TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2011,

Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2011, 1400-1800 The examination consists of 7 questions, each worth 4 points Answer six questions; the six best scores will be counted (You may attempt all 7; the six best scores will be counted) The borders will be approximately: 20-24: 5/A, 16-195: 4/B, 105-155: 3/C, 0-10: U/FX Permitted: A calculator with empty memory The `Formelsamling i matematisk statistik' published by MAI The relevant parts of the formula and table collection found on the course home page are also attached at the back of the examination paper Four hours 1 (a) Events A and B satisfy p(a) = p(b) = 1 4 and p(a B) = 1 8 i Compute the probability that at least one of the events A and B takes place (1p) ii Determine whether A and B are independent The answer must be motivated (1p) (b) Four men are playing poker in a saloon bar Because of an error in the shuing, the deck contains an extra ace of spades Each player is dealt a hand of 5 cards at random from the deck Compute the probability that one of the players receives both the aces of spades in his hand 2 (a) An urn contains six red and four blue balls Another urn contains three red and six blue balls One moves a randomly chosen ball from the rst to the second urn without noting its colour One then takes a ball at random from the second urn What is the probability that it is red? (b) You arrive at a bus stop at time 0 At the end of every minute, a bus comes with probability p, or no busses come with probability 1 p When a bus comes, you step on with probability q Let T = the number of minutes you stand at the bus stop Let N denote the number of busses that come while you wait at the bus stop Compute p N,T (n, t), the joint probability function 3 (a) The random variables X and Y have joint probability function { c(x + y) x = 1, 2, 3 y = 1, 2 p X,Y (x, y) = 0 other (x, y) i Compute c (1p) ii Compute p(y X 1) (1p) (b) There are two batches of items The rst contains 1590 good items and 10 defective items The second contains 980 good items and 20 defective items 100 items are taken without replacement from each batch and the total number of defective items is noted Compute, with suitable approximations, the probability that the combined total number of defective items is at least three 1

4 A prisoner is trapped in a cell with three unlocked doors The rst leads to a tunnel that returns the prisoner to his cell after three days The second returns him to his cell after four days The third leads immediately to freedom Suppose that when he returns to his cell, he is so disoriented that each time he chooses between doors 1, 2 and 3 with probabilities 04, 04 and 02 respectively, independently of previous attempts Assume that he attempts another escape as soon as he returns to his cell Compute the expected number of days until he reaches freedom (4pt) 5 (a) The input for a digital lter is a sequence of random variables X 0, X 1, X 2, The output is the sequence W 1, W 2, W 3,, where W n = 2 3 X n + 1 3 X n 1 n = 1, 2, 3, X 0, X 1, X 2, are independent identically distributed with E[X i ] = 0, V (X i ) = 1, i = 0, 1, 2, Compute E[W i ] and V (W i ) (b) Three boys, A, B and C are throwing a ball to each other If A has the ball, he throws it to B with probability 02 and C with probability 08 If B has the ball, he throws it to A with probability 06 and C with probability 04 If C has the ball, he throws it to A or B each with probability 05 If each boy has the ball with equal probability at the beginning (t = 0), which boy has the highest probability of having the ball at time t = 2? 6 (a) The random variables X 1, X 2, X 3, X 4 are independent, normally distributed, each N(1, 1 9 ) (expectation 1, variance 1 9 ) Compute p( 2 < 2X 1 X 2 + X 3 3X 4 < 3) (b) In a computer, every number is rounded to the nearest whole number The rounding errors can be considered as independent identically distributed variables, each with a uniform distribution on the interval ( 05, 05) How many numbers can be summed so that, with probability 090, the absolute value of the total error is less than 10? Suitable approximations are permitted 7 Customers arrive at a shop according to a Poisson process with intensity 12 customers per hour The shop has one server Suppose that it takes the server an exponentially distributed time, with expected value 3 minutes to serve a customer (a) What is the probability that a customer who has just arrived must wait to be served? (b) Compute the probability that there are more than 4 customers in the system at equilibrium 2

Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble tel : x1424 TAMS15/TEN1 Matematisk statistik I gk tentamen tisdagen den 10 april 2012, kl 1400-1800 Tentamen består av 7 uppgifter värda 3 poäng vardera Svara på sex frågor Du får svara på alla sju; de sex bästa svaren räknas Betygsgränser (ungefär): 20-24: 5/A, 16-195: 4/B, 105-155: 3/C, 0-10: U/FX Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa med tömda minnen Formelsamling i matematisk statistik utgiven av matematiska institutionen Formel och tabelsamling nns också vid tentan Fyra timmar 1 (a) A och B är händelser sådana att p(a) = p(b) = 1 4 och p(a B) = 1 8 i Beräkna sannolikheten för att åtminstone en av händelserna A och B inträar (1p) ii Avgör om händelserna A och B är oberoende Svaret måste motiveras (1p) (b) I en saloon sitter fyra män och spelar poker På grund av ett missöde vid blandningen innehåller kortleken ett extra spaderess Given sker så att var och en av spelarna får fem slumpmässigt valda kort Beräkna sannolikheten för att någon av spelarna får båda spaderessen på hand 2 (a) En urna innehäller sex röda och fyra blå kulor, en annan urna tre röda och sex blå kulor Man yttar en på måfå vald kula från den första till den andra urnan utan att notera dess färg Om man sedan drar en kula ur den andra urnan, vad är sannolikheten att den är röd? (b) Du kommer till en busshållplats vid tidpunkt 0 På slutet av varje minut, kommer en buss med sannolikhet p, eller ingen buss med sannolikhet 1 p När en buss kommer, stiger du på med sannolikhet q Låt T = antalet minuter du står att busshållplatsen Låt N betekna antalet bussar som kommer när du vänter vid busshållplatsen Beräkna p N,T (n, t) 3 (a) Slumpvariablerna X och Y har den gemensamma sannolikhetsfunktionen p X,Y (x, y) = { c(x + y) x = 1, 2, 3 y = 1, 2 0 annars(x, y) i Beräkna c (1p) ii Beräkna p(y X 1) (1p) (b) I två partier nns det 1590 korrekta och 10 defekta enheter respektive 980 korrekta och 20 defekta enheter Man tar 100 enheter slumpmässigt utan återläggning ur vardera partiet och noterar totala antalet påträade defekta enheter Beräkna med lämplig approximation sannolikheten att sammanlagt minst tre defekta enheter påträas 3

4 En fånge är insätt i en cell som innehåller tre olåsta dörrar Den första leder till en tunnel som återför fången till hans cell efter tre dagar Den andra återför fången till hans cell efter fyra dagar Den tredje leder omedelbart till frihet Anta att han varje gång väljer från dörr 1, 2 och 3 med sannoliheterna 04, 04 och 02 respektive Beräkna det förväntade antalet dagar för att hitta till friheten (4p) 5 (a) Input för ett digitalt lter är en sekvens av slumpvariabler X 0, X 1, X 2, Uteekten är sekvensen W 1, W 2, W 3,, där W n = 2 3 X n + 1 3 X n 1 n = 1, 2, 3, X 0, X 1, X 2, är oberoende, identiskt fördelade med E[X i ] = 0, V (X i ) = 1, i = 0, 1, 2, Beräkna E[W i ] och V (W i ) (b) Anta att tre pojkar A, B och C kastar en boll, den ena till den andra Om A har bollen, kastar han den till B med sannolikhet 02 och till C med sannolikhet 08 Om B har bollen, kastar han den till A med sannolikhet 06 och till C med sannolikhet 04 Om C har bollen, kastar han den till A eller B, var och en med sannolikhet 1 2 Om varje pojke har bollen med samma sannolikhet från början (t = 0), vilken pojke har den högsta sannolikheten att ha bollen vid tid 2? 6 (a) Slumpvariablerna X 1, X 2, X 3, X 4 är oberoende normalfördelade, var och en N(1, 1 9 ) (väntevärde 1, varians 1 9 ) Beräkna p( 2 < 2X 1 X 2 + X 3 3X 4 < 3) (b) I en dator, avrundas varje tal till närmaste heltal Avrundningsfel kan ses som en likformig fördelning på intervallet ( 05, 05) Hur många tal kan summeras så att, med sannolikhet 090, det absoluta beloppet av det totala felet är mindre än 10? 7 Kunder anländer till en butik enligt en Poisson-process med intensitet 12 kunder per timme Butiken har en expedit som betjänar kunderna Anta att det tar expediten en exponential fördelad tid, med väntevärdet 3 minuter att betjäna en kund (a) Vad är sannolikheten att en kund som just anlänt måste vänta på betjäning? (b) Beräkna sannolikheten att det nns mer än 4 kunder i systemet vid jämvikt 4

Formel och tabelsamling 1 Sannolikhetslära 11 Några diskreta fördelningar Binomialfördelning, Bi(n,p) p X (k) = Poissonfördelning, Poiss(µ) ( n k X Bi(n, p) ) p k (1 p) n k, k = 0, 1,, n E[X] = np, V (X) = np(1 p), G X (s) = (1 + p(s 1)) n Hypergeometriskfördelning, Hy(N,n,p) X Poiss(µ) p X (k) = µk k! e µ, k = 0, 1, 2, E[X] = µ, V (X) = µ, G X (s) = e (s 1)µ p X (k) = ( Np k X Hy(N, n, p) ) ( ) N(1 p) n k ( ), k = 0, 1,, n N n E[X] = np, Geometrisk fördelning Ge(p) V (X) = N n np(1 p) N 1 p X (k) = (1 p) k p, k 0 E[X] = 1 p p, V (X) = 1 p p 2 G X (s) = För första-gången-fördelning, Ffg(p) p X (k) = (1 p) k 1 p, k 1 p 1 (1 p)s E[X] = 1 p, V (X) = 1 p p 2, G X (s) = sp 1 (1 p)s Negativ Binomialfördelning NB(r,p) ( k + r 1 p X (k) = r 1 E[X] = r(1 p) p V (X) = ) p r (1 p) k r k = 0, 1, 2, r(1 p) p ( p G X (s) = 1 (1 p)s ) r 5

12 Några kontinuerliga fördelningar Likformig (rektangulär) fördelning på intervallet (a,b), U(a,b) f X (x) = 1 b a a x b E[X] = a + b 2 Exponentialfördelning, Exp(λ) V (X) = (b a)2 12 X Exp(λ) M X (p) = epb e pa p(b a) f X (x) = λe λx, x 0 Här betecknar λ intensiteten E[X] = 1 λ, V (X) = 1 λ 2, M X(p) = λ λ p λ > p Normalfördelningen, N(µ, σ 2 ) f X (x) = 1 { exp 2πσ } (x µ)2 2σ 2, < x < + E[X] = µ, V (X) = σ 2, M X (p) = exp { } pµ + p2 2 σ2 χ 2 -fördelning, χ 2 (n) Uppkomst: Om X 1,, X n är oberoende, var och en N(0, 1), gäller att Y = X 2 1 + + X2 n får en χ 2 fördelning med n frihetsgrader f Y (x) = x(n/2) 1 e x/2 2 (n/2) Γ(n/2) x 0 E[Y ] = n, V (Y ) = 2n, M Y (p) = 1 (1 p) n/2 p < 1 t-fördelning, t(n) Uppkomst: Om X N(0, 1) och Y χ 2 (n) samt X och Y är oberoende, så gäller att Z = får en t-fördelning med n frihetsgrader f Z (x) = ( ) Γ n+1 2 nπγ ( n 2 ) ( 1 + x2 n ) (n+1)/2 X Y/n F - fördelning, F (n 1, n 2 ) Uppkomst: Om X 1 χ 2 (n 1 ) och X 2 χ 2 (n 2 ) samt X 1 och X 2 är oberoende, så gäller att Y = X 1/n 1 X 2 /n 2 får en F -fördelning med n 1 och n 2 frihetsgrader f Y (x) = Γ ( n 1 +n 2 ) ( ) n1 /2 n 1 2 n 2 x (n 1 /2) 1 Γ ( n ) ( 1 2 Γ n2 ) ( ) (n1 +n n 2 )/2 1 2 n 2 x + 1 x 0 6

Gammafördelning, Γ(α, λ) Uppkomst: Om X 1,, X n är oberoende, var och en Exp(λ), så blir Y = X 1 + + X n gammafördelad med parametrarna n och λ f Y (x) = λ(λx)α 1 e λx Γ(α) x 0 Weibullfördelning ) c 1 e (x/a)c x 0 f X (x) = c ( x a a ( ) ( ) ( ( )) ) c + 1 c + 2 c + 1 2 E[X] = aγ V (X) = a (Γ 2 Γ c c c 13 Kovarians och Korrelation Kovarians: K(X, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )], µ X = E[X] Korrelation ρ(x, Y ) = K(X,Y ) σ X σ Y, σ 2 X = V (X) σ2 Y = V (Y ) 14 Linjärkombinationer av slumpvariabler 1 Gäller generellt: E[a 1 X 1 + + a n X n + b] = a 1 E[X 1 ] + + a n E[X n ] + b 2 För oberoende slumpvariabler X 1,, X n gäller att 3 Gäller generellt: 15 Genererande funktioner V (a 1 X 1 + + a n X n + b) = a 2 1V (X 1 ) + + a 2 nv (X n ) n V (a 1 X 1 + + a n X n + b) = a 2 jv (X j ) + 2 a j a k K(X j, X k ) j=1 1 j<k n En diskret icke-negativ, heltalsvärd slumpvariabel X har sannolikhetsgenererande funktion G X (s) = E[s X ] = s k p X (k) k=0 E[X] = G X(1), V (X) = G X(1) + G X(1) (G X(1)) 2 En kontinuerlig slumpvariabel X har momentgenererande funktion M X (p) = E[e px ] = e px f X (x)dx Om (X j ) j=1 är oberoende och likafördelade diskreta icke-negativa heltalsvärda slumpvariabler, samma fördelning som X, och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X 1 + + X Z, gäller: G Y (s) = G Z (G X (s)) Om (X j ) j=1 är oberoende likafördelade slumpvariabler, samma fördelning som X och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X 1 + + X Z, gäller: M Y (s) = G Z (M X (s)) 7

16 Centrala gränsvärdessatsen Låt X 1,, X n vara oberoende och likafördelade slumpvariabler, var och en med väntevärde E[X] = µ och varians V (X) = σ 2 Låt X n = 1 n (X 1 + + X n ) Då gäller för stora n att, approximativt, n( Xn µ) N(0, 1) σ X n N(µ, σ2 n ) n X j N(nµ, nσ 2 ) j=1 17 Approximationer mellan olika fördelningar Hy(N, n, p) Bi(n, p) om n N 1 10 Hy(N, n, p) N(np, N n N n N 1 np(1 p)) om N 1 np(1 p) 10 Bi(n, p) P oiss(np) om n 10 och p 01 Bi(n, p) N(np, np(1 p)) om np(1 p) 10 P oiss(µ) N(µ, µ) om µ 15 18 Samband mellan betingade och obetingade väntevärden och varianser E[X] = E[E[X Y ]] = y E[X Y = y]p Y (y) V (X) = E[V (X Y )] + V (E[X Y ]) 19 Slumpvektor Väntevärdesvektorn µ och kovariansmatrisen C för en slumpvektor lyder följande räknelagar: Specialfall: Y = AX + b ger µ Y = Aµ X + b och C Y = AC X A t n V a j X j = V j=1 ( ) a t X = a t C X a Prediktering: E[(Y a bx) 2 ] har minimum lika med V (Y )(1 ρ 2 ) för b = K(X, Y ) V (X) a = E[Y ] be[x] Normalfördelning En N(µ, C) normalfördelad vektor X = (X 1,, X n ) t har täthetsfunktionen { 1 f X1,,X n (x 1,, x n ) = (2π) n/2 exp 1 } C 1/2 2 (x µ)t C 1 (x µ) och momentgenererandefunktion { M X (p) = exp (p, µ) + 1 } 2 pt Cp 8

2 Markovkedjor och köteori 21 Stationära fördelning För tidshomogen Markovkedja i diskret tid, låt p ij = p(x(n + 1) = j X(n) = i) och P = p 00 p 01 p 02 p 10 p 11 p 12 p 20 p 21 p 22 Låt π = (π 0, π 1, π 2, ) beteckna stationära fördelning π(i P ) = 0 För tidshomogen ergodisk Markovkedja i kontinuerlig tid, låt ν i beteckna intensiteten för processen att lämna tillstånd i och låt (q ij ) ij beteckna transitionssannolikheterna för lagrad diskret tid Markovkedjan Låt { νi q γ ij = ij j i ν i j = i Låt Γ = γ 00 γ 01 γ 02 γ 10 γ 11 γ 12 γ 20 γ 21 γ 22, Det följer att πγ = 0 Stationära fördelningen uppfyller: π n = 1 n=0 22 Födelsedöds-process En dödsfödelse process är en process där γ ij = 0 för i j > 1 För en födelsedöds process, låt λ i = γ i,i+1 och µ i = γ i,i 1 Stationära fördelningen π uppfyller: π n = λ 0λ 1 λ n 1 µ 1 µ 2 µ n π 0 9

23 Utnyttjande För ett M/M/c kösystem, låt λ beteckna ankomstintensiteten och µ betjäningsintensiteten för en server Det nns c server Utnyttjande ρ denieras som ρ = λ cµ Little's sats Låt N beteckna antalet kunder i systemet, λ ankomstsintensiteten och T den totala tiden att en kund nns i systemet Little's sats är: E[N] = λe[t ] Låt N q antalet som står i kön och W väntetiden innan betjäning Little's sats ger: 24 M/M/1 system E[N q ] = λe[w ] Fördelningsfunktioner för W (väntetid) och T (total tid) är och respektive 25 M/M/c system Fördelningsfunktion för W (kötid) är π c = p(n = c) från stationärfördelning F W (t) = p(w t) = 1 ρe µ(1 ρ)t, t 0 F T (t) = p(t t) = 1 e µ(1 ρ)t, t 0 F W (t) = p(w t) = 1 π c 1 ρ e cµ(1 ρ)t, 26 Erlang formel För en M/M/c kö med ankomstintensitet λ och betjäningsintensitet µ för en betjäning, låt a = λ µ Sannolikheten att alla betjäningar är upptagna när en kund anländer givs av Erlang c formel: C(c, a) = π c 1 ρ = 1 a c 1 ρ c! 1 c 1 j=0 aj j! + ac c! 1 1 ρ För en M/M/c/c kö, med λ ankomstintensitet och µ betjäningsintensitet för en betjäning och a = λ µ, Erlang b formel ger sannolikheten att alla betjäningar är upptagna: B(c, a) = a c /c! cj=0 a j /j! 10

Normalfördelning Tabell för Φ(x) = P (X x), där X N(0, 1) För x < 0, använd att Φ(x) = 1 Φ( x) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993 32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995 33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997 34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998 35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 40 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 11

Poissonfördelning Tabell för P (X x) där X P o(µ) µ k 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 0 09048 08187 07408 06703 06065 05488 04966 04493 04066 03679 1 09953 09825 09631 09384 09098 08781 08442 08088 07725 07358 2 09998 09989 09964 09921 09856 09769 09659 09526 09371 09197 3 10000 09999 09997 09992 09982 09966 09942 09909 09865 09810 4 10000 10000 10000 09999 09998 09996 09992 09986 09977 09963 5 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09998 09997 09994 6 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 7 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 03329 03012 02725 02466 02231 02019 01827 01653 01496 01353 1 06990 06626 06268 05918 05578 05249 04932 04628 04337 04060 2 09004 08795 08571 08335 08088 07834 07572 07306 07037 06767 3 09743 09662 09569 09463 09344 09212 09068 08913 08747 08571 4 09946 09923 09893 09857 09814 09763 09704 09636 09559 09473 5 09990 09985 09978 09968 09955 09940 09920 09896 09868 09834 6 09999 09997 09996 09994 09991 09987 09981 09974 09966 09955 7 10000 10000 09999 09999 09998 09997 09996 09994 09992 09989 8 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09999 09998 09998 9 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 k 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 01225 01108 01003 00907 00821 00743 00672 00608 00550 00498 1 03796 03546 03309 03084 02873 02674 02487 02311 02146 01991 2 06496 06227 05960 05697 05438 05184 04936 04695 04460 04232 3 08386 08194 07993 07787 07576 07360 07141 06919 06696 06472 4 09379 09275 09162 09041 08912 08774 08629 08477 08318 08153 5 09796 09751 09700 09643 09580 09510 09433 09349 09258 09161 6 09941 09925 09906 09884 09858 09828 09794 09756 09713 09665 7 09985 09980 09974 09967 09958 09947 09934 09919 09901 09881 8 09997 09995 09994 09991 09989 09985 09981 09976 09969 09962 9 09999 09999 09999 09998 09997 09996 09995 09993 09991 09989 10 10000 10000 10000 10000 09999 09999 09999 09998 09998 09997 11 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09999 12 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 12

µ k 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 0 00408 00334 00273 00224 00183 00150 00123 00101 00082 00067 1 01712 01468 01257 01074 00916 00780 00663 00563 00477 00404 2 03799 03397 03027 02689 02381 02102 01851 01626 01425 01247 3 06025 05584 05152 04735 04335 03954 03594 03257 02942 02650 4 07806 07442 07064 06678 06288 05898 05512 05132 04763 04405 5 08946 08705 08441 08156 07851 07531 07199 06858 06510 06160 6 09554 09421 09267 09091 08893 08675 08436 08180 07908 07622 7 09832 09769 09692 09599 09489 09361 09214 09049 08867 08666 8 09943 09917 09883 09840 09786 09721 09642 09549 09442 09319 9 09982 09973 09960 09942 09919 09889 09851 09805 09749 09682 10 09995 09992 09987 09981 09972 09959 09943 09922 09896 09863 11 09999 09998 09996 09994 09991 09986 09980 09971 09960 09945 12 10000 09999 09999 09998 09997 09996 09993 09990 09986 09980 13 10000 10000 10000 10000 09999 09999 09998 09997 09995 09993 14 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09999 09999 09998 15 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 k 52 54 56 58 60 65 70 75 80 85 0 00055 00045 00037 00030 00025 00015 00009 00006 00003 00002 1 00342 00289 00244 00206 00174 00113 00073 00047 00030 00019 2 01088 00948 00824 00715 00620 00430 00296 00203 00138 00093 3 02381 02133 01906 01700 01512 01118 00818 00591 00424 00301 4 04061 03733 03422 03127 02851 02237 01730 01321 00996 00744 5 05809 05461 05119 04783 04457 03690 03007 02414 01912 01496 6 07324 07017 06703 06384 06063 05265 04497 03782 03134 02562 7 08449 08217 07970 07710 07440 06728 05987 05246 04530 03856 8 09181 09027 08857 08672 08472 07916 07291 06620 05925 05231 9 09603 09512 09409 09292 09161 08774 08305 07764 07166 06530 10 09823 09775 09718 09651 09574 09332 09015 08622 08159 07634 11 09927 09904 09875 09841 09799 09661 09467 09208 08881 08487 12 09972 09962 09949 09932 09912 09840 09730 09573 09362 09091 13 09990 09986 09980 09973 09964 09929 09872 09784 09658 09486 14 09997 09995 09993 09990 09986 09970 09943 09897 09827 09726 15 09999 09998 09998 09996 09995 09988 09976 09954 09918 09862 16 10000 09999 09999 09999 09998 09996 09990 09980 09963 09934 17 10000 10000 10000 10000 09999 09998 09996 09992 09984 09970 18 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09999 09997 09993 09987 19 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09997 09995 20 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09998 21 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 22 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 13

µ k 90 95 100 110 120 130 140 150 160 170 0 00001 00001 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 1 00012 00008 00005 00002 00001 00000 00000 00000 00000 00000 2 00062 00042 00028 00012 00005 00002 00001 00000 00000 00000 3 00212 00149 00103 00049 00023 00011 00005 00002 00001 00000 4 00550 00403 00293 00151 00076 00037 00018 00009 00004 00002 5 01157 00885 00671 00375 00203 00107 00055 00028 00014 00007 6 02068 01649 01301 00786 00458 00259 00142 00076 00040 00021 7 03239 02687 02202 01432 00895 00540 00316 00180 00100 00054 8 04557 03918 03328 02320 01550 00998 00621 00374 00220 00126 9 05874 05218 04579 03405 02424 01658 01094 00699 00433 00261 10 07060 06453 05830 04599 03472 02517 01757 01185 00774 00491 11 08030 07520 06968 05793 04616 03532 02600 01848 01270 00847 12 08758 08364 07916 06887 05760 04631 03585 02676 01931 01350 13 09261 08981 08645 07813 06815 05730 04644 03632 02745 02009 14 09585 09400 09165 08540 07720 06751 05704 04657 03675 02808 15 09780 09665 09513 09074 08444 07636 06694 05681 04667 03715 16 09889 09823 09730 09441 08987 08355 07559 06641 05660 04677 17 09947 09911 09857 09678 09370 08905 08272 07489 06593 05640 18 09976 09957 09928 09823 09626 09302 08826 08195 07423 06550 19 09989 09980 09965 09907 09787 09573 09235 08752 08122 07363 20 09996 09991 09984 09953 09884 09750 09521 09170 08682 08055 21 09998 09996 09993 09977 09939 09859 09712 09469 09108 08615 22 09999 09999 09997 09990 09970 09924 09833 09673 09418 09047 23 10000 09999 09999 09995 09985 09960 09907 09805 09633 09367 24 10000 10000 10000 09998 09993 09980 09950 09888 09777 09594 25 10000 10000 10000 09999 09997 09990 09974 09938 09869 09748 26 10000 10000 10000 10000 09999 09995 09987 09967 09925 09848 27 10000 10000 10000 10000 09999 09998 09994 09983 09959 09912 28 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09997 09991 09978 09950 29 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09996 09989 09973 30 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09998 09994 09986 31 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09997 09993 32 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09996 33 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 09998 34 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 09999 35 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 14

Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2012, 1400-1800 Short answers 1 (a) i p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = 1 4 + 1 4 1 8 = 3 8 (1p) ii No, they are not independent A and B are independent if and only if p(a B) = p(a)p(b) But p(a B) = 1 1 8 while p(a)p(b) = 16 (1p) (b) 2 (a) 4 51! 3!5!5!5!33! 53! 5!5!5!5!33! = 4 5 53 13 0029 p(r) = 6 10 4 10 + 4 10 3 10 = 36 100 = 9 25 (b) p N,T (n, t) = ( t 1 n 1 ) p n (1 p) t n (1 q) n 1 q 3 (a) i (binomial coecient - number of ways to place the n 1 busses that you do not step onto in the rst t 1 minutes p n (1 p) t n probability of a particular sequence of t minutes with n busses You decline n 1 busses and you step onto the last one) ii 1 = c(2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5) = 21c c = 1 21 p(y X 1) = p X,Y (2, 1) + p X,Y (3, 1) + p X,Y (3, 2) = 3 + 4 + 5 21 (b) X number from batch 1, Y from batch 2 X Hyp(1600, 100, 1 160 ) Bi(100, 1 160 ) P oiss(0625) 20 Y Hyp(1000, 100, ) Bi(100, 002) P oiss(2) 1000 Z = X + Y P oiss(2625) = 12 21 = 4 7 (1p) p(z 3) = 1 p(z 2) = 1 (e 2625 + 2625e 2625 + 26252 e 2625 ) = 0488 2 15

4 5 (a) E[T ] = (3 + E[T ]) 04 + (4 + E[T ]) 04 + 0 02 = 08E[T ] + 28 E[T ] = 14 E[W i ] = 2 3 E[X i] + 1 3 E[X i 1] = 0 (4p) (b) 6 (a) so C has the highest probability V (W i ) = 4 9 V (X i) + 1 9 V (X i 1) = 5 9 ( 1 3, 1 3, 1 3) 0 02 08 06 0 04 05 05 0 p( 2 < 2X 1 X 2 + X 3 3X 4 < 3) = p 2 = ( 51 150, 41 150, 58 150 ) 2X 1 X 2 + X 3 3X 4 N( 1, 15 9 ) ( 1 < Z < 4 ) 5/3 5/3 3 3 = Φ(4 5 ) + Φ( ) 1 = Φ(310) + Φ(077) 1 5 (b) E[X] = 0, V (X) = 1 12 S n = X 1 + + X n N(0, n 12 ) 09 = p( 10 < S n < 10) = p( 10 12 n < Z < 10 12 n ) 10 12 n > 165 n 440 7 M/M/1 λ = 12 customers per hour arrivals Departures: µ = 1 3 customers per minute, which is 20 customers per hour ρ = λ µ = 06 Birth / death formula in formula collection: (a) (b) π n = λ 0 λ n 1 π 0 = 06 n π 0 µ 1 µ n 1 = π n = π 0 06 n 1 = π 0 1 06 = π 0 04 π 0 = 04 n=0 n=0 π n = 06 n 04 n = 0, 1, 2, p(wait) = 1 π 0 = 1 04 = 06 p(n > 4) = 1 (π 0 + π 1 + π 2 + π 3 + π t ) = 1 04 (1 + 06 + 06 2 + 06 3 + 06 4 ) = 0078 16