Arbetet med imaginära dialoger börjar med att eleverna får en ofärdig

Gjert-Anders Askevold & Silke Lekaus Med elevernas egna argument Här fortsätter artikeln från föregående nummer om matematisk argumentation genom det som författarna kallar imaginära dialoger. Vi får följa samma elevgrupp i åttonde klass, denna gång med elevers samarbetslärande i fokus. Arbetet med imaginära dialoger börjar med att eleverna får en ofärdig text, skriven i dialogform mellan två eller flera personer som har börjat lösa ett matematiskt problem. Eleverna ska var för sig skriva färdigt dialogen mellan de personer som löser problemet. Dialogen ska skrivas under tiden som eleverna själva utforskar och för resonemang kring problemet. På så vis kan man säga att arbetsformen blir en slags tankebeskrivning och att felaktiga slutsatser också kommer på pränt. Textformen där två tänkta elever pratar med varandra och inte med läraren ger utrymme för eleverna att använda sitt egna, mer informella språk, något som kan underlätta för elever att komma igång med en matematisk argumentation och förstå matematiken i problemet. Vi arbetade med dialogskrivning i en åtta med 30 elever, 16 pojkar och 14 flickor. Klassen delades upp i grupper om fyra eller fem i varje. Läraren delade in grupperna efter samarbetsegenskaper och tog hänsyn till att eleverna inom gruppen var på så lika kunskapsnivå som möjligt rörande det aktuella innehållet. Detta är alltså inte en tillämpning av den ursprungliga metoden där eleverna arbetar individuellt. Vi ska nu följa en grupp med fyra elever, två pojkar och två flickor, som tidigare visat goda ämneskunskaper. Uppgiften som delades ut i klassen Störst area Se figuren nedan. Tänk dig att A och B är två fasta punkter men att C kan flyttas hur som helst så länge AC + BC fortfarande är lika. C Uppgiften inledning på en imaginär dialog Eleverna ska nu arbeta med en imaginär dialog där de ska avgöra när en triangel har sin största area. Basen är konstant, det motstående hörnet flyttbart och summan av de två andra sidorna är konstant. Veckan innan hade eleverna arbetat med en annan dialoguppgift där de kommit fram till att trianglar med samma omkrets inte nödvändigtvis har samma area. Vi hoppades att eleverna tagit till vara på sina tidigare erfarenheter när de arbetade med den nya dialoguppgiften, se rutan här intill. Per: Kari: Per: Kari: Per: A Hmm AC + BC ska vara lika. Vad betyder det? Är det som om vi hade ett snöre som är fäst i A och i B? Jag tror att du har rätt. Och C är som en pärla trädd på tråden. Och när du flyttar C så ändrar triangeln form. När tror du att triangeln har sin största area? Hur kan vi ta reda på det? Jag har lust att försöka med lite snöre. Skriv klart dialogen mellan Per och Kari. B 39

En dialoguppgift ska inte vara en uppgift som har ett facitsvar, utan den ska mer utmana elevernas resonemangsförmåga. Den här uppgiften kan lösas på olika sätt. Ett sätt är laborativt och går ut på att man fäster ett snöre med ändarna i A och B och sträcker ut det med en penna så att vi finner C (snöret blir då linjerna AC och BC). Premissen AC + BC = konstant håller därmed, samtidigt som C kan ha olika positioner. Dessa positioner går att finna på en elliptisk bana. Arean av triangeln kan som bekant tecknas med hjälp av längderna för basen och höjden. Eftersom basen alltid är densamma i detta problem, är det höjden som avgör triangelns area. Om arean ska bli den största möjliga ska alltså höjden vara så stor som möjligt. I detta fall inträffar det när triangeln är likbent, då C är så långt bort från AB som möjligt. Att skriva dialogen I fortsättningen ska vi se på hur eleverna utvecklar sina egna resonemang när de arbetar med dialogen. Vi ska se hur de börjar på det som kan karaktäriseras som en omväg ändå kan ge lärande i matematik. Till en början verkar eleverna relativt snabbt arbeta sig fram mot en idé om när arean är störst. När man ser elevernas arbete på video och läser transkriptionen, ser det ut som att eleverna förstått uppgiften och funnit sina argument för att triangeln ska vara likbent. Det är vid precis detta tillfälle som det är frestande att som lärare gå in i dialog med eleverna för att se till att de formulerar sin slutsats med korrekt matematiskt språk och notation. Men det är här vi menar att eleverna själva bör fullfölja sina resonemang och bli säkra på sin sak. Som vi ska se börjar eleverna med en lång omväg som visar att de nästan var i mål, utan att veta varför. Helt säkra på att de hade funnit det rätta svaret eller kommit till nya insikter var de inte. Vi ska nu följa processen för de fyra eleverna Jim, Jan, Kaja och Hege genom att analysera utdrag från deras samtal. Eleverna undersöker I början av lektionen är det mestadels de två pojkarna Jim och Jan som diskuterar uppgiften. Kaja är inte så aktiv och Hege som kommer lite för sent till lektionen sätts in i arbetet av de övriga i gruppen. Pojkarna kom i gång med uppgiften i en fas där de hämtar tidigare etablerade kunskaper och beräknar arean för triangeln på arbetsbladet. De är fast beslutna att formeln för triangelns area ska följas och att man ska vara noggrann med uträkningarna. Det blir tydligt när de anger resultatet för sina beräkningar med tre decimalers noggrannhet. Jim och Jan pratar förbi varandra och räknar fort. Vi kan ana ett slags rutin eller instrumentell inställning där eleverna är vana vid att resultatet av uppgiftsarbetet är en korrekt uträkning snarare än förklaringar och argument. Det verkar som om eleverna inte är redo för att lösgöra problemställningen från den givna figuren som ser ut att ha en statisk roll för eleverna. Så kom eleverna till uppgiftens kärna, att summan av de två sidorna i triangeln (AC och BC) ska vara konstant. Vi menar att det är här själva undersökningen kom igång. 40

I situation 1 här intill kan vi se att pojkarna börjar experimentera och rita i figuren. De ritar en ny triangel där de försöker få AC + BC att ha samma värde som i den givna triangeln. De försöker att ha millimeterprecision. De färglägger den nya triangeln och videon visar att de räknar ut dess area, alltså den mellersta triangeln i elevernas figur. Vi kan i situation 1 se att pojkarna är eniga om att areaproblemet kan reduceras till ett höjdproblem. Pojkarna märker också att höjden i den nya triangeln är lika stor som i den givna uppgiften. Eller är den verkligen det? Eleverna följer nu en tydlig utprövning där de gör sig bekanta med uppgiften och provar olika sätt att lösa den på. Jim och Jan lägger linjalen vinkelrätt mot triangelns bas, mot den nya triangelns motstående punkt, och finner att de båda trianglarnas höjder inte är helt lika. Vi menar att eleverna här har upptäckt att triangelns area ändras när vi flyttar punkten C, men Jim verkar osäker på resultatet och tror att han gjort något fel. En av pojkarnas arbetshypoteser verkar vara att triangeln alltid har samma area, oavsett hur man placerar C. Ett skäl till varför Jim tror att de gjort fel är att de har ritat en triangel som är mycket lik den ursprungliga och att höjderna är så lika. Eleverna är igång med uppgiften, de experimenterar och det kan se ut som att de arbetar på den första bevisnivån, naiv empirism som den kallas av Balacheff (1998). Naiv empirism betyder att eleverna argumenterar med utgångspunkt i få och tillfälligt valda exempel. På nästa av de fyra nivåerna provar eleverna vad som sker i ett extremläge, den bevisnivå som Balacheff kallar för det avgörande experimentet. Blir arean större nu? Ska vi se? (drar pappret mot sig) Höjden är ju samma ju. Basen är samma, höjden är samma. ((Skillnaderna mellan trianglarnas höjder är mycket liten)) Såååå sant. ((ser på teckningen)) Nej det är den inte, se här. Nu tar vi hela (parallellt) ((Tar linjalen och visar en parallell med basen). Ser du? Höjden är inte samma. Men det är bara för att jag gjort fel där. Situation 1 Eleverna ritar Nästan framme Eleverna fortsätter att experimentera och efter ungefär sex minuter verkar det som att de har funnit argument för att arean är som störst när triangeln är likbent. Jan försöker underbygga sin teori med ett slags avgörande motexempel när han förklarar för Jim i situation 2 att triangeln kommer att bli väldigt platt när punkten C flyttas långt ut mot kanten. Jim hittar mitten på basen och ritar en likbent triangel. Teckningen motsäger tydligt Jans förväntning på vad som skulle ske, som vi ser i situation 3. Pojkarna mäter sidornas längder igen. De tar fram ett nytt ark papper och gör en ny teckning. Jim ritar in mittpunktsnormalen till basen upp till en linje parallell med basen, genom den högsta punkten på denna nya triangel. Teorin om att höjden alltid är densamma, oavsett hur de flyttar C, är så stark att Jim inte längre vill rita någon mittpunktsnormal. 1. Naiv empirism: enkel prövning om en hypotes är korrekt, med få och enkla exempel. 2. Det avgörande experimentet: samma som ovan men eleven testar hypotesens hållbarhet i extrema lägen. 3. Det generaliserade exemplet: resonemang som visar generella matematiska sammanhang men som fortfarande är beroende av konkreta exempel. 4. Tankeexperimentet: matematiska resonemang fristående från exempel. Balacheffs bevisnivåer 41

Situation 2 Situation 3 Hege: Situation 4 Det (enklaste är att) vi har en sån här på tio, den här är bara åtta centimeter. Den här är två, inte sant? Jag vet inte. Och sidan här är så liten att den här går ganska långt ner för att den inte ska mötas, men om de är lika stora till exempel så kan det rätta till sig. Ja. Därmed är arean större. Men vi måste finna mitten här då. Nej, vänta lite, skojar du? Få se! Jag visste det ( ) Det kan inte stämma. Det stämmer. Jag är helt säker på det. För här när du sätter upp den så så förlorar du ( ) Bara Hur mycket Vad blev de här tillsammans? ((pekar på sidorna AC och BC i den slutliga triangeln)) Men vi har ju egentligen funnit svaret. Det är bara han som måste fatta det. Det kan ju hända att du har rätt ((vänder sig mot Jan)) Ja vi lyssnar på vad han har att säga så reder vi ut det det tror jag (att vi gör). Ändå går han med på att göra det, efter att Jan pekar och säger att den borde vara längre: Men lite ovanför det strecket om det är så att vi kommer. Jan mumlar, något som tyder på att han är osäker på sin egen hypotes. Därefter börjar de rita linjerna AC och BC och får det till att AC + BC är lika som i den figur som gavs med uppgiften. Eleverna lägger tid på att rita noggrant. Jan sammanfattar med att C nu ligger något över det streck som de ritade parallellt med grundlinjen. Det kan verka som om eleverna har löst uppgiften; de har funnit att triangeln är störst när den är likbent, dvs när de ritat med mittpunktsnormal. De har funnit att höjden på den nya triangeln är något längre än i den givna triangeln, därför måste arean vara större, en upptäckt som leder till att de måste förkasta hypotesen att arean alltid är densamma. Som vi ser det är eleverna nästan i mål. De har funnit ett (mot)exempel som visar att triangelns area varierar när man flyttar C. En förändring sker i gruppen. Den andra flickan, Hege, kommer in och nu samarbetar alla fyra eleverna. De fortsätter att diskutera hypotesen att triangeln alltid har samma area, oavsett var C placeras. Hela gruppen verkar nu osäkra. Jim har låtit sig övertygas av teckningarna men det verkar som att Jan letar efter ett deduktivt argument. Fel argument och dålig stämning I fortsättningen är det främst Jan som arbetar med uppgiften. Resten av gruppen pratar om saker som inte handlar om matematik. Hege försöker övertyga Jim om att använda sig av analogin om att cirklar och kvadrater med samma omkrets också har samma area: Om du har en rund och gör den, drar ut den till en fyrkant, så kommer den fortfarande att vara lika stor inuti eftersom du bara har en viss längd på tråden. Detta resonemang står i stark kontrast till den närmast föregående matematiklektion som vi besökte, då de arbetade med ett problem som gick ut på att figurer med lika omkrets inte behöver ha samma area. Det verkar som om den kunskapen ses som isolerad. Det verkar också som om eleverna inte klarar av att hämta fram och använda den matematik de tidigare lärt sig. I den följande diskussionen tycks det som om flickorna är eniga med Jim, som tror att triangeln här alltid har samma area. Men han är inte säker på sin sak, något han ger uttryck för i situation 4. Det verkar inte som att gruppen vill gå in i arbetet med att finna argument för att det är på ena eller andra sättet, något Hege visar med sin kommentar. Ett skäl kan vara att eleverna inte är vana vid att formulera sina 42

matematiska argument. Är det för svårt eller jobbigt att gå in i en argumentation? Saknar eleverna självtillit och tror de inte fullt ut på att de kan finna den rätta lösningen utan stöd från läraren? Eller kan det vara så att matematiklektionerna alltid har en struktur där eleverna får svaret mot slutet och det därför inte känns meningsfullt att fullfölja alla uppgifter? Man får ju ändå den korrekta tankegången serverad till slut. Läraren som auktoritet I situation 4 verkar det som om gruppen är långt borta från upptäckten att triangeln faktiskt har störst area när den är likbent, trots att de var så nära i situation 2. Lektionen närmar sig slut och läraren går runt och samtalar med grupperna. Läraren tar en titt på skisserna och mäter sidorna i den likbenta triangel som eleverna ritade. Läraren märker att sidorna faktiskt är lite för korta. Jan ser då snabbt att triangeln blir ännu högre, dvs att höjden blir längre, och han ser att arean då blir större, se situation 5. För Hege och Jim är detta frustrerande. Det verkar som om de inser att deras empiri inte håller, att de har bildat sig en uppfattning på felaktiga grunder. Detta markerar en vändpunkt i elevernas arbete med problemet. En stund efter att läraren hade mätt i figuren kommer eleverna fram till att arean är störst när triangeln är likbent Läraren: Ja sju komma ett. Den är då fem komma två och den är nio och en halv, fjorton komma sju, så de är en tre fyra millimeter för korta de två sträckorna tillsammans. Vad säger det er? ( ) Om den här, de två tillsammans skulle vara tre fyra millimeter längre eller att de är för korta, hur skulle då triangeln se ut? Ännu högre? Du bara argh Hege: och nu är hela gruppen enig. Det kan vara på sin plats att fråga sig varför elevernas skiss var felaktig med AC och BC för korta, men det kan vi bara spekulera i. Kanske var det ett mätfel, kanske var det tanken om att triangeln alltid skulle ha samma höjd oavsett placering för C så att de försökte anpassa teckningen till sin hypotes. Det är samtidigt så små figurer att eventuella skillnader i längder är svåra att avgöra, om man inte använder passare och linjal. Ett tredje förslag är att eleverna kom bort från frågeställningen när de tog fram linjalen för att mäta noga. Summering Under lektionen skulle eleverna skriva en tänkt dialog mellan Per och Kari. Dialogen innehöll ett matematiskt problem som visade sig vara utmanande för eleverna. Det som vi såg som den största utmaningen var att föra matematiska resonemang samtidigt som man formulerar sina argument som text. Uppgiften gjorde eleverna motiverade och de var uthålliga i sitt arbete. Själva dialogen kom att hamna i bakgrunden men grundlade resonemangsuppgiften och fungerade som en bra igångsättare. Kanske skulle eleverna ha fått arbetat individuellt med uppgiften och skrivit dialogen på egen hand. Då kunde de ha fått färre saker att koncentrera sig på och mer fokus på att skriva ner sina tankegångar. Lektionen visar också att eleverna har svårt att koppla ett resultat från en föregående lektion till nästa. Ett resultat från förra veckan som kunde ha hjälpt eleverna verkade vara som bortblåst. Varför? Har de glömt det eller upplevdes det som irrelevant? Ett skäl kan vara att eleverna inte har någon Så det vill säga Du gör oss frustrerade. Det är inte snällt. ((vänd mot läraren)) Så det vill säga att allt vi trodde om att den var för lång var fel. Den är alldeles för kort. Sidorna är för korta. Läraren: För så vitt ( ) topparna ( ) Då ska den här bli, bli ännu högre. Situation 5 43

vana vid att arbeta med matematiska resonemang på detta sätt, något som ändå kursplanen anger att vi ska göra i klassrummet. Att sätta samman tidigare kunskaper i nya tankebanor är en utmanande process som kräver strukturell förståelse i matematik. Det krävs också övning, eleverna behöver arbeta med uppgifter som kräver resonemang. Argumentationsprocessen ska ta tid och Jan verkar vilja låta denna process ta sin tid. Resten av gruppen verkar präglade av det Ole Skovsmose kallar uppgiftsparadigmet, där man får svaret på uppgiften i slutet av lektionen och inte behöver anstränga sig nämnvärt utöver rutinuppgifterna. Vi ser också skillnad på hur eleverna arbetade denna gång jämfört med föregående lektion. Då kom eleverna fram till det (nästan) rätta svaret helt på egen hand. Denna gång behövde de mycket mer hjälp från läraren och litade mindre på sig själva. Lärarens roll som auktoritet i klassrummet blev tydligare. Ett skäl till detta kan vara att eleverna under förra lektionen blev eniga om sitt svar och vägen till sitt bevis medan eleverna under den här lektionen hade olika sätt att närma sig uppgiften. Läraren fick domarrollen. Elevernas matematiska resonemang var inte starka nog, kanske för att ingen av eleverna fullt ut litade på sina egna argument. Detta visar att idéer och resultat behöver sammanfattas i slutet av lektionen. Under tiden som eleverna arbetar kan läraren gå runt i klassrummet och fråga eleverna om vilka idéer de får under tiden de arbetar och se till att de antecknar dem i sina texter. Vi menar också att det är viktigt att eleverna får tid att utforska och att fullfölja sina resonemang så att de på egen hand kan lösa eventuella meningsskiljaktigheter och få argumentera för sina egna upptäckter. LITTERATUR Askevold, G-A. & Lekaus, S. (2014). Matematisk argumentasjon gjennom dialoger. Tangenten, 25(4). Bergen: Caspar Forlag. Askevold, G-A. & Lekaus, S. (2015). Elevar si argumantation. Tangenten, 26(1). Bergen: Caspar Forlag. Askevold, G-A. & Lekaus, S. (2015). Matematisk argumentation genom imaginära dialoger. Nämnaren 2015:2. Balacheff, N. (1998). Aspects of proof in pupils practice of school mathematics. I D. Pimm, Mathematics, teachers and children, s 216 230. London: Hodder and Stoughton. Skovsmose, O. (2003). Undersøgelseslandskaber. I O. Skovsmose & M. Blomhøj (red). Kan det virkelig passe? Om matematiklæring, s 143 158. København: L & R Uddannelse. Wille, A. (2011). Activation of inner mathematical discourses of students about fractions with the help of imaginary dialouges: A case study. Proceedings of the 35th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, s 337 344. 44