Ingenjörsmetodik IT & ME 011 Föreläsning 11 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1
Läsanvisningar till böckerna MATLAB delar av kap 3 (3.4 & 3.5) Grimvall Kap 11.
Mål enligt böckerna Grimvall att kunna beskriva vilka begrepp som används inom mätdatabehandling att förstå hur dessa begrepp relaterar till givna mätvärden kunna utföra statistiska beräkningar mha formelsamling MATLAB use statistical functions, generate uniform and Gaussian random sequences 3
Frågor från förra gången? 4
Förra (F10) föreläsningens mål Ni ska nu kunna: perform linear and cubic spline interpolation calculate the best-fit straight line and polynomial to a set of data points use the basic fitting tool Kunna analysera enkla potensfunktioner med hjälp av linjär anpassning Förstå matematiken bakom detta På samma sätt kunna analysera exponentialfunktionen, relevant för en av labuppgifterna! 5
Statistik som tekniskt hjälpmedel Ingenjörer tittat på fördelningar och avvikelser inte torra tabeller! 6
Kopplingen till gymnasiematten Dagens föreläsning Gauss formel för sammanlagda mätosäkerheter använder partiella derivator för att studera inverkan av olika variablers osäkerhet på slutresultatet EXEMPEL om både hastigheten och körsträckan är okända är det svårt att beräkna tiden att nå målet! 8
9 Exempel Gauss formel Formeln beskriver: ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i de uppmätta värdena x och y Osäkerheten betecknas Det värde vi sätter in är oftast det uppskattade mätfelet standardosäkerheten u som fås genom statistisk behandling av många uppmätta värden F F x y x y F + x y, ( ) ( ) ( ) 0 0 + y u y f x u x f f u y y x x c
Exempel Gauss formel I vårt exempel är F restiden t, x vägsträckan s och y bilens hastighet v Dvs: s vt t t s v (, ) t( sv, ) (, ) (, ) t sv 1 t sv s, s v v v t sv s + v s v 10
Exempel Gauss formel Vi kanske kör med 70 km/h med en osäkerhet på 0 km/h Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet på 5km Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SIsystemet för kommande beräkning? v 70 km / h v 0 km / h s 30km s 5km 11
Exempel Gauss formel 1 s t s + v v v 1 30 5 + 0 70 70 0.15h 8min 30s t v s 30 5 35, 60 5.7 min, 16.7 min, 70 90 50 4min Minsta värde Medelvärde Största värde 16.7 min 5.7 min 4 min 1
Alternativ metod Lägg ihop de relativa osäkerheterna t t t v s 5 5 + + 0.381lös ut t v s 70 30 t 0.381 5.7 0.381 6.1min 13
Exempel Gauss formel Finns två formler som är användbara om man är osäker på partiella derivator, funkar nästan alltid! För en summa av potenser För en produkt av potenser ( a 1 ) ( b 1 Aax ) 1 x1 Bbx x F + F F x 1 x a + b x 1 x Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar 14
15 Exempel Gauss formel Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade? SVAR: produkt av potenser ( ) 1 1 1 1 + + + + v v s v s v v t s s t t v v s s v v s s t t v s v s t
Hur kan Gauss formel användas För en ingenjör gäller att kraven på produkten måste uppfyllas Detta ska göras på ett sätt som är pålitligt och inte för komplicerat 16
Hur kan Gauss formel användas f 1 π LC Tag en radiomottagarkrets i en mobiltelefon som exempel I 3G gäller det att ställa in rätt frekvens, med hjälp av en induktans (spole) och en kapacitans (kondensator) http://www.umtsworld.com/umts/faq.htm Värdet på L och C bestäms av kretsens layout och varierar något 190-1980 and 110-170 MHz Frequency Division Duplex (FDD, W-CDMA, channel spacing is 5 MHz and raster is 00 khz. 17
Hur kan Gauss formel användas Spolar VCC Kondensatorer Layout och kretsschema 18
Hur kan Gauss formel användas Givna värden för frekvensen L 0.6 ± 0.1nH C 10.0 ± 0.1pF ger Δf f f π 1 L L 10. 0 10 1 1 1 C + C 0. 6 10. 0547 10 0.01 0.01 + 0.0835 eller 0.6 10.0 9. 0547 10 0. 0835 01716. GHz 1716. MHz 9 Detta kan uttryckas som 8% variation och är inte tillräckligt bra eftersom kanalseparationen ska vara bara 5 MHz! 9 Hz 19
Mätvärden och mätfel Vad mäter vi? Fysikaliska storheter: Strömmar, spänningar, temperaturer Mer komplicerade storheter som överföringshastighet, bit error rate En ingenjör vill oftast testa sin konstruktion, fungerar enligt kraven eller inte? Se radiokretsexemplet ovan! I produktion vill man undersöka kvaliteten 0
Mätvärden och mätfel Nu går vi in på hur man behandlar resultaten från många mätningar med statistik 1. Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde. Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar 3. Standardosäkerheten talar om hur medelvärdet varierar 1
Mätvärden och mätfel Tre möjliga typer av mätfel 1. Grova fel, felavläsning. Systematiska fel, ex.vis något med mätutrustningen som varierar med temperatur 3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer
Mätvärden och mätfel Skillnaden mellan precision och noggrannhet illustrerar konceptet med medelvärde och sant värde 3
Mätvärden och mätfel Medelvärde (aritmetiskt) x Sant värde µ Standardavvikelse s σ Variansen σ Standardosäkerhet u För n st mätningar s n 4
Mätvärden och mätfel Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde µ Man säger att är en skattning av µ x 5
Mätvärden och mätfel Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar Jämförelsen görs med medelvärdet eller det sanna värdet µ Vi ser från formeln att det spelat stor roll hur många (antalet n) mätningar vi gjort σ 1 n n i 1 ( x x ) n 1 s σ xi x n 1 1 ( ) 6
Mätvärden och mätfel Om vi vill veta hur medelvärdet varierar kan vi också använda standardavvikelsen Vi definierar ett nytt samband som kallas standardosäkerheten Även här spelar antalet n mätningar roll u s n där s beräknas på samma sätt som tidigare 7
Normalfördelningen f(x) Figur 4. 1.5 1 0.5 0 Gaussfördelningen σ0.5 σ0.5 µ0.5-0.5 - -1 0 1 3 x Visar förväntad spridning för två värden på standardavvikelsen Kan uttryckas med välkänd formel, kallas normalfördelning f ( x) σ ( x µ ) 1 σ e π 8
Normalfördelningen Figur 4.3 1 0.8 Gaussfördelningen µ f(x) 0.6 0.4 µ-σ µ+σ 0. µ-σ µ-3σ 0 - -1 0 1 3 x µ+σ µ+3σ Man kan dela in området (arean) under kurvan och ange procenttal för deras respektive sannolikhet 9
Normalfördelningen Sannolikheten att hitta µ i intervallet zσ (ett sigma) är: µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) f ( x) dx f ( x) dx 1 0. 68 P + (4.8) µ σ Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet ( µ σ ) < < ( µ + σ ) x (två sigma) som är: percentage within CI 1σ 68.68949% 1.645σ 90% 1.960σ 95% σ 95.4499736%.576σ 99% 3σ 99.730004% P µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) f ( x) dx f ( x) dx 1 0. 954 + µ σ http://en.wikipedia.org/wiki/standard_deviation 3.906 σ 99.9% 4σ 99.993666% 5σ 99.999946697% 6σ 99.999999807% 7σ 99.999 999 999 7440% 30
Exempel på mätvärdesbehandling Exempel Vid vägning av ett antal personer erhölls följande resultat: Massa (kg) 58-6 6-66 66-70 70-74 74-78 78-8 8-86 86-90 Antal 8 45 60 66 41 17 7 31
Exempel på mätvärdesbehandling 70 60 Antal personer 50 40 30 0 10 0 60 64 68 7 76 80 84 88 Massa (kg) 3
Exempel på mätvärdesbehandling Standardavvikelsen s kan beräknas enligt: s m j 1 k ( x) j ξ j n 1 8 j 1 k j v n 1 j 10418.906 65 6.3 ( kg) Svar blir: medelvärdet73.7 kg, standardavvikelsen6.3 kg. 33
Exempel på mätvärdebehandling Histogram Frequency 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 10 0 30 Medel: 33,1 Standardavvikelse: 5,3 40 50 60 70 80 90 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,015 0,01 0,005 0 Bin Verkligt material gamla tentaresultat, följer inte gaussfördelning helt och hållet Flera resultat ligger utanför 1σ intervallet 34
Sammanfattning Grimvall att kunna beskriva vilka begrepp som används inom mätdatabehandling att förstå hur dessa begrepp relaterar till givna mätvärden kunna utföra statistiska beräkningar mha formelsamling MATLAB use statistical functions, generate uniform and Gaussian random sequences 35
Nästa föreläsning Fortsättning på mätvärdesbehandling Använder MATLAB för att titta på begreppet fördelning Exemplifierar MATLAB funktioner mha statistikens formler Använder symbolisk matematik i MATLAB för att hantera sammansatt fel 36