Basic reliability concepts Sven Thelandersson Structural Engineering Lund University
Begreppet Tillförlitlighet Allmän definition Förmåga att uppfylla specifika krav under specificerad tid Matematisk definition Sannolikheten att ett system inte uppnår ett definierat gränstillstånd under en given referensperiod
Gränstillstånd för konstruktioner Brottgränstillstånd Ex. materialbrott, instabilitet, olyckslast, brand Bruksgränstillstånd Ex. Formändringar, deformationer, svängningar, sprickor
Exempel på gränstillstånd Snölast Q Egentyngd G Gränstillstånd Bärförmåga R R=G+Q Brott om: g(r,g,q)=r-g-q<0 R,G och Q är stokastiska grundvariabler g( ) är gränstillståndsfunktionen
Gränstillstånd för mögelpåväxt efter Nevander/Elmarsson Vindskydd Luftspalt Träreglar Isolering Ångspärr Fasadskikt Innerpanel Kritisk punkt med RF= S %
RF i kritisk punkt S = S( X, X,... X 1 2 n ) Motsvarar belastning
Gräns för mögelpåväxt på trä RF då mögeltillväxt sker = R R Motsvarar bärförmåga
Gränstillstånd Mögeltillväxt om R-S<0 eller g( R, X,... ) 1 X n 0
Deterministic reliability measures Safety factor Partial safety factors
Säkerhetsfaktor ett traditionellt mått på tillförlitlighet Se till att G+Q<R/s där s är säkerhetsfaktor > 1 G,Q och R är nominella värden Tar ej hänsyn skillnader i osäkerhet hos ingående parametrar, t.ex G och Q.
Partial safety factor format R R = k ( G γ + Q γ ) = d γ R k G k Q S d γ R = γ m γ n Index k denotes characteristic value γ i denote partial safety factors
Return period - a semiprobabilistic Can be used for reliability measure actions due to natural phenomena extreme events Events should be successively independent Example: exceedance of certain treshhold, such as wind velocity > 40 m/s
Dela in tiden i referensperioder, säg 1 år Låt p vara sannolikheten att händelsen A inträffar under 1 år Låt T= det år då händelsen inträffar först. Då är P( T = t) = p (1 p) t 1 Väntevärdet för T (=returperioden) blir E( T ) = T = tp(1 p) = t= 1 1 n 1 p
Probabilistic reliability measures
Brottrisk, tillförlitlighet Brottrisk p f = P(R-G-Q<0) Tillförlitlighet = 1- p f Dimensionering av ny konstruktion Utforma konstruktionen så att p f är mindre än föreskrivet värde. Befintlig konstruktion Kontrollera att p f är acceptabelt låg
Formellt målvärde för brottrisk Eurocode, BKR m.fl. p f < p fmax = 10-6 per år
Risk levels for serviceability Structural serviceability, JCSS 2001 Relative cost for improving serviceability High 0.1 Normal 0.05 Low 0.01 Target probability of failure per year Risk for mould growth?
Beskrivning av osäkerhet R > G + Q Osäkerheter Materialvariation Toleranser Beräkningsmodell Permanent last Liten osäkerhet Osäkerheter Klimatvariationer Tidsvariation Modellosäkerhet..
Material variability, example Yield strength for steel COV=5-10%
Geometrisk variation, stålprofiler COV 5%
Tidsvariabla laster Referensperioden 1 år är logisk för klimatbetingade laster Tid
Simulated load sequence for 50 year snow load+permanent load Load 2 Last amplitud 1.5 SNÖLAST 1 0.5 0 PERMANENT LAST 0 10 20 30 40 Tid [år] 50 Time, years
Annual maximum snow depth, Umeå N= 84 years μ = 0.64 m COV= 36 %
Säkerhetsindex β Definiera säkerhetsmarginalen Z som Z= R-G-Q
Säkerhetsindex β β är ett behändigt mått på tillförlitligheten. Följande samband gäller p f = Φ(- β) där Φ är den standardiserade normalfördelningsfunktionen
General formulation The basis for reliability analysis is a limit state which can be formulated mathematically on the general form: g(x 1,..., X n ) = 0 where X i are stochastic variables.
Beräkning av säkerhetsindex β Kommersiella program finns tillgängliga för beräkning av säkerhetsindex för godtycklig form på funktionen g( ) INDATA: Statistisk beskrivning av alla ingående variabler
Code calibration For typical structural elements: a) Perform probabilistic design b) Determine safety coefficients so that the same results are achieved Sensitive to e.g. choice of distribution for variable load Dep. of Structural Engineering, Lund University
Probability based design Design the structure so that the probability of failure is limited to a prescribed level P ( R G Q < 0 ) = p f β = Φ 1 ( p f ) Dep. of Structural Engineering, Lund University
Partial safety factor format R R = k ( G γ + Q γ ) = d γ R k G k Q S d γ R = γ m γ n Index k denotes characteristic value γ i denote partial safety factors
Karakteristiska värden X k Hållfastheter: 5% fraktil Permanenta laster: Medelvärde Variabla laster: 98% fraktil av årsmaximum (återkommer i genomsnitt var 50:e år)
Target safety index β in Swedish code- ultimate limit state Safety Safety p f Partial class index β coef. γ n Low 3.7 10-4 1.0 Normal 4.3 10-5 1.1 High 4.8 10-6 1.2
Target safety index - from where? Determined by calibration against older practice some 30 years ago The variable load was then assumed normally distributed ( NKB Model Code ) The calibration was made for a simple steel beam Relevant statistical data were collected in the process Dep. of Structural Engineering, Lund University
Sannolikhetsbaserad analys av befintlig konstruktion Evaluering för specifikt fall ofta gynnsamt Systematisk behandling av osäkerheter och deras betydelse Ökad information om relevanta parametrar kan inkorporeras på ett logiskt sätt Värt besväret i gränsfall
Slutsats Modern säkerhetsfilosofi baseras på: konsistent hantering av osäkerheter beslutsunderlag från tillförlitlighetsanalyser sannolikhetsbaserade definitioner av styrande parametrar