LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Vladimir Tkatjev Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. Kursperiod: 18 januari 18 maj Examinator och föreläsare: Vladimir Tkatjev: B-huset, ing 23, rum 636, A-korr; tel 013-28 28 65 e-post: vladimir.tkatjev@liu.se Administration: Studievägledning: Mickaela Bergfors: B-huset, ing 23, rum 642, A-kor; tel 013-281462, e-post: studvgl@mai.liu.se Daniel Carlsson: B-huset, ing 23, rum 667, A-korr; tel 013-285761, e-post: studvgl@mai.liu.se WWW: Här finns all information om kursen http://courses.mai.liu.se/gu/ete325/ Kurslitteratur: Janfalk: Linjär algebra. Janfalk: Exempelsamling till Janfalk: Linjär algebra (ligger som pdf-fil på kurshemsidan) Boken säljs på Bokakademin, c:a pris 300 kr Kursinnehåll: Linjära ekvationssytem: Successiv elimination. Analytisk geometri: vektorer, skalär- och vektorprodukt, linjer och plan. Matriser: matrisoperationer, räknelagar, matriser och linjära ekvationssystem, matrisinvers. Determinanter: definition och räkneregler, utveckling efter rad och kolonn, tillämpningar på linjära ekvationssystem. Linjära rum: definitionen, underrum, linjärt hölje, linjärt (o)beroende, bas, dimension, basbyte. Euklidiska rum: skalärprodukt, ortogonalitet och ON-baser, euklidiska rum med ON-bas, isometriska avbildningar, minstakvadrat-metoden. Linjära avbildningar: definition och egenskaper, matrisframställning, sammansatta avbildningar, invers avbildning, värderum och nollrum. Spektralteori: egenvärden och egenvektorer, diagonalisering, kvadratiska former, andragradskurvor och andragradsytor, system av differential- och differensekvationer.
Undervisning: Undervisningen består av föreläsningar varvat med eget arbete i anslutning till det som nyss gåtts igenom. Föreläsningspassen kommer att vara upplagda enligt följande: 45 min föreläsning, 45 min eget arbete, 45 min föreläsning. Dessutom ges en tretimmars räkneövning undervisningstillfället efter att ett kapitel avlsutats. Tider och lokaler enligt web-schema https://se.timeedit.net/web/liu/db1/schema/ Välj Kurs i menyn och skriv ETE325 i sökrutan. Examination: Provräkningar: Under kursens gång kommer tre provräkningar att delas ut. Varje provräkning består av 5 uppgifter. En korrekt löst uppgift ger 3 poäng. På en provräkning kan man alltså få maximalt 15 poäng. Om Du klarar provräkningarna tillfredsställande (minst 26 poäng sammanlagt och minst 6 poäng på varje enskild provräkning) så får du 2 bonuspoäng att addera till ditt resultat vid de tentamenstillfällen som tillhör vårterminen (dvs den 18/5-2016 och ett omtentamenstillfälle den 20 augusti 2016). Dessa bonuspoäng kan dock endast användas för att passera gränsen för betyget 3. Bonuspoängen kan alltså inte utnyttjas för att erhålla betygen 4 eller 5. Tentamen: Tentamen på kursen ges onsdagen den 18 maj, kl 8.00 13.00. Möjliga betyg är U (underkänd), 3, 4,5. Tillfälle till omtentamen ges någon gång 20 augusti 2016 (kl 14.00 19.00) resp januari 2017. Tentamen består av sju uppgifter varav minst en är en teoriuppgift. Teoriuppgiften består vanligen i att man ombedes citera en eller flera satser eller definitioner och/eller bevisa någon av nedan angivna för kursen centrala satser (numrering och sidhänvisning syftar på kursboken Janfalk, U: Linjär algebra, 2012). Centrala satser: Sats 5.3.16 (Satsen om löjliga element), sid 115 Sats 5.4.4 (Kriteriet för linjärt beroendet), sid 117 Sats 5.4.14 (Satsen om för många element), sid 123 Korollarium 5.4.15 (Satsen om antal element i en bas), sid 123 Sats 5.4.18 (Satsen om rätt antal element), sid 124 Sats 6.3.2 (Linjärt oberoendet av en ON mängd), sid 147 Sats 6.3.8 (Satsen om ortogonal uppdelning), sid 150 Sats 7.4.1 (Satsen om basbyte), sid 179 Sats 7.5.4 (Satsen om värderummet), sid 182 Sats 7.5.6 (Dimensionssatsen), sid 183 Sats 8.3.1 (Ortogonalitet av egenbasen hos en symmetrisk avblidning), sid 214 Sats 9.1.11 (Extremvärden hos en kvadratisk form), sid 227
Föreläsningsprogram vt 2016, period I Datum Aktivitet Kapitel Innehåll 18/1 Fö 1 1.1 Linjära ekvationssystem 1.2 Successiv elimination (Gausselimination) Systematisk lösningsgång vid lösning av ekvationssystem 2.1 Analytisk geometri 2.2 Vektorer. Räkneoperationer på vektorer. Räknelagarna 2.3 Basbegreppet. Linjärkombinationer 20/1 Fö 2 2.3 Koordinatbegreppet. Komponenträkning. 2.4 Ortsvektorer, punkter och koordinatsystem 2.5 Skalärprodukt. Ortogonalprojektion 2.6 ON-baser. Beräkning av skalärprodukten 25/1 Fö 3 2.5 Vektorprodukt. 2.6 Beräkning av vektorprodukten 2.7 Area och volym. Volymsprodukt 2.8 Linjer i planet och rummet 27/1 Fö 4 2.8 Plan i rummet 1/2 Övn 1 1-2 Räkneövning 3/2 Fö 5 3.1-6 Matriser. 8/2 Fö 6 4.1-8 Determinanter. 10/2 Övn 2 3-4 Räkneövning. 17/2 Fö 7 5.1-2 Vektorrum 5.3 Underrum, linjärt hölje 5.4.1 Linjärt (o)beroende Utdelning av provräkningen 1 29/2 Fö 8 5.4 Linjärt (o)beroende, bas, dimension Kontroll av att en given uppsättning vektorer är en bas Bestämma koordinater för en vektor med avseende på en given bas. Bestämma bas och dimension för linjära höljen och lösningsrum till ekvationssystem. Fylla ut till bas för större rum 5.6 Basbyte 2/3 Fö 9 6 Euklidiska rum PR1 inlämn. 6.2 Skalärprodukter, Längd och ortogonalitet euklidiska rum 6.3 ON-baser Ortogonalt komplement 6.3.2 Konstruktion av ON-bas, Gram-Scmidtprocessen 6.3.4 Basbyte mellan ON-baser, ortonormala matriser 9/3 Fö 10 6.4 Minstakvadrat-metoden Övn 2.5 6 Räkneövning
Föreläsningsprogram vt 2016, period II Datum Aktivitet Kapitel Innehåll 14/3 Fö 11 7.1-2 Linjära avbildningar 7.3 Matris till en linjär avbildning 16/3 Övn 3 6 Räkneövning. Utdelning av provräkningen 2 4/4 Fö 12 7.4 Basbyte. Samband mellan avbildningsmatriser med avseende på olika baser 7.5 Noll- och värderum 7.6 Sammansatta avbildningar. Inversen till en linjär avbildning 6/4 Fö 13 7.7 Isometriska och symmetriska avbildningar PR2 inlämn. 7.8 Area- och volymsskala 11/4 Övn 4 7 Räkneövning 18/4 Fö 14 8.1 Egenvärden och egenvektorer. Diagonalisering 8.2 Sekularpolynomet Avgöra om en matris är diagonaliserbar Hitta basbyte som diagonaliserar 8.3 Spektralsatsen. Ortogonal diagonalisering 8.4 Multipelegenvärden. Utdelning av provräkningen 3 20/4 Övn 5 8, 9 Räkneövning. 25/4 Fö 15 9.1 Kvadratiska former Diagonalisering av kvadratiska former Teckenkaraktär Max/min av kvadratisk form under bivillkor 9.2 Andragradskurvor 27/4 Fö 16 9.3 Andragradsytor PR3 inlämn. 9.4 System av differentialekvationer 2/5 Fö 17 9.6 Differensekvationer Rankingsystem 9/5 Övn 6 1-9 Räkneövning, frågestund inför tentamen 18/5 Tentamen
Lämpliga övningar ur problemsamlingen Datum Kapitel Övningar 18/1 1.2: 1b,2b,3b,4a,5a,6a,7,8b,9bd,11c,12b,13a,14b 20/1 2.2: 2,3,4 2.3: 1,2,3,5a,6,7,8a,10 2.4: 1ab,2,3,4a 2.5: 1,2a,3a,6 25/1 2.5: 7,8,9 2.6: 1 10,15 27/1 2.6: 12,13,16,17,18,19 2.8: 1,2a,3a,4,5bc,6,8,9,11,12 1/2 2.8: 13,14,16,17a,19,20,21,26,29,32 3/2 3.2: 1,2,3, 3.3: 1a,2a 3.4: 3b,4,5a,6ac,8a 3.5: 1,2,4 3.6: 1,2,3a,4,6,7 8/2 4.1: 1,2ac,3c 4.2: 1b,2c,3a,4b,5a,6,9ace,10b,11a,12b 10/2 4.3: 1b,2a,3b,5 4.4: 1,2c 4.5: 3,4 17/2 5.2: 1 5.3: 1,2,6,8,9,10 5.4: 1,2acd,3,4,5,6,7 29/2 5.4: 12,16,17,18,19,20,21,22,24,26,27a,b,29,30 5.5: 2,4,6,8,9 2/3 6.2: 1,3,6,12,14, 6.3: 2,3,4,5b,c,6c,7c 9/3 6.3: 9a,b,10,11a,13,14,15,16,17,18,19,20 6.4: 1a,2,3,4,5,6b 14/3 7.2: 1,2,3,4 16/3 7.3: 1,2a,3,4,6,7,9,11,14 4/4 7.4: 1,2,3,5 7.5: 1,3,4,7 7.6: 1,2 6/4 7.6: 3,4,5,8,9 11/4 7.7: 1,2,3,6,9,13,15,17 7.8: 1,2,3 18/4 8.1: 1,2,4 20/4 8.2: 1c,4,6,8, 8.3: 1a,c,3a,5,9,10,11 25/4 9.1: 1a,c,e,2b,4,5b,d,6d,7b,9 27/4 9.2: 1,3,4a,5,6 9,12 2/5 9.3: 1,2,3a,4 9.4: 1a,b,2,3,6 9.5: 1 9.6: 1,4 9/5 Rester, gamla tentor