LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning från gymnasiet och tidigare kurser. Linjära ekvationer med tre obekanta x, y och z kan tolkas som ekvationer för plan i rummet. Att söka lösningar till ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta kan därför tolkas som att vi söker gemensamma punkter till planen. Facktermer och definitioner: konsistent - consistent - motsägelsefritt (här: lösbart ekvationssystem) inkonsistent - inconsistent - icke motsägelsefritt (här: icke lösbart ekvationssystem) utökad matris - augmented matrix - (för ett ekvationssystem) De tre elementära radoperationerna (se sid. 7 och exempel 6) används i nästan varje uppgift i hela kursen. Lämpliga uppgifter: 1, 3a, 3b, 5, 9, 11ab, 13b. 1.2 Gausselimination. Här löses ekvationssystem enligt Gauss-metoden. Det innebär att man reducerar det linjära systemets utökade matris till reducerad trappstegsform (reduced row-echelon form), se sid. 11. Läs exempel 1, 2, 3, 4 och 5 noga. Facktermer och definitioner: parameter homogent ekvationssystem trivial lösning icke trivial lösning. Lämpliga uppgifter: 3, 5, 7, 13, 17, 21, 25, 27 1.3 Matriser och matrisoperationer. Facktermer och definitioner: rad row kolonn column skalär scalar vanligt reellt (eller komplext) tal den transponerade matrisen A = A T the transpose of A = A T. matrismultiplikation AB, A och B matriser multiplikation med skalär, λa, där λ är ett tal och A en matris. Läs exempel 5, 7, 10 och 11. Lämpliga uppgifter: 1a, 1b, 3a-i, 5a-e, 11, 17, 25*, 27*. 1

2 JONAS WIKLUND 1.4 Regler för matrisräkning. De formella reglerna för matrisräkning finns på sid. 38 i Sats 1.4.1. Det är också viktigt att notera att ett par räknelagar som gäller för reella tal inte gäller för matriser. (1) För två matriser A och B gäller i allmänhet att AB BA. (Viktig övning: Välj en matris A och hitta en matris B så att AB BA och en matris C så att AC = CA.) (2) Även om AB = 0 (nollmatrisen), så kan både A 0 eller B 0. (Viktig övning: Finn två matriser A, och B så att A 0 och B 0 men AB = 0.) Facktermer och definitioner: nollmatrisen - the zero matrix enhetsmatrisen (identitetsmatrisen) - the identity matrix invers inverterbar matris Viktiga satser att lära sig: 1.4.4 (med bevis), 1.4.5 (utan bevis), 1.4.6 (med bevis), 1.4.7 (utan bevis), 1.4.9 (utan bevis). Lämpliga uppgifter: 4, 5, 11, 12, 19, 39. 1.5 Elementära matriser och en metod att hitta matrisinversen A 1. Här skall du kunna begreppet elementär matris och satserna 1.5.2 och 1.5.3 med bevis av a = b. Sats 1.5.3 är en av bokens huvudsatser. Dessutom skall du lära dig att avgöra om en matris är inverterbar och ta fram inversen. Läs exempel 4 och 5 innan du gör övningsuppgifterna. Ta fram manualen till din miniräknare och lös uppgift 21 och 22 med hjälp av den! Viktiga satser att lära sig: 1.5.2, 1.5,3. Lämpliga uppgifter: 1, 5, 9, 11, 17, 21, 27. 1.6 Ekvationssystem och inverterbarhet. Sats 1.6.1 diskuterades i kapitel 1.1. Här formuleras och bevisas resultatet. Beviset ingår bland de saker ni skall kunna innan avklarad kurs. Därefter behandlas ekvationssystem med lika många ekvationer som obekanta. Studera satserna 1.6.1 och 1.6.2 och exempel och sammanfattningen i Sats 1.6.4. Läs också exempel 3 och 4. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 9, 15, 19. 1.7. Diagonalmatriser och symmetriska matriser. Facktermer och definitioner: diagonalmatris triangulär matris symmetrisk matris Läs exempel 1. Lämpliga uppgifter: 5, 11, 17, 19, 21, 35.

LINJÄR ALGEBRA HT2013 3 2. DETERMINANTER 2.1 Utveckling i underdeterminanter. Facktermer och definitioner: Underdeterminanten M ij minor of entry a ij Kofaktor C ij = ( 1) i+j M ij cofactor of entry a ij. Du skall kunna tillämpa sats 2.1.1 och 2.1.2 vid determinantberäkning. Studera exempel 3, 4 och 7. Lämpliga uppgifter: 3, 9, 13, 19ab, 25, 27, 29, 33. 2.2 Beräkning av determinanter genom radreduktion. I detta avsnitt skall du lägga på minnet: (1) det(a) = 0 om en rad består av enbart nollor, dvs om A innehåller en rad med bara nollor, sats 2.2.1. (2) Räknereglerna för determinanter, se satserna 2.2.2-2.2.5. Exempel 3-6 hör till satserna som du har stor användning av vid problemlösning. Exempel 4 visar hur man radreducerar och beräknar en determinant. Exempel 5 visar hur man beräknar en determinant genom att använda räknelagar för raderna (eller kolonnerna). Lämpliga uppgifter: 1, 9, 11, 13, 15, 29*, 35*. 2.3 Egenskaper; Cramers regel. Facktermer och definitioner: adjungerad matris Här bör du kunna lydelsen av sats 2.3.3 och 2.3.4. Läs också igenom exempel 4. Sats 2.3.5 ingår med bevis. Läs exempel 6. Ekvationssystem kan lösas med Cramers regel, du bör kunna använda Cramers regel, Sats 2.3.7. Här studerar vi inte beviset! Vi observerar att det(a), determinanten för ekvationssystemets koefficientmatris, finns i nämnaren till alla x n. Här ser vi alltså att det(a) 0 ekvationssystemetax = b har entydig lösning (jfr Sats 2.3.6). En god sammanfattning finns i Sats 2.3.8. Lämpliga uppgifter: 5, 9, 11, 19, 31, 35. 3. EUKLIDISKA VEKTORRUM Detta kapitel innehåller vektorer, koordinater, vektorräkning, längd- och normbegrepp, skalär- och vektorprodukt, räta linjer och plan, m.m. Här utvidgas också begreppen från R 2 och R 3 till den n-dimensionella Euklidiska rymden. Kapitlet innehåller en hel del stoff att ge tentamensproblem på! 3.1 Introduktion till vektorer. Läs igenom hela detta avsnitt! Vektorer har du tidigare träffat på i fysikstudierna och som koordinater i planet. Studera alla 14 figurerna i 3.1 och rita själv! Lär dig formlerna i satserna 3.1.1 och 3.1.2 medan du räknar övningsuppgifterna. Du skall kunna bevisa formel (b), s. 126. Lämpliga uppgifter: 1, 2, 5, 7, 9, 15, 19, 21, 25, 31.

4 JONAS WIKLUND 3.2 Norm, skalärprodukt och avstånd. Facktermer och definitioner: normen för en vektor i R n skalärprodukt (euklidisk inre produkt) dot product vinkeln mellan två vektorer Sats 3.2.1 är viktig för vektorer och skalärer. Normen för en vektor och avståndsformeln i R n är viktiga. Definitionen av skalärprodukt (Euklidisk inre produkt) är mycket viktig. Formlerna i de tre rutorna på sid. 133-135 måste du kunna, så att du klarar att använda dem vid problemlösning. Räknereglerna för skalärprodukt står i Sats 3.2.2 och 3.2.3. Studera exempel 6. Lär dig Sats 3.2.4, den berömda Cauchy-Schwarz olikhet, i R n med bevis för n = 2 och 3. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 25, 33. 3.3 Ortogonalitet. Facktermer och definitioner: ortogonala (vinkelräta) vektorer punkt-normalform Du skall kunna härleda punkt-normalformen för en linje och ett plan, Sats 3.3.1. Här lär man sig alltså att skriva ekvationer för räta linjer i R 2 och plan i R 3 på punktnormalform samt att räkna ut det minsta (vinkelräta) avståndet mellan en punkt och en linje R 2 och en punkt och ett plan i R 3. Projektionssatsen 3.3.2 och Pythagoras sats i R n, Sats 3.3.2 är viktiga. Lämpliga uppgifter: 1a, 1b, 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 29, 33, 35, 37, 39. 3.4 Linjära system. Linjens ekvation på parameterform, Sats 3.4.1, skall man inte bara kunna, utan också kunna härleda! Räta linjen definieras på s. 153 och linjesegment på s. 156. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 9, 17, 21, 25 3.5 Vektorprodukt. Facktermer och definitioner: vektorprodukt (kryssprodukt cross product) u v för u och v i R 3 uttrycks enklast med determinantformeln, rutan sid. 164. Det är den du skall memorera. Enhetsvektorerna e 1 = i = (1, 0, 0), e 2 = j = (0, 1, 0) och e 3 = k = (0, 0, 1) (standard unit vectors). Studera figur 3.5.3 noga, den visar vad vektorn u v får för riktning. Arean av parallellogrammen i figur 3.5.4 är u v. Lägg det på minnet till analyskurserna! Satserna 3.5.4 och 3.5.5 skall du kunna lydelsen av. Lämpliga uppgifter: 1a, 1b, 3, 7, 13, 15, 17, 19, 21, 29, 35*. 4. ALLMÄNNA VEKTORRUM 4.1. Reella vektorrum. Facktermer och definitioner: vektorrum (space = rum, rymd) Läs exempel 1-7. Sats 4.1.1 ingår med bevis. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

LINJÄR ALGEBRA HT2013 5 4.2. Underrum. Facktermer och definitioner: underrum subspace linjärkombination (linjärt) hölje av vektorer (linear) span En delmängd W av ett vektorrum V kallas för ett underrum (subspace) till V om W själv är ett vektorrum under addition och multiplikation med skalär. Lär dig definitionerna och läs exemplen. Sats 4.2.3(a) ingår med bevis. På sid. 183 finns definitionen av linjärkombination. Läs exemplen! Vektorrum som spänns upp av {v 1, v 2,..., v r }, W = span{v 1, v 2,..., v r } kallas på svenska det linjära höljet av {v 1, v 2,..., v r }. En geometrisk illustration finns i exempel 12. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 7, 9ab, 11, 14, 15abce. 4.3. Linjärt oberoende. Facktermer och definitioner: linjärt oberoende linjärt beroende Wronskian Läs definitionen och exempel 1 5. Den geometriska tolkningen finns på sid. 195. Satserna 43.1, 4.3.2 och 4.3.3 ingår. I tillämpningar, som lösning av differentialekvationer, används Wronskianen, se def. 2, och sats 4.3.4. Lämpliga uppgifter: 3, 5, 7, 9, 17, 19, 21*. 4.4. Koordinater och baser. Facktermer och definitioner: bas till vektorrum koordinater med avseende på en bas Nu kan vi ge en exakt definition av begreppet dimension. Läs igenom inledningen, där man visar upp olika koordinatsystem i plan och rymd, rätvinkliga och sneda. Lär dig sats 4.4.1 (med bevis). Lämpliga uppgifter: 1a, 1b, 3, 7ab, 9, 13, 15, 17. 4.5. Dimension. Facktermer och definitioner: dimension Läs och begrunda kursens mest grundläggande resultat, Sats 4.5.1 och den därpå följande definitionen av dimension. Sats 4.5.2 används för att bevisa 4.5.1. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 7, 11, 15. 4.6. Basbyte. Facktermer och definitioner: överföringsmatris the transition matrix Basbytesproblemet i R 2 löses på s. 218. Lär dig metoden! Matrisen I BB = P B B kallas överföringsmatrisen (the transition matrix) från den nya basen till den gamla, dvs från B till B. Läs exemplen och satserna 4.6.1 och 4.6.2. Lämpliga uppgifter:1, 3, 5ab, 6, 7, 9, 11*.

6 JONAS WIKLUND 4.7. Radrum, kolonnrum och nollrum. Facktermer och definitioner: radrum row space kolonnrum column space nollrum null space Lär dig satserna 4.7.1-4.7.5. och 5.5.4. Sats 4.7.1 med bevis. Hur bestäms baserna för dessa rad-, kolonn-, och noll-rum? Lämpliga uppgifter: 3abe, 5, 7ad, 8ad, 9ad, 11ab. 4.8. Rang och nollrummets dimension. Facktermer och definitioner: nollrummets dimension nullity värderumment dimesion, rang rank. ortogonalt komplement Dimensionssatsen för matriser, sats 4.8.2 med bevis liksom sats 4.8.8. Sats 4.8.10 utgör en bra sammanfattning. Lämpliga uppgifter:1, 2abe, 3abe, 5, 7, 9, 13, 17*. 4.9. Matrisavbildningar från R n till R m. Facktermer och definitioner: En funktion w = f(x) är en regel som till varje element i en mängd X tilldelar ett och endast ett element i en mängd W. X ovan kallas definitionsmängden till f, the domain X of f. W kallas målmängden, eller kodomänen till f, the codomain W of f. Värdemängden f(x) dvs alla värden w i W som kan nås genom att avbilda ett lämpligt element x med f, the range f(x) of f. En transformation (också kallad avbildning) är en funktion där både definitionsmängd och målmängd är vektorrum. Exempel 1: Funktionen f(x) = x 2 är en avbildning från R till R, f : R R. Definitionsmängden är R, målmängden är R, men värdemängden är de positiva reella talen [0, ). Exempel 2: Funktionen ( ) 3 (x ) f(x, y) = 3x + 2y = y 2 är en avbildning från R 2 till R,f : R 2 R. Defintionsmängden är R 2 och målmängden är R. Värdemängden är också R. Läs om hur man ställer upp en matris till en avbildning, s. 251-258. (Tips: Läs exemplen!) Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 9, 15, 17, 19. 4.10. Egenskaper hos matrisavbildningar. Facktermer och definitioner: 1 1-avbildning (bijektion) one-to-one transformation Sammansatta linjära avbildningar motsvaras av matrismultiplikation. Sats 4.10.1 säger att en matris A har invers är ekvivalent med att T A (x) = Ax är en 1 1-avbildning. Satsen är viktig! Satserna 4.10.2 och 4.10.3 ingår. En bra sammanfattning av vad du har lärt dig så långt i kursen finns i Sats 4.10.4. (Ekvivalenssatsen)

LINJÄR ALGEBRA HT2013 7 Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 9, 12, 13, 21*, 22*. 5. EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER 5.1. Egenvärden och egenvektorer. Facktermer och definitioner: karakteristisk ekvation, egenvärde, eigenvalue egenvektor och egenrum Satserna 5.1.1, 5.1.2 och 5.1.3 ingår. Observera sats 5.1.4 och inte minst sats 5.1.5. Ekvivalenssatsen får några rader till i formuleringen i sats 5.1.6. Lämpliga uppgifter: 3a,b,d, 4a,b,d, 5a,b,d, 6acf, 7acf, 8acf, 9, 11, 15. 5.2. Diagonalisering. Du skall kunna redogöra för Egenvektorsproblemet och Diagonaliseringsproblemet. Satserna 5.2.1, 5.2.2 och 5.2.3 ingår med bevis. Beviset av sats 5.2.1. ger en metod att diagonalisera matriser. Lämpliga uppgifter: 1, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 23. 6. INRE PRODUKTRUM 6.1. Inre produkt. Facktermer och definitioner: inre produkt normen eller längden av en vektor norm of a vector Studera exempel 1 och 2. Läs exempel 7-11, som är exempel från analysen. Lämpliga uppgifter: 1, 5, 9, 29. 6.2. Vinklar och ortogonalitet. Facktermer och definitioner: vinkel mellan två vektorer i ett inre produktrum Lär dig Cauchy-Schwarz olikhet, Sats 6.2.1 och innehållet i de blå rutorna. Dessa samband leder fram till ett vinkelbegrepp mellan vektorer, t.ex. ortogonalitet, som fungerar i ett inre produktrum. Se blå rutan s 346 och definition 1 och exempel 4 s. 347. Sats 6.2.1 ingår med bevis och satserna 6.2.4 och 6.2.5 utan bevis. Lämpliga uppgifter: 1bd, 3b, 5, 9, 11, 13, 15, 31*. 6.3. Ortonormala baser; Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod. Facktermer och definitioner: ortogonal bas ortonormal bas Läs exempel 1 och 2. Sats 6.3.2 (b) ingår med bevis. Läs igenom exempel 3 och Sats 6.3.3. I beviset av Sats 6.3.5 ges en metod att konstruera en ortogonal (ortonormal) bas. Metoden finns beskriven på sid. 359. du skall kunna genomföra Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess. Läs också exempel 7 och exempel 8 innan du gör övningarna. Lämpliga uppgifter: 1ab,,3, 5, 7ab, 9a, 13a, 15a, 21, 23, 33.

8 JONAS WIKLUND 6.4. Minsta kvadrat-metoden. Läs om minsta-kvadrat-problemet. Sats 6.4.1 med bevis och sats 6.4.2 ingår. Läs exempel 1 och 2. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 7b, 9b, 17. 7. DIAGONALISERING OCH KVADRATISKA FORMER. 7.1. Ortogonala matriser. Facktermer och definitioner: ortogonal matris ortogonal operator Läs igenom exemplen och satserna. Sats 7.1.1 ingår med bevis. Lydelsen av satserna 7.1.2 och 7.1.3 ingår. Lämpliga uppgifter: 1, 3bcd, 6, 7, 11, 13, 14*, 15** 7.2. Ortogonal diagonalisering. Läs om frågeställningarna på s 397 och svaret i Sats 7.2.1. Satserna 7.2.1 och 7.2.2 ingår med de bevis som finns i boken. Metoden att hitta en ortogonal diagonalisering av en matris finns på s. 399. Lämpliga uppgifter: 1a-b, 3, 5, 7, 9. 7.3. Kvadratiska former. Läs om kvadratiska former och problemställningarna på s. 406. Svar finns i principalaxelsatsen 7.3.1. Läs exemplen. Målet är att kunna avgöra om ett kägelsnitt är en ellips, parabel eller hyperbel och motsvarande för ytor i tre dimensioner. Lämpliga uppgifter: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15.