Fysikum FK00 - Fysikexperiment Laborationsinstruktion (4 november 00) LABORATION 4 VÄTEATOMENS SPEKTRUM Mål Du skall i denna laboration bekanta dig med en gitterspektrometer och studera de monokromatiska linjerna i vätets synliga atomspektra Balmerserien. Med spektrometern uppmäts böjningsvinklarna för linjerna i Balmerserien i flera ordningar, varefter linjernas våglängder bestäms ur gitterformeln. Rydbergs konstant för väte, R H,kandärefterberäknasur Balmers formel. Med hjälp av detta värde på R H beräknas även vätets jonisationsenergi. Du presenterar dina resultat i en individuellt skriven kortfattad rapport där dina beräkningar och felbehandlingen tydligt redovisas. Primärvärden, använda formler och resultat redovisas.
LABORATION 4: Väteatomens spektrum Inledning. Spektrometern Inom spektroskopin studerar man elektromagnetiska spektra ljusets innehåll av olika våglängder beroende på atom och molekylreaktioner i det ljusemitterande objektet. Spektroskopin har haft avgörande betydelse för fysikens och speciellt atomfysiken utveckling under 900-talet. Idag bidrager spektroskopin till att erhålla unik kunskap vid astronomiska, biologiska, kemiska och andra analytiska undersökningar. En spektrometer kan arbeta med transmitterat ljus, genom t.ex. ett prisma eller ett gitter eller med reflekterat ljus. Huvudkomponenterna i spektrometern är: kollimatorn som tar in ljuset genom en smal spalt och gör detta parallellt, den komponent som sprider ljuset (prismat, gittret eller en spegel) och teleskopet som fångar in det avböjda ljuset och fokuserar detta på ett hårkors i teleskopet. Bilden av spalten och hårkorset betraktas med hjälp av en lupp (se figur ). Figur : Schematisk bild av en (transmission) gitterspektrometer. Ljuset från ljuskällan passerar kollimatorns spalt och görs parallellt. Det spridda ljuset från transmissionsgittret studeras med hjälp av ett vridbart teleskop. Vid mätningar bestämmer man diffraktionsvinkeln θ. Den tvåarmade spektrometern (med glaslinser) härrör frå n 8 0 0 - t a l e t s m i t t o c h b l e v a l l m ä n t använd från ca 900 i undervisningssammanhang.
LABORATION 4: Väteatomens spektrum 3 Ett diffraktionsgitter består normalt av en tunn glas- eller plastskivasomhar en serie mycket fina repor eller linjer skurna över ytan. Linjerna är raka och parallella och med ett konstant antal linjer per mm (n), typiskt 500 linjer per mm upp till flera tusen linjer per mm. Gittret fungerar väsentligen som en multippelspalt med spaltavståndet (gitterkonstanten) d = /n. Ljuset från gittret interfererar konstruktivt endast i vissa specifika vinklar för varje ljusvåglängd.. Teori Väteatomen består av en atomkärna (en proton) med en positiv elementarladdning +e och en elektron med en negativ elementarladdning ( e). För en elektron i någon bana runt en godtycklig kärna med laddningen Ze gäller att Coulombkraften F verkar på systemet F = Ze 4πɛ 0 r r () och den potentiella energin hos elektron-kärnsystemet är då E p = Ze 4πɛ 0 r () Antag att elektronen beskriver en cirkulär bana, se figur. Dess rörelsemängd p ä r λ r Figur : Elektronbana för stationärt tillstånd. konstant i en cikulär bana. Om denna bana skall svara mot ett stationärt tillstånd, måste den (enligt kvantfysikens lagar) då innehålla stående vågor av våglängen Det första gittret skapades redan i slutet av 700-talet men detvarjosephvonfraunhofer som insåg dess vetenskapliga betydelse (8).
4 LABORATION 4: Väteatomens spektrum λ = h/p. Från figuren ser man att det innebär att banans längd måste vara lika med en heltalsmultipel av λ, dvsπr n = nλ= nh/p eller r n p = nh/π (3a) Då p = m e v kan (3a) även skrivas som r n m e v = nh/π där m e ä r e l e k t r o n e n s m a s s a. ( 3 b ) ÅandrasidanfordrarelektronensrörelseekvationattF = m e v /r, därf ä r c e n - tripetalkraften. Men i det aktuella fallet med en elektron som rör sig runt en kärna är centripetalkraften lika med Coulombkraften (). Alltså: m e v r = Ze 4πɛ 0 r eller m e v = Ze 4πɛ 0 r (4) Om man eliminerar v mellan ekvationerna (3b) och (4) får man r n = n h ɛ 0 m e Ze π (5) Den potentiella energin från () kan användas för att uttrycka elektronens energi i en cikulär bana E = E k + E p = m ev Ze 4πɛ 0 r (6a) Om man använder (4) för att eliminera m e v får man E = Ze 4πɛ 0 (r) (6b) Införs vidare värdet på r n från (5) erhålls E = m ee 4 Z 8ɛ 0h n (6c) Något noggrannare beräkningar, som tar hänsyn till att elektronerna inte rör sig omkring atomkärnan utan kring kärnans och elektronens gemensamma tyngdpunkt visar att m e iovanståendeuttryckbörersättasavdens.k.reducerademassanµ µ = m em m e + M (7) där M är kärnans massa.
LABORATION 4: Väteatomens spektrum 5 Om väteatomens elektron exciteras till ett högre liggande tillstånd(e j )förblir den i detta tillstånd i ca 0 8 s, varefter den återgår till något lägre liggande tillstånd (E i )underutsändandetavstrålning. Omnu(E i )och(e j )betecknarenerginhosde respektive tillstånden får den utsända strålningen frekvensen ν enligt Bohrs villkor ν = E j E i h = c λ vak (8) där λ vak ä r v a k u u m v å g l ä n g d e n. D e t t a g e r B a l m e r s f o r m e l = E j E i λ vak hc = µe4 8ɛ 0h 3 c Z ( i j ) = R H Z ( i j ) (9) Uttrycket R H = µe4 kallas för Rydbergs konstant för väte. För väte är Z =. För 8ɛ 0 h3 c i =ochj =3, 4, 5, 6... osv erhålls den s.k. Balmerserien, en serie spektrallinjer som ligger i det synliga eller nära ultravioletta området och konvergerar mot en gräns λ vak =4/R H (se figur 3). n 5 4 3 Hα Hβ Hγ Hδ Balmer Bracket Paschen Pfund ev 3,53 0,5 5,7 Å 05,7 Å 97,5 Å Konvergensgräns Lyman 0 Figur 3: Hur de olika linjeserierna i vätets atomspektrum uppkommer.
6 LABORATION 4: Väteatomens spektrum Mätningar Vid diffraktion i ett gitter är villkoret för konstruktiv interferens nλ = d sin θ n där n =0,,... (0) λ ä r l j u s e t s v å g l ä n g d, d gitterkonstanten och θ n böjningsvinkeln från normalen i n:te ordningen. I spektrometern mäter man vinkeln θ n med hög precision. Saker att tänka på under laborationen: Rör ej glaset på vätelampan, spänningen är hög! Se till att inte röra gittret under mätningen, då måste mätningen göras om och kalibreringen är mycket omständlig. Om inte Na-linjerna går att upplösa, tag medelvärdet (589,938 Å), värdena finns annars i Physics Handbook för D -ochd -linjerna (se avsnitt.). Noteras bör att vätespektrats δ-linje är mycket svår att se, var beredd att ge upp detta moment.. Justering av spektrometern Spektrometern är ett exempel på ett instrument där laborativ skicklighet är avgörande för att fullt ut utnyttja instrumentets inneboende prestanda (upplösningförmåga). Vi kan enkelt inse att t.ex. längden av en stav kan mätas med en mm-graderad stållinjal med en onoggrannhet på ca 0, mm men att denna onoggrannhet är helt beroende av att linjalens nollpunkt är korrekt ansatt (dvs att det systematiska felet är nära noll). För vår spektrometer gäller att spalten och gitterlinjerna riktning bör vara parallellt med det rörliga teleskopets vridningsaxel för att minimera systematiska mätfel. En beskrivning av inställnings- och kalibreringsproceduren skulle här ta alltför stor plats. Denna görs dessutom mer åskådlig och förståelig vid en direkt demonstration. Labassistenten kommer att instruera er och visa på de viktigaste handgreppen idettafall.
LABORATION 4: Väteatomens spektrum 7. Bestämning av gitterkonstanten När spektrometern är klar att användas genomförs kalibreringen, dvs vi skall finna ett värde på gitterkonstanten med kännedom om de två kända natriumlinjerna i natriumlampans ljus. En uppskattning av gitterkonstanten kan även erhållas utifrån antal linjer per mm hos gittret som normalt anges av fabrikanten. Fundera över varför en mätning av gitterkonstanten är bättre än ett beräknat värde, även om antalet linjer per mm är exakt känt. Uppgift : Belys spalten med ljuset från en natriumlampa och bestäm läget av natriumlinjerna D och D (i Fraunhofers katalog över solspektret betecknas dessa linjer D och D,enbeteckningsomfortfarandeofta används) i första och andra ordningen till vänster och höger med avläsningar av båda nonierna. Använd tabellerna a och b i Appendix. Gitterkonstanten d erhålls med kännedom om våglängden λ och vinkeln från normalen i ordningen n nλ = d sin θ n ().3 Bestämning av våglängderna för Balmerseriens linjer Uppgift : Vätelampan placeras framför spalten. För var och en av de med blotta ögat synliga linjerna bestäms böjningsvinkeln i första och andra ordningen till höger och vänster om gitternormalen med avläsning på båda nonierna. Differensen mellan avläsningarna till höger och vänster=θ n. Använd tabellerna a, b och c i Appendix. Observera att med denna metod behöver vi inte känna till nollpunktens absoluta läge på vinkelskalan. 3 3 Iexempletmedlinjalenmotsvarasdetavattlinjalenöverlappar staven och att läget av stavens ändar läses av. Stavens längd beräknas sedan som skillnaden mellan de två avläsningarna.
8 LABORATION 4: Väteatomens spektrum 3 Beräkningar Med kännedom om gitterkonstanten d beräknas våglängderna för väteatomlinjerna H α, H β, H γ och H δ ur nλ luft = d sin θ n där n =, () Notera att den våglängd vi mäter med spektrometern är den våglängd ljuset har iluft(enljusvågharlägrehastighetiettmediumänivakuum, men bibehåller samma frekvens i de två medierna. Därav följer att mätningar i luft ger ett för lågt värde på ljusets våglängd). Med formeln (obs att våglängden λ luft anges i Åidennaformel): λ vak = [ λ luft ++, 5 0 4 (λ luft 3500) ] 0 0 (m) (3) omräknas våglängderna i luft λ luft till vakuumvåglängder och Rydbergs konstant för väte R H beräknas ur Balmers formel för Balmerserien (i =) ( = R H λ vak 4 ) j Med j =3, 4, 5och6erhållsfyravärdenpåR H. Beräkna medelvärdet för R H och beräkna därur väteatomens jonisationsenergi. (4) 4 Redovisning Du behöver inte skriva någon detaljerad redovisning över experimentuppställning eller någon utförlig beskrivning av utförandet. En kort introduktion räcker som sedan följs av en redovisning av dina beräkningar med angivande av formler. Ange speciellt:. Beräkningen av gitterkonstanten (n) enligtuppgift. Beräknafeletin med hänsyn till osäkerheten i den mätta vinkeln (obs använd natriumlinjernas våglängder iluft).. En tabell med de beräknade (medelvärden) våglängderna i luft med fel enligt uppgift och en jämförelse med litteraturvärden. 3. En tabell med alla framräknade värden på Rydbergs konstant i vakuum. Medelvärdet med fel på Rydbergs konstant anges. Jämför med litteraturvärde. 4. Härledning av en formel för väteatomens jonisationsenergi. 5. Beräkna och ange ett värde på jonisationsenergin med fel. Jämför med litteraturvärde. 6. Ange alla avlästa primärvinklar i tabellerna i nonieskalan, dvs ange t.ex. 78 4/30 iprimärtabellerna(nonieskalaninnehåller30skalstreck) och inte 78,3 grader. Vid all beräkningar därefter bör du förstås övergå till decimaltal.
LABORATION 4: Väteatomens spektrum 9 Appendix Dessa tabeller kan du med fördel klistra in i din logbok. Lösa tabellblad finns att hämta från kursens hemsida. Höger sida=hs, Vänster sida=vs, Höger nonie=hn, Vänster nonie=vn Först bestämmer vi gitterkonstanten d med hjälp av en Na-lampa. Tabell a: Na-linje D,ytterst Ordning VS:VN VS:HN HS:VN HS:HN Ordning (VS:VN HS:VN) n (VS:HN HS:HN) n θ n VN θ n HN Medel-θ n Tabell b: Na-linje D,innerst Ordning VS:VN VS:HN HS:VN HS:HN Ordning (VS:VN HS:VN) n (VS:HN HS:HN) n θ n VN θ n HN Medel-θ n Detta ger då d och d ur d sin θ n = nλ, av vilka ett medelvärde tas. Nu har vi gitterkonstanten d och kan använda den till att bestämma våglängden av vätespektrats linjer. Samma mätserier utförs sedan för vätelampans α-, β- ochγ-linjer. Om δ-linjen kan ses utförs mätningen även för den (se tabell ).
0 LABORATION 4: Väteatomens spektrum.
LABORATION 4: Väteatomens spektrum Tabell a: α, röd Ordning VS:VN VS:HN HS:VN HS:HN Ordning (VS:VN HS:VN) n (VS:HN HS:HN) n θ n VN θ n HN Medel-θ n Ordning λ α Medel-λ α λ α,vak R α H Tabell b: β, grön eller turkos Ordning VS:VN VS:HN HS:VN HS:HN Ordning (VS:VN HS:VN) n (VS:HN HS:HN) n θ n VN θ n HN Medel-θ n Ordning λ β Medel-λ β λ β,vak R β H
LABORATION 4: Väteatomens spektrum.
LABORATION 4: Väteatomens spektrum 3 Tabell c: γ, blålila Ordning VS:VN VS:HN HS:VN HS:HN Ordning (VS:VN HS:VN) n (VS:HN HS:HN) n θ n VN θ n HN Medel-θ n Ordning λ γ Medel-λ γ λ γ,vak R γ H Tabell d: δ, bör vara lila, nära UV. Ordning VS:VN VS:HN HS:VN HS:HN Ordning (VS:VN HS:VN) n (VS:HN HS:HN) n θ n VN θ n HN Medel-θ n Ordning λ δ Medel-λ δ λ δ,vak R δ H Tag nu ett medelvärde av dina uträknade R H och använd det för att bestämma väteatomens joniseringsenergi.