 281,7 10 b h f 0,4 0,4 0,22 20 10, A ω b h f 20 10 0,38 0,4 0,4 f 435 10 2795 10 m ä 325 på var sida med 2945 Svar: 33 ϕ25 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 23
ÖVNING 34 Beräkna erfordelig armering av ϕ16, B500B till en pelare i figuren nedan. Knäcklängd l 0 =0,7l om den utformas med tvärsnitt 400x450 mm. Pelaren ska uppbära den dimensionerande centriska normalkraften N Ed = 450 kn(inkl. egentyngd), och ett dimensionerande böjmoment M Ed =120 kn (förste ordningens moment p.g.a. lasten q d ). Betong C35/45, φ ef = 2,2, Ø by = 8 mm, d = 50 mm. Påverkan av imperfektionen och felaktig lastställning behöver ej medräknas. Kontroll skall göras om andra ordningens effekter behöver medräknas LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong / f f 35 23,3 MPa γ 1,5 E E 34 28,3GPa γ 1,2 Armering f f 500 435 MPa γ 1,15 ε f 435 10 2,18. 10 E 200 10 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 24
l 0,7 6,5 4,55 m Imperfektionen för pelare e l 4,55 0,0114 m 400 400 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner 120 450 0,0114 125,13kNm Kontroll om andras ordningens effekter skall beaktas λλ 20 n A 450 10 0,11 0,40 0,45 23,3 10 1 1 0,7 1 0,2 φ 1 0,2 2,2 B 12ω 1,1 (okänd) ω f A f A C 1,7 r 0,7 (okänd) 20 0,7 1,1 0,7 λ 32,5 0,11 12 4,55 35 0,45 12 λ35λ 32,5 Andra ordningens effekt skall beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 25
M 1,5 M. 1,5 125,13 188 knm Använd iteraktionsdiagrammet. N 450 10 0,11 b h f 0,40 0,45 23,3 10 M 188 10 b f 0,40 0,45 0,1 23,3 10, A ω b h f 23,3 10 0,12 0,40 0,45 f 435 10 1157 10 m Välj 3ϕ 16 på varje sida 6ϕ 16 1206 10 Kontrollera tvärsnitt β M 1 N 1 N M, EIK E I K E I 1206 10 0,40 0,45 0,0067 0,002 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ k 1,32 k n λ 170 0,11 35 0,023 0,2 ok 170 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 26
k 1,32 0,023 1 2,2 II A a 0,01 a d h 2 EIK E I K E I EI 0,01 28,3 10 0,40. 0,45 12 8,25 MNm 1 200 10 1206 10 0,4 0,45 2 N π 8,25 4,55 3,93 MN 1 M, 1 125,13 1,13 125,13 141,4 knm 3,93 0,45 1 Enligt interaktionsdiagrammet N 450 10 0,11 b h f 0,40 0,45 23,3 10 M 141,4 10 b h f 0,40 0,45 0,075 23,3. 10, A ω b h f 23,3 10 0,07 0,40 0,45 f 435 10 675 10 m ä 216 på var sida med 402 Svar: 2 2ϕ16 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 27
ÖVNING 35 Beräkna erfordelig armering av ϕ20, B500B till en pelare i figuren nedan. Knäcklängd l 0 = 0,77l om den utformas med tvärsnitt 300x350 mm. Pelaren, som är belägen inomhus i uppvärmd lokal.den ska uppbära den dimensionerande centriska normalkraften N Ed =2200 kn(inkl. egentyngd). Pelaren är stagad i veka riktningen. Betong C35/45, φ eff = 1,4. Ø by = 8 mm, d=316 mm, t=34 mm. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong / f f 35 23,3 MPa γ 1,5 E E 34 28,3 GPa γ 1,2 Armering f f 500 435 MPa γ 1,15 ε f 435 10 2,17 10 E 200 10 1,4 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 28
l 0,77 5 3,9 m Imperfektionen för pelare e l 3900 0,01 m 400 400 1:a ordningens moment med hänsyn till imperfektioner.. 0 2200 0,01 22 knm Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λλ 20 n A 2200 10 0,9 0,30 0,35 23,3 10 1 1 0,78 1 0,2 φ 1 0,2 1,4 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,78 1,1 0,7 λ 12,7 0,9 3,9 38,5 0,35 12 12 λ 38,5 λ 12,7 Andra ordningens effekt ska beaktas Här provar vi med att gissa att andra ordningens effekter förstorar momentet med en faktor 1,5 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 29
M 1,5 M. 1,5 22 33 knm Använd interaktionsdiagrammet. n 2200 10 0,9 0,30 0,35 23,3 10 M 33 10 b f 0,30 0,35 0,04 23,3 10, A A ω b h f 23,3 10 0,025 0,30 0,35 f 435 10 141 10 m 0,002 0,3 0,35 210 10 Välj 2ϕ 20 på varje sida 4ϕ 20 1257 10 Kontrollera tvärsnitt β M 1 N 1 N N π EI l M. EIK E I K E I 1257 10 0,30 0,35 0,012 0,002 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ k k n λ 170 1,32 38,5 0,9 0,20 ok! 170 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 30
k 1,32 0,2 0,11 1 1,4 II A a a d h 2 EI 0,11 28,3 10 0,30 0,35 12 8,3 MNm 1 200 10 1257 10 0,316 0,35 2 π 8,3 3,9 5,4 MN β M 1 M N. 1 1 22 1,69 22 37,2 knm 5,4 1 N 2,2 1 Enligt interaktionsdiagrammet n 2200 10 0,9 0,30 0,35 23,3 10 M 37,2 10 b f 0,30 0,35 0,043 23,3 10, A A ω b h f 23,3 10 0,025 0,30 0,35 f 435 10 141 10 m 0,002 0,3 0,35 210 10 Välj 2ϕ 20 på varje sida 4ϕ 20 1257 10 Svar: 2 2ϕ20 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 31
ÖVNING 36 Hur stor får avsiktliga excentriciteten högst vara för en pelare med längden l=6m som kan anses vara fast inspänd i botten och fri i toppen. Pelaren ska utformas med tvärsnitt 450x450 mm 2, armerad med 6 stycken ϕ20 längs varje kant om den ska uppta den dimensionerande normalkraften 950 kn Betong C30/37, armering B500B, φ ef = 2,6. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C30/37 20 33 27,5 1,2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 32
Armering, Skall Andra ordningens moment beaktas? λλ 20 n A 950 10 0,235 0,45 0,45 20 10 1 1 0,66 1 0,2 φ 1 0,2 2,6 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,66 1,1 0,7 λ 21 0,235 12 92,38 0,45 12 12 λ 92,38 λ 21 Andra ordningens effekt ska beaktas, Initiallutning 12000 30 400 400, 9500,03 28,5 950 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 33
Andra ordningens moment EIK E I K E I 2 3 314 10 0,45 0,45 0,093 0,002 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ k k n λ 170 k 1,23 0,128 1 2,6 II A a 0,235 92,38 170 0,044 1,23 0,128 0,2 ok a d h 2 EI 0,044 27,5 10 0,45 0,45 12 15,67 MNm 1 200 10 6 314 10 0,4 0,45 2 π 15,67 12 1,07 MN β π π 1,23 c 8 β M 1 M N. 1 1,23 28,5 950 1,07 1 N 0,95 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 34
M 10,74 28,5 950 306,1 10203 knm Momentkapacitet Antag att all armering flyter ; F N f b 0,8x N x N f 0,8 b 950 10 0,8 20 10 0,132 m 0,45 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,40 0,132 3,5 10 7,11 10 ε 0,132 2,17 ok! 0,132 0,05 3,5 10 2,17 10 ε 0,132 2,17 ok! M f b 0,8xd 0,4x f A dd` N d h/2 M 20 10 0,45 0,8 0,1320,4 0,4 0,132 435 10 3 314 10 0,4 0,05 950 10 0,4 0,45 307,15 knm 2 Dimensioneringsvillkor 307,15 306,1 10203 1,027 10 Svar: Största tillåtna lastexcentriteten (inkluderar ev. oavsiktlig excentricitet) e = 0,1 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 35
ÖVNING 37 Figuren nedan visar en betongpelare med dimension 300 500mm, belastad med en centriskt placerad normalkraft N Ed =650 kn och en horisontell last H. Hur stor kan den horisontella lasten H vara utan att pelarens bärförmåga överskrids? Pelaren är armerad med 3 16 B500B i vardera sidan. Pelaren antas avstyvad i veka riktningen. Pelaren kan antas vara ledad infäst i båda ändar. Vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Betong C25/30, effektivt kryptal φ 1,8. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong / f f 25 16,7 MPa γ 1,5 E E 31 25,8 GPa γ 1,2 Armering f f 500 435 MPa γ 1,15 ε f 435 10 2,17 10 E 200 10 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 36
φ 1,8 Imperfektionen för pelare l l6m e l 6000 15 mm 400 400 Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λλ med slankhetstalet vi tidigare definierade som λ l i och λ 20 A B C n n A N 650 10 0,26 A f 0,3 0,5 16,7 10 1 1 0,74 1 0,2 φ 1 0,2 1,8 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,74 1,1 0,7 λ 22,35 0,26 λ l i l 6 59,4 h 0,35 12 12 λ 59,4 λ 22,35 Andra ordningens effekt ska beaktas M. M N e FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 37
M, P ab l N e P 1,5 4,5 650 0,015 6 1,125P 9,75 knm Andra ordningens moment N π EI l EIK E I K E I ρ 2 3 201 10 0,3 0,5 0,008 0,002 ö, får följande faktorer användas 1 k k k 1φ k f MPa 20 k n λ 170 k 1,11 0,09 1 1,8 II A a 25MPa 20 1,11 59,4 0,26 0,09 0,2 ok 170 0,036 a d h 2 EI 0,036 25,8 10 0,3 0,5 1 200 10 6 201 10 0,455 0,5 12 2 13,04 MNm N π EI l π 13,04 6 3,58MN FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 38
β 1 M 1 M N, 1 3,125q 3,58 72,5 1 N 0,65 1 M 1,22 1,125P 9,75 1,37P 11,9kNm Momentkapacitet Antag att all armering flyter x N 0,8 f b 650 10 0,8 16,7 10 0,16 m 0,3 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,455 0,16 3,5 10 6,45 10 ε 0,16 2,17 ok! 0,16 0,045 3,5 10 2,52 10 ε 0,16 2,17 ok! M f b 0,8xd 0,4x f A dd` N d h/2 M 16,7 10 0,3 0,8 0,160,455 0,4 0,16 435 10 3 201 10 0,455 0,045 650 10 0,455 0,5 225kNm 2 Dimensioneringsvillkor M M 225 1,37P 11,9 Svar: 155,5 kn FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 39
ÖVNING 38 Pelaren i figuren är i brottgränstillståndet belastad med en centriskt placerad normalkraft N Ed =580 kn och en jämnt utbredd sidolast q d. Hur stor kan den sidolasten q d vara utan att pelarens bärförmåga överskrids? Armeringen utgörs av 4 20 B500B i vardera sidan. Pelaren kan antas vara ledat infäst i båda ändar (pendelpelare).vid beräkningen skall andra ordningens effekter beaktas. Betong C20/25, effektivt kryptal φ 1,4. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper Betong C35/45 f f 20 13,3 MPa γ 1,5 E E 34 28,3 GPa γ 1,2 Armering f f 500 435 MPa γ 1,15 ε f 435 10 2,17 10 E 200 10 φ 1,4 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 40
Imperfektionen för pelare l l5m e l 5000 12,5 mm 400 400 Kontroll av om andras ordningens effekter ska beaktas λλ med slankhetstalet vi tidigare definierade som λ l i λ 20 A B C n n A N 580 10 0,356 A f 0,35 0,35 13,3 10 1 1 0,78 1 0,2 φ 1 0,2 1,4 B 12ω 1,1 C 1,7 r 0,7 (okänd) (okänd) 20 0,78 1,1 0,7 λ 20,13 0,356 λ l i l 5 49,5 h 0,35 12 12 λ 49,5 λ 20,13 Andra ordningens effekt ska beaktas M. M N e M. q l 8 N e q 5 8 580 0,0125 3,125q 72,5 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 41
Andra ordningens moment N π EI l EIK E I K E I ρ 2 2 314 10 0,0103 0,01 0,35 0,35 ö, får följande faktorer användas K 0 k 0,3 1 0,5φ 0,3 0,177 1 0,5 1,4 EI 0,177 28,3 10 0,35 0,35 12 6,26 MNm N π EI l π 6,26 5 2,47MN β 1 M 1 M N, 1 3,125q 2,47 72,5 1 N 0,58 1 M 1,31 3,125q 72,5 4,1q 95kNm Momentkapacitet Antag att all armering flyter F F F N ; men F F F N f b 0,8x N x N 0,8 f b 580 10 0,8 13,3 10 0,16 m 0,35 Kontroll av och : ε dx ε x ε xd ε x 0,30 0,16 3,5 10 3,06 10 ε 0,16 2,17 ok! 0,16 0,05 3,5 10 2,4 10 ε 0,16 2,17 ok! FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 42
M f b 0,8xd 0,4x f A dd` N d h/2 M 13,3 10 0,35 0,8 0,160,30 0,4 0,16 435 10 2 314 10 0,30 0,05 580 10 0,30 0,35 136,4 knm 2 Dimensioneringsvillkor M M 136,4 4,1q 95 q 10,1kN/m Svar: 10,1 kn/m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 43
Brukgränstillstånd ÖVNING 39 Kontrollera om nedböjning för kvasi permanent lastkombination för balken i figur nedan klarar gränsvärdet L/250. q d,kv = 29 kn/m. Förenklad beräkning av nedböjningen för fritt upplagda balkar kan göras genom kombination av nedböjning i osprucket resp. fullt uppsprucket tvärsnitt med nyttig last. Betong C25/30, armering B500B (4 Ø 16), d = 465 mm, effektivt kryptal = 2,5. LÖSNING Material egenskaper Betong C25/30 f ctm =2,6 Mpa E c =31 Gpa Armering E s =200Gpa Bestäm böjstyvheten i osprucket stadium I Kvasi permanent lastkombination EI E, bh 12 E, E 1φ, 8,88 10 0,30 0,50 12 31 8,88 GPa 12,5 27,7 MNm Bestäm böjstyvheten i sprucket stadiumii Kvasi permanent lastkombination FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 44
Läget på neutrallagret ges av EI 0,5 b d ξ E, 1 ξ 3 ξα ρ1 2 α ρ 1 α E 200 22,5 E, 8,88 Armeringsandelenρ A A 4 201 10 0,0058 0,02 ok! A bd 0,300 0,465 ξα ρ1 2 α ρ 1 22,5 0,0058 1 2 1 0,401 22,5 0,0058 EI 0,5 0,30 0,465 0,401 8,88 10 1 0,401 18,7MNm 3 Nedböjning för fritt upplagad balk v 5 q l 384 EI Vi kontrollera om balken dimensionerad klarar i brukgränsdimensioneringen. Bestäm nedböjningen för båda lasterna med hjälp av ξ 1β M M y ξv 1ξv Kvasi permanent lastkombination y 5 q l 5 29 10 5,4 384 EI 384 27,7 10 11,6. 10 m y 5 q l 384EI 5 29 10 5,6 384 18,7 10 19,9. 10 m ξ 1β M M M f I z β=0,5 vid långtidslast 2,6. 0,30 10 0,50 12 32,5 knm 0,50 2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 45
M, q, l 8 29 10 5,4 8 ξ 1 0,5 32,5 105,7 0,999 105,7kNm y 0,999 19,9 10 1 0,999 11,6 10 19,9 Svar: y 9,9 mm 21,6 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 46
ÖVNING 40 En fritt upplagd balk med spännvid 8,0 m, placerad inomhus (effektivt kryptal = 3) och är belastad med jämnt utbredd last och ska utformas med tvärsnitt enligt figuren nedan. Undersök balken i brukgränstillstånd. Balken är gjord av av betong C25/30, armering B500B, säkerhetsklass 2 max tillåtna nedböjning i brukgränstillstånd är v max =L/500. a) Beräkna högsta tillåtna utbredd last q d,i för stadium I, sprickfri betongbalk. b) Beräkna högsta tillåtna utbredd last qd,ii för stadium II, betong elastisk i tryckzon. LÖSNING Material egenskaper Betong C25/30 f ctm =2,6 Mpa E c =31 Gpa Armering E s =200Gpa Bestämning av maximalt tillåtna utbredd last i osprucket stadium I EI E, bh 12 E, E 1φ, 7,75 10 0,25 0,45 12 31 7,75 Gpa 13 14,7 MNm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 47
Nedböjning för fritt upplagad balk y 500 y 5 q l 384 EI 8 500 q 8 384 14,7 10 5 8 500 4,41 kn/m Bestämning av maximalt tillåtna utbredd last i sprucket stadiumii EI 0,5 b d ξ E, 1 ξ 3 ξα ρ1 2 α ρ 1 α E 200 25,8 E, 7,75 Armeringsandelenρ A A 4 201 10 0,0078 0,02 ok! A bd 0,25 0,415 ξα ρ1 2 α ρ 1 25,8 0,0078 1 2 1 0,464 25,8 0,0078 EI 0,5 0,25 0,415 0,464 7,75 10 1 0,464 12,6 MNm 3 Nedböjning för fritt upplagad balk y 500 y 5 q l 384 EI 8 500 q 8 384 12,6 10 5 8 500 3,78 kn/m Svar: a) q 4,41 kn/m b) q 3,78 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 48
ÖVNING 41 Beräkna konsollängdens nedböjning för balken i figuren. Konsolen är belastad av punktlast P d =120 kn (korttidslast). Betong C20/25, armering B500B. Inverkan av dragen betong mellan sprickorna får försummas. LÖSNING Dimensionerande materialegenskaper i brukgränstillstånd Betong C20/25 E 30 GPa 2,2 MPa Armering E 200 GPa korttidslast E E 200 30 6,66 Tyngdpunktsavståndet från underarmeringslagret blir 45 45 45 90 c 4 452 90 6 60 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 49
Effektiva höjden blir 600 60 540 Bestäm böjstyvheten i osprucket stadium I E 12 30 10 0,35 0,60 12 Bestäm böjstyvheten i sprucket stadium II Läget på neutrallagret ges av 189 EI 0,5 b d ξ E 1 ξ 3 ξα ρ1 2 α ρ 1 α E 200 6,66 E 30 4 491 10 0,01 0,02 ok! 0,35 0,54 ξα ρ1 2 α ρ 1 6,66 0,01 1 2 1 0,3 6,66 0,01 0,5 0,35 0,54 0,3 30 10 1 0,3 66,7 3 Bestäm nedböjningen för båda lasterna med hjälp av 1 1 MP L 120 4,2 504 x 2 1 1 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 50
x 0,35 0,6 0,6 2 6,66 1 4 491 10 0,54 0,35 0,6 6,66 1 4 491 10 0,312 Ideella tröghetsmomentet blir då: 12 x 2 x 0,35 0,6 12 0,35 0,6 0,312 0,6 2 6,66 1 4 491 10 0,54 0,312 6,9 10 β = 1 vid korttidslast 2,2 10 6,9 10 0,312 1 1,0 48,65 504 0,99 0,12 4,2 3 3 66,7 44,4 10 0,12 4,2 3 3 189 15,68 10 48,65 1 0,99 44,4 10 1 0,99 15,68 10 44,1 Svar: 44,1, y 16,8 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 51
ÖVNING 42 Beräkna största drag och tryckspänning hos betongen, samt dragspänning hos armeringen i stadium I om balken påverkas av ett moment M med vanligt värde 80 knm. Armering 5+216 B500B, betong C30/7, b 350 mm, h 600 mm, effektivt kryptal 2,3. Exponeringsklass XC4; vct e = 0,50; L100. LÖSNING Material egenskaper Armering 7 16 1257 200 Betong 33, 1. 200 10 20 Täckande betongskikt 33 10 10 12,3 C=40 mm 40 16 2 48 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 52
40 16 37 16/2 101 c 5 48 2 101 7 63 mm 600 63 537 Vid referenslinje I 0,5 1 1 350 600 300 20 1 1407 537 350 600 20 1 1407 12 x 2 1 x 0,35 0,6 12 326 0,33 0,35 0,6 0,33 0,3 19 1407 10 0,537 0,33 0,0076 Momentet ger följande maxpåkänningar Största betongtryckpåkänningen (i överkant),ö 80 10 0,33 3,47 0,0076 Största betongdragpåkänningen (i underkant), Största dragarmeringspåkänningen 80 10 0,600 0,33 2,84 0,0076 80 10 20 0,537 0,33 43,6 0,0076 Svar:,ö 3,47,, 2,84, 43,6 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 53
Betongplattor ÖVNING 43 Bestäm erforderlig armering för plattora D i figuren nedan. Egentyngden är 3,5 kn/m 2 och nyttig last väljs för bjälklag i hotell (3,0 kn/m 2, Ψ o = 0,7). Väggarnas tjocklek är 180 mm. Säkerhetsklass 3. Plattans tjocklek:180 mm, täckskikt 20 mm, armering B500B, 8 i underkant och 10 i överkant, betongkvalitet C16/20 LÖSNING Dimensionerande lastvärde i brottgränstillståndet Egentyngden G 3,5 kn/ Nyttig last hotell Q 3,0 kn/ ψ 0,7,γ1 Väggarnas tjocklek =180 mm Säkerhetsklass 3 1,0 q 1,35γ G 1,5γ ψ, Q, 1,5γ ψ, Q, q 1,35 1 3,5 1,5 1 0,7 3,0 7,875kN/ q 0,89 1,35γ G 1,5γ Q, 1,5γ ψ, Q, q 0,89 1,35 1 3,5 1,5 1 3,0 8,71kN/ FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 54
Välj q 8,71 kn/ Effektiva höjderna vid stöd och fält är följande 10 2 180 20 5 155 8 8 2 180 20 8 4 148 8 2 Platta A 180 20 4 156 6000 8000 180 180 13640 7000 90 6910 6910 13640 0,52 8,705 13,64 1620 / Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm.,,, 72,9 0,9 0,9 0,155 435 1201 / 38,9 0,9 0,9 0,148 435 671 / 35,2 0,9 0,9 0,156 435 576 / FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 55
Platta B 6000 180 90 5730 11500 180 90 11230 11230 1,96 2 5730 8,705 5,73 286 / Interpolering Elementfall 4 för 1,96 470 1,96 1,9 163 176 163 168,2 2 1,9 887 924 887 0,6 909,2 549 556 549 0,6 553,2 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm.,,,, Platta C 13,44 0,9 0,9 0,155 435 222 / 26 0,9 0,9 0,155 435 429 / 4,8 0,9 0,9 0,148 435 83 / 15,8 0,9 0,9 0,156 435 259 / 5090 180 180 4730 8000 180 90 7730 7730 1,63 2 4730 8,705 4,73 195 / FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 56
Interpolering Elementfall 4 för 1,63 470 1,63 1,6 216 203 216 212 1,7 1,6 770 812 770 0,3 782,6 510 525 510 0,3 514,5 Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm.,,,, Platta D 9,17 0,9 0,9 0,155 435 151 / 15,3 0,9 0,9 0,155 435 252 / 4,13 0,9 0,9 0,148 435 71,3 / 10 0,9 0,9 0,156 435 164 / 6500 90 90 6320 8000 180 90 7730 7730 1,22 2 6320 8,705 6,32 348 / Interpolering Elementfall 8 för 1,22 1,22 1,2 432 442 432 434 1,3 1,2 210 196 210 0,2 207,2 450 513 450 0,2 466,2 289 328 289 0,2 297 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 57
Armeringsmängd Lösning som baseras på 0,9d som hävarm.,,,, 15,1 0,9 0,9 0,155 435 249 / 16,2 0,9 0,9 0,155 435 267 / 7,2 0,9 0,9 0,148 435 124 / 10,34 0,9 0,9 0,156 435 169 / Platta / A 0,5 B 1,96 C 1,63 D 1,22 Riktning Momentendex Elementfall / Delmoment / m Armering / s (A B) 450 72,9 155 1201 a f 11 1620 240 38,9 148 671 b f 217 35,2 156 576 s (B C,D) 470 13,44 155 222 a f 168 4,8 148 83 4 286 s (B A) 909 26 155 429 b f 553 15,8 156 259 s (C D) 470 9,17 155 151 a f 212 4,13 148 71,3 4 195 s (C B) 782,6 15,3 155 252 b f 514,5 10 156 164 s (D C) 434 15,1 155 249 a f 207,2 7,2 148 124 8 348 s (D B) 466,2 16,2 155 267 b f 297 10,34 156 169 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 58
ÖVNING 44 Beräkna stöd och fältmoment i brottgränstillstånd för plattorna A,B,C i figuren nedan. Betongplattorna ska utföras i betong C30/37 och armeras med B500B. Plattorna är 180 mm tjocka. Förutom av sin egentyngd påverkas bjälklaget av 2,1 kn/m 2 från mellanväggar och övergolv samt av nyttig last för rum i museum. Säkerhetsklass 3.beräkna erfordelig armering Φ8 i fält och Φ10 överstöd. Täckande betongskikt 20 mm. Redovisa resultaten med hjälp av figur Lastkombinationer Egentyngd G k = 2,1 + 0,18 X 25 =6,6 kn/m 2 Nyttig last Q k = 3,0 kn/m 2 Ψ 0 = 0,7 Säkerhetsklass 3 γ d = 1,0 q 1,35 1,0 6,6 1,5 1,0 0,7 3,0 12,06 / eller q 0,89 1,35 1,0 6,6 1,5 1,0 3,0 12,43 kn/m Välj q 12,43kN/m Platta A(fyrsidig upplagd platta) 11000 4500 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 59
11 2,44 2 Långsträckt platta dela upp plattan i tre delplattor 4,5 2 2 12,43 4,5 2 251,7 / Platta B (tresidig upplagd platta) 11150 4500 11,15 2,47 4,5 qb q b 12,43 4,5 251,7 knm/m Platta C (tresidig upplagd platta) 5000 4500 5 1,1 4,5 qb q b 12,43 4,5 251,7 knm/m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 60
Platta / Riktning Moment endex Elementfall / Delmoment / A(I`) 2 A(II`) A(III`) 2 B(I`) 2 B(II`) C 1,1 a b b a b a b b a b f 163 4,1 s (A B) 2 251,7 1000 25,2 f 669 16,8 s (A B) 1250 31,5 2 251,7 f 704 17,72 f 163 4,1 s (A B) 2 251,7 1000 25,2 f 669 16,8 f 90 2,27 s(b A,B C) 13 251,7 730 18,4 f 398 10 s(b A,B C) 1250 31,5 2 251,7 f 704 17,72 s (C D,C B) 307 7,7 f 98 2,5 15 251,7 s (C E) 522 13,13 f 290 7,3 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 61