Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen skriver om att diagonalisera matriser, är det alltså underförstått att matriserna är kvadratiska. Definition 3 En linjär avbildning F sägs vara diagonaliserbar, om det finns en bas i vilken avbildningsmatrisen för F blir en diagonalmatris. Enl. utredning på sid. 11 Sats 4 En linjär avbildning F : R n R n är diagonaliserbar om och endast om F :s egenvektorer är tillräckligt många för att man av dem skall kunna sätta ihop en bas för R n. Definition 5 Matrisen A sägs vara diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris S sådan att S 1 AS = diagonalmatris D Diagonaliserbarhet Tyvärr är inte alla avbildningar/matriser diagonaliserbara: 39. Kontrollera att egenvektorerna till µ 0 1 0 0 inte räcker för att bilda en bas för R. I viss mening är de icke-diagonaliserbara matriserna undantagsfall: Sats 6 Egenvektorer som hör till olika egenvärden är alltid linjärt oberoende. Alltså: Om karaktäristiska polynomet inte har några multipla nollställen, så har vi lika många olika egenvärden som polynomets grad, d.v.s. lika många som matrisens ordning, d.v.s. rummets dimension och då räcker motsvarande egenvektorer för att bilda en bas. Bevis för satsen i fallet av 3 vektorer: Låt v 1, v, v 3 vara egenvektorer till A med egenvärden λ 1, λ,. resp. λ 3. v 1, v, v 3 är linjärt oberoende c 1 v 1 + c v + c 3 v 3 = 0 (7) har endast den triviala lösningen c 1 = c = c 3 =0 Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c (Av λ 1 v )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 c (λ λ 1 ) v + c 3 (λ 3 λ 1 ) v 3 = 0 Multiplicera nu på samma sätt med A λ I : c 3 (λ 3 λ 1 )(λ 3 λ ) v 3 = 0 I och med att egenvärdena är olika och v 3 6= 0, måste c 3 =0 Multiplicerar vi med A λ j I i en annan ordning, får vi på samma sätt c 1 = c =0 För att bevisa satsen för fler än tre vektorer, behövs upprepning i samma stil. 5
Några tillräckliga villkor för diagonaliserbarhet: Inga multipla egenvärden Reell symmetrisk matris Hermitesk matris, d.v.s. som uppfyller A = A Normal matris, d.v.s. som uppfyller Spektralsatsen För Hermiteska matriser, ochdärmedspecielltförreella symmetriska matriser, gäller: i) Kan alltid diagonaliseras ii) Finns en ON-bas av egenvektorer iii) Alla egenvärden är reella A A = AA Obs. Alla matristyperna nedan är faktiskt specialfall av normala matriser: symmetriska : A reell och A T = A Hermiteska : A = A skevsymmetriska : A reell och A T = A skevhermiteska : A = A ortogonala : A reell och A T A = I unitära : A A = I 6
Övningar 40. En biluthyrningsfirma hyr ut totalt 600 bilar i Halmstad, Växjö och Borås. De flesta bilarna hyrs och lämnas tillbaka på samma ställe, men firman accepterar också att en bil hyrs på en plats och återlämnas på en annan. Erfarenhetsmässigt vet man att 10% av kunderna i Halmstad vill lämna bilen i Växjö och 10% i Borås. Av kunderna i Växjö vill 40% lämna bilen i Halmstad och 10% i Borås. I Borås är det 0% som vill hyra bil till Halmstad och 10% till Växjö. Uppgiftenärnuattbeskrivahurantaletbilarpåde olika platserna varierar. Inför x n = en vektor med tre komponenter, som ger antalet hyrbilar, som står till förfogande dag n på morgonen i de tre städerna, i ordningen Halmstad, Växjö, Borås. (Vi gör det förenklande antagandet att alla bilar hyrs på morgonen och återlämnas samma kväll.) a) Förklara varför matrisen 0.8 0.4 0. A = 0.1 0.5 0.1 0.1 0.1 0.7 ger sambandet mellan x n+1 och x n. b) Kontrollera att A har egenvärdena 1.0, 0.6 och0.4. med egenvektorer (7,, 3), (1, 0, 1) resp. (1, 1, 0) c) Med ovannämnda system kommer antalet tillgängliga bilar i t.ex. Halmstad att variera från dag till dag, men visa att det finns en jämviktsfördelning om man fördelar de 600 bilarna på ett visst sätt, kommer var och en av städerna att ha lika många bilar varje dag i fortsättningen. Hur ser den jämviktsfördelningen ut? d) Firmans marknadsavdelning bedömer att efterfrågan är dubbelt så stor i Halmstad jämfört med Växjö, medan Växjö och Borås skulle vara jämbördiga. Därför föreslår man att dubbelt så många bilar placeras i Halmstad jämfört med Växjö och Borås. Går detta att förena med kravet på jämviktsfördelning? e) Är ovannämnda jämviktsfördelning stabil? Frågan är alltså: Vad händer, om vår begynnelsefördelning avviker från jämviktsfördelningen kommer vi att närma oss den? Lösning: a) Av Halmstadbilarna går 10% till Växjö och 10% till Borås, alltså stannar 80% i Halmstad. Till Halmstad kommer 40% av Växjöbilarna och 0% av Boråsbilarna. Alltså, om x n =(h n,v n,b n ), så har vi h n+1 =0.8h n +0.4v n +0.b n vilket ger första raden i matrisen. Övriga två på samma sätt. b) En jämviktsfördelning svarar mot en egenvektor med egenvärdet 1. Det har vi om bilarna fördelas i proportionerna 7::3, d.v.s. 350 bilar till Halmstad, 100 till Växjö och 150 till Borås, så kommer denna fördelning att hålla i sig. c) Nej. Marknadsavdelningen kan sägas föreslå fördelningen 6:3:3, men denna överensstämmer inte med jämviktsfördelningens 7::3. d) Begynnelsefördelningen kan vi skriva som en linjärkombination av egenvektorerna v 1, v, v 3 (egenvärden är olika, så egenvektorerna bildar säkert en bas): x 0 = c 1 v 1 + c v + c 3 v 3 Då blir, om λ 1, λ, λ 3 betecknar motsv. egenvärden, x n = c 1 λ n 1 v 1 + c λ n v + c 3 λ n 3 v 3 = c 1 v 1 + c 0.6 n v + c 3 0.4 n v c 1 v 1 Obs. att vi inte kan ha c 1 =0, eftersom med enbart v och v 3 kan vi inte åstadkomma en linjärkombination med alla komponenterna positiva. Vi kommer att närma oss jämviktsfördelningen, oavsett vilken fördelning vi startar med! Jämviktsfördelningen är (asymptotiskt) stabil. 7
41. Finns det några enkla samband mellan egenvärdena/egenvektorerna till en matris A och egenvärdena/egenvektorerna till dess invers A 1? Utredning: Inversen karaktäriseras av att A 1 A = AA 1 = I Om x är en egenvektor till A med egenvärdet λ, så A 1 Ax = A 1 λx x = λa 1 x A 1 x = 1 λ x d.v.s. x är också egenvektor till A 1, fast med egenvärdet 1/λ. På grund av symmetrin A är ju i sin tur invers till A 1 så har vi också omvändningen: en egenvektor till A 1 med egenvärdet λ är också egenvektor till A, fast med egenvärdet 1/λ. Divisionen 1/λ är inte möjlig när λ =0, men att en matris har egenvärdet 0 är likvärdigt med att den inte är inverterbar och då är ju frågan inte relevant. 4. Om matrisen A har egenvärdet λ, såhara egenvärdet λ. Om möjligt, generalisera! Utredning: A x = A (Ax) =Aλx = λax = λ x Alltså sant. Generalisering: Om x är en egenvektor till A med egenvärde λ, så är den också en egenvektor till A n med egenvärde λ n : A n x = λ n x 43. Om n n matriserna A och B har talen λ resp. µ som egenvärden, så har AB egenvärdet λµ. Något liknande uträkningen i fråga 4 låter sig inte göras. Försök konstruera ett motexempel! Betrakta -matriser. Säg att A är matrisen för projektion på x-axeln, medan B är matrisen för projektion på y-axeln. Var och en av dessa har egenvärdet 1, men AB = 0 har endast egenvärdet 0. 44. I fråga 4 såg vi att {λ 1, λ,..., λ n } = egenvärdena till A λ 1, λ,..., λ nª egenvärdena till A Då inställer sig frågan: Kan A ha andra egenvärden än kvadraterna på A:s egenvärden? Besvara den, gärna med hjälp av följande sats av Issai Schur (1875-1941) 5 : till varje kvadratisk A finns inverterbar S, sådan att S 1 AS = triangulär matris T Egenvärdena till en linjär avbildning påverkas inte av ett basbyte A har samma egenvärden som T och A har samma egenvärden som T, eftersom A och T resp. A och T representerar samma avbildning fast i olika baser (Man skulle kunna tänka sig följande uträkning för att visa detta för paret A, T S 1 AS = T = A = STS 1 A = ST S 1 S 1 A S = T men den är faktiskt onödig!) Obs. nu att T högertriangulär = T också högertriangulär med diagonalelement = kvadraterna på T:s diagonalelement t.ex. a...... 0 b... 0 0 c a...... 0 b... 0 0 c = a...... 0 b... 0 0 c oavsett vad som står på punkternas plats! Obs. vidare att T triangulär = egenvärdena är diagonalelementen 5 Schur was a superb lecturer. His lectures were meticulously prepared... [and] were exceedingly popular. I remember attending his algebra course which was held in a lecture theatre filled with about 400 students. Sometimes, when I had to be content with a seat at the back of the lecture theatre, I used a pair of opera glasses to get at least a glimpse of the speaker. (W.Ledermann) 8
Kombinerar vi dessa, får vi egenvärdena till A = diagonalelementen i T = kvadraterna på diagonalelem. i T = kvadraterna på A:s egenvärden 45. Låt A vara en -matris, vars determinant är negativ. Visa att A kan diagonaliseras. Lösning: Det karaktäristiska polynomet för en -matris A p (λ) =λ (...) λ +deta Sambandet mellan rötter och koefficienter för ett polynom ger att det A = λ 1 λ Om det A<0, så p (0) < 0 och eftersom p (λ), när λ ±, så måste det finnas två olika reella rötter. Då finns två linjärt oberoende egenvektorer ochderäckertillförenbasir. 46. Anta att kolonnerna s 1, s,..., s n imatrisen S = s 1 s... s n är allihop egenvektorer till n n-matrisen A och att de bildar en bas för R n (d.v.s. att S är inverterbar). Låt p (x) vara ett godtyckligt polynom. Då är p (A) =p (λ 1 ) s 1 s T 1 + p (λ ) s s T +... + p (λ n ) s n s T n Invarianter (Betraktar här endast avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser.) 47. Vi har konstaterat att siffrorna i en avbildningsmatris beror i allra högsta grad på hur man valt sin bas (koordinatsystem). Då skulle man kunna tro att om man beräknar determinanterna av två matriser som representerar samma avbildning fast i olika baser, så skulle man i allmänhet få olika resultat. Men si man får alltid samma värde : det S 1 AS = dets 1 det A det S = = 1 det A det S = det S = deta Därför kan vi prata om determinanten av en linjär avbildning : det spelar ingen roll vilken av alla matrisrepresentationer vi tar determinanten blir densamma. 48. Inlämningsuppgift till den 19/9. Visa att även spåret (se sid. ) uppför som determinanten att olika matrisrepresentationer av en och samma avbildning har samma spår. 49. Inlämningsuppgift till den 19/9. I Mathematics Handbook, sid.109 hittar man följande formel för rotationsvinkeln α för rotation i 3 dimensioner, representerad av matrisen R : cos α = 1 (tr R 1) Hurförklararduden? 9