i medelvärdet

1. Medelvärde, standardavvikelse och felet i medelvärdet Antag att vi har N mätningar x 1,x,...,x N av en och samma storhet x. Under antagandet att alla avvikelser från medelvärdet är statistiska och små så gäller att: Medelvärdet: x = 1 N N x i (1) Standardavvikelsen: σ = 1 N (x i x) N 1 () Medelvärdesfelet: σ x = σ N (3) Mätningar vars gränsvärdesfunktion är given av Gaussfunktionen: N(x;µ,σ) = 1 πσ e (x x) σ (4) sägs vara normalfördelade med medelvärdet µ och standardavvikelsen σ. Normalfördelningsfunktionen talar om sannolikheten P( x t 1 σ x x+ t σ) att en mätning x hamnar i intervallet x t 1 σ x x + t σ, där t 1 och t är två positiva konstanter. Se vidare Appendix A och B i läroboken. R1-1 En mätserie gav följande resultat: 10.3, 10.6, 9.5, 9.7, 10., 11.1, 9.5, 9.9, 10.3, 10. Bestäm medelvärde, standardavvikelsen och medelvärdesfelet. R1- Tio mätningar av en resistans gav följande resultat: Mätning R (Ω) Mätning R (Ω) 1 101.13 6 101.01 100.15 7 99.98 3 100.0 8 99.80 4 99.95 9 99.90 5 99.9 10 100.01 Beräkna ett uppskattat värde för resistansen och den uppskattade mätosäkerheten i en enstaka mätning efter, 3, 5, 7 och 10 mätningar. Beräkna felet i medelvärdet. R1-3 Gelehallon i en påse har en vikt som är normalfördelad med en medelvikt om 3.6 gram och en standardavvikelse om 0.17 g. Hur stor är sannolikheten att ett gelehallon väger mer än 4 gram? Tillhör jag de 5% olyckligaste godisätarna om det gelehallon jag plockar upp ur påsen väger 3.41 g? R1-4 Stella åker buss till jobbet. Under en vecka mäter hon följande restider: Veckodag Må Ti On To Fr Restid (min.) 19 7 8 9 Antag att restiden är oberoende av veckodag (och oberoende av vecka, så länge vi håller oss till terminstid) och att den följer en normalfördelning. Uppskatta sannolikheten att restiden nästa måndag överstiger 30 minuter? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 005-05-04). R1-5 Antag att längden av danska män är normalfördelad med ett medelvärde av 175 cm och en standardavvikelse om 8.4 cm. Antag att män utgör hälften av Danmarks befolkning om ca 5.6 miljoner. Hur många danska män är då: längre än 180 cm? längre än 00 cm? mellan 155 och 165 cm? mellan 17 och 179 cm? 1

R1-6 I Fisheries Science (Feb. 1995) publicerades en studie av tvååriga sardiner i japanska fiskevatten. Man fann att längden av dessa sardiner var normalfördelad med µ = 0,0cm och σ = 0,65cm. Hur stor är sannolikheten att en tvååarig sardin i japanska fiskevatten är mellan 1 och cm lång? Hur stor är sannolikheten att den är kortare än 19,84 cm? Hur stor är sannolikheten att den är längre än,01 cm? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 004-05-07). R1-10 5 studenter mätte längden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m,,90 m, 3,70 m, 3,50 m och 3,10 m. Inga uppgifter om mätnoggrannheten är kända. Uppskatta sannolikheten att resultatet skullebli4,00meterellerstörreomvilätensjätte student mäta samma rum. R1-7 En automatisk färgblandningsmaskin kan ställas in så att den i genomsnitt doserar milliliter pigmentlösning per färgburk. Man har funnit att den mängd pigmentlösning som maskinen verkligen doserar i varje burk följer en normalfördelning kring det inställda värdet med en standardavvikelse om 0.4 milliliter. När man tillverkar en speciell blå nyans måste man kassera de burkar i vilka maskinen doserar mer än 6 milliliter pigmentlösning, eftersom färgen annars blir för mörk. Bestäm hur man skall ställa in så att endast 1% av burkarna måste kasseras. (Tentamensuppgift i Exp. Met. 004-06-15). R1-8 Visa att (xi x) = x i 1 N ( xi ) (5) Den här formeln kan vara nyttig när man skall räkna ut standardavvikelsen, eftersom man inte först behöver räkna ut medelvärdet. R1-9 Vid en mätning av en kontinuerlig variabel erhölls följande resultat: x 0 x < 1 1 x < x < 3 3 x < 4 4 x < 5 n 0 0 1 4 x 5 x < 6 6 x < 7 7 x < 8 8 x < 9 9 x < 10 n 6 3 1 1 Beräkna medelvärde och varians. Plotta resultatet i ett histogram. Skissa den normalfördelning som svarar mot dessa värden i samma plott.

. Histogrammerade data och viktat medelvärde För klassindelade data x i (k intervall) med frekvensen f i gäller att (x i r normalt lika med mittpunkten i varje klass): Medelvärdet: x = 1 N k f i x i där N = Standardavvikelsen: σ x = 1 N 1 k f i (6) k f i (x i x) (7) = 1 [ k f i x i N 1 1 ( k ) ] f i x i N Antag nu att vi har N mätningar x 1,x,...,x N av en och samma storhet x, med kända osäkerheter σ 1,σ,...,σ N. Den bästa uppskattningen av det sanna medelvärdet x är då: Medelvärdet: x = N w ix i N w i där viktfaktorerna w i definieras som w i = 1 σ i Felet (osäkerheten) i x är σ x = 1 N w i (8) (9) (10) 8.4±0.m, 8.6±0.6m, 9.±.5m, 7.9±1.3m. Vilken är den bästa kombinerade uppskattningen av höjden på huset? R- I en artikel publicerad i en vetenskaplig tidskrift anges det 95-procentiga konfidensintervallet för egenfrekvensen hos en viss typ av balkar till (9.764 Hz, 33.504 Hz). Bestämningen baseras på fem mätningar, vi kan anta att bestämningen beskrivs av en normalfördelning. Bestäm det 99-procentiga konfidensintervallet. Hur många mätningar behöver man göra för att det ursprungliga intervallet skulle motsvara ett 99-procentigt konfidensintervall? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 003-05-09). R-3 Vid tre mätningar av ljushastigheten erhölls: (.99769±0.00050) 10 8 m/s (.99690±0.00080) 10 8 m/s (.99840±0.00070) 10 8 m/s Beräkna medelvärdet och dess osäkerhet. R-4 För att mäta resistansen hos en resistor mäts spänningen över resistorn samtidigt med strömmen genom resistorn. Följande värden erhölls: I(A) σ I (A) U (V) σ U (V) 0,50 0,0 4,39 0,05 1,00 0,0 8, 0,05,00 0,05 15,80 0,1 3,00 0,05 3,10 0,1 Bestäm resistansen med hjälp av ett viktat medelvärde ur formeln R = U/I. R-1 Sex studenter mätte höjden på labb-huset och fick följande värden: 8.±1.m, 7.8±0.9m, 3

3. Felfortplantning Om funktionen z = f(x 1,x,...,x N ) är en funktion av flera variabler x 1,x,...,x N ) med osäkerheterna σ 1,σ,...,σ N och om alla x i är okorrolerade, kan osäkerheten i z skrivas Felfortplantningsformeln: σ z = N ( f ) σ x i (11) i För två variabler med z = z(x,y) får vi således ( z) σ σ z = x x + ( z) σ y x (1) Om de två variablerna x och y är korrelerade gäller däremot Den allmänna felfortplantningsformeln med två variabler: ( z) σ σ z = x x + z z x y σ xy + ( z) σ y x (13) därσ xy beskriverkorrelationenmellanvariablerna. R3-1 Tvåresistanserbestämdestill: R 1 =10.7± 0.Ω och R = 5.5 ± 0.5Ω. Beräkna den kombinerade resistansen R, när man: 4. Linjär regression Betrakta två fysikaliska variabler x och y som vi misstänker är linjärt relaterade, dvs satisfierar den linjära relationen y = a+b x. Den räta linjens parametrar a och b kan anpassas till den experimentelladatamängden[(x 1,y 1 ),(x,y ),...,(x N,y N )] genom linjär regression eller som vi också säger: minsta kvadratanpassning till rät linje. Metoden går ut på att minimera uttrycket: N χ (y i a b x i ) = (14) σ i där σ i är osäkerheten i mätvärdet y i. Viktad anpassning: wx wy wx wxy wx a =, σ a = (15) w wxy wx wy w b =, σ b = (16) där = w wx ( wx). Vi skall även här ange hur kovariansen σ ab beräknas (se kapitel 5): wx σ ab = (17) Oviktad anpassning (σ i = 1): a) seriekopplar resistorerna, R = R 1 +R b) parallellkopplar resistorerna, 1 R = 1 R 1 + 1 R a = x y x xy, σ a = σ y x (18) R3- Den elektriska effekt som utvecklas i en resistor i en likströmskrets kan beräknas ur uppmätta värden på spänning (U) och resistens (R) som: P = U R Antag att osäkerheten i U och R är känd som σ U och σ R, beräkna då σ P. R3-3 Om spänningen i uppgift R3- är mätt till 15±V och resistansen till 6±1Ω, vilken blir då effekten? b = N xy x y N, σ b = σ y (19) där = N x ( x) och den bästa uppskattningen av osäkerheten i y: σ y = 1 N (y i a b x i ) N (0) R4-1 Använd data i uppgift R-4. Bestäm ett värde på R med hjälp av en anpassning till den 4

räta linjen U = a+b I (gör först en oviktad anpassning och sedan en viktad anpassning med ekvivalenta fel). Jämför och kommentera resultatet i R-4 (bortse från korrelationen mellan parametrarna a och b). R4- Under åren 1975 till 1987 gjordes mätningar av lutningen hos det lutande tornet i Pisa. Man erhöll följande resultat: Sätt ut försöksresultatet i ett diagram med Mängd på x-axeln och Utbyte på y-axeln. Vilket utbyte kan förväntas om man tillsätter 350 mängd gödsel? År x År x 1975,964 198,9698 1976,9644 1983,9713 1977,9656 1984,9717 1978,9667 1985,975 1979,9673 1986,974 1980,9688 1987,9757 1981,9696 Lutningen x är ett mått (i meter) på hur mycket en punkt på tornet avviker från motsvarande punkt på tornet om tornet stod rakt. Hur många mm per år förflyttar sig punkten? R4-3 En storhet y antas bero av en mätt variabel x enligt funktionssambandet y = A x +B sin x. Följande värden mättes: x y y 0,0 0,7 0,01 0,40 1,3 0,01 0,60 1,53 0,01 0,80 1,59 0,01 1,00 1,37 0,01 Bestäm den bästa uppskattningen av parametrarna A och B. Mängd Utbyte R4-4 I ett jordbruksförsök 100 40 mätte man ut- 00 50 bytet man fick på ett 300 50 vetefält med olika mängd 400 70 av konstgödsel. Följande 500 65 resultat erhölls (tabellen 600 65 till höger). 700 80 5

5. Korrelationskoefficienten Inom statistik anger korrelation styrkan och riktningen av ett linjärt samband mellan två variabler. Det kallas även korrelationskoefficient och betecknas vanligen med r eller ρ(x, y). Här skall vi använda den vanligaste formen som kallas Pearsons produktmomentkorrelationskoefficient r = σ xy σ x σ y (1) där σ xy är kovariansen och σ x och σ y är de två variablernas standardavvikelse. Vid praktiska beräkningar kan fomerna eller r = σ xy σ x σ y = r = användas. (xi x)(y i ȳ) (xi x) (y i ȳ) () xi y i N xȳ ( x (3) i N x)( yi Nȳ) I Appendix C i läroboken anges sannolikheten P( r r 0 ) att N mätningar av två okorrelerade variabler x och y skall ge ett värde på korrelationskoefficienten r r 0. R5-1 En barnläkare ville undersöka om det fanns något samband mellan längd och huvudomfång hos tre-åriga barn. Hon mätte därför upp följande värden för 11 slumpvis utvalda tre-åringar. Undersök om det verkar finnas fog för antagandet att det finns ett samband mellan längd och huvudomfång. Längd Huvudom- (cm) fång (cm) 70,5 44,5 6,0 43,5 65,0 43,5 66,0 44,0 63,5 43,5 70,5 44,5 67,5 44,0 68,5 44,5 68,0 44,0 68,0 44,5 67,0 44,5 R5- Tio personer som har köpt en viss typ av träningsutrustning har fått ange hur många månader de ägt utrustningen och hur många timmar de använde den föregående vecka. Följande data observerades Person 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Antal månader som utrustningen ägts Antal månader som utrustningen användes föregående vecka 1 6 9 7 8 4 10 5 4 10 8 5 5 8 3 8 5 Hur starkt är sambandet? R5-3 I tabellen nedan redovisas för åtta slumpvis valda länder dels den förväntade medellivslängden för kvinnor födda 1999, dels befolkningstillväxten under 1999. Finns det skäl att hävda att det finns ett samband mellan dessa bägge storheter? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 007-08- 3). Land Förv. medel- Befolkningslivslängd (å) ökning (%) Andorra 86,55,4 Kuwait 79,30 3,88 USA 79,67 0,85 Kroatien 74,49 0,10 Tonga 7, 0,80 Marshallöarna 66,50 3,86 Indonesien 65,9 1,46 Gabon 60,08 1,48 6

R5-4 Geysern Old Faithful är en av de mest kända attraktionerna i Yellowstone National Park. Med oregelbundna intervall sprutar den heta källan upp en stråle vatten som kan nå ända upp till 50 meter upp i luften. Eftersom alla turister vill se ett utbrott, men få har tålamod att vänta de upp till två timmar som det kan ta innannäastautbrottkommersåärdetönskvärtatt kunna förutsäga när nästa utbrott kommer. För att försöka göra det noterade man för åtta utbrott dels hur många sekunder utbrottet varade, dels hur högt den högsta kaskaden nådde och sedan hur länge man fick vänta på nästa utbrott. Undersök vilken av de två övriga variablerna som har starkast korrelation med väntetiden till nästa utbrott. Hur stor är sannolikheten att en variabel som inte har någon korrelation med väntetiden uppvisar ett så högt värde på korrelationskoefficienten? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 006-05-1). 6. Dimensionsanalys Dimensionsanalys eller enhetsbetraktelse är ett hjälpmedel för att reducera antalet möjliga samband. Den innebär att man studerar vilken dimension de ingående kvantiteterna har. Följande är ett exempel på hur man använder dimensionsanalys: Antag vi vet att det finns ett samband mellan hastigheten v (mäts i m/s), sträckan s (mäts i m) och tiden t (mäts i s). Vilket är det exakta sambandet? Eftersom dimensionen för kvoten s/t är [m/s] borde formeln bli v = s/t. Att dimensionen är korrekt innebär dock inte nödvändigtvis att den antagna formeln är korrekt. Formellt ställer vi upp ett produktsamband: v = s α t β där parametrarna α och β skall bestämmas. Vi får följande samband (VL = HL): } m = m α s 1 = s β = α = 1,β = 1. Utbrott av Old Faithful Utbrottets Höjd Väntetid längd (s) (m) (min.) 40 4 9 10 33 65 178 37,5 7 34 36 94 35 4 83 69 36 94 55 37,5 101 0 45 87 R6-1 För att ett föremål ska röra sig i cirkulär bana med konstant fart krävs en centripetalkraft. Gör en dimensionsanalys för denna kraft och de storheter den kan förväntas bero på. R6- Gör en dimensionsanalys för svängningstiden (T) för en pendel. Antag att den beror på följande storheter: Längden L, hos pendeln, den svängande massan m samt tyngdaccelerationen g. R6-3 När vågor närmar sig stranden är deras hastighet beroende av tyngdaccelerationen, vattendjupet samt en dimensionslös konstant. Bestäm genom dimensionsanalys hur detta samband ser ut. Bestäm med hjälp av nedanstående mätserie av vågornas hastighet som funktion av vattendjupet den dimensionslösa konstanten och därmed det fullständiga uttrycket för vattenvågors hastighet. Djup (m) 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 Hastighet (m/s ),3±0,15,6±0,3 3,1±0,15 3,35±0, 3,86±0,15 7

Felet i vattendjupet kan försummas. Mätningarna av vågornas hastighet kan anses vara okorrelerade. (Tentamensuppgift i Exp. Met. 001-05- 1). R6-4 Hur mycket energi kan frigöras i en atombombsexplotion? Det är rimligt att anta att det kan finnas ett fysikaliskt samband mellan tryckvågens radie R, tiden t efter explosionen, omgivningens medeldensitet(dvs luften täthet) ρ och den frigjorda energi E. Antag produktsambandet R = K E α t β ρ γ där konstanten K antas vara dimensionslös. Bestäm parametrarna α, β och γ. (Detta beroende verifierades av en serie fotografier (av J. E. Mack) tagna i exakta tidsintervall efter den första atombombsexplosionen i New Mexico år 1945 varvid energin kunde bestämmas.) 7. Poissonfördelningen Poissonfördelningen beskriver experiment där man räknar händelser som uppträder slumpmässigt men som har en konstant medelfrekvens. Om det under tidsintervallet T uppträder ν händelser så är sannolikheten för det givet av funktionen P(ν händelser under tiden T) = e µµν ν! (4) där parametern µ är det förväntade medelvärdet av antalet händelser under tiden T. Standardavvikelsen av det observerade antalet ν är µ R7-1 Enligt National Center for Health Statistics i USA så följer antalet färgblinda män i USA en Poissonfördelning med i genomsnitt 1,0 färgblind person per 100 personer. Antag att vi har 500 slumpvist utvalda amerikanska män, beräkna då sannolikheten för att det finns exakt tre färgblinda personer i gruppen. Hur stor är sannolikheten att det finns mindre än tre färgblinda personer i gruppen? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 006-05-1). R7- På sjukhuset i Kalix arbetar barnmorskorna i sex-timmarspass. Det visar sig att antalet födslar under ett sådant pass är Poissonfördelat med ett genomsnitt på 1,3 födslar. Under hur många av årets arbetspass kan man förvänta sig att det inte kommer att födas några barn alls? Om antalet födslar under ett pass överstiger fem så måste bakjouren från det lokala bemanningsföretaget kallas in. Varje gång detta sker betalar landstinget 10 000 kronor. Hur mycket skall sjukhusdirektören sätta av i sin årsbudget för detta ändamål? (Tentamensuppgift i Exp. Met. 003-05-09). R7-3 I en undersökt å med rinnande vatten har man funnit en genomsnittlig koncentration av colibakterier av 1 per 0cm 3 vatten. Vid ett tillfälle 8

togs ett prov på 10cm 3 vatten. Hur stor är sannolikheten att detta prov innehåller exakt colibakterier? R7-4 Tabellen nedan visar några klassiska data från 1910 av Rutherford, Geiger och Bateman. De studerade antalet α-partiklar per 1/8 minut som emitterades av en tunn film av polonium. Den vänstra kolumnen ger antalet observerade α-partiklar under ett sådant tidsintervall (1,5 s) och den högra kolumnen anger antalet räknade tidsintervall med detta antal sönderfall. Antal Antal sönderfall obs. per 7,5 s intervall 0 57 1 03 383 3 55 4 53 5 408 6 73 7 139 8 45 9 7 10 10 11 4 1 0 13 1 14 1 15 0 a) Beräkna den genomsnittliga sönderfallshastigheten. b) Beräkna det förväntade antalet sönderall (E) i varje fall. c) Jämför Rutherfords data (A) med det det förväntade (E). 8. Chikvadrattest För n observationer (O k ) där vi känner (eller kan beräkna) medelvärdet (E k ) med observationernas standardavvikelse(σ k )kanvidefinierachikvadratfunktionen χ = Σ n (O k E k ) k=1 (5) E k I de fall (k) där vi räknar antalet händelser (O k ) meddetförväntadeantalet(e k )antarviattstandardavvikelsen är σ k = E k. Upprepar vi experimentet n gånger blir medelvärdet av χ lika med d, där d = n c, där c är antalet parametrar som beräknats från data för att beräkna χ. Denreducerade χ -fördelningendefinierassom χ = χ /d (6) I Appendix D i läroboken finner man sannolikheterna P d ( χ ) χ 0. R8-1 I problem 1.6 och 1.7 i Taylor skall man ange antalet frihetsgrader för vart och ett av problemen 1.1 och 1. till 1.4 respektive. a) I 1.1 har vi klassindelat materialet i 4 binnar, dvs n = 4. Det totala antalet observationer är 50 och från dessa har medelvärdet och standardavvikelsen beräknats (för att definiera klassgränserna). b) I 1. har vi klassindelat materialet i 4 binnar, dvs n = 4. Det totala antalet observationer är 30 och från dessa har medelvärdet och standardavvikelsen beräknats (för att definiera klassgränserna). c) I 1.3 har vi klassindelat materialet i 6 binnar, dvs n = 6. Det totala antalet observationer är 40. d) I 1.4 har vi klassindelat materialet i 3 binnar, dvs n = 3. Det totala antalet observationer är 400. 9

R8- Beräkna den reducerade chi-kvadraten för fördelningen i problem R7-4 ovan och ange motsvarande sannolikhet. Vad är tolkningen av denna sannolikhet? R8-3 Hur många frihetsgrader har data i tabellen nedan? Vi sammanfattar fördelningarna i tabellen ovan. Det är uppenbart att det finns en viss diskrepans mellan fjolårets fördelning och kundernas val. Bilförsäljaren frågar sig om denna skillnad är verklig eller endast ett verk av slumpen. Låt nu noll hypotesen (H 0 ) vara den att det inte finns någon skillnad mellan förväntad och observerad frekvens. Den alternativa hypotesen är den att det finns en skillnad. Hjälp bilförsäljaren att avgöra vilken hypotes hon skall välja. Antag att signifikansnivån sätts till 5% hur stort får χ då högsta vara? R8-4 Hur många frihetsgrader har data i tabellen nedan? R8-5 En bilförsäljare vill beställa ett bilmärke i fem olika färger. Hon utgår från det föregående årets försäljning av samma märke med färgerna gul, röd, grön, blå och vit som fördelade sig som 0%, 30%, 10%, 10% och 30%. För att kontrollera om detta var en rimlig fördelning valde hon ut 150 kunder som var och en fick ange sitt färgval om personen i fråga skulle köpa denna modell. Färg Förväntad Kundernas kategori fördelning val Gul 30 35 Röd 45 50 Grön 15 30 Blå 15 10 Vit 45 5 10