Sannolikhetslära Albertus Pictor Lyckohjulet

Sannolikhetslära Albertus Pictor Lyckohjulet Regnabo. Regnaui. Sum sine Regno står det målat över Albertus Pictors lyckohjul i Härkeberga vapenhus. Det betyder jag skall ha makten, jag har makten, jag har haft makten och jag är utan makt. Det är en satirisk beskrivning av 1400-talets adel, som minst av allt var några pålitliga kämpar mot utländsk överhöghet. (www.satirarkivet.se) 1 Sannolikhetslärans grunder...2 2 Relativa frekvenser.9 3 Oberoende händelser..12 Några sannolikhetsuppgifter utan svar.17 Matematiken i historien.18 Facit..22 Bilder: 2 Foton s.4, 7, av Arne Flink; bilder s.6 och 8 av Hans Hillerström; akvareller av Ramon Cavaller ; geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 Sannolikhetslära - 1

1 Sannolikhetslärans grunder Teori Grundläggande begrepp Exempel 1 Ett sockerbolag tillverkar bitsocker som förpackas i kiloförpackningar som rymmer vardera 306 bitar. Vägning av sockerbitarna i ett paket gav följande värden: Vikt Antal 3,05 3,15 36 3,15 3,25 96 3,25 3,35 78 3,35 3,45 44 3,45 3,55 46 3,55 3,65 7 Vi ser att vikten per sockerbit varierar. Det finns tydligen 96 sockerbitar som väger mellan 3,15 g och 3,25 g. 96/306 = 31 % av sockerbitarna finns alltså i detta intervall. Man säger att sannolikheten för att en sockerbit har en vikt i intervallet 3,15-3,25 är 0,31. Exempel 2 Vilken är sannolikheten för att man får minst två klave vid kast med två enkronor? Sannolikhetslära - 2

Att väga en på måfå vald sockerbit från paketet och att kasta två tärningar är exempel på slumpmässiga försök. Om vi bara tänker väga en sockerbit, så vet vi inget om vad vikten kommer att bli. Men om vi väger sockerbitarna i många paket så kan vi med stor säkerhet tala om hur många procent av sockerbitarna som har en vikt i ett givet intervall. Kastar man två mynt, så vet man inte om det kommer upp (krona, krona), (krona, klave), (klave, krona) eller (klave, klave). Kastar man däremot två mynt 1000 gånger, så kommer andelen (klave, klave) att bli ca 25%. Resultatet av ett försök kallar man försökets utfall. Vi kan tänka oss följande utfall i de två försöken ovan: (1) En sockerbit väger 3,17 g. (2) Vid ett kast med två mynt får vi (krona, krona). Mängden av möjliga utfall vid ett försök benämns utfallsrum och betecknas vanligen med Ω. (1) Antag att tillverkningen aldrig ger sockerbitar som väger mindre än 3,00 g och mer än 3,70 g. Vi skriver då Ω = [3,0; 3,70] (2) Utfallsrummet vid kast med två enkronor är: {(krona, krona), (krona, klave), (klave, krona),(klave, klave)} Sannolikhetslära - 3

En händelse är en delmängd av utfallsrummet. (i) I det ovan angivna utfallsrummet [3,00; 3,70] kan man beräkna sannolikheten för olika händelser t ex händelsen: vikten ligger i intervallet [3,25; 3,35]. (ii) Händelsen att man får [(krona, krona)]. Modell Kast med två tärningar Vi kastar två tärningar, en grön och en röd. Vart och ett av kasten kan anges med ett talpar, t ex (3, 5), där 3 är antalet ögon på den gröna tärningen och 5 på den röda tärningen. Detta är inte sam-ma kast som utfallet (5, 3). Varför? Utfallsrummet för två tärningar som kastas kan enkelt åskådliggöras med ett koordinatsystem, där den gröna tärningens värde avsätts på den horisontella axeln och den rödas värde på den vertikala axeln. Punkten (2, 6) i koordinatsystemet betyder alltså ett kast där den gröna tärningen visar 2 och den röda 6. Vi får på detta sätt ett utfallsrum med 36 utfall. I diagrammet ovan är några händelser markerade. A: Poängsumman är minst 10. B: Den första tärningen visar en etta. Sannolikhetslära - 4

Teori Sannolikhetsbegreppet De två utfallsrummen som vi betraktat har varit av två olika slag. I exemplet med sockerbitars vikt är utfallsrummet oändligt, eftersom vikten kan anta vilket tal som helst i utfallsrummet. I exemplet med kast av två tärningar är utfallsrummet ändligt. I vårt fall fanns 36 möjliga utfall. Vårt sannolikhetsbegrepp skall uppfylla två villkor: (1) För varje händelse, A, skall det finnas ett tal, P(A), som kallas sannolikheten för A och som ligger i intervallet 0 P(A) 1. (2) Varje utfall tillhör utfallsrummet P(Ω) = 1. Vid vissa symmetriska försök har alla utfall samma sannolikhet. Vi har s k likformig sannolikhetsfördelning. I vårt exempel med de två tärningarna har vi 36 utfall och varje enskilt utfall har alltså sannolikheten 1/36. Eftersom händelsen A = summan av antalet ögon hos de två tärningarna är minst 10 innehåller 6 utfall, så är P(A) = 6 1 ( = ). 36 6 antalet med avseende på A gynnsamma utfall g P(A) = = totala antalet utfall n G1.1 Man drar ett kort ur en kortlek. Bestäm sannolikheten för att man får a) en knekt b) hjärter kung c) spader. G1.2 Man kastar två mynt. Beräkna sannolikheten för att man får a) exakt en klave b) åtminstone en krona c) högst en krona. Sannolikhetslära - 5

G1.3 Åskådliggör utfallsrummet vid kast med två tärningar och markera följande händelser samt beräkna händelsens sannolikhet: a) samma poäng på båda tärningarna b) poängsumman är åtminstone 8 c) poängsumman är högst 5 d) man får högst en poäng mer på den ena tärningen än på den andra. G1.4 Om man snurrar två gånger på lyckohjulet, vilken är då sannolikheten för att a) de båda talen är lika b) de båda talen är olika c) de båda talen är mindre än 6 d) summan av talen är minst 15? G1.5 Vad är sannolikheten för att en sockerbit, enligt tabellen tidigare väger minst 3,35 g? G1.6 Ikosaedern här bredvid är en slumptärning. Den är symmetrisk och har 20 trianglar som sidoytor. Var och en av siffrorna 1, 2, 3,..., 20 förekommer på två av dessa trianglar. Om man kastar en sådan tärning, vilken är då sannolikheten för att man får a) ett udda tal b) ett tal som är delbart med 3 c) ett tal som är mindre än 7? Sannolikhetslära - 6

G1.7 En urna innehåller två röda, tre blå kulor och två vita kulor. Man tar på måfå en kula ur urnan. Beräkna sannolikheten för att man får a) en röd kula. b) en blå kula. c) en vit kula. G1.8 Man väljer på måfå ett tal mellan ett och hundra. Vad är sannolikheten för att man väljer ett primtal? V1.9 Romarna använde sig vid tärningsspel ofta av en tärning kallad talus. Denna hade endast fyra plana sidor med respektive 1, 3, 4 och 6 ögon. Beräkna sannolikheten för att, vid kast med två symmetriska talus-tärningar a) båda tärningarna har samma antal ögon b) ögonsumman blir ett udda tal c) minst en av tärningarna får ett udda antal ögon. V1.10 En person säger: Jag har två barn; åtminstone ett av dem är en pojke. Vad är sannolikheten för att båda är pojkar? V1.11 Ur en kortlek dras efter varandra tre kort. a) Om det första blev en hjärter, vilken är då sannolikheten för att också det andra kortet blir en hjärter? b) Om de två första korten blev hjärter, vilken är då sannolikheten för att även det tredje blir en hjärter? Sannolikhetslära - 7

V1.12 Arletta äger tärningar utformade som platonska kroppar, dvs de har 4, 6, 8, 12 eller 20 sidor. På alla är samtliga sidor numrerade med på varandra följande siffror med 1 som första siffra. Hon kastar ett antal serier med en av dessa. Varje serie utförs med 120 kast. Hon får i genomsnitt 15 treor. Hur ser hennes tärning ut? V1.13 Arletta plockar fram en annan av sina tärningar. Även nu utför hon serier om 120 kast. Hon upptäcker då att tre på varandra följande tal kommer upp 18 gånger i genomsnitt. Vilken tärning har hon använt? Sannolikhetslära - 8

2 Relativa frekvenser Teori Relativa frekvenser Det hittills berörda sannolikhetsbegreppet kallas det klassiska. Vi inser att i en väl blandad kortlek är sannolikheten för att få ett hjärterkort 0,25. Detta kan tolkas på följande sätt. Om vi med återläggning drar ett stort antal kort ur kortleken och blandar den väl efter varje dragning så kommer antalet dragna hjärter dividerat med det totala antalet dragningar att bli ungefär 25 %. Detta är den s k relativa frekvensen. Diagrammet här bredvid visar resultatet, när en dator fått utföra kast med en 6-sidig tärning, ett s k simuleringsprogram. Diagrammet visar den relativa frekvensen för händelsen jämnt värde som en funktion av antalet kast. Vi ser i diagrammet att den relativa frekvensen kommer allt närmare värdet 0,50 när antalet kast ökar. Detta fenomen kallas de relativa frekvensernas stabilitet. Vid de tillfällen där sannolikheten går att bestämma med likformig sannolikhetsfördelning, stämmer denna överens med den relativa frekvensen. Om det inte är symmetri, så kan beräkningen av den relativa frekvensen vara den enda metod som ger ett värde på sannolikheten. Ju fler försök som gjörs desto bättre värde får vi på sannolikheten för en viss händelse. Sannolikhetslära - 9

G2.1 Under en lång tid har man studerat gymnasiebetygen, i gymnasieskolan före 2011, för individuella val vid en gymnasieskola och beräknat följande sannolikheter. Betyg IG G VG MVG Sannolikhet 0,05 0,15 0,45 0,35 Beräkna sannolikheten för a) G på ett individuellt val b) VG eller MVG på valet. G2.2 Tabellen visar de nio vanligaste tilltalsnamnen som getts till flickor år 2000. Namn Julia Emma Wilma Hanna Elin Linnéa Amanda Ida Antal 28 27 26 23 22 22 20 18 per 1000 a) Vad är sannolikheten för att en flicka född detta år fick namnet Elin? b) Vad är sannolikheten för att en flicka född år 2000 fått ett av de åtta vanligaste tilltalsnamnen? G2.3 Frekvensen trafikolyckor i en medelstor stad har undersökts under en lång följd av fredagar. Resultatet framgår av tabellen: Antal olyckor 0 1 2 3 4 Sannolikhet 0,793 0,151 0,034 0,021 0,001 Beräkna sannolikheten för att det en fredag ska inträffa a) precis en olycka b) högst en olycka c) åtminstone en olycka d) en eller två olyckor. G2.4 Tabellen på nästa sida visar andelen kvinnor som fått minst ett barn i september månad det år de uppnått en viss ålder. a) Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1950 hade fått minst ett barn när de var fyllda 25 år? (Vi antar att september månad är representativt för hela året.) b) Vad är samma värde för kvinnor födda 1970? c) Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1965 har fått minst ett barn vid uppnådda 20 år? d) Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1965 har fått minst ett barn vid uppnådda 25 år? e) Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1965 har fått sitt första barn vid en ålder mellan 20 och 25 år? Sannolikhetslära - 10

f) Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1965 har fått sitt första barn vid en ålder mellan 25 och 30 år? Andelen kvinnor som fått minst ett barn i september månad det år de uppnått en viss ålder. Sannolikhetslära - 11

3 Oberoende händelser Teori Oberoende händelser Antag att vi kastar en krona två gånger för att se om vi får krona eller klave. Vi inser att sannolikheten för att få krona vid första kastet är 0,5. Även vid andra kastet är sannolikheten för krona 0,5. Sannolikheten för att få krona även denna gång minskar inte, även om händelsen krona skulle ha inträffat vid första kastet. Kronan minns inte vad som hände vid första kastet. Man säger att de två händelserna är oberoende. Vi kan slå fast att om vi har två oberoende händelser A och B, så är sannolikheten för att både A och B inträffar: P(A och B) = P(A) P(B). Alltså är P(krona i första kastet och krona i andra kastet) = 0,5 0,5 (= 0,25). Vi tänker oss två trafikljus L 1 och L 2. Där L 1 befinner sig i en stad under det att L 2 finns i en helt annan stad. Om sannolikheten för att L 1 och L 2 var för sig skall visa rött är 0,4 så är sannolikheten 0,4 0,4 (= 0,16) för att de samtidigt visar rött. De är oberoende av varandra. Det finns inget orsakssamband mellan dem. Om vi däremot tänker oss att de två ljussignalerna befinner sig nära varandra och på samma genomfartsled i en stad, så är det inte säkert att sannolikheten för att bägge visar rött eller grönt är oberoende. Stadens trafiktekniker kan ha ordnat det så att en bilist som får grönt ljus vid en signal även med stor sannolikhet får grönt vid efterföljande signal. De vill undvika trafikstockningar och tomgångskörning. I detta fall är de två händelserna inte oberoende. Sannolikhetslära - 12

Teori Träddiagram Vi har en två år gammal telekatalog och vill bedöma hur användbar den är. Den uppgiften kan illustreras och lösa med ett träddiagram. Ett sådant brukar ritas upp och ned, med roten uppåt. Efter ett år är 70% av uppgifterna korrekta och resten, 30%, har förändrats. Det symboliseras i träddiagrammet här bredvid av grenarna SA och SB där SA anger sannolikheten att en slumpvis vald uppgift är oförändrad (70%) och SB anger att den har förändrats (30%). Till punkten A kommer vi om ett år har turen att använda någon av de 70% korrekta uppgifterna i katalogen. Men när vi efter två år använder samma telekatalog är sannolikheten att vi får korrekta uppgifter bara 0,7 0,7 = 0,49. Detta motsvarar grenen SAC. Det är tydligen mer sannolikt att en eller bägge av två slumpvis valda kataloguppgifter är felaktig(a) än att den (de) är korrekta. Grenen SAD symboliserar sannolikheten att få tag i en uppgift som bara ändrats det andra året. På samma sätt betyder gren SBE sannolikheten att en slumpvis vald uppgift bara ändrats det första, men inte det andra året. Grenen SBF till slut anger sannolikheten att en uppgift ändrats båda åren. Vi har antagit att händelsen att en kataloguppgift ändrats andra året är oberoende av om det ändrats första året. Händelse Sannolikhet Ingen förändring vare sig år 1 eller 2 (SAC) 0,7 0,7 = 0,49 = 49% Förändring år 1 men inte år 2 (SBE) 0,3 0,7 = 0,21 = 21% Förändring år 2 men inte år 1 (SAD) 0,7 0,3 = 0,21 = 21% Förändring både år 1 ochår 2 (SBF) 0,3 0,3 = 0,09 = 9% Hela utfallsrummet 1,00 = 100% Sannolikhetslära - 13

G3.1 William och Wilma kastar pil mot en tavla. William träffar med sannolikheten 3/5 och Wilma med sannolikheten 2/3. Beräkna sannolikheten för att minst en av dem träffar om de kastar en pil vardera. G3.2 Sara gör en subjektiv uppskattning av sannolikheten för att hon skall bli godkänd på ett större matematikprov till 0,8. Matematikläraren erbjuder henne att få göra ett omprov om hon inte blir godkänd. Eftersom Sara vid omprovstillfället känner till sina svagheter i matematik uppskattar hon sannolikheten för att klara detta prov till 0,9. Vilken är sannolikheten för att Sara blir godkänd på ett av proven? Varför har vi kallat sannolikheten subjektiv? G3.3 En urna innehåller tre svarta och två vita kulor. Man tar på måfå en kula ur urnan, antecknar färgen och lägger tillbaks den. Man tar ytterligare en kula, antecknar och lägger tillbaks. Beräkna sannolikheten för att man får a) två svarta kulor c) en svart och en vit. b) två vita kulor G3.4 Vid en gymnasieskola kan man läsa tyska och/eller spanska, steg 3, som individuellt val. Sannolikheten för att en elev har valt tyska eller spanska är 0,10 respektive 0,15. Kan man då vara säker på att sannolikheten för att en elev valt både tyska och spanska är 0,10 0,15? Sannolikhetslära - 14

V3.5 Antag att man i en kommun kommit fram till följande sannolikheter: (i) Om det är torrt väder en dag, så är sannolikheten för torrt väder nästa dag 2/3. (ii) Om det är blött väder en dag, är sannolikheten för torrt väder nästa dag 1/2. Beräkna sannolikheten för att det skall bli torrt väder i övermorgon, om det är torrt väder i dag. V3.6 Vår vän Sara, som är intresserad av sannolikhetsberäkningar, uppskattar sannolikheten till 0,8 för att hon skall korrekt besvara minst 70% av frågorna i ett engelskt ordtest. Testfrågorna kommer slumpmässigt från en engelsk-svensk ordlista. Vad är sannolikheten för att hon klarar tre test i rad med minst 70- procentigt korrekta svar? V3.7 Cathrine som är på semester på Madeira, tycker särskilt mycket om tre av deras räter. Det är espetada, ett grillspett av oxköttskuber smaksatt med vitlök, lagerblad och salt. Spetten grillas över öppen eld. Rätten serveras med friterade majsgrötskuber. Vidare är det espada en mycket populär djuphavsfisk tillagad med curry och banan och espadarte som är svärdfisk, som serveras med varmt sötpotatisbröd. Tre dagar i följd kastar hon tärning om vilken huvudrätt hon skall välja. Om tärningen visar 1, 2 eller 3 väljer hon espetada. Visar tärningen 4 eller 5 väljer hon espada. Till slut, om tärningen visar 6 väljer hon espadarte. a) Vad är sannolikheten för att hon får äta samma huvudrätt tre dagar i följd? b) Vad är sannolikheten för att hon får olika rätter var och en av de tre dagarna? V3.8 Henri tippar en stryktipsrad på måfå. Vilken är sannolikheten för att han får a) 13 rätt b) 0 rätt? Sannolikhetslära - 15

V3.9 Vilken är sannolikheten för att man får tre hjärter om man drar tre kort ur en kortlek och efter varje dragning lägger tillbaka kortet (dragning med återläggning)? V3.10 En urna innehåller fyra kulor numrerade 1, 2, 3 och 4. a) Man tar på måfå och utan återläggning tre kulor ur urnan. Rita ett träddiagram och beräkna sannolikheten för att summan av de erhållna talen är 8. b) Man tar på måfå och med återläggning tre kulor ur urnan. Rita ett träddiagram och beräkna sannolikheten för att summan av de erhållna talen är 8. V3.11 Vid tärningsspelet Yatsy kastar man fem vanliga tärningar samtidigt. Beräkna sannolikheten för att man därvid får a) yatsy, dvs alla tärningar lika b) liten straight eller stor straight dvs (1, 2, 3, 4, 5) eller (2, 3, 4, 5, 6) V3.12 Romarna använde sig vid tärningsspel ofta av en tärning kallad talus. Denna hade endast fyra plana sidor med respektive 1, 3, 4 och 6 ögon. Beräkna sannolikheten för att, vid kast med fyra talus-tärningar få a) Venus, dvs olika siffror på alla tärningarna b) Canis, ettor på alla tärningarna. Sannolikhetslära - 16

Några sannolikhetsuppgifter utan svar En apparat innehåller två mekaniska komponenter, A och B: Sannolikheten för att A går sönder under ett år är 0,4 och för att B går sönder är 0,1. A och B går sönder oberoende av varandra. Vad är sannolikheten att a) både A och B går sönder b) A men inte B går sönder c) exakt en av komponenterna går sönder? I en låda finns kulor i två storlekar och med ett flertal färger. Av kulorna är 1/3 små och 2/5 röda. Beräkna sannolikheten att en slumpvis vald kula är antingen liten eller röd, förutsatt att hälften av de små kulorna är röda. Ulla åker bil till skolan varje morgon. På vägen dit passerar hon två trafikljus som hon tycker alltid visar rött. Det första trafikljuset visar rött ljus i 68 sekunder och någonting annat än rött ljus i 34 sekunder. Det andra trafikljuset visar rött ljus i 78 sekunder och någonting annat än rött ljus i 32 sekunder. Trafikljusen slår om helt oberoende av varandra. a) Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid det första trafikljuset? b) Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid båda trafikljusen? (Np B ht 98) Penninglotten har funnits cirka 100 år i Sverige. Den har numera en dragningsdel och en skrapdel. Dragningsdelen har högsta vinsten 1 000 000 kr och skrapdelen 100 000 kr. En lott kostar 50 kr. Nedanstående vinstplan är baserad på 200 000 lotter. Dragningsvinster Skrapvinster Antal vinster Värde(kr) Totalt(kr) Antal vinster Värde(kr) Totalt(kr) 1 1 000 000 1 000 000 1 100 000 100 000 3 100 000 300 000 9 1 000 9 000 8 10 000 80 000 14 200 2 800 25 5 000 125 000 110 100 11 000 80 1 000 80 000 19 584 50 979 200 250 500 125 000 440 200 88 000 10 000 100 1 000 000 20 000 50 1 000 000 a) Vad är sannolikheten för att få en vinst vid dragningen? b) Vad är sannolikheten för att få en skrapvinst? c) Vad är sannolikheten att få en vinst vid dragningen eller en skrapvinst? d) Vad är sannolikheten för att få högsta vinsten vid dragningen eller högsta skrapvinsten? e) Vad är sannolikheten för att vinna mer än 1000 kr? f) Vad är sannolikheten för att få en vinst som räcker till att köpa en ny lott? Sannolikhetslära - 17

M atematiken i historien Blaise Pascal och Pierre de Fermat brukar nämnas som de första matematikerna som utvecklade sannolikhetslärans grunder. Men redan den italienske matematikern Gerolamo Cardano (1501 1576) hade lämnat viktiga bidrag till sannolikhetsbegreppet. Många av de uppgifter som vi löst tidigare tillhör den typ av uppgifter som intresserade dessa matematiker. Sannolikhetsläran har också anknytningar till statistiken. Exempel: Vad är sannolikheten för att få exakt 5 treor och åtminstone 4 sexor, om vi kastar en tärning 50 gånger? Sannolikhetsteorin har fått stor användning i naturvetenskapliga och samhällsvetenskapliga ämnen, i industri och handel. Den används på så skilda fält som genetik, kvantfysik och försäkringsfrågor. V3.13 Ett problem som sysselsatte Pascal och Fermat var frågan om vilket av följande två alternativ som är mest sannolikt: a) att få minst en sexa vid fyra kast med en tärning b) att få minst en dubbelsexa vid 24 kast med två tärningar. Lös deras problem när du läst om komplementaritet. Blaise Pascal (1623 1662) kom tidigt med sina föräldrar till Paris. Han fick vid 12 års ålder en kopia av Euklides geometri av sin far sedan denne upptäckt sin sons förmåga för matematiska abstraktioner. Vid 14 års ålder började han följa fadern till matematikern Mersennes möten. Här träffades många kända matematiker och filosofer t ex Gassendi och Desargues, och snart kunde Pascal presentera ett antal teorem inom den projektiva geometrin. När familjen flyttar till Rouen, kommer Pascal att hjälpa fadern i dennes arbete som skatteuppbördsman och uppfinner som hjälpmedel den första digitala räknaren, kallad Pascaline. Den hade stora likheter med de mekaniska räknare som tillverkades på 1940 talet. Det var Pascal som upptäckte lufttryckets avtagande med höjden över havsytan. Pascal arbetade hela sitt liv intensivt med matematiska, naturvetenskapliga och filosofiska frågor. Pascal kom under slutet av sitt korta liv att ansluta sig till jansenisterna. Denna rörelse hade sitt centrum i klostret Port Royal i Paris. Hans filosofiska och religiösa tankar publicerades efter hans död i verket Pensées (Tankar). Utan Gud är människan intet, och utan tro på Gud har livet ingen mening, menar Pascal. Sannolikhetslära - 18

V3.14 Monty Hall - Öppna dörr och vinn en bil. I USA har förekommit TV-program, ledda av Monty Hall som givit namn åt ett problem som uppstår. Du ställs inför valet att få öppna en av tre dörrar. Bakom två av dörrarna finns en get och bakom den tredje en lyxbil. När du valt en dörr, som du ännu inte får öppna, väljer programledaren en dörr bakom vilken det finns en get. Ditt problem är nu, skall du hålla fast vid din först valda dörr, eller skall du välja den dörr som återstår? Vad är sannolikheten för att få en lyxbil genom att stanna kvar, och vad är den om du byter dörr? När du bestämt dig, öppnar ledaren den dörr du valt och där finner du din lyxbil eller din get. Sannolikhetslära - 19

Problemlösning i grupp Kort i müslipaket Antag att det finns ett djurkort i varje paket av din favoritmüsli. Det finns sex olika sorters djurkort. Dessa förekommer med lika sannolikhet och är slumpmässigt fördelade på paketen. Hur många paket måste du köpa för att få alla sex djurkorten? Materiel: Tärning, papper och penna. Metod och uppgift: I stället för att köpa müslipaket med bilder gör vi en modell av verkligheten. De olika antalet ögon på en tärning får motsvara de sex korten. Kasta tärningen tills du fått upp alla möjliga antal ögon; ett öga motsvarar kort 1, två ögon motsvarar kort 2, och så vidare. Fyll i dina resultat i en tabell. Första raden i tabellen nedan visar att det behövdes 15 kast för att kort 3 till slut skulle dyka upp. Kort 1 Kort 2 Kort 3 Kort 4 Kort 5 Kort 6 Antal kast Exemplet ovan 3 2 1 4 3 2 15 Försök 2 Försök 3 Försök 4 Försök 5 Försök 6 Försök 7 Försök 8 Försök 9 Försök 10 Försök 12 Försök 13 Försök 14 Försök 15 Försök 16 Försök 17 Försök 18 Försök 19 Försök 20 Försök 21 Försök 22 Försök 23 Försök 24 Försök 25 Beräkna därefter medelvärdet av antalet kast som krävdes. Detta är det experimentellt bestämda väntevärdet. Teori och uppgift: Det kan visas teoretiskt att det i genomsnitt krävs att man köper 1 1 1 1 1 6 + + + + + 1 = 14,7 müslipaket för att få en komplett samling av sex 6 5 4 3 2 djurkort. Detta är det teoretiskt bestämda väntevärdet. Hur stämmer detta med dina försöksresultat? Sannolikhetslära - 20

Modell Komplementhändelser Ett lyckohjul har fyra målade lika stora sektorer, röd, gul, grön och blå. Vi vet bara att sektorn röd är 45. Vad är sannolikheten för att man hamnar på gult, grönt eller blått? P(röd) + P(gul) +P(grön) + P(blå) = 1. Alltså är P(gul) +P(grön) + P(blå) = 1 P(A) = 1 0,25 = 0,75. Om vi definierar komplementet till A, A, som alla de utfall som inte finns i händelsen A, så får vi följande regel: P( A) = 1 P(A) V3.15 Vad är sannolikheten för att två tärningar som kastas visar olika? V3.16 I en urna ligger 5 röda och 4 blå kulor. a) Vad är sannolikheten för att minst en kula är blå, om vi plockar upp två kulor? b) Vad är sannolikheten för att högst en kula är röd, om vi plockar upp två kulor? V3.17 Vad är sannolikheten för att få minst en sexa vid kast med a) två tärningar b) tre tärningar c) fyra tärningar? V3.18 Utanför en affär finns tre parkeringsplatser för kunder. Var och en av platserna är under affärstid ledig i genomsnitt sex minuter per timme. Beräkna sannolikheten för att a) alla tre platserna är upptagna när man kommer för att handla b) åtminstone en av platserna är ledig c) endast en av platserna är ledig. Sannolikhetslära - 21

Facit 1.1 a) Eftersom det finns 4 knektar så är P(knekt) = 1/13. b) P(hjärter kung) = 1/52. c) Eftersom det finns 13 spader så är P(spader) = 1/4. 1.2 a) Två av utfallen i figuren på sid har exakt en klave. Alltså är P(exakt en klave) = 1/2. b) Tre av utfallen har minst en krona. Alltså är P(minst en krona) = 3/4. c) Tre av utfallen har högst en krona. Alltså är P(högst en krona) = 3/4. 1.3 a) 6 av punkterna i utfallsrummet visar samma poängtal. P = 6/36 = 1/6. b) 15 av punkterna i utfallsrummet visar att poängsumman är åtminstone 8. P = 15/36 = 5/12. c) 10 av punkterna i utfallsrummet visar att poängsumman är högst 5. P = 10/36 = 5/18. d) 16 av punkterna i utfallsrummet visar att man får högst en poäng mer på den ena tärningen än den andra P = 16/36 = 4/9. 1.4 a) 10/100 = 1/10 b) 90/100 = 9/10 c) 21/100 = 9/25 d) 1/10 1.5 (44 + 46 + 7)/306 = 0,32 1.6a) 1/2 b) 3/10 c)3/10 1.7a) 2/7 b) 3/7 c)2/7 1.8 Det finns 25 primtal mellan 1 och 100. Alltså är P(primtal)= 1/4. Sannolikhetslära - 22

1.9 a) 4/16 = 1/4 b) 8/16 = 1/2 c) 12/16 = 3/4 1.10 1/3 1.11 a) Det finns 12 hjärter och 51 kort kvar. Alltså P = 12/51 = 4/17. b) Det finns 11 hjärter och 50 kort kvar. Alltså P = 11/51. 1.12 Sannolikheten för en trea är 15/120 = 1/8. Tärningen är alltså en oktaaeder. 1.13 Det verkar rimligt att varje antal ögon kommer upp 6 gånger av 120. Alltså är P = 6/120 = 1/20. Det verkar vara en ikosaeder. 2.1a) 0,15 b) 0,80 2.2a) 0,022 b) 0,186 2.3 a) 0,151 b) 0,944 2.4 a) 0,55 b) 0,32 c) 0,05 3.1 3 2 3 1 2 2 + + = 13 5 3 5 3 5 3 15 c) 0,207 d) 0,185 d) 0,36 e) 0,31 f) 0,66 0,36 = 0,30 3.2 0,8 + 0,2 0,9 = 0,98 Sannolikhetslära - 23

3.3 Sannolikheten för att ta en svart kula är 3/5 = 0,6. Sannolikheten för att ta en vit kula är 2/5 = 0,4. a) 0,6 0,6 = 0,36 b) 0,4 0,4 = 0,16 c) 0,6 0,4 + 0,4 0,6 = 0,48 3.4 0,10 0,15 gäller bara om händelserna är oberoende. Det skulle kunna vara så att en språkintresserad elev vill ha flera språk. I detta fall är inte båda valen oberoende och inte heller om valet gäller för elever med få språk som vill pröva ett enda nytt språk. 3.5 P(torrt väder i övermorgon) = 2 2 1 1 8 3 11 = + = + = 3 3 3 2 18 18 18 3.6 0,8 0,8 0,8 = 0,51 3.7 P(espetada) =1/2 P(espada) = 1/3 P(espadarte) = 1/6 a) (1/2) 3 + (1/3) 3 + (1/6) 3 = 0,17 b) (1/2)(1/3)(1/6) + (1/2)(1/6)(1/3) + (1/3)(1/2)(1/6) + (1/3)(1/6)(1/2) + 111 (1/6)(1/2)(1/3) + (1/6)(1/3)(1/2) = 6 = 1/6 236 3.8a) (1/3) 13 = 6,3 10-7 b) (2/3) 13 = 0,005 3.9 1 3 ( ) = 0,016 4 3.10 a) Summan 8 kan fås på 6 olika sätt vid dragning utan återläggning: 1+3+4, 1+4+3, 3+1+4, 3+4+1, 4+1+3, 4+3+1. Totala antalet möjliga utfall vid dragning av 3 6 kulor av 4 är 4 3 2=24. Den sökta sannolikheten blir alltså = 0, 25. 24 b) Vid dragning med återläggning tillkommer 6 möjligheter att få summan 8, nämligen 2+2+4, 2+4+2, 4+2+2, 2+3+3, 3+2+3, 3+3+2. Antalet gynnsamma utfall är alltså 6+6=12. Totala antalet utfall är nu 4 3 =64. Sannolikheten blir alltså 12 3 = = 0,1875 64 16 Sannolikhetslära - 24

3.11 a) Totala antalet utfall är 6 5. Antalet gynnsamma utfall = 6. P(Alla siffror 6 1 lika) = = = 7,72 10-4 0,08% 5 4 6 6 b) Totala antalet utfall är 6 5. Antalet gynnsamma utfall = 2. P( liten straight eller 2 1 stor straight ) = 5 6 = 3888 = 2,57 10-4 0,03%. 3.12 a) Totala antalet utfall = 4 4 = 256. Antalet för Venus gynnsamma fall = 4 3 2 1=24. Den första tärningen har 4 möjligheter, den andra 3 och så vidare. P(olika siffror 4 3 2 1 3 på alla tärningarna) = =. 4 4 32 1 b) Antalet gynnsamma fall är = 1. P(ettor på alla tärningarna) = 256. 3.13 Händelsen minst en sexa är komplementet till händelsen ingen sexa. P(ingen sexa) = 5 4 6. I fyra kast blir denna sannolikhet = 5. 6 4 5 P(minst en sexa) = 1 1 0,518. P(två sexor) =. P(inte två 6 36 sexor) = 1 1 = 35. Sannolikheten för händelsen minst en dubbelsexa vid 36 36 24 35 24 kast med två tärningar = 1 0,491. Det är tydligen lite mer 36 sannolikt att få en sexa vid 4 kast med en tärning (6 utfall vid varje kast) än två sexor vid 24 kast med två tärningar (36 utfall vid varje kast) trots att antalet kast i båda fallen är två tredjedelar av antalet utfall. Den flitige tärningsspelaren och adelsmannen Chevalier de Méré ansåg att sannolikheterna borde vara lika, men han hade upptäckt att de inte var det och ville ha en förklaring på detta. Han skrev därför år 1654 ett brev till matematikern Blaise Pascal (1623-62) och lade fram problemet. Pascal och matematikern Pierre de Fermat (1601-65) började brevväxla och utredde tillsammans saken. Denna brevväxling anses lägga grunden till den moderna sannolikhetsläran. 3.14 Vi vet från början att sannolikheten för att bilen finns bakom den dörr som jag väljer är 1/3 och att sannolikheten för att den är bakom någon av de två andra är 2/3. Vi vet också att bakom minst en av dessa dörrar är det en get. När så programledaren öppnar dörren med en get bakom, så vet vi nu att bilen inte är bakom just den dörren. Därför är det 2/3 chans att den är bakom den tredje dörren, och därför bör vi byta. 3.15 Komplementet är att de två tärningarna visar lika. P(De två tärningarna visar lika) = 1/6. Alltså är P(De två tärningarna visar olika) = 5/6. Sannolikhetslära - 25

3.16 a) Komplementet till att minst en kula är blå är att ingen är blå. Sannolikheten för två röda är 5 4 = 5. Alltså är P(minst en kula är blå) = 1 5 9 8 18 18 = 13 18. b) Komplementet till att högst en kula är röd är att två är röda som enligt a) är 5 4 5 =. Alltså är svaret 1 5 9 8 18 18 = 13 18. 3.17 Komplementet är ingen sexa. a) 1 (5/6) 2 = 11/36 b) 1 (5/6) 3 = 91/216 c) 1 (5/6) 4 = 671/1296 3.18 Var och en av platserna är upptagen 54 min/h = 0,9. a) Den sökta sannolikheten är 0,9 3 = 0,73 = 73%. b) Händelsen att åtminstone en av platserna är ledig är komplementet till a). P(en plats ledig) = 1 0,9 3 = 0,271 27% c) Sannolikheten att en speciell plats och endast den är ledig är 0,1 0,9 0,9 = 0,081. Detta kan ske på tre olika sätt. P(en och endast en plats ledig) = 3 0,081 = 0,243 24% Sannolikhetslära - 26