Lösningar till några övningar i geometri Kapitel 2 1. Formuleringen av övningen är tyvärr inte helt lyckad (jag ska ändra den till nästa upplaga, som borde ha kommit för länge sedan). Man måste tolka frågan så här: Vilka av trianglarna är kongruenta resp. likformiga för någon ordning mellan hörnen? Som jag sade på lektionen så är det inte säkert att ABC = A C B även om ABC = A B C, dvs ordningen i vilken man räknar upp hörnen är väsentlig för kongruens och (likformighet). Beteckna trianglarna uppifrån vänster med a till i. Trianglarna a, b och c har lika stora vinklar och sidan mellan 70- och 80-gradersvinklarna är 2, så de är kongruenta enligt VSV. f har lika stora vinklar, men här är en annan sida 2. Den är således likformig med a,b och c. d och i är liksidiga, men har sidorna 5 resp. 3, så de är likformiga. e och g är halva liksidiga trianglar och är likformiga eftersom sidorna inte är parvis kongruenta. h är en halv kvadrat och ensam i sitt slag. 2.a) Basvinkelsatsen ger att DBC = DCB. Om AC och BC vore lika långa, så skulle A = B och då följer att dessa två är 45 grader och C rät. Svaret är alltså nej, det måste inte gälla att AC = BC. b) Här är både ADC och BDC räta. Kongruensfallet SVS ger att ADC = BDC eftersom AD = BD och sidan CD är gemensam. Alltså är AC = BC, så svaret är ja. c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC. 1
Att ACD = DBC följer av att ( ACD) + ( DCB) = 90 = ( DCB) + ( DBC). d) Här ger bisektrissatsen omedelbart att AC = BC. 5. Av omvändningen till basvinkelsatsen följer att DE = DB = 2. Vi har DBE ABC. Ty B är gemensam och BD BA = 1 3 = BE BC, så detta följer av likformighetsfallet SVS. Eftersom DBE är likbent, DB = DE, så är även ABC likbent, alltså AC = AB = 6. 2
6. Eftersom F E är parallell med AB så är F EC ABC. Alltså är Detta ger x = 8/3. CF F E = CA AB dvs 4 x 4 = x 8. 7.a) Linjen genom C och D är transversal till BC och DE och BCD och CDE är alternatvinklar. Eftersom de är kongruenta, så är BC och DE parallella. Enligt topptriangelsatsen är ADE ABC. Då BD = CE, så följer att AD = AE. b) Låt ABC vara likbent och rätvinklig vid C (dvs en halv kvadrat). Vi kan säga att AC = BC = 1. Låt D vara mittpunkten på hypotenusan AB. Då är BD = 2/2. Avsätt E på AC så att CE = BD = 2/2. Då uppfyller ABC villkoren i uppgiften, eftersom både BCD och A är 45 grader. Men vi har inte AD = AE. 8. Eftersom BCE = CEB så följer enligt omvändningen till basvinkelsatsen att BCE är likbent, närmare bestämt att BE = BC = 2. Linjen CE 3
är transversal till linjerna BE och AF. Vinklarna CEB och F CE är alternatvinklar. Eftersom de är kongruenta, så är BE och AF parallella. Enligt topptriangelsatsen är ADC BDE, vilket ger Vi får BD = 8. AD BD = AC BE, dvs 4 + BD = 3 BD 2. 9. Eftersom ABC är likbent så är AE både bisektris och höjd. Alltså är BE = 6. Pythagoras sats ger AE 2 = AB 2 BE 2 = 10 2 6 2 = 64, så AE = 8. Sätt x = BD. Då är DE = 6 x. Bisektrissatsen ger DE BD = AE AB dvs 6 x x = 8 10, varav x = BD = 10/3 och DE = 8/3. 11. Eftersom AB 2 + AC 2 = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 2 = BC 2, så är ABC rätvinklig vid A enligt omvändningen till Pythagoras sats. Låt D vara skärningspunkten mellan bisektrisen från B och sidan AC. Enligt bisektrissatsen gäller AD CD = AB CB dvs som ger AD = 3/2. Pyhtagoras sats igen ger AD 4 AD = 3 5, BD = AB 2 + AD 2 = 3 2 + (3/2) 2 = 3 5/2. 4
13. I figuren gäller u + w = t + v eftersom A = C. Vidare är u + v = t + w eftersom ( B) + u + v = ( D) + t + w = 180 och B = D. Adderar vi sambanden u+w = t+v och u+v = t+w ledvis så får vi 2u+v+w = 2t+v+w, vilket ger u = t. Nu är AC transversal till AB och CD och eftersom tydligen alternatvinklarna CAB och ACD är kongruenta, så är AB och CD parallella. Sätter vi in u = t i u + w = t + v så får vi v = w, vilket på samma sätt ger att AD och BC är parallella. Alltså är ABCD en parallellogram. 14. Kongruensfallet SSS ger att ABC = CDA. Alltså är CAB = ACD, vilket som i Övning 13 visar att AB och CD är parallella. På samma sätt visas att AD och BC är parallella. Alltså är ABCD en parallellogram. 5
17. I figuren nedan antar vi att AB och CD är parallella och lika långa. Linjen BD är transversal till AB och CD. Vinklarna ABD och BDC är alternatvinklar och således kongruenta. Kongruensfallet SVS ger nu att ABD = CDB. Ty AB = CD, ABD = BDC och sidan BD är gemensam. Detta ger att ADB = CBD, vilket i sin tur visar att AD och BC är parallella. Ty BD är transversal till AD och BC och ADB och CBD är alternatvinklar. Alltså är ABCD en parallellogram. 19. Låt ABCD vara en parallellogram och antag först att den är en romb, dvs att AB = CD = AD = BC. Då är ABC = ADC enligt SSS. Alltså är BCA = DCA. Kongruensfallet SVS ger nu att EBC = EDC. Ty sidan EC är gemensam, BCA = DCA och BC = DC. Det följer nu att BEC = DEC, varför de båda måste vara räta. Vi antar nu omvänt att diagonalerna i parallellogrammen ABCD är vinkelräta. Diagonalerna i en parallellogram delar varandra mitt itu, så BE = DE. I BEC och DEC är sidan CE gemensam och vinklarna BEC och DEC räta, så SVS ger att de är kongruenta. Alltså är BC = CD. 6
22. Vinklarna BAE och DF E är alternatvinklar med avseende på de parallella linjerna AB och CD och transversalen AF. Alltså är BAE = DF E. På samma sätt får vi ABE = F DE, så VVV ger att ABE F DE. Alltså gäller DF / AB = F E / EA = 9/12 = 3/4. Topptriangelsatsen ger ABG F CG, så F C F G = AB AG. Nu är och så vi får ekvationen Detta ger F G = 7. F C DC DF = = 1 DF AB AB AB = 1 3 4 = 1 4 F G AG = F G F G = AF + F G 21 + F G, F G 21 + F G = 1 4. 23. Eftersom AE = DE så är AED likbent och alltså EAD = EDA. Beteckna vinklarnas mått i grader med u. På samma sätt får vi EAB = EBA och vi betecknar deras mått med v. Vinkelsumman i ABD är 180 grader, vilket ger 2u + 2v = 180 och alltså u + v = 90. Vinkeln A i fyrhörningen är tydligen rät och analogt visar man att alla vinklarna är räta. Kapitel 3 7
1. Låt E vara cirkelns medelpunkt och drag radierna EB och EC. Då är EBA och ECA räta vinklar eftersom EB och EC är radier och AB och AC tangenter. Alltså är ( BEC) = 360 2 90 38 = 142. Enligt periferivinkelsatsen är ( BDC) = 142 /2 = 71. 2. Vinkelsumman i en femhörning är 540 grader, så ( E) = 90. Låt F vara cirkelns medelpunkt. Vinklarna B och ADC står båda på kordan AC, fast på olika sidor om denna. Medelpunktsvinkeln som svarar mot periferivinkeln B är 240 grader. Medelpunktsvinkeln som svarar mot periferivinkeln ADC är 360 240 = 120 grader. Alltså är ( ADC) = 60. På samma sätt får vi ( ACD) = 90. Detta ger nu ( DAC) = 180 90 60 = 30 och ( DAE) = 180 (100 60 ) 90 = 50. 3. BDA är likbent eftersom både DB och DA är radier. Alltså är ( DAB) = 90 ( BDA) /2 och på samma sätt får vi ( CAE) = 90 ( CEA) /2. Addition av dessa ger ( DAB) + ( CAE) = 180 ( BDA) + ( CEA). 2 I fyrhörningen DECB är både DBC och ECB rät, så ( BDA) + ( CEA) = 360 ( DBC) ( ECB) = 180, vilket ger ( DAB) +( CAE) = 90 och till slut ( BAC) = 180 90 = 90. 8
6. Eftersom AB är en diameter så är periferivinkeln ACB rät. Pythagoras sats ger BC = AB 2 AC 2 = 13 2 5 2 = 12. Anmärkning: Själva beräkningen blir enkel om man gör så här: 13 2 5 2 = (13 + 5)(13 5) = 18 8 = 2 3 2 2 3 = 2 4 3 2 ger 13 2 5 2 = 2 4 3 2 = 2 2 3 = 12. 7. De två tangenterna från en punkt till en cirkel är lika långa. Detta ger AB + CD = AF + BF + DH + CH = AE + BG + DE + CG = AE + DE + BG + CG = AD + BC. 8. Enligt andra fallet i kordasatsen är AP BP = CP DP. Låt cirkelns radie vara r. Då är CP = MP r och DP = MP + r. Vi får AP BP = MP 2 r 2, så r 2 = 10 2 9 4 = 64 och r = 8. 11. Sätt MP = x. Enligt kordasatsen gäller (5/2) 2 = (5 x)(5 + x), vilket ger x 2 = 5 2 (5/2) 2 = 5 2 3/2 2, så x = 5 3/2. 9
13. Enligt kongruensfallet SVS är ABE = CDE och alltså är EAB = ECD. Beteckna vinklarnas mått i grader med u. På samma sätt får vi EAD = ECB och vi betecknar deras mått med v. Eftersom ABCD är inskriven i en cirkel så gäller u + v + u + v = 180, så u + v = 90, dvs A och C är räta. Att de andra vinklarna är räta följer analogt. Kapitel 9 3. Enligt periferivinkelsatsen är DAC = DBC eftersom de står på samma båge. Av samma skäl är ADB = ACB. Eftersom AD = BC, så följer av kongruensfallet VSV att AED = BEC. Alltså är AE = BE och DE = CE. Båda trianglarna ABE och CDE är tydligen likbenta. Eftersom AEB = DEC (de är ju vertikalvinklar) så ger likformighetsfallet SVS att ABE CDE. Således har vi två kongruenta alternatvinklar, BAC = DCA, vilket medför att AB och CD är parallella. 10
7. Pythagoras sats ger BC 2 = AC 2 + AB 2 = 12 2 +5 2 = 169, dvs BC = 13. Kordasatsens andra fall ger AC DC = BC EC eller 12 4 = 13 EC, så EC = 48/13. 15. Beteckna det sökta avståndet med x meter och avståndet mellan Jönköping och Askersund med s meter. Låt jordradien vara R meter. Avståndet s är litet i jämförelse med jordens omkrets, så vi kan anta att avståndet mellan de två städerna mätt längs den räta linjen mellan dem också är lika med s. Kordasatsens första fall ger (s/2) 2 x(2r x). Nu är x litet i jämförelse med R, så vi får x s 2 /4 2R = s 2 /8R. Insättning av s = 12 10 4 meter och R = 600 10 4 meter ger x 122 10 8 8 6 10 6 = 300. 19. Med beteckningar som i figuren ger Pythagoras sats på DEC, AED och EBC y 2 + z 2 = 3 2, x 2 + 2 2 = y 2 resp. x 2 + 1 2 = z 2. Insättning av y 2 och z 2 i den första ekvationen ger x 2 + 2 2 + x 2 + 1 2 = 3 2, varav x = 2. Rektangelns area är således 3 2. 11
23. En regelbunden polygon är definitionsvis konvex. Alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. I figuren är alla vinklar vid medelpunkten G lika med 360/6 = 60 grader. Trianglarna AGB osv är likbenta, så det följer att GAB osv alla är 60 grader. Men då är trianglarna liksidiga, så längden av diagonalen AD är 2s, där s är sidan i sexhörningen. Låt längden av den andra diagonalen AC vara x. Då ger Pythagoras sats att (x/2) 2 + (s/2) 2 = s 2, varav x = s 3. 30. Låt E och F vara cirkelns tangeringspunkter med sidorna BC respektive AC och sätt x = AD. Eftersom de två tangenterna från en punkt till en cirkel är lika långa, så är då även AF = x. Vi får också BD = 3 x och CF = 6 x. Alltså är CE = 6 x och BE = 3 x. Då BC = BE + CE så får vi ekvationen 5 = (3 x) + (6 x), som ger x = 2. 58. Använder vi Pythagoras sats två gånger så får vi r 2 = a 2 + 12 2 och r 2 = (a + 4) 2 + 10 2. Alltså är a 2 + 12 2 = (a + 4) 2 + 10 2, vilket ger a = 7/2. Insättning t ex i det första sambandet ger sedan r = 25/2. 12
60. Vi börjar med att studera höjden från ett av hörnen och dess fotpunkt (a är längden av sidan som står mot hörnet A osv): Pythagoras sats på ABD och ADC ger c 2 = (a x) 2 + h 2 respektive b 2 = x 2 + h 2. Detta ger c 2 = a 2 2ax + x 2 + h 2 = a 2 2ax + b 2, vilket ger x = a2 + b 2 c 2. 2a Vi kan nu beräkna längden av medianen från A: 13
I figuren ovan är E medianens fotpunkt. Pythagoras sats igen ger m 2 = y 2 + h 2 = (a/2 x) 2 + h 2 = a 2 /4 ax + x 2 + h 2 = a 2 /4 (a 2 + b 2 c 2 )/2 + b 2 = ( a 2 + 2b 2 + 2c 2 )/4. I nästa figur är F fotpunkten för bisektrisen från A. Enligt bisektrissatsen är (a z)/z = c/b, vilket ger z = ab/(b + c). Vi får nu d 2 = t 2 + h 2 = (z x) 2 + h 2 = z 2 2zx + x 2 + h 2 = z 2 2zx + b 2. Sätter vi in z = ab/(b + c) och räknar en stund så får vi till slut d 2 = bc(b2 + 2bc + c 2 a 2 ) bc(a + b + c)( a + b + c) (b + c) 2 = (b + c) 2. 69. I figuren är E, F, G, H sidornas mittpunkter. Vi påstår att ABC F BG. Detta följer av likformighetsfallet SVS eftersom AB / F B = BC / BG = 2 och att vinkeln B är gemensam. Alltså är BAC = BF G. Nu är AB transversal till F G och AC och vinklarna BAC och BF G är likställda. Det följer att F G är parallell med diagonalen AC. På samma sätt ser vi att även EH är parallell med AC och vi har visat att F G och EH är parallella. Analogt visar vi att EF och GH är parallella och vi ser att EF GH är en parallellogram. 14