1. MYSTERIER BLAND HELTALEN.

1. MYSTERIER BLAND HELTALEN. Inledning. Om jämna tal och udda tal, delare, kvot och rest. Ett av kursens viktigaste syften är att ge träning i konsten att läsa matematik. Det är nödvändigt att lära sig den konsten ty du kommer snart att märka att det inte räcker att lyssna till vad föreläsaren säger. Du måste också på egen hand kunna läsa och repetera i en matematisk text. Det är egentligen inte särskilt svårt att läsa matematik, men det kan kännas ovant i början och skiljer sig en del från att läsa andra texter. Det fordras att man hela tiden läser långsamt och med största eftertanke. Du måste ofta lyfta blicken från pappret och med egna ord uttrycka vad som står där och kanske komplettera texten med någon anteckning eller figur. Ofta införs nya termer och nya begrepp. Det tvingar dig att gång på gång gå några rader bakåt i texten och repetera innebörden av dessa termer och begrepp. En föreläsare gör allt detta åt dig; d.v.s. tar några steg tillbaka, säger varje sak flera gånger och så vidare. Som läsare måste du göra allt det själv. I gengäld är matematiska texter ofta korta. Du har tid att ägna omsorg åt varje rad. När du väl lärt dig konsten att läsa matematik kommer de matematiska studierna att löpa mycket lättare. Det här är den första i den serie av läsövningar i matematik, som du kommer att erbjudas i din utbildning. Meningen är att du skall arbeta aktivt med dem och också arbeta med de upgifter - förståndsfrågor - som finns i texten. Lika viktigt som att lära sig läsa är att öva sig att formulera matematiska tankar och diskutera matematik. En kamrat att diskutera med kan vara till god hjälp. Utgångspunkten i denna första läsövning - och i hela kursen - är de positiva heltalen: 1,, 3, 4,... Dessa är naturligtvis välbekanta sedan tidigare och också urgamla i mänsklighetens historia. De positiva heltalen har en naturlig tolkning. Vi behöver dem för att ange antal (t.ex. antalet dagar i veckan eller antalet invånare i Stockholm). Övning 1. Det sista påståendet går naturligtvis att problematisera. Behöver vi verkligen alla positiva heltal till att ange antal? Eller finns det en gräns för hur stora tal vi behöver? Jag har skrivit 1,, 3, 4,... där prickarna anger att följden tänks fortsätta i oändlighet. Vad menas egentligen med det? Du kan också försöka frigöra dig ett tag från dina erfarenheter och tänka dig att du är ett litet barn eller tillhör en primitiv stenålderskultur. Hur skulle du då uppfatta de positiva heltalen? Finns det hur stora som helst? 1

Nåväl, vi skall inte fastna i filosofiska funderingar just nu. Talbegreppets utveckling skall vi återkomma till i kursen i matematikens utveckling. Ibland kommer vi att tala om de positiva heltalen inte bara vart och ett för sig utan om mängden av positiva heltal. Vi betecknar den med mängdklammer : {1,, 3,...}. Varje positivt heltal är ett element i denna mängd. Välbekant sedan gammalt är också talet 0. Tillsammans med de positiva heltalen bildar 0 den större mängden av naturliga tal: {0, 1,, 3,...} Denna mängd brukar kortfattat betecknas N. Talet 0 är alltså ett naturligt tal, ett element i N, men inte ett positivt heltal. Övning. Större? I vilket avseende är mängden N större än mängden av positiva heltal? Är de inte oändligt stora båda två? Du kommer snart att märka att det är noga med begreppen i matematik. Begreppen kräver en grad av precisering som du kanske inte är van vid. I början kommer vi delvis att vara lite informella. Uppgiften ovan vill träna dig att ifrågasätta och att lägga märke till eventuella oklarheter i begreppsbildningen. Längre fram i kursen kommer du många gånger att märka att det lönar sig att ägna tid åt att smälta varje nytt begrepp och att ägna omsorg åt att i precisa ordalag formulera begreppets innebörd. Det är det som kallas att definiera begreppet. Ganska snart skall vi ge ett exempel på en formell definition. En ännu större mängd än N är mängden av alla heltal (positiva, 0 eller negativa). Den betecknas med Z. Alltså: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...} Mängden av de positiva heltalen betecknas ibland Z + = {1,, 3,...} Övning 3. De positiva heltalen har en naturlig tolkning, sade vi. Ange ett sätt att tolka eller tillämpa talet 0 och de negativa talen. Har vi någon nytta av dem? Beteckningarna N och Z (och möjligen Z + ) är standard i svensk litteratur. Det är däremot inte beteckningen J för de jämna positiva heltalen. Den beteckningen är mer tillfällig, men i denna läsövning är alltså J = {, 4, 6,...}. Vi låter också U beteckna de udda positiva heltalen: U = {1, 3, 5,...}. Övning 4. Eftersom Z + utgörs av J och U tillsammans skulle man kunna säga att Z + är större än J. Fundera dock en stund på följande uppställning: 1 3 4... 4 6 8... där alla positiva heltal finns med i övre raden men bara jämna positiva heltal i den undre raden.

Övning 5. Är J och U lika stora? Vad menar du i så fall med det? Fundera också över följande uppställning: 1 3 5 7... 6 10 14... där alla udda tal finns med i den övre raden men vart annat jämnt tal saknas i den undre raden (och raderna ändå är lika långa, eller?). Avsikten med dessa övningar är att visa på en del mysterier, att locka din nyfikenhet och framför allt att få dig att läsa kritiskt. Vi skall inte gå in på djupet med dessa frågor. Övning 6. Vad menas med ett jämnt tal? Vad menas med ett udda tal? Kan skillnaden illustreras i en figur? Lägg märke till att summan och produkten av två naturliga tal alltid är ett naturligt tal. I mängden N kan vi alltså både addera och multiplicera utan att lämna mängden. Vi säger att N är sluten under addition och multiplikation. Det samma gäller mängderna Z + och Z. I mängden Z kan vi dessutom alltid subtrahera. Övning 7. Kan man inte alltid subtrahera i N? Betrakta nu mängderna J och U. Experimenterar du lite så ser du att J är sluten under addition och multiplikation, men att U bara är sluten under multiplikation. Summan av två udda tal är jämn. Har du tänkt på detta förut? Övning 8. Försök bevisa att summan av två jämna tal alltid är jämn och att summan av två udda tal (även mycket stora) alltid är jämn. Du kan t.ex. göra detta med en figur. Med bevisa menar vi här att du skall ge en fullständigt övertygande motivering. I takt med att du lär dig att läsa mer kritiskt och börjar mer kritiskt fundera över innebörden av begrepp kommer du säkert också bli svårare att övertyga. Ofta finner man små kryphål eller ofullständigheter i de argument som anförs för det ena eller andra. Men dessa kryphål kan vara nog så lärorika och hjälper oss att klargöra begreppen. Division av två heltal går inte alltid jämnt ut. Kvoten av två heltal är inte alltid ett heltal. Exempelvis är ju kvoten av 3 och 4 lika med 3 4 ; ett bråk mellan 0 och 1. Övning 9. Rita en figur som visar detta: att 3 delat med 4 är 3 4. Denna första läsövning handlar mest om heltal. Bråktalen skall vi behandla mer utförligt längre fram, men de är bra att ha till hands även vid rena heltalsstudier. Ett annat namn på bråktal är rationellt tal. Ett rationellt tal är alltså en kvot av två heltal. Matematiker uttrycker detta ofta så: ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas på formen a b där a och b är heltal och b 0. Observera att b 0. Observera också att vi tillåter b = 1. Då är a b ett heltal. De hela talen räknar vi alltså också som rationella. Mängden av rationella tal betecknas Q. 3

Övning 10. Under vilka räknesätt är mängden Q sluten? Låt oss återgå till de jämna positiva heltalen, mängden J. För att precisera begreppet kan vi våga oss på en definition: Definition. Ett positivt heltal a kallas jämnt om talet a kallas a udda. också är ett heltal. Annars Övning 11. Vad är det för vits med bokstaven (symbolen) a i definitionen? Försök formulera definitionen helt i ord utan symboler. Ett exempel på ett jämnt tal är 71694. Vi har nämligen 71694 = 358147, vilket är ett heltal precis som det skulle vara. Övning 1. Visa att 71694 är jämnt utan att utföra divisionen. Försök alltså övertyga dig själv om att 71694 är ett heltal. Övning 13. Är alla positiva heltal som slutar på 4 jämna tal? Försök hitta en övertygande motivering som också ansluter till definitionen. Övning 14. Låt a och b vara jämna tal. Visa att a+b också är ett jämnt tal. Du har visat detta tidigare (kanske med en figur), men kan nu göra det med hänvisning till definitionen. Gå tillbaka till definitionen! Vi har alltså förutsatt att a och b är heltal och skall visa att a+b är ett heltal. Vi resonerar hela tiden i matematiken. Ofta är resonemangen mycket fria och informella, närmast känslomässiga. Men ibland är resonemangen noggranna och logiskt stringenta. Båda typerna av resonemang är karakteristiska för matematik. Logiska resonemang behöver vi t.ex. för att övertyga oss om att något som vi upptäckt vid ett informellt resonemang verkligen är absolut säkert sant. Det logiska resonemanget brukar också öka vår förståelse av sammanhangen i matematiken. Dessa resonemang börjar alltid med en eller flera förutsättningar om de objekt vi studerar och avslutas med en slutsats. På vägen mellan förutsättningarna och slutsatsen utvidgas vetandet successivt. Gissningar övergår i visshet. Ett resonemang innehåller ofta en blandning av sådant vi vet och sådant vi ännu inte vet. Ett fundamentalt krav på en matematisk text är att det alltid mycket klart framgår om ett påstående uttalar något redan känt (kanske ett delresultat i resonemanget eller en förutsättning) eller uttalar ett mål för resonemanget, något vi ännu inte vet men strävar att visa. Övning 15. Du har fört ett resonemang i Övning 14. Vilka är förutsättningarna och vilken är slutsatsen? Övning 16. Så här skulle en resonerande lösning till Övning 14 kunna se ut. Ange för varje mening om den uttalar något vi vet eller något vi ännu inte vet: Vi antar att a och b är jämna tal. Vi skall visa att a + b också är jämnt. Eftersom a och b är jämna så är a och b a+b heltal. Vi vill visa att också är ett heltal. Men summan av två heltal är ju ett 4

heltal och summan av a och b betyder det att a + b är jämnt. a+b a+b är just. Alltså är ett heltal. Enligt definitionen Det finns en del egenheter i det matematiska språket. Betrakta t.ex. resonemanget i Övning 16. När jag skriver Vi antar att a och b är jämna tal så betyder det inte att vi tror. Tvärtom det betyder att vi vet att a och b är jämna tal. Vi antar (anammar) som utgångspunkt (förutsättning) för hela resonemanget att a och b är jämna tal. Lägg också märke till användningen av ordet men i Men summan av.... Ofta anger ju ordet något slags invändning. Så är inte fallet här. Det är viktigt att kunna variera sina formuleringar i matematiken. Vi vet nu att summan av två jämna tal alltid är jämn, d.v.s. att om a och b är jämna så är a + b jämnt. Samma sak kan vi uttrycka på flera alternativa sätt i ord eller symboler, t.ex.: (i) a + b är jämnt om a och b är jämna (ii) a och b är jämna a + b är jämnt (iii) Att a och b är jämna medför att a + b är jämnt (iv) a och b är jämna endast om a + b är jämnt (v) Om a + b inte är jämnt så kan inte a och b båda vara jämna (vi) a + b är jämnt a och b är jämna Symbolen (liksom ) kallas implikationspil. Lägg märke till användningen av i (vi). Lägg också märke till uttrycket endast om i (iv). Övning 17. Följande är felaktigt: a + b är jämnt a och b är jämna. Förklara varför. Det finns ett annat sätt också att definiera jämna och udda tal, som ofta används och har vissa fördelar. Det undviker begreppet division men använder en symbol till: Definition. Ett positivt heltal a kallas jämnt om det finns ett heltal k så att a = k. Ett positivt heltal a kallas udda om det finns ett heltal k så att a = k + 1. Om vi jämför med den tidigare definitionen av jämnt tal ser vi att skillnaden är att vi givit ett namn (en beteckning), nämligen k, på det där talet a, som också skulle vara ett heltal. Vi har alltså k = a. Om a är udda så går divisionen med inte jämnt ut. Vi får en kvot k och en rest 1. Vi har alltså a = k + 1 (k hela och en halv). Eller a = k + 1. Detta kan tyckas vara ett tungt sätt att tänka på udda tal, men kan vara klargörande i resonemang där vi verkligen försöker övertyga om någonting, m.a.o. när vi försöker bevisa någonting t.ex. att produkten av två udda tal är udda. Det är inte så självklart att produkten av två udda tal alltid är udda. Föreställ dig två mycket stora udda tal. Varför är produkten udda? Du kanske kan rita en figur som illustrerar det eller finna ett övertygande resonemang i ord. Båda delarna är lika värdefulla. Som ett alternativ hjälper jag dig nedan med ett bevis som är mer symboliskt. Låt oss först en gång till formulera det som skall bevisas. Det gör vi som brukligt är i en sats: 5

Sats 1. Produkten av två udda tal är alltid udda. Observera skillnaden mellan sats och definition. Gå tillbaka till definitionen! I definitionen införs begreppet udda tal. I satsen ger vi ytterligare en egenskap som mängden av udda tal har. Förutsättningen i satsen är att två tal är udda. Slutsatsen är att talens produkt är udda. För att inse detta krävs ett resonemang som leder från förutsättning till slutsats, med andra ord ett bevis. Bevis. (med kommentarer) Låt oss kalla de två udda talen för a och b. Enligt definitionen finns då ett heltal k så att a = k + 1, men det finns också ett heltal k så att b = k + 1. Om inte a och b är lika så kan det naturligtvis inte vara fråga om samma tal k. Vi måste skilja dem åt. Låt oss kalla dem k 1 och k (vi skulle också kunna kalla dem till exempel k och l). Vi har nu a = k 1 +1 och b = k +1. Vi har använt definitionen till att symboliskt uttrycka, i ekvationer, att a och b är udda. Det är fråga om ett algebraiskt symbolspråk. Fördelen är att vi kan räkna med symbolerna. Vi skulle multiplicera a och b. Låt oss göra det och utnyttja de givna ekvationerna: ab = (k 1 +1)(k +1) = 4k 1 k +k 1 +k +1. Varför multiplicerade vi egentligen ihop parenteserna? Det är inte självklart att vi skall göra så. Men ofta skadar det inte att experimentera lite. I alla fall är det bra med den där ensamma 1:an på slutet. Vi skulle ju visa att ab är udda. Enligt definitionen betyder det att vi skall visa att det finns ett positivt heltal k så att ab = k + 1, d.v.s. att ab är två gånger något heltal plus ett. Låt oss skriva om ab ytterligare: ab = 4k 1 k +k 1 +k +1 = (k 1 k + k 1 + k ) + 1. Talet inom parentes, k 1 k + k 1 + k, är ju ett heltal. Kallar vi det k har vi alltså att ab = k + 1. Vi har alltså visat att det finns ett heltal k så att ab = k + 1. Därmed har vi visat att ab är udda. Vi har t.o.m. talat om hur k ser ut relativt de k-värden (k 1 resp. k ) som gäller för a resp. b. Det är ju kanske mindre intressant, men mycket vanligt att ett bevis ger en massa sidoinformation utöver det vi vill bevisa. Det var ett av de längsta bevis jag sett för en så enkel sats, men det får skyllas på att beviset är så fyllt med kommentarer. Vi ger beviset en gång till, men i mer komprimerad form: Bevis. (i korthet) Låt oss säga att a = k 1 + 1 och b = k + 1 där k 1 och k är heltal. Då är ab = (k 1 + 1)(k + 1) = 4k 1 k + k 1 + k + 1 = (k 1 k + k 1 + k ) + 1 = k + 1, där vi satt k = k 1 k + k 1 + k. Eftersom k är ett heltal så har vi därmed visat att ab är udda. Övning 18. Gå igenom det långa beviset ovan. Ange för varje mening om den uttalar något vi vet eller något vi inte vet (men vill visa). Vilka ord i texten har jag använt för att klargöra detta för läsaren? Övning 19. Bevisa att produkten av ett jämnt tal och ett udda tal är jämn. Det är delbarheten med som är grunden för indelningen av de positiva heltalen i jämna och udda tal. De jämna talen är delbara med. De udda talen är inte delbara med. Byter vi ut talet mot 3 så kan vi analogt dela in de positiva heltalen i tre delmängder, som vi här kallar A, B och C: 6

A = {3, 6, 9,...} B = {1, 4, 7,...} C = {, 5, 8,...} Talen i A är alla delbara med 3. Talen i B ger resten 1 vid division med 3 (t.ex. 7 = 3 + 1). Talen i C ger resten vid division med 3 (t.ex. 14 = 4 3 + ). Talen i B kan alla skrivas på formen 3k +1 och talen i C på formen 3k + där k är ett heltal. Mängderna A, B, C brukar kallas restklasser vid division med 3. Övning 0. Undersök för var och en av mängderna A, B och C om mängden är sluten under addition resp. multiplikation. I stället för att säga att 1 är delbart med 3 säger vi i regel att 3 är en delare i 1 och betecknar detta 3 1. På motsvarande sätt skriver vi t.ex. 5 30 och säger att 5 är en delare i 30. Det betyder att 30/5 är ett heltal. Vi har ju 30/5 = 6 eller 30 = 6 5. Allmänt formulerar vi följande definition. Definition. Ett positivt heltal m sägs vara delare i ett positivt heltal n om kvoten n/m är ett heltal. Det innebär att det finns ett heltal k så att n = k m. Vi skriver m n. Övning 1. Är 7 en delare i 7? Är 1 en delare i 13? Om divisionen inte säkert går jämnt ut, d.v.s. om n/m inte säkert är ett heltal, kan vi i alla fall skriva n = k m + r där k är ett heltal och där r är ett heltal mellan 0 och m 1. Talet r kallas principala resten när n delas med m och k kallas kvoten. Observera att ordet kvot är tvetydigt. Dividerar vi t.ex. 3 med 4 så är ju kvoten 3 4 = 5 3 4 ett rationellt tal mellan 5 och 6. Men det vi normalt menar med kvoten i det här sammanhanget är heltalet 5. Vi har 3 = 5 4 + 3. Kvoten är 5 och principala resten är 3. Öva dig att växla mellan skrivsätten 3 4 = 5 3 4 och 3 = 5 4 + 3 och blanda inte ihop dem! Det heltal som ligger närmast 3 4 är egentligen inte 5 utan 6. Vi kan skriva 3 = 6 4 1. Talet 6 4 ligger närmare 3 (vi måste minska med 1) än talet 5 4 gör (vi måste öka med 3). 1 kallas för den absolut minsta resten när 3 delas med 4. Absolutbeloppet är 1 = 1, vilket är mindre än 3. Övning. Ge fler exempel på kvot, principal rest och absolut minsta rest. Ibland är den principala resten och den absolut minsta resten lika. När är det så? Övning 3. Antag att ett tal n delas med 17. Vilka principala rester är möjliga? Vilka absolut minsta rester är möjliga? Nu har vi diskuterat ett antal grundläggande begrepp och även stött på några mysterier. Du bör ha klart för dig vad som menas med ett begrepp, en definition, en sats och ett bevis. Tonen har hittills varit ganska informell. De flesta av begreppen har införts i den löpande texten (och där kursiverats). De flesta resultat har också endast presenterats och förklarats i den löpande texten (eller i övningarna). Endast en gång har vi formulerat en sats. 7

Övning 4. Gör en lista med alla begrepp som har införts. Ge varje begrepp en definition på det formella vis som vi gjorde med jämna och udda tal (eller med begreppet delare ovan). Övning 5. Gör också en lista med alla resultat och skriv ned varje resultat som en sats. Du kommer att ha mycket stor nytta av att ha löst dessa två övningar. När ett matematiskt begrepp preciserats så är det ofta mycket enkelt och uttryckt i en form som är lätt att arbeta med. Jag som skriver detta har den erfarenheten, att många nybörjarproblem sammanhänger med att begreppsbildningen är oklar. Den som är ovan hänger ofta upp sig på själva ordet (t.ex. delare eller naturligt tal) och arbetar med en egen tolkning av ordet i stället för att bekvämt luta sig tillbaka på begreppets definition. I nästa avsnitt skall vi arbeta vidare med delbarhet och med kvot och rest. I fortsättningen kommer språket att vara något mer koncentrerat. Det ställer större krav på dig som läsare att läsa aktivt och med eftertanke. I gengäld blir innehållet lättare att överblicka och repetera. Lästips: Om både matematiska och kulturhistoriska aspekter på positiva heltal kan du läsa i Nystedt, På tal om tal, kap. 1 5. Läs också kap. 17, Om det oändliga, i samma bok. Om primtal, faktorisering och största gemensamma delaren. Låt oss skriva upp samtliga delare i talet 1. De är 1,, 3, 4, 6 och 1. Av dessa kallar vi, 3, 4 och 6 för äkta delare och 1 och 1 ( talet självt ) för triviala delare. Delarna hänger ihop parvis. Exempelvis visar ju 1 = 3 4 både att 3 är delare i 1 och att 4 är delare i 1. Varje delare i 1 har så att säga en partner. I uttrycket 1 = 3 4 är 3 och 4 faktorer och ordet faktor används också ofta synonymt med delare ( 3 är en faktor i 1 ). Övning 6. Ta fasta på exemplet och skriv ned en formell definition av att ett positivt heltal m är en äkta delare i det positiva heltalet n. Det blir alltså en komplettering av vår tidigare definition av begreppet delare. Definiera sedan begreppet trivial delare. Övning 7. Är det alltid så att delarna i ett tal bildar par som i exemplet ovan? Det skulle i så fall betyda att antalet delare till ett positivt heltal alltid är jämnt. Är det så, eller finns det tal med ett udda antal delare? Definition. Ett heltal n kallas för ett primtal om n endast har triviala delare. De första primtalen är, 3, 5, 7, 11,.... Exempelvis har 7 endast delarna 1 och 7 och saknar äkta delare. Talet 1 har inte heller några äkta delare, så man kan fråga sig varför inte 1 räknas in bland primtalen. Detta är naturligtvis en konvention och den sammanhänger med primtalens roll som byggstenar. Med primtalen som byggstenar och multiplikation som verktyg kan vi bilda nya heltal, t.ex. 3 = 6 eller 5 7 7 = 490. Talet 1 är naturligtvis värdelöst som byggsten 8

eftersom multiplikation med 1 inte förändrar någonting. Med endast en byggsten kan vi bilda primtalspotenser, t.ex. =, = 3, = 4. Om vi omvänt utgår från ett heltal, t.ex. 94, så är detta antingen ett primtal eller möjligt att faktorisera. Det kan för stora tal vara svårt att avgöra, men i detta fall är faktorisering möjlig, t.ex. 94 = 1 77. Så länge inte alla faktorerna är primtal kan faktoriseringen fortsätta. Processen tar slut när alla faktorer är primtal. I detta fall: 94 = 1 77 = 3 4 7 11 = 3 7 11 Vi säger att 94 har primfaktoriserats eller uppdelats i primfaktorer. Övning 8. Hur kan man så säkert veta att processen ovan alltid någon gång tar slut? Om n 10000, kan man då säga någonting om hur många primfaktorer som n högst kan ha? Vi faktoriserade 94 successivt till dess alla faktorerna var primtal. Det finns andra sätt att starta faktoriseringen. Exempelvis är också 94 = 1 44, vilket är en helt annan ansats än 94 = 1 77. Fortsätter vi får vi denna gång: 94 = 1 44 = 3 7 = 3 7 11 Här ser vi det häpnadsväckande att slutfaktoriseringen blir densamma (bortsett från faktorernas ordningsföljd) trots att ansatsen är en helt annan! Detta hör till de stora mysterierna bland heltalen och vi skall försöka förstå det bättre i ett senare avsnitt. Du kan försöka med en tredje ansats, t.ex. 94 = 46 och du skall se att slutresultatet blir detsamma. Varför är det så? Varför finns det t.ex. inte någon primfaktorisering av 94 där talet 13 ingår? Varför är med andra ord inte 13 en delare i 94? Att 13 inte är en delare i 94 kan du naturligtvis lätt kontrollera genom att utföra divisionen (94 = 71 13 + 1), men det är inte så lärorikt och föranleder bara motfrågan: ja, men 17 då, eller 19, kan de inte vara faktorer i 94? Övning 9. Visa att 5 inte är delare i 94, utan att utföra divisionen. Övning 30. Antag att talet 9317 är primfaktoriserat. Visa att inte kan vara en av primfaktorerna. Så mycket längre än så kommer vi inte just nu i denna fråga. Övning 31. Primfaktorisera talet 3150 först genom att utgå från 3150 = 45 70, sedan genom att utgå från 3150 = 16 5. Jämför resultaten. Vi återgår till delarna i 1, nämligen 1,, 3, 4, 6 och 1. Låt oss jämföra dem med delarna i 18, som är 1,, 3, 6, 9 och 18. Några delare är gemensamma för 1 och 18. Det är 1,, 3 och 6. Av de gemensamma delarna till två tal är någon alltid den största. I detta fall är det 6. Detta är den största gemensamma delaren (förkortad SGD) till 1 och 18. 9

I symbolspråk skriver vi ofta SGD (1, 18) = 6. Lägg märke till att övriga gemensamma delare till 1 och 18 (alltså 1, och 3) alla är delare i den största gemensamma delaren 6. Är det en tillfällighet eller är det alltid så? Återigen ett av alla dessa mysterier! Övning 3. Skriv upp alla gemensamma delare till talen 90 och 5. Vilket tal är SGD (90, 5)? Är övriga gemensamma delare till 90 och 5 även i detta fall delare i den största gemensamma delaren? Delar vi 1 och 18 med största gemensamma delaren får vi 1 = 6 resp. 18 = 3 6. Faktorerna och 3 saknar gemensamma delare större än 1. Multiplicerar vi korsvis d.v.s. 18 med eller 1 med 3 får vi samma tal, nämligen 36. Det är det minsta tal som är delbart både med 1 och 18, d.v.s. det minsta tal som både 1 och 18 är delare i. Talet kallas för minsta gemensamma multipel till 1 och 18 (förkortat MGM) och vi skriver MGM (1, 18) = 36. Det hela kan sammanfattas i en liten figur: 36 = MGM 3 1 18 3 6 = SGD Övning 33. Rita motsvarande figur för talen 90 och 5. Som vi ser är SGD och MGM besläktade begrepp. Vi avstår dock från att utreda det närmare. Vi har helt enkelt ännu inte kunskaper tillräckliga för att förklara detta. Men vi ger några tillämpningar av SGD och MGM. Den största gemensamma delaren till täljaren och nämnaren i ett bråk är förstås det 1 största tal vi kan förkorta bråket med. Exempelvis: 18 = 3, där vi förkortat med 6. Övning 34. Förkorta bråket 90 5 maximalt. Den minsta gemensamma multipeln, 36, till talen 1 och 18 kommer till användning om vi till exempel skall beräkna 1 1 1 18. I detta sammanhang talar man som bekant oftast 1 om minsta gemensamma nämnaren. Vi får: 1 1 18 = 3 36 36 = 1 36. Bråken förlängs med 3 resp.. Jämför med talen i figuren ovan. Övning 35. Förenkla 1 90 + 5 så långt som möjligt. Vi har ännu inte någon riktigt effektiv metod att beräkna största gemensamma delaren till två tal. Att försöka finna samtliga gemensamma delare blir lätt övermäktigt om talen är stora. I nästa avsnitt presenteras en enkel metod att finna största gemensamma delaren även till stora tal utan att övriga gemensamma delare beräknas. Vi har redan stött på fall där två tal saknar andra gemensamma delare än 1. Då är förstås 1 den största gemensamma delaren. Exempelvis är SGD (10, 1) = 1. Sådana tal sägs vara relativt prima. 10 och 1 är alltså relativt prima. 10

Övning 36. För vilka tal n är 7 och n relativt prima? Övning 37. Betrakta talet 47918. Ange två tal som säkert är relativt prima med 47918. Löste du denna övning så lade du säkert märke till att två tal efter varandra (alltså med skillnad 1) alltid är relativt prima. I symboler: SGD (n, n + 1) = 1. Övning 38. Förklara i ord (eller med en figur) varför det är så, d.v.s. varför n och n + 1 alltid är relativt prima. Övning 39. Finn ett tal som är delbart både med 5, 6 och 11. Finn sedan ett tal som är relativt primt med detta, d.v.s. varken delbart med 5, 6 eller 11. Med samma teknik löser du lätt: Övning 40. Låt, 3, 5, 7, 11,..., 31 vara primtalen upp till och med 31. Finn ett tal x som har alla dessa primfaktorer. Du behöver inte svara i uträknad form. Övning 41. Finn sedan ett tal y som är relativt primt med talet x i föregående övning. Det tal y som du fann i Övning 41 (inom parentes sagt y = 3 5 31 + 1) är alltså inte delbart med något primtal 31. Om vi tänker oss att y primfaktoriseras måste därför primfaktorerna uteslutande vara primtal större än 31. Även om vi inte visste det förut skulle det därmed vara klart för oss att det måste finnas primtal som är större än 31. Kanske är rent av 3 5 31 + 1 ett primtal? Den sista frågan kan vara besvärlig att utreda för hand, men den intresserar oss heller inte så mycket. På teoretisk väg har vi kommit fram till att det måste finnas primtal som är större än 31, utan att vi har nämnt ett sådant primtal. Naturligtvis kan vi byta ut 31 mot vilket som helst annat primtal och då blir det hela ännu intressantare. Övning 4. Låt, 3, 5, 7, 11, 13,..., 65537 vara samtliga primtal 65537 (som man vet är ett primtal). Ange ett tal som är delbart med samtliga dessa tal och sedan ett tal som inte är delbart med något av dem. Förklara hur det visar att det måste finnas primtal som är större än 65537. Eftersom 31 (eller, som i övningen, 65537) är utbytbart mot vilket som helst primtal så har vi i själva verket visat att det inte finns något primtal som är större än alla andra. Detta har visats tidigare; redan av Euklides på 300-talet f.kr. Euklides var en av det antika Greklands största matematiker. I kursen Matematikens utveckling kommer du få läsa mer om hans insatser. Vi formulerar resultatet i en sats och sammanfattar beviset i ett algebraiskt symbolspråk. Sats. Det finns inte något största primtal. Bevis. Låt p 1, p, p 3,..., p n beteckna de n första primtalen. Betrakta talet y = p 1 p p 3 p n + 1. Då är y inte delbart med något av talen p 1, p,..., p n. Om vi primfaktoriserar y så måste alla primfaktorer alltså vara primtal som är större än dessa primtal. Hur stort n 11

vi än väljer så finns alltså primtal som är större än alla de n första primtalen. Vår slutsats blir att det över huvud taget inte finns något primtal som är större än alla andra. Satsen brukar numera oftast uttryckas med orden: det finns oändligt många primtal. Lästips: Nystedt, På tal om tal, kap. 8.6, Minsta gemensamma multipel. Övning 43. Betrakta beviset av Sats. Beräkna y för n = 1,, 3, 4, 5, 6. Visa att y inte alltid är ett primtal. Euklides algoritm. Vi skall i detta avsnitt introducera en allmän metod att beräkna största gemensamma delaren till två heltal. Vi börjar med att studera några mycket speciella, men ändå lärorika, extremfall. I det första fallet söker vi SGD (13, 65). Lägger vi märke till att 65 = 5 13 har vi omedelbart svaret: SGD (13, 65) = 13. Det mindre av de två talen, 13 och 65, är i detta fall en delare i det större. Det måste då vara de två talens största gemensamma delare. Naturligtvis är denna situation extrem, men vi lär oss att det kan vara värt att börja med att undersöka om det mindre talet rent av är en delare i det större. Det andra extremfallet exemplifieras av SGD (4, 5). Vi har diskuterat denna situation förut. Två på varandra följande tal är alltid relativt prima, ty det är klart att om ett tal a ryms ett helt antal gånger både i 4 och i 5 så ryms a också ett helt antal gånger i skillnaden, d.v.s. i 5 4 = 1. Vi kan variera detta något. Vad är SGD (4, 6)? En gemensam delare till 4 och 6 måste också dela 6 4 =. I detta fall kontrollerar vi lätt att faktiskt är en gemensam delare och således = SGD (4, 6). Vi har ju 4 = 1 och 6 = 13. Notera att ryms en gång mer i 6 än i 4. Övning 44. Beräkna SGD (5, 7). Nästa exempel är mer typiskt, d.v.s. något mindre speciellt. Beräkna SGD (91, 39). Vi undersöker först om 39 delar 91. Svaret är nej, ty 91 = 39+13. De gemensamma delarna är alltså alla mindre än 39. Tänker vi efter lite så finner vi att om ett tal a är delare både i 91 och i 39 så måste a vara delare i 13. I detta fall kontrollerar vi lätt att 13 39 ty 39 = 3 13 och också att 13 91. Den största gemensamma delaren till 39 och 91 är alltså 13. Sammanfattar vi räkningarna har vi alltså: 91 = 39 + 13 39 = 3 13. Övning 45. Betrakta schemat noga. Att 13 91 följer automatiskt, utan att vi behöver utföra divisionen. Hur då? Med hjälp av schemat kan du till och med beräkna kvoten 91/13. Hur då? 1

Denna uppställning kallas Euklides algoritm. Vi visar ett exempel till där algoritmen kräver ytterligare ett steg. Beräkna SGD (48, 1). Uppställningen ser ut så här: 48 = 1 + 6 1 = 3 6 + 3 6 = 3. Lägg märke till hur vi successivt delar med de rester som uppkommer. Den sista resten innan divisionen går jämnt ut ( den sista icke-försvinnande resten ) är största gemensamma delaren. Alltså SGD (48, 1) = 3. Lägg märke till att största gemensamma delaren delar alla tal som står till vänster om likhetstecknen. Ett exempel med ännu fler steg får vi om vi beräknar SGD (100, 44): 100 = 44 + 1 44 = 3 1 + 8 1 = 1 8 + 4 8 = 4. Största gemensamma delaren är alltså 4. Övning 46. Försök att förklara varför 4 = SGD (100, 44) och varför 4 delar alla tal till vänster om likhetstecknen. Man kan också utläsa ur algoritmen hur många gånger 4 ryms i 8, 1, 44 resp. 100. Hur? Kanske gick du inte i land med denna övning nu. Vi tar ett nytt exempel som vi riktigt detaljstuderar och också illustrerar grafiskt. Du kan återvända till övningen ovan sedan. Vi skall beräkna största gemensamma delaren till talen 65 och 44: 65 = 1 44 + 408 44 = 5 408 + 04 408 = 04. Vi kan åskådliggöra detta i en figur med rektanglar av samma höjd. Den översta rektangeln, A, har bredden 65. Nästa rektangel, B, har bredden 44. A B C 44 408 408 408 408 408 408 04 04 04 D 04 c Euklides algoritm slutar alltid med en division som går jämnt upp (ibland går det så långt att den sista icke-försvinnande resten är 1). Geometriskt svarar detta mot att den understa rektangeln (D) får plats ett helt antal gånger i den näst understa rektangeln (C); i detta 13

fall två gånger. Vi säger att 04 delar 408 eller geometriskt att D mäter C eller att D kan användas som måttstock för att mäta C. D mäter också B, ty B kan byggas upp av ett helt antal (i vårt fall 5) C samt ett överskjutande D. Vi har ju 44 = 5 408+04. D är alltså en gemensam måttstock för B och C. D går två gånger i C och 5 + 1 = 11 gånger i B (det betyder att 44 = 11 04). Men D duger också som måttstock för A, eftersom A kan byggas upp av ett helt antal (i vårt fall 1) B samt ett överskjutande C. Eftersom D går 11 gånger i B och gånger i C så går D således 11 + = 13 gånger i A, vilket betyder att 65 = 13 04. Den understa rektangeln är alltså gemensam måttstock till alla rektanglar ovanför denna. Talet 04 är gemensam delare till 408, 44 och 65. Men varför är 04 största gemensamma delare till 44 och 65? Det skall vi strax se, liksom ytterligare en betydelsefull egenskap hos talet 04 (den sista icke-försvinnande resten i Euklides algoritm). Vi tänker oss att c är någon gemensam delare till 65 och 44. Jag har illustrerar c med en rektangel till höger i figuren. Rektangeln c skall kunna användas som gemensam måttstock för A och B. Med pusselbitar av storlek c kan vi alltså precis täcka A och dessutom precis täcka B. Du kan själv skissera detta i figuren. Detta innebär förstås att även C täcks av ett helt antal c. Men vi kan gå ett steg till. B byggs ju upp av ett helt antal C samt ett överskjutande D. Med pusselbitar c kan vi därför också precis täcka D, d.v.s. c mäter D. Vi har alltså funnit att varje gemensam måttstock till A och B också är måttstock till D. Eller, med andra ord, varje gemensam delare till 65 och 44 är delare till 04. Speciellt är alltså ingen gemensam delare större än 04. Det är klart att resonemanget ovan är helt generellt och inte något speciellt för de två heltal vi valde som exempel. Vi sammanfattar: Till två heltal a och b hör alltid en största gemensam delare d, som vi kan finna med Euklides algoritm och för varje gemensam delare c till a och b gäller att c delar d. Exempelvis är 68 gemensam delare till 65 och 44 ty 68 04. Däremot är 5 inte gemensam delare till 65 och 44, ty 5 04. Vi finner att 5 65 men 5 44. Övning 47. Genomför ovanstående resonemang en gång till, på egen hand, utan att titta i texten. Använd figuren som utgångspunkt. Övning 48. Bestäm SGD (69, 15). Illustrera grafiskt och utför motsvarande resonemang som ovan. Övning 49. Bestäm SGD (188, 690). Använd resultatet dels till att skriva bråket 690 188 förkortat så långt som möjligt dels till att beräkna 11 690 19 188 och skriva detta tal på enklast möjliga vis. *Maximalt förkortade bråk. Betrakta nu bråket 44 65. I föregående avsnitt beäknade vi största gemensamma delaren till bråkets täljare och nämnare och fann SGD (65, 44) = 04. Vi fann också att 65 = 13 04 och 44 = 11 04. Vi fann t.o.m. kvoterna 13 och 11 utan att utföra 14

divisionerna 65/04 resp. 44/04! Eftersom täljare och nämnare båda är delbara med 04 så kan vi förkorta bråket med detta tal och får: 44 65 = 11 13 Naturligtvis går det aldrig att förkorta ett bråk a b med något större tal än största gemensamma delaren d till a och b. Vi kan ju bara förkorta med tal som är gemensamma delare till täljare och nämnare. Vi får med denna förkortning bråket på en maximalt förkortad form. Täljare och nämnare är då så små som möjligt. Ofta förkortar vi ju bråk successivt. Vi observerar kanske att både täljare och nämnare är jämna och förkortar därför först med och får: 44 65 = 11 136 Vi observerar kanske sedan att täljare och nämnare båda är delbara med 3 och förkortar med 3 i nästa steg: 11 136 = 374 44 Sammanlagt har vi nu förkortat med 3 = 6. Detta är naturligtvis en möjlig metod så länge som vi lätt hittar gemensamma delare till täljare och nämnare, men det finns en intressant teoretisk fråga att ställa här. Är det teoretiskt tänkbart att vi hamnar i en återvändsgränd, d.v.s. kommer till ett bråk som inte går att förkorta ytterligare (täljare och nämnare är relativt prima) trots att vi inte nått fram till 11 13, som är den maximalt förkortade formen? Svaret på frågan är nej och det är lätt att se varför. Antag att vi utfört ett antal förkortningar av bråket a b. Det innebär att vi har dividerat täljare och nämnare med någon gemensam delare c. I själva verket är c produkten av alla tal vi successivt förkortat med; i vårt exempel är ju c = 6 = 3. I föregående avsnitt fann vi att varje gemensam delare till a och b också är delare till den största gemensamma delaren d. Exempelvis är alltså 6 04. Vi har 04/6 = 34, så bråket 374 44 kan vi förkorta vidare med 34 och har då totalt förkortat med 6 34 = 04 och når den maximalt förkortade formen 11 13. Uttryckt allmänt så kan en utförd förkortning med c fortsättas av en förkortning med d/c så att vi totalt har förkortat med största gemensamma delaren d. Låt oss sammanfatta: Varje bråk a b har en maximalt förkortad form som erhålles efter förkortning med största gemensamma delaren d till a och b. Om bråket först förkortas med ett annat tal c (som måste vara mindre än d) så kan bråket förkortas ytterligare ända tills vi når den maximalt förkortade formen. Med bråk menar jag här alltid ett uttryck av typen a b där a och b är heltal. Bråket representerar ett rationellt tal. De bråk som vi kan få genom att förkorta a b betyder alla samma rationella tal. Antag nu att två bråk är lika, a b = α β, d.v.s. betyder samma rationella tal. Har de då samma maximalt förkortade form? Kan vi, med andra ord, överföra det 15

a ena bråket, b, till det andra, α β, genom att förkorta och förlänga? Vi har faktiskt inte svarat på den frågan ännu. Vi visar först att a b och α β kan förlängas till samma bråk. Förläng a aα b med α till bα. Förläng α aα β med a till aβ. Vi förutsatte att a b = α β. Alltså är aβ = bα. De två förlängda bråken aα aα bα och aβ är alltså identiska, d.v.s. har samma täljare och nämnare. Låt oss kalla detta bråk m n. De två bråk vi började med, a b och α β, är alltså båda förkortade former av m n. Både a b och α β kan vi alltså förkorta vidare till den maximalt förkortade formen av m n. Alltså: Om två bråk representerar samma rationella tal så har de samma maximalt förkortade form. Detta får intressanta konsekvenser. Exempelvis kan det omöjligt vara sant att 5 8 = 13 1. Om dessa bråk representerade samma rationella tal skulle de nämligen kunna förkortas vidare till samma maximalt förkortade form. Men inget av bråken går att förkorta ytterligare. Alltså är 5 8 13 1 och 5 1 8 13. Vi är nu mycket nära frågan om entydig faktoruppdelning av heltal, som vi behandlar i nästa avsnitt. *Entydig faktorisering av positiva heltal. Ett positivt heltal som inte är ett primtal kan skrivas som en produkt av två mindre heltal. Om någon av dessa faktorer inte är ett primtal kan denna i sin tur faktoriseras, och så vidare. Resultatet blir en faktorisering i en produkt av primtal. Exempelvis är 3150 = 3 3 5 5 7. Vi kan komma fram till denna faktoruppdelning successivt, t.ex. genom: 3150 = 10 315 = 5 3 105 = 5 3 3 35 = 5 3 3 5 7 eller också genom: 3150 = 50 63 = 5 10 9 7 = 5 5 3 3 7. Trots att faktoriseringen här inleds på två helt olika sätt når vi samma slutresultat: en :a, två 3:or, två 5:or och en 7:a. Vi skall nu försöka förstå varför slutresultatet inte kan bli något annat (vi bortser alltså från primfaktorernas ordningsföljd) eller m.a.o. varför positiva heltal har entydig (unik) faktoruppdelning. Vi resonerar i exempel men det bör vara klart att resonemanget håller helt generellt och alltså inte är beroende av de siffror vi valt. Varför kan inte 3150 vara delbart med något annat primtal än, 3, 5 och 7? Varför är t.ex. inte 13 3150? Antag att det vore så, säg 13 c = 3 3 5 5 7 där c är ett heltal. Då är 13 7 = 3 3 5 5. Bråket i vänsterledet, 13 c 7 är maximalt förkortat eftersom 13 och 7 är skilda primtal. Om nu detta är sant, så följer av våra resultat i föregående avsnitt 3 3 5 5 att bråket i högerledet,, kan förkortas till formen 13 c 7. Det innebär alltså att 13 3 3 5 5, säg 13d = 3 3 5 5, d.v.s. 13 5 = 3 3 5. Resonemanget kan upprepas så att d vi får 13 3 3 5. Upprepar vi resonemanget ännu några gånger så får vi till slut 13, vilket är orimligt. Det kan alltså inte vara så att 13 3150. På samma sätt kan vi för varje heltal visa att det inte kan vara delbart med något annat primtal än dem, som förekommer i en primfaktorisering. Exempelvis kan talen a = 7 3 och b = 3 5 11 inte vara lika ty 7 a men 7 b. 16

Om det nu skulle inträffa ändå att ett heltal har två skilda primfaktoriseringar så vet vi alltså så här långt att samma primtal måste förekomma i båda. Men kan antalet variera? Vi måste övertyga oss om att t.ex. 8 5 och 5 4 inte är samma tal. Men det är lätt. Om 8 5 = 5 4, så kan vi dela båda leden med först och sedan 5 och få 7 = 5 3, vilket inte kan vara sant ty enligt ovan kan 5 3 inte vara delbart med något annat primtal än 5. Alltså är 8 5 5 4. Vi har nu fullständigt visat följande: Varje heltal kan skrivas som en produkt av primtal. Framställningen är entydig om vi bortser från ordningsföljden mellan faktorerna. Denna sats visades redan av Euklides och kallas ofta för aritmetikens fundamentalsats. Du som läser detta bör övertyga dig om att resonemangen ovan är generella och inte speciellt beroende av de exempel som vi arbetar med. Det är lätt att genomföra resonemangen helt algebraiskt d.v.s. ersätta siffror med bokstäver om man så vill. Vi kan också uttrycka detta så, att t.ex. talen, 3, 5 och 7 ovan representerar godtyckliga skilda primtal. Det är viktigt att kunna skilja mellan argument som är speciella för ett exempel och argument som är generella. Betrakta t.ex. det avslutande argumentet för att 8 5 och 5 4 inte är samma tal. Hade vi visat detta genom att beräkna de båda produkterna så hade vi inte kunnat dra någon generell slutsats av detta. Vi hade inte lärt oss någonting. Men det argument vi använder duger lika bra för att visa att om p a q b = p c q d där p och q är skilda primtal så måste a = c och b = d. 17

. POTENSER OCH KONGRUENSER. Inledning. Nu fortsätter vi våra strövtåg bland heltalen och fördjupar våra studier av delbarhet. I detta kapitel lär vi känna och bli goda vänner med potenser och vilket nog är nytt för dig kongruenser. Du som läser detta kanske redan är urstyv på potensräkning, men du skall nog ändå finna en och annan ny aspekt på ämnet, så läs även du med eftertanke. Har du istället problem med bas och exponent hoppas vi att du snart skall få ett mer avspänt förhållande till dessa begrepp. När man arbetar med heltal lurar ofta bråktalen om hörnet, så vi ägnar ett kort avsnitt även åt dem. I sista avsnittet bygger vi vidare på delberhetsresonemangen från Mysterier bland heltalen och lär oss räkna ut sådana halsbrytande ting som vilken veckodag det är om 17 dagar! Att arbeta avspänt med potenser. Börja med att utföra följande multiplikationer, helst i huvudet. = = = = = = = = = = = och skriv ned resultaten. Fundera lite över detta och över hur du gick till väga. Började du om från början i varje ny rad eller utnyttjade du resultatet från föregående rad? Jag utgår från att du arbetade på det senare sättet. Högerledet i en rad är naturligtvis dubbelt så stort som högerledet i raden ovanför. 18

Har du lagt märke till att högerledet i femte raden, 64, är kvadraten på högerledet i andra raden, 8? Förklara varför det är så. Finns det fler exempel på att något högerled är kvadraten på något annat högerled? Finns det något exempel på ett högerled som är kuben på något annat högerled? Om du har en miniräknare kan du gärna använda den till att experimentera lite. Räknaren är ett utmärkt hjälpmedel vid experimentell verksamhet, speciellt med stora tal, men se till att du också försöker förstå de fenomen du upptäcker! Naturligtvis är du sedan gammalt bekant med de förkortade skrivsätten, 3, 4, 5,..., 1 för produkterna ovan. Du vet också att uttryck av denna typ kallas för potenser. I 7 är talet bas och talet 7 exponent. Dina beräkningar ovan kan du nu sammanfatta genom att fylla i andra raden i nedanstående tabell: n 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 n Det är mycket vanligt att nybörjare snart får problem när de arbetar med potenser. Vi tror oss veta att dessa problem bottnar i att man förlorat kontakten med begreppens enkla innebörd. Problemen är helt onödiga. Glöm bara inte att 7 endast är ett kortfattat uttryck för Att arbeta med potenser är inte konstigare än att arbeta med multiplikation! Det finns ingen anledning att betrakta potenser som något mystiskt, omgärdat av massa strikta lagar och regler som någon hittat på och som man måste följa. Enligt uppgift från studenthåll skulle dessa regler finnas i s.k. blå rutor. Låt oss som vuxna människor frigöra oss från alla dessa blå rutor med regler och istället koncentrera oss på innehållet i det vi arbetar med. Om du kommer på dig själv med att skriva något som inte betyder något för dig så skall du genast säga ifrån. I början, innan du är helt säker på potenser, är det bra om du växlar mellan skrivsätten, mellan 7 och. När du är mer van gör du ständigt sådana växlingar i tanken. Det är nödvändigt för att förklara de fenomen vi såg ovan. Att 6 är kvadraten på 3 är helt klart, ty = ( ) ( ) = ( ). Övning 1. Finn positiva heltal a och b sådana att 3 17 = 9 a 3 b. Det finns flera svar på denna fråga. Vilket är det största möjliga värdet på a? Övning. 18 + 19. Skriv enkelt utan +-tecken (och utan att utföra multiplikationerna) talet I lite mer abstrakta sammanhang (där bas eller exponent är obestämd) kommer potenser verkligen till sin rätt. Uttrycket x x x x kan vi inte tolka om vi inte vet hur många faktorerna är. Säg att antalet faktorer är 39. En möjlighet är att skriva ut alla 39 faktorerna. En annan möjlighet är att skriva x x x x (39 faktorer). Men mest kortfattat är att skriva x 39. Men tänk gärna så: x x x x (39 faktorer). 19

Övning 3. Skriv som en potens x 39 x x x x 17 x x x Övning 4. Finn a så att x a x a x a x a = x 0. Övning 5. Finn b så att (x b ) 3 = x 39. Övning 6. Skriv ned i klartext uttrycken x 5, y 5 och (xy) 5 och jämför. Finns det något samband? Övning 7. Skriv ned i klartext uttrycken x 3, y 3 och (x + y) 3 och jämför. Finns det något samband? Ser man på matematiken endast operationellt och mekaniskt som en serie cirkuskonster man skall utföra, så kommer man ständigt göra misstag. Men du som håller fast vid det begreppsmässiga innehållet i allt du gör kommer inte att misslyckas. Övning 8. Skriv som en potens av 3 (d.v.s. med 3 som bas) talet x > och diskutera vad den förutsättningen har för betydelse. 7x. Förutsätt att 9x+1 Återgå till tabellen över n ovan. Skrev du något värde för n då n = 1? Förmodligen skrev du 1 =. Nu är ju potenser ett förkortat skrivsätt för upprepad multiplikation med samma tal och exponenten anger antalet faktorer. Att tala om bara en faktor är naturligtvis en smula oegentligt. Nog bör man ha minst två faktorer för att kunna multiplicera! När vi skriver 1 = har vi alltså tänjt ordentligt på den ursprungliga idén med potenser. Övning 9. Diskutera detta. Är det förnuftigt att anse att 1 =? Kunde det vara lika gångbart att låta 1 betyda t.ex. 1 eller 0 istället? Du har kanske också sett någon gång att 0 = 1. Nu börjar vi närma oss det absurda. Noll faktorer! Varför? Betrakta igen tabellen över n. Varje gång vi flyttar oss ett steg åt höger fördubblas värdet i den undre raden. För varje steg vi tar åt vänster halveras värdet i undre raden. Vill vi bibehålla detta mönster så kan vi fortsätta tabellen obegränsat åt vänster! Gör det:... 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1... 1 4 8 16 Vi inför nu skrivsättet 0 = 1, 1 = 1, = 1 4 o.s.v. Därmed har vi tagit ett betydelsefullt och intressant steg. Potenser med exponent som är ett positivt heltal infördes som ett förkortat skrivsätt för upprepad multiplikation. Exponenten är då nödvändigtvis 0

ett positivt heltal (helst ). När vi nu utvidgar innebörden av potensbegreppet till att omfatta även negativa heltal som exponenter måste vi frångå den ursprungliga idén. Vi tar istället fasta på ett mönster som vi vill föra vidare. Du kan i detta sammanhang återgå till Övning 9 ovan och diskutera den igen. Det ligger naturligtvis mycket tankearbete bakom detta, som vi inte redovisar här. Du kommer uppskatta denna utvidgade användning av potenser mer när du upptäckt att man kan arbeta lika lätt med negativa exponenter som med positiva. Vi skall strax se några exempel på det. Övning 10. Har du tidigare i livet varit med om upplevelsen att ett begrepp (eller ett ord) har fått en utvidgad betydelse? Övning 11. Skriv som ett bråk utan potenser: 1. Exempel. Lägg märke till att 11 13 =. 11 = 13 = 1 = 1 = Övning 1. Om a > b är positiva heltal är naturligtvis 3a 3 b = 3a b. Eller hur? Övning 13. Antag att a, b är positiva heltal men att a < b. Förklara utförligt varför 3 a 3 b = 3a b ändå är sant. Övning 14. Testa i några exempel om 3a 3 b = 3a b fortfarande är sant om t.ex. både a och b är negativa, eller om a är positivt men b negativt o.s.v. När man arbetar med negativa exponenter och alltså har lämnat den ursprungliga tolkningen av potenser som upprepad multiplikation, är risken mycket stor att man halkar dit och börjar tänka endast operationellt och mekaniskt (d.v.s. helt enkelt upphör att tänka). Den blå rutan är hotande nära och risken är överhängande att man släpper kontakten med verkligheten. Upprepa därför övningarna ovan ofta. Kräv att de symboler du använder betyder något för dig. Miniräknaren kan lura oss här. Den har ofta en potensknapp och du kan slå in vilka absurditeter som helst, som 1/ eller 3. Räknaren som kan vara ett sådant utmärkt hjälpmedel kan här vara förödande och leda till ett ultraoperationellt knapptryckstänkande. Du bör med emfas hävda att 3 är gallimatias till dess att någon har givit dig en rimlig välmotiverad tolkning (den dagen kan i och för sig mycket väl komma). Räknaren döljer de svårigheter som finns här. En parentes om allmänna bråk. Vi har nu kommit in på bråkräkning och jag kan inte låta bli att säga några ord även i detta ämne. Denna omistliga del av vårt kulturarv är tyvärr också ofta utsatt för ett 1