MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. Betygsgränser: 2-29 p. ger betyget 3, 3-39 p. ger betyget 4 och 4 eller mer betyget 5. (Bonuspoäng från duggor 2/3 inkluderas.) Resultat meddelas via Ladok senast ca. tre veckor efter tentamenstillfället. ärefter kan tentorna granskas och hämtas på MV:s exp. öppen alla vardagar 9-3.. (a) Låt f(x, y) = x 2 2y 2 + xy. Ange en normal till nivåkurvan f(x, y) = 7 i punkten (3, 2). 2 f (b) Beräkna x z för f(x, y, z) = x3 sin(yz) + (x 2 + y 2 )e x+z. (c) Beräkna längden av parametriserade kurvan r(t) = 2 cos ti+ 2 sin tj+ 2 sin tk, t [, 2π]. (d) Hitta arean av den del av planet 2x + 3y + z = som ligger inuti cylindern x 2 + y 2 =. 2. (a) efiniera vad som menas med att reelvärd funktion f(x, y) är differentierbar i (a, b). Förklara vad som menas med linjärisering för f(x, y)? (b) Beräkna approximativt (.99 e.2 ) 8 genom att bestämma linjärisering av en lämplig funktion. 3. (a) Beräkna dubbelintegralen (x 2 + y 2 ) 3/2 da där är området som ges av x 2 + y 2 4, x y. (b) Beräkna trippelintegralen K dv (2 + x + y + z) 3 där K är kroppen som begränsas av koordinatplanen och planet x + y + z = 2, dvs K = {(x, y, z) : x, y, z, x + y + z 2}. 4. Låt A = (a) Bestäm matrisens egenevärden. c 4 3 (b) Undersök om det finns värden på c för vilka A är diagonaliserbar och ange för eventuella sådana c en matris P och en diagonalmatris sådana att A = P P. (4p) Var god vänd!
5. Vi ska bygga en rätvinklig låda utan lock. Lådan ska ha sidolängderna x, y och z. (6p) Själva stommen till lådan ska tillverkas av 2 tunna rör. en totala längden rör vi ska använda är 56 meter. Bestäm x, y och z så att arean av lådans utsida (de fyra vägarna plus botten) ska bli största möjliga. 6. Låt F(x, y) = (e x sin y y)i + (e x cos y )j. (a) Låt γ vara linjestycket från (, ) till (2, ). Beräkna kurvintegralen γ F dr. (b) Med hjälp av Greens formel och resultat i (a) beräkna det arbete som F uträttar för att förflytta en partikel längs halvcirkeln (x ) 2 +y 2 =, y, från (2, ) till (, ). (c) Är F konservativt i R 2? Motivera väl. (p) 7. Avgör om följande två gränsvärden existerar eller ej och bestäm i förekommande (6p) fall deras värde (tydlig motivering krävs!) (a) lim (x,y) (,) x 2 xy x 2, (b) lim + y4 (x,y) (,) x 2 + y. 2 8. (a) Låt u, u 2,..., u n vara parvis ortogonala vektorer i R n. Visa att {u, u 2,..., u n } är en bas i R n. (b) Antag att u, u 2,..., u n är en ortonormerad mängd av vektorer i R n. Visa att om a R n så är a = (a u )u +... + (a u n )u n och Motivera väl. a 2 = (a u ) 2 + (a u 2 ) 2 +... + (a u n ) 2 Lycka till! Lyudmila T
Lösningar. (a) En normal till nivåkurvan ges av gradf(3, 2). Vi får f x = 2x + y f y = 4y + x (b) och gradf(3, 2) = (8, 5). f z 2 f x z = x 3 cos(yz)y + (x 2 + y 2 )e x+z = x (x3 cos(yz)y + (x 2 + y 2 )e x+z ) = 3x 2 y cos(yz) + 2xe x+z + (x 2 + y 2 )e x+z = 3x 2 y cos(yz) + (x 2 + 2x + y 2 )e x+z (c) Vi har r (t) = 2 sin ti+ 2 cos tj+ 2 cos tk och r (t) = (4 sin 2 t+2 cos 2 t+ 2 cos 2 t) /2 = 2. ärmed blir kurvans längd lika med 2π r (t) dt = 4π. (d) Ytan har följande parametrisering r(u, v) = (u, v, 2u 3v), (u, v) = {(u, v) : u 2 + v 2 }. Vidare r u = (,, 2), r v = (,, 3) och r u r v = (2, 3, ). Ytans area blir alltså S = r u r v da = 2. (a) Se kursboken 4 + 9 + da = 4(arean av ) = 4π. (b) Betrakta linjäriseringen L(x, y) av f(x, y) = (xe y ) 8 i (, ). Vi får f x = 8x 7 e 8y, f y = 8x 8 e 8y och L(x, y) = f(, ) + f x(, )(x ) + f y(, )(y ) = + 8(x ) + 8y. etta ger att (.99 e.2 ) 8 = f(.99,.2) L(.99,.2) = + 8(.) + 8.2 = 2.52. 3. (a) Vi går över till de polära koordinaterna x = r cos φ, y = r sin φ. Vårt nya integrationsområde blir rektangeln E = {(r, φ) : r 2, π/4 φ 5π/4} och vi får alltså (x 2 + y 2 ) 3/2 da = E r 3 rda = 2 ( 5π/4 π/4 [ r r 4 5 dφ)dr = π 5 ] 2 = 3π 5. (b) Projektionen av kroppen K på xy-planet är triangeln T = {(x, y) : x + y 2, x, y }. Trippelintegralen kan alltså beräknas enligt
K dv (2 + x + y + z) 3 = T ( 2 x y ) dz (2 + x + y + z) 3 dxdy [ ] 2 x y = T 2(2 + x + y + z) 2 dxdy = ( ) 2 6 (2 + x + y) 2 dxdy T 2 ( 2 x = 32 (arean av T ) + 2 = 6 + 2 [ 2 (2 + x + y) = 6 2 ( 2 4 (2 + x) = 6 2 [ x ln 2 + x 4 ] 2 ] 2 x ) dx ) (2 + x + y) 2 dy dx dx = 8 ln 2 5. 6 Vid beräkningen av dubbelintegralen använder vi att T är ett y-enkelt område: x 2, y 2 x. 4. (a) Vi löser den karakteristiska ekvationen det(a λi) = : λ c det(a λi) = det 4 λ 3 = ( λ)((4 λ)( λ) + 3) = λ omm λ = eller λ = 3. Matrisens egenvärde (oavset vad parameter c är) är λ = och λ = 3. (b) Vi bestämmer A:s egenevktorer. Egenvektorerna till λ = 3 bestäms ur ekvationen (A 3I)x = : 2 c 2 c + 3 A 3I = 3 3 3 och alla lösningar till systemet ges av x = t c + 3 6 2, t R. Egenvektorerna till λ = bestäms ur ekvationen (A I)x = : c c A I = 3 3 c + Vi ser att om c har matrisen en icke pivot kolonn och egenrummet spänns upp av en egenvektor. etta leder att för c finns det högst två linjärt oberoende egenvektorer för matrisen A och därmed blir A ej diagonaliserbar. t Om c = så ges de samtliga egenevektorerna till λ = av s = s t + s, (t, s) (, ). I detta fall finns det 3 linjärt oberoende
egenvektor till A: t.ex. och A = P P där v = P = 2 6 2, v 2 = 2 6 2, v 3 =, = 3 5. Vi har 4x+4y+4z = 56 och arean av lådans utsida ges av A(x, y, z) = xy+2xz+2yz. et gäller att bestämma det största värdet av A(x, y, z) under bivillkoren x+y+z = 4, x >, y >, z >. Ur x + y + z = 4 får vi z = 4 x y. Insättningen i A(x, y, z) ger att arean blir S(x, y) = xy + 2x(4 x y) + 2y(4 x y) = 28x + 28y 2x 2 2y 2 3xy. Problemmet reduceras till att bestämma största värde för funktionen S(x, y) i området {(x, y) : x >, y >, 4 x y > } som är en öppen triangel. Låt var triangeln med randen. En sats från kursen ger oss att S(x, y) har ett största värde på och det antas antingen i kritiska punkter i det inre av eller på randen. Vi börjar med att betsämma kritiska punkter: S x = 28 4x 3y = och S y = 28 4y 3x =. Systemet har en lösning x = y = 4 och S(4, 4) = 2. Vi undersöker sedan tre randbitarna: R : y =, x 4; R 2 : y = 4 x, x 4 och R 3 : x =, y 4. R : g (x) = f(x, ) = 28x 2x 2. Vi har g (x) = 28 4x = x = 7. en kritiska punkter ligger i intervallet x 4 och g (7) = 98. Funktionvärdena i ändpunkterna är g () = g (4) =. ärmed blir funktionens största värde på R 98. Av symmetri skäll gäller detta även för randbiten R 3. R 2 : g 2 (x) = f(x, 4 x) = 4x x 2. Vi har g 2 (x) = 4 2x x = 7 och g 2(7) = 49. I ändpunkterna har vi g 2 () = g 2 (4) =. Vi har alltså att funktionens största värde på det slutna området är 2 som antas i den inre punkten (4, 4). etta blir även den största värde i den öppna triangeln. Svar: Största arean är 2 då x = y = 4 och z = 6. 6. (a) γ parametriseras enligt: r = r(t) = ti + j, t [, 2]. ärmed 2 2 F dr = F(r(t)) r ( (t)dt = i + (e t )j ) (i + j)dt = γ (b) Låt C vara den postivt orienterade randen av halvcirkelskivan : (x ) 2 +y 2, y. Enligt Greens formel ( F dr = x (ex cos y ) ) y (ex sin y y) da = da = Arean = π/2. C Randen C består av kurvan γ från (a)-delen och moturs orienterad halvcirkeln σ: (x ) 2 + y 2 =, y. Vi har alltså Arbetet = F dr = F dr F dr = π/2 = π/2. σ C γ,.
(c) F är inte konservativt, ty kurvintegralen längs sluten kurvan C är inte noll. 7. (a) Vi ska se vad som händer med f(x, y) = x2 när (x, y) närmar (, ) från x 2 +y 4 olika håll: när (x, y) närmar sig origo längs x-axeln så är punkterna på formen (x, ), och vi får f(x, ) = x2 x 2 + = ; när (x, y) närmar sig (, ) längs y-axeln, vi har punkter (, y) där y går mot och f(, y) = + y 2 =. etta visar att funktionen saknar gränsvärdet då (x, y) (, ). (b) Låt f(x, y) = f(x, y) = xy. Vi har x 2 +y2 xy x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 då (x, y) (, ) etta visar att lim f(x, y) =. (x,y) (,) 8. (a) Se kursboken hur man visar att u,..., u n är linjärt oberoende. n stycken linjärt oberoende vektorer i R n bildar en bas i R n. (b) Enligt (a) är u,..., u n en bas i R n. å om a R n så är a = c u +... + c n u n för några konstanter c,..., c n. Multiplicera skalärt både leden av likheten med u k och får a u k = c k u k u k = c k, ty u i u k = om i k och u k u k =. Vi har alltså a = c u +... + c n u n med c k = a u k, k =,..., n. en andra likheten följer ur: om c k = a u k så är a 2 = a a = (c u +... + c n u n ) (c u +... + c n u n ) = c 2 u u +... + c 2 nu n u n = (a u ) 2 +... + (a u n ) 2. Vi använder igen att u i u k = om i k och u k u k =