Att introducera division för alla elever en learning study i årskurs 3

Estetisk-filosofiska fakulteten Åsa Dolk Att introducera division för alla elever en learning study i årskurs 3 To introduce division to all pupils a learning study in grade 3 Examensarbete 15 högskolepoäng Speciallärarprogrammet Nivå: Avancerad Datum: 11-06-01 Handledare: Michael Tengberg Examinator: Solveig Hägglund Karlstads universitet 651 88 Karlstad Tfn 054-700 10 00 Fax 054-700 14 60 Information@kau.se www.kau.se

Abstract The aim of this study was to find a good way to teach about division from the beginning, when division is introduced to the pupils mathematical expressed, so that all pupils, including pupils with special needs in mathematics, understood the concept of division, and learned to use division. From this work I also hoped that I and my partner would find and learn a model of how to plan, implement and evaluate math-teaching. The method of the study is learning study, a way to do a study in witch you can make use of variation theory as analytical instruments. The core of the variation theory is variation. A pattern of variation is built up a around the critical aspect what must be discerned by the learner, intended for learning to happen. The design of the teaching, that takes account of pupil s prior knowledge, is planning of a first lesson with the variation pattern built around the assumed critical aspect, implement and document the lesson. The lesson then is evaluated, with respect to the pupils experiencing and learning from the lesson. The lesson revises in due to the first result and is then implemented in a new group of pupils, and evaluates again. The central issue in the evaluation of the lessons is whether students learned what it was intended that they would learn. The study carried out in a year three class, in cooperation with the class teacher, according to the learning study-concept. Studies of earlier research and methodical literature in mathematics indicated that the critical aspect in learning division is the relationship between multiplication and division, witch I presumed it to be in this study. A practical approach of the teaching was chosen to fit for all pupils.. The results of the study showed that the teaching was already successful in lesson one, according to the aim that all pupils was understanding the concept of division and learned to do some plain divisions. The critical aspect showed it selves, in this moment, to be just what I presumed it to be and the discerning of it through the practical approach was successful. The problem of the teaching appeared in the second step of the lesson that aimed at a generalization of the relationship between multiplication and division to an abstract level. The result of the lesson one showed that most pupils did not learn that. The conclusion from that was that I have gone too fast forward to abstract approach and after a change of teaching in this regard, in lesson two, the result was much better. I note that during this lesson concept, and in this study, I could have been satisfied with just working in a concrete and metaphorical representative level with the pupils. As for us teachers, I think, that through this study, the learning study concept and the variation theory, we have found a tool to plan, implement and analyze the teaching of Mathematics. Keywords: Mathematics, teaching, division, including, pupils with special needs in Mathematics, Learning study, Variation theory.

Sammanfattning Syftet med studien var att hitta ett bra sätt att undervisa om division från början, när division introduceras för eleverna matematiskt uttryckt, så att alla elever, även elever i behov av särskilt stöd i matematik, förstår begreppet division och lär sig använda division. Genom detta arbete hoppades jag också att jag och min samarbetspartner skulle hitta och lära oss en modell för att på bästa sätt planera, genomföra och utvärdera matematikundervisningen. Metoden i studien är learning study, ett sätt att göra en studie där man kan använda sig av variationsteorin som analysinstrument. Kärnan i variationsteorin är just variation. Man bygger upp ett variationsmönster kring den kritiska aspekten det som måste erfaras av eleven, för att avsett lärande ska ske. Vid design av undervisningen tar man hänsyn till elevers förkunskaper, planerar en första lektion med ett variationsmönster uppbyggt kring den förmodade kritiska aspekten, genomför och utvärderar lektionen. Lektionen revideras sedan, med avseende på elevernas erfarande och genomförs med andra elever och utvärderas igen. Den centrala frågan vid utvärderingen är om eleverna lärde sig det som det var avsett att de skulle lära sig. Studien genomfördes i en åk 3, i samarbete med klassläraren enligt arbetsgången i learning study-konceptet. Studier av tidigare forskning och matematikmetodisk litteratur indikerade att den kritiska aspekten vid lärande av division var sambandet mellan multiplikation och division, vilket jag också förmodade att den kritiska aspekten var i denna studie. För att undervisningen skulle passa alla elever valdes ett konkret arbetssätt. Resultatet av studien visar att undervisningen var framgångsrik vad det gäller att alla elever förstod begreppet division och kunde använda sig av det för att göra några enkla divisioner redan i lektion ett. Den kritiska aspekten, visade sig i detta moment vara just det jag förmodade och upplevelsen av den genom det konkreta arbetssättet framgångsrikt. Det moment i undervisningen som det blev problem med var när eleverna skulle göra en generalisering och i stället för att uppleva den kritiska aspekten genom konkret eller bildligt erfarande, skulle uppleva den på en mer abstrakt nivå. Där visade resultatet av lektion ett, att eleverna inte lärde sig detta. Slutsatsen blev att jag gått för fort fram med att övergå till abstrakt arbetssätt och efter en förändring av undervisningen i det avseendet, i lektion två, blev resultatet betydligt bättre. Jag konstaterar att jag under denna lektion och i denna studie kunde ha nöjt mig med att bara arbeta på en konkret och bildligt representativ nivå med eleverna. Vad det gäller oss lärare, så anser jag att vi genom studien och learning study konceptet med analys utifrån variationsteorin, fått ett verktyg att planera genomföra och analysera undervisningen med. Nyckelord: matematik, undervisning, division, inkludera, elever i behov av särskilt stöd i matematik, learning study, variationsteori.

Innehåll Bakgrund...1 Syfte...2 Tidigare forskning...3 Undervisning ur variationsteoretiskt perspektiv... 3 Learning study i matematik, om bråk... 3 En studie om division... 4 Begreppsbildning... 4 Matematikmetodiska utgångspunkter... 5 Undervisningen... 5 Hur man når alla elever... 6 Svårigheter vid inlärning av division... 7 Förkunskaper... 7 Sammanfattande faktorer att ta hänsyn till i studien... 7 Teoretiska perspektiv...9 Variationsteori... 9 Undervisningen och lärandet... 9 Den kritiska aspekten... 9 Lärandeutrymmet... 9 Lärandeobjektet... 10 Variationsmönster... 10 Learning study kopplad till variationsteorin... 10 Metod... 12 Urval och praktiska faktorer... 12 Metoden och teorin i lektionen, resonemang inför lektionsplanering... 12 Tillvägagångsätt... 14 Etik... 15 Information... 15 Samtycke... 15 Konfidientialitet... 15 Nyttjande... 16 Studier på egna arbetsplatsen... 16 Studiens trovärdighet och generaliserbarhet... 16 Studiens begränsning... 16 Genomförande av undervisningen med respektive delresultat... 18 Förtest... 18 Lektion ett... 18 Moment ett... 18 Moment två... 19 Delresultat och utvärdering av lektion ett... 20 Resultat förtest grupp ett... 20 Lektionsresultat... 20 Resultat på förtest och eftertest, grupp ett... 21 Resultat eftertest grupp ett... 21 Utvärdering efter lektion ett... 21 Tankar inför lektion två... 22

Förtest... 23 Lektion två... 23 Moment ett... 23 Moment två... 23 Delresultat och utvärdering av lektion två... 24 Resultat förtest grupp två... 24 Resultat på förtest och eftertest, grupp två.... 24 Resultat eftertest grupp två... 25 Utvärdering efter lektion två... 25 Resultatanalys... 26 Moment ett... 26 Kritisk aspekt och undervisninngens syfte... 26 Språkets roll för lärandet... 26 Moment två... 26 Resultat och problem... 26 Betydelsen av ett konkret arbetsätt... 27 Learning study som analytiskt verktyg... 27 Undervisningsstressen... 27 Resultat av förändring... 28 Kunskapens djup... 28 Diskussion... 30 Metoddiskussion... 30 Resultatdiskussion... 31 Slutord och fortsatt forskning... 32 Litteratur... 34. Bilagor Bilaga 1. Förtest. Bilaga 2. Arbetsblad 1. Bilaga 3. Arbetsblad 2. Bilaga 4. Eftertest. Bilaga 5. Lektionsplaneringar

Bakgrund I dagens skola har läraren många arbetsuppgifter varav en av dem är att planera och genomföra undervisning. Tyvärr verkar allt mindre fokus läggas på just det fast man tycker att det borde vara det centrala och den viktigaste uppgiften och att det för elevernas del är av stor vikt just hur undervisningen läggs upp(kullberg, 2004). Inom matematikundervisningen är det mycket nytt stoff och många nya begrepp som ska presenteras och läras in. I vår vardag görs det ofta av slentrian, lika som förra gången och alltför ofta får läroboksförfattarna stå för det metodiska och didaktiska tänkandet. Jag ville därför göra ett specialarbete som fokuserade just på undervisningen. Jag ville veta om eleverna verkligen lär sig det som det undervisas om och hitta en bra metodik för att de ska göra det. Något som jag upplevt är att många elever har svårt för att förstå och lära sig division och eftersom jag är nyfiken på att få veta hur man kan undervisa om detta på ett bra sätt så har jag valt att fokusera på introduktion av division i år tre. För att hitta ett bra sätt att undervisa om det så har jag valt att använda mig av metoden learning study och grunda mitt resonemang och min analys på variationsteorin. För att hitta innehållet i lektionen så har jag också gjort en matematikdidaktisk genomgång. Planering av arbetet och diskussioner kring lektionsinnehåll och metod görs bäst i samarbete med andra och jag har därför också samarbetspartner, en klasslärare i åk. tre. För eleverna är det inte bara det metodiska och didaktiska innehållet som spelar roll, för hur och om de lär sig, utan det gör också lärmiljön och arbetssättet. Elever lär sig bäst av lustfylld undervisning och genom interaktion i samarbete med andra elever (Kullberg, 2004). Med lustfyllt lärande menas att lärandet karaktäriseras av engagemang och intresse. Lärarens uppgift blir då att utforma undervisningen effektivt och med utgångspunkt i elevernas förförståelse. Hur undervisningen ska utformas bör styras av hur eleverna upplever det de ska lära sig. För elever i behov av särskilt stöd är det ofta nödvändigt att lärandet börjar i en metod med konkret arbetsmaterial för att så småningom övergå till visuell representation, språkligt beskrivande och slutligen formellt matematiskt uttryckande (Malmer, 2002). Vill man nå alla med sin undervisning, vilket är mitt mål, måste man också ta detta i beaktande. 1

Syfte Syftet med studien är att hitta ett svar på frågan: Hur designar vi undervisningen för att hitta en optimalt bra lektion för att undervisa om division, från början i år tre? Jag avser, mer specifikt, att eleverna ska förstå divisionsbegreppet och kunna använda division för tal som för dem är kända genom multiplikation i form av produkter. Mitt mål är att prova mig fram till ett lektionskoncept som gör att alla elever kan ta till sig och lära sig innehållet i lektionen. För att göra det blev ett delsyfte, utifrån variationsteorin och learning study-konceptet, att hitta den eller de kritiska aspekt/aspekterna det som av eleverna måste erfaras för att de ska lära sig division. Den lektion som planerades skulle också innefatta ett lustfyllt lärande, alltså att lärandet skulle karaktäriseras av engagemang och intresse och innehålla moment där eleverna arbetar tillsammans och individuellt. Genom att arbeta med learning study och variationsteorin så hoppas jag också att vi lärare ska hitta och lära oss en modell för att på ett bra sätt planera, genomföra och utvärdera vår matematikundervisning. 2

Tidigare forskning I det här avsnittet har jag valt att titta på tidigare forskning som jag anser har relevans för mitt specialarbete. Nedan följer först nedslag i forskning om undervisning som har sitt ursprung i ett variationsteoretiskt perspektiv och en learning study i matematik, om bråk, med samma perspektiv. Jag har också valt att se på tidigare studier om division och en studie som behandlar begreppsbildning. Sedan följer ett matematikdidaktiskt avsnitt omfattande råd vid lärande av division och vad man behöver tänka på för att undervisningen ska passa alla, även elever i behov av särskilt stöd i matematik. Kapitlet avslutas med en kort sammanfattning av vad som framkommit i kapitlet och som är av betydelse för min studie. Undervisning ur variationsteoretiskt perspektiv Resultatet av en doktorsavhandling (Runesson, 1999) visar att studier av undervisning ur ett variationsteoretiskt perspektiv ger tillhanda ett skarpt instrument för att precisera lärandeobjektet det som vi erbjuder och gör det möjligt för eleverna att lära. Vad eleverna lär sig är beroende av vad som väljs som förmodad kritisk aspekt. Runessons (1999) resultat visar på att samma undervisningsinnehåll, genom olika undervisningssätt med skilda variationsmönster, formar skilda undervisningsobjekt. Det som eleverna erbjuds att erfara kan beskrivas som ämnesinnehåll med skilda innebörder. Learning study i matematik, om bråk Partanen & Lindström (2009) undersöker i en learning study, undervisning om bråk med olika nämnare. För att ha något att utgå ifrån vid val av undervisningsobjekt och för att hitta den kritiska aspekten inför första lektion har de använt sig av matematikmetodikstudier. De (Partanen & Lindström, 2009) har också använt sig av ett förtest, vilket förutom att undersöka om eleverna har de nödvändiga förkunskaperna, kan ge indikationer på kritiska aspekter. Den förmodade kritiska aspekten, vilken valts utifrån matematikmetodikstudierna, är dock enligt Partanen & Lindström (2009), bara en utgångspunkt och det verkliga kritiska momentet kanske framstår som något annat när det visar sig hur eleverna upplever den första lektionen. Enligt förespråkare för variationsteorin(marton, Amy, Tsui, 2004) måste man också först pröva i verkligheten, innan man vet hur undervisningen fungerar och kan definiera den/de kritiska aspekten/aspekterna. Detta gör man genom utföra den planerade undervisningen och undersöka hur eleverna upplevt undervisningen. Partanen & Lindström (2009) förutsätter att en kritisk aspekt vid lärande av bråk, i år 4 är att eleverna förstår att helheten kan se olika ut och vara av varierande storlek eller antal. En annan kritisk aspekt förutsattes också förekomma, nämligen att helheten ska vara indelad i lika stora delar, och att antal delar utgör nämnaren. Partanen & Lindström (2009) valde i sin lektion att jobba med färgade geometriska former och höll färg och form konstanta medan de varierade antalet delar. Studien visar att de förmodade kritiska aspekterna stämmer men att fler kritiska aspekter också visar sig finnas. Dessa redovisas i analysen av resultatet, såsom att eleverna måste förstå täljarens och nämnarens betydelse i ett bråk samt vad de har för 3

förhållande till varandra. Eleverna måste också kunna skapa strategier för att jämföra och storleksordna bråk med olika nämnare. Slutligen för att kunna räkna med och jämföra bråk, med olika nämnare, där helheten är ett antal, måste de få syn på att det går att räkna ut antalet som motsvaras av bråket. Utifrån ovanstående studie kan man se att man genom att genomföra planerad lektion och eftertest, får syn på något som man inte förutsett, nämligen fler kritiska aspekter. Allt detta är okänt innan man genomför studien och det visar sig för oss först i lärandesituationen. Partanen & Lindström (2009) har sedan i fortsättningen av studien använt det nya som framkommit för att planera fortsatt undervisning. En studie om division I en studie om division av Weber& Hanson (1997) om elevers begreppsuppfattning och lösningsstrategier vid division, framkommer att elever har en svag uppfattning om vad division egentligen står för, att de inte klart kan se sambandet mellan division och multiplikation samt att de saknar strategier för att lösa divisionsuppgifter. Man konstaterar också att elever ofta kan lösa verklighetsnära problem med division innan de undervisats i division. I ett test med benämnda divisionsuppgifter, utan symboler framgår det också att eleverna ofta väljer andra lösningsstrategier, än att dividera, oftast multiplikation, vilket de även gör senare när de formellt har undervisats om division. Ett annat problem de stötte på var att elever hade en svag taluppfattning och hade svårigheter att dela upp tal. Enligt författarna så är det undervisningsstressen som påverkar undervisningen så att inte tillräckligt med tid ägnas åt begreppsbildning och djupare förståelse av division, utan att elevernas kunskap om division blir ytlig och mekanisk. De menar också att det vore naturligt att utgå från elevernas kunskaper när man lär in division. Deras (Weber& Hanson 1997) resultat pekar på att det just är dessa saker som eleverna behöver jobba med: taluppfattning i form av gruppering och uppdelning av tal, att utgå från multiplikation när man lär sig division och arbeta med och förstå sambanden däremellan. Eleverna behöver också få jobba med att förstå räknesättet division som begrepp och bli bekant med det matematiska symbolspråket för division. Begreppsbildning Vid just begreppsbildning är det viktigt att tänka på att det är relationen mellan symbol- och objektsnivå som bör belysas. En studie om hur elever tillgodogör sig undervisning om begreppsbildning gjord i Tyskland av Bromme och Steinbring (1994), visar att det är hur lärare undervisar just om relationen mellan symbol och objekt som bestämmer hur framgångsrik undervisningen är. Syftet med studien var att påvisa skillnaden på matematikundervisningens kvalitet beroende på hur läraren behandlar relationen mellan symbol och symbolens operationella betydelse för den uppgift som ska lösas. I studien beskrivs hur man observerat olika lärares undervisning om sannolikhet. Man har i klassrummet observerat lärarnas genomgångar i olika delmoment och värderat dem utifrån olika aspekter i hur bra läraren belyser relation symbol objekt, enligt en sifferskala. Man har också parallellt samlat in data omfattande de 26 lärarnas elever, där elevernas kunskaper om begreppen prövats före och efter undervisningen. Man har sedan jämfört observationsresultatet med elevernas resultat. Resultatet av studien visar att undervisningen blir bättre om 4

man som lärare i undervisningen behandlar den förutnämnda relationen på ett bra sätt, i stället för att ta förgivet att eleverna förstår den ändå. Matematikmetodiska utgångspunkter Undervisningen Division bör introduceras genom praktiska aktiviteter där man för in divisionens matematiska symbolspråk för att beskriva dessa aktiviteter(mcintosh, 2010). Det rekommenderas också att man använder fackorden i division ofta och låter eleverna använda dem genom att beskriva sina handlingar när de laborerar med divisionsexempel. Förslag ges på att man med fördel kan använda sig av ett multiplikationsmönster, med rader och kolumner och utifrån det, beskriva räknehändelser med både multiplikation och subtraktion. Se figur a,b,c nedan. Man kan använda både konkret material och bilder. Van de Walle (2006) anser att nyckeln för att kunna förstå och behärska division är att kunna se multiplikation som ett mönster och att kunna multiplikationsfakta samt att arbeta med sambandet mellan division och multiplikation. Man löser alltså en division som 6/2 genom att kunna multiplikationen 2*3. Han ger i sin handbok liknande lektionsförslag som McIntosh (2010) och poängterar vikten av att prata om lösningarna både som antal delar och antal element i delarna för att få förståelse för både delnings- och innehållsdivision. Se figur och förklaring nedan. figur a figur b figur c Figur a representerar multiplikationen 3*2 eller 2*3. Figur b representerar divisionen 6/3 och figur c, divisionen 6/2. För att illustrera skillnaden mellan de olika slags divisionerna kan man tänka sig figur c som att sex personer ska delas i två lag, 6/2=3, en delningsdivision där svaret blir att det blir tre personer i varje lag. Ser man i stället samma figur som att sex personer ska delas så att varje lag innehåller3 personer, en innehållsdivision, 6/3=2 så blir svaret 2 lag. Man kan tänka sig att man vid den sistnämnda operationen ritar en ring runt det innehåll man vill ha, nämligen 3st. vilket då ger två ringar. Van de Walle (2006) tar också upp att nödvändiga förkunskaper för att lära sig division är att först kunna multiplikation. Exempel ges också på hur division kan kopplas samman med addition och subtraktion och han tycker att det är nödvändigt att arbeta med division som inte går jämnt ut utan ger rest, eftersom det i vardagen är så vanligt förekommande. Det finns väldigt lite forskning som handlar om hur man bäst introducerar division (Kilpatrick, Swafford, Findell, 2001). Det är dock till hjälp för eleverna om man lär sig division i samband med att man ser på motsvarande multiplikation. Inne på samma spår är Van de Walle (2006). Han betonar att, motsatt till traditionell innehållsplanering i matematik, så bör man undervisa om division samtidigt som man undervisar om multiplikation, för att eleverna ska få sambandet mellan räknesätten klara för sig. Han anser också att elever tidigt, 5

under första skolåret, bör möta matematikproblem som innehåller alla de fyra räknesätten och att det är naturligt att problem innehåller alla dessa räknesätt. Vid detta tidiga möte med division behöver dock inte de matematiska symbolerna ingå i problemlösningen. Hur man når alla elever Malmer (2002) betonar, i samband med undervisning av elever i behov av särskilt stöd i matematik, att intentionerna i kursplanen i matematik är klara. Undervisningen ska främja elevernas allsidiga utveckling och särskild uppmärksamhet skall ges elever som kan behöva särskilt stöd och längre tid för att upptäcka och lära viktiga begrepp, metoder och samband. Om eleven riskerar att inte nå målen i matematik är skolan också skyldig att upprätta åtgärdsprogram för eleven (Grundskoleförordningen, 1994). I en bra undervisning finns enligt Malmer (2002) några inlärningsnivåer, se figur, som samtliga bör vara inlemmade i undervisningen för att effektiv inlärning ska kunna ske för alla elever, även de med matematiksvårigheter. Nyckeln till framgång är konkreta erfarenheter i kombination med språklig kompetens en förutsättning för begreppsbildning. (Figur hämtad ur: Bra matematik för alla men nödvändig för elever med matematiksvårigheter. Malmer, 2002) Löwing och Kilborn (2002) rekommenderar också att man tar hjälp av konkret material att laborera med när man lär sig nya moment. De anser också att nya tankeformer bäst lärs in i ett socialt sammanhang och i ett samarbete med andra elever. De betonar också språkets roll i matematiklärandet och anser att det är med hjälp av språket vi tillägnar oss matematisk information, bearbetar och kommunicerar den för att skapa ny matematisk kunskap. De erfarenheter och kunskaper vi har sedan tidigare utgör grunden för hur vi tolkar ny matematisk information. Det är också därför konkret arbete i matematik blir så viktigt, dels för att eleverna utgår från i sin förförståelse och som det konkreta arbetet blir en utgångspunkt för språket som leder vidare till lärande. 6

Löwing och Kilborn(2002) betonar att det konkreta arbetet bör vara av god kvalitet och stödja framgångsrika matematiska tankemodeller. Genom att organisera undervisningen med olika djup vid undervisningen av t.ex. ett begrepp, individualiserar man undervisningen. De tar också upp att det konkreta arbetet, som ofta syftar till att nå förståelse för något specifikt, måste lyftas och jämföras med den teori inlärningen syftar till. De kallar detta för det sisa steget i kedjan och behövs för att eleverna ska nå den insikt man är ute efter, något som ofta glöms bort, anser de. Löwing och Kilborn (2002) anser liksom Malmer (2002) att en del elever behöver fler aktiviteter och längre tid på sig för att förstå och befästa begrepp och pekar på vikten av att de får det. Svårigheter vid inlärning av division Enligt McIntosh (2010) är en komplikation när man ska undervisa om division att få eleverna att förstå att det handlar om två aspekter av division nämligen delningsdivision och innehållsdivision, se figur med förklaring s.5. En annan svårighet beskriver han som att om man delar upp ett antal föremål i olika delar så syns fortfarande alla föremålen, t.ex. 12 föremål i tre högar med fyra i varje. Uttrycket tolv delat i tre är fyra syftar på en av dessa högar - som om de ursprungliga tolv på något sätt krympt och blivit fyra. Det kan därför vara svårt att se vad division går ut på. Van de Valle (2006) pekar också på svårigheten med att division kan vara både innehålls- och delningsdivision och att det kan göra eleverna förvirrade. Genom att prata om det och låta eleverna ge exempel på hur en division kan tolkas på de båda sätten klargör man problemet för eleverna. Förkunskaper Enligt McIntosh(2010) är nödvändiga förkunskaper för att lära sig division att förstå principerna för multiplikation och att kunna se multiplikationen som ett tvådimensionellt mönster som t.ex. 2*3 som 2 rader med 3 punkter i varje eller tvärtom. I diagnosmaterialet Diamant (Löwing och Fredriksson, 2009) kan man genom ett schema, och även genom didaktiska kommentarer, få veta vilka förkunskaper eleverna behöver ha inför inlärning av ett nytt moment. För inlärning av division behöver eleverna, enligt författarna, kunna multiplikation, även generaliserad och öppna multiplikationer med känt svar men en obekant faktor, vilket här liknas vid innehållsdivision. Sammanfattande faktorer att ta hänsyn till i studien Enligt Runessons (1999) forskning är den kritiska aspekten och därav uppbyggda variationsmönster avgörande för vad eleverna lär sig. I min studie låter jag, liksom Partanen & Lindström (2009), de matematikdidaktiska studierna utgöra grunden för val av kritisk aspekt. Liksom de förhåller jag mig granskande till den förmodade kritiska aspekten. Enligt förespråkare för variationsteorin(marton, Amy, Tsui, 2004) måste man först prova i verkligheten innan man kan definiera den/de kritiska aspekten/aspekterna. Jag kompletterar också, liksom Partanen & Lindström (2009) gjorde, informationen om den förmodade kritiska aspekten, genom att se på elevernas förtest, vilket också visar om eleverna har de nödvändiga förkunskaperna. Jag har även tittat på arbetsgången i Partanen & Lindströms (2009) studie, 7

som en utgångspunkt för planeringen av min studie. En av de kritiska aspekter som visat sig i deras studie är att eleverna måste förstå att nämnaren i ett bråk står för antal delar och att alla delar är lika stora. En kritisk aspekt som skulle kunna bli relevant även för division och min studie och som det är bra att vara medveten om. Genom att i min studie arbeta grundligt och konkret med den kritiska aspekten hoppas jag att kunna undvika de svårigheter med division som framkommer i Weber& Hansons (1997) studie, nämligen att eleverna får en svag uppfattning om vad division egentligen står för, att de inte klart kan se sambandet mellan division och multiplikation samt att de saknar strategier för att lösa divisionsuppgifter. Den planerade undervisningen i min studie behöver också ta hänsyn till att belysa relationen mellan symbol och objekt, divisionstecknet och själva operationen att dividera, vilket enligt Bromme och Steinbrings (1994) studie är viktigt vid begreppsbildning. Själva lektionsinnehållet bör planeras utifrån ovanstående forskning och de matematikdidaktiska studierna som implicerar att sambandet mellan multiplikation och division är det centrala vid lärande av division (McIntosh, 2010; Van de Walle, 2006; Kilpatrick, 2001). Det sambandet bör då bli den förmodade kritiska aspekten vid vilken undervisningen fokuserar kring. De förkunskaper eleverna behöver ha inför lärande av division är att kunna se en multiplikation som ett tvådimensionellt mönster, bildligt eller konkret representerat McIntosh (2010). För elever i behov av särskilt stöd i matematik är det viktigt att tänka på att undervisningen ska innehålla de olika inlärningsnivåerna i Malmers (2002) modell ovan. För att skapa matematisk kunskap är det bra om man utgår från konkret arbete och beskriver språkligt vad man gör Löwing och Kilborn(2002). Det är också viktigt att dessa elever får den tid de behöver på sig, för att lära det nya momentet (Malmers, 2002; Löwing och Kilborn, 2002). 8

Teoretiska perspektiv Variationsteori Undervisningen och lärandet I variationsteorin ligger fokus på undervisningen. Man medger att även andra faktorer kan spela roll vad det gäller vad och om eleverna lär sig något, men variationsteorin fokuserar på att hitta det bästa sättet att lära sig något (Marton m.fl., 2004). För att beskriva kunskapen eller rent av skapa den spelar också språket en stor roll. Enligt variationsteorin finns inget allmänt bra sätt att lära sig utan hur man ska undervisa om något beror på vad man ska undervisa om. Kärnan i variationsteorin är just variation (Marton m.fl., 2004). För att veta vad någonting är måste vi veta vad det inte är. För att uppleva t.ex. färgen gul måste vi kunna urskilja färgen gul i kontrast mot andra färger. Vi måste ha referensramar. För att skapa kunskap och förmåga hos våra elever om något måste vi hitta den eller de kritiska aspekten/aspekterna i det de ska lära sig. Utifrån den/de byggs undervisningen upp genom att skapa variation kring den/de kritiska aspekten/aspekterna, andra aspekter försöker man hålla konstanta. För det mesta vet man inte vilket eller vilka den/de kritiska aspekten/aspekterna är och man måste då ta reda på detta. Det gör man genom att undersöka undervisningen med avseende på om eleverna lär sig det var tänkt att de skulle lära sig och det kan man göra genom att göra en learning study. Det medvetna erfarandet är också något man talar om i variationsteorin. Marton och Both (1997) menar att det sätt som medvetandet är strukturerat och organiserat i ett specifikt ögonblick, definierar begreppet erfarande och en förändring i sättet att erfara, är att lära, och innebär en förändring i medvetandets struktur. Tre begrepp blir därvid särskilt centrala vid läradeögonblicket, nämligen urskiljning, simultanitet samt variation. Den kritiska aspekten Den kritiska aspekten/aspekterna är det som variationen byggs upp kring. Det är den variation som måste erfaras och belysas för att det som ska läras blir möjligt att lära. Om man t.ex. vill identifiera begreppet lång så är den kritiska aspekten olika längder och variation byggs då upp kring det. För att identifiera någon som är lång måste man också erfara någon som är kort. Ett annat exempel är tyngd. Att säga att något är tungt betyder inget för oss om vi inte har upplevt att något är tungt jämfört med andra vikter, dvs. att vikt är något som kan variera och att något upplevs som tungt i relation till något som är lättare (Marton m.fl. 2004). Lärandeutrymmet Inom variationsteorin talar man om the space of learning (Marton m.fl. 2004), fritt översatt lärandeutrymmet det som för eleverna är möjligt att lära sig. För att urskilja något måste man uppleva variation på just detta något. Man måsta skapa ett mönster av variation inbyggd i en situation som får betraktaren att observera och erfara detta. Men man vill inte ha olika typer av variationer utan vi måste se på situationen ur ett perspektiv på variation på just det som ska observeras eller läras. För att, som lärare, skapa en sådan situation måste vi fråga oss 9

vad som är den kritiska aspekten/de kritiska aspekterna, eller vad vi förmodar är det med avseende på det som ska läras. Utifrån det arrangerar vi en situation med fokus på variation kring den kritiska aspekten/de kritiska aspekterna. Det är den situation som vi skapar som gör det möjligt för eleven att lära det som är avsett och den situationen utgör lärandeutrymmet. Lärandeobjektet Lärandeobjektet är det som ska läras, erfaras. Det är det lärande som undervisningen syftar till att utveckla hos eleverna. Lärandeobjektet kan definieras genom dess kritiska aspekters, dvs. de aspekter som måste urskiljas för att man ska observera och förstå det som är ämnat (Marton m.fl. 2004). Vi måste därför fråga oss i vilken utsträckning vi kan finna variation i de relevanta aspekterna och hitta det variationsmönster som är nödvändigt för att utveckla den kunskap vi avser. Det lärandeobjekt som vi avser att eleverna ska lära sig kallas det avsedda lärandeobjektet. Det lärandeobjekt som vi verkligen iscensätter kallas det iscensatta lärandeobjektet och det lärandeobjekt som eleverna ser, förstår och upplever, under lärandetillfället, kallas för det upplevda lärandeobjektet (Marton m.fl. 2004). För att finna det bästa sättet att hantera ett lärandeobjekt måste vi jämföra olika sätt att behandla lärandeobjektet och alltså arrangera olika lärandesituationer, för samma lärandeobjekt, och jämföra dem. Det vi jämför är hur vi ska arrangera lärandetillfället, för att eleverna i det upplevda lärandet, lär sig det vi avsett. Det avsedda lärandeobjektet, ska också helst bli det av eleverna upplevda lärandeobjektet. För att kunna göra det måste vi hitta rätt kritisk aspekt och ett variationsmönster som gör att eleverna urskiljer det som ska läras. För att få veta om vi gjort det och hur eleverna upplever lärandet, måste vi göra fältstudier och undersöka elevernas upplevelser. Variationsmönster Grunden i variationsteorin är att invävda variationsmönster i lärandesituationen är nödvändiga och grundläggande för utvecklandet av en specifik kunskap eller förmåga (Marton m.fl. 2004). För att skapa variationsmönster tar man inom variationsteorin några begrepp till hjälp nämligen: Urskiljningen att urskilja det som ska läras det vi bygger variationen kring, kontrast för att kunna uppleva en sak måste man erfara något som man kan jämföra med, generalisering för att helt förstå något måste vi dess hela sammanhang, för att t.ex. förstå innebörden av räkneordet tre, måste vi förstå att ordet tre har samma innebörd vare sig det gäller t.ex. tre äpplen eller tre klossar, separation för att uppleva en särskild aspekt av något måste vi se den aspekten varierad samtidigt som andra aspekter hålls konstant, fusion simultanitet om det är flera kritiska aspekter som behöver beaktas samtidigt så måste alla dessa aspekter upplevas simultant. Det bästa sättet att göra det är att först uppleva aspekterna var och en för sig och sedan tillsammans. Learning study kopplad till variationsteorin Learning study är ett sätt att göra en studie där man kan använda sig av variationsteorin som analysinstrument. Utifrån elevernas förkunskaper, som provats med ett förtest, planeras en första lektion om det som eleverna ska lära sig med ett variationsmönster uppbyggt kring det 10

förmodade kritiska momentet (Lytzy, 2008). Arbetsgången i en learning study är sedan att lektionen genomförs, filmas och dokumenteras - eftertest och analys av lektionen görs - en ny lektion planeras utifrån det resultatet lektion två genomförs - eftertest och analys av den lektionen görs sedan. Man kan avbryta studien efter två lektioner, men kan även fortsätta med fler lektioner. Slutligen så utvärderas, dokumenteras, analyseras och rapporteras studien. Vid analysen kan variationsteorin användas och den blir också, tillsammans med learning study konceptet, ett instrument för lärare att få kunskap om undervisningen (Runesson, 1999). Det hjälper oss att förstå hur undervisning och lärande kan närma sig varandra. 11

Metod Nedan redogörs för metoden i studien. Först kommer ett avsnitt om urval och praktiska faktorer. I efterföljande avsnitt presenteras hur jag planerar undervisningen ur ett variationsteoretiskt perspektiv med ett lektionsinnehåll som även tar hänsyn till matematikdidaktiska implikationer och följer learning study-konceptet. Jag redogör sedan för tillvägagångssättet i studiens genomförande och avslutar kapitlet med att redogöra för hur jag i studien tagit hänsyn till forskningsetiska principer. Urval och praktiska faktorer Studien utfördes på min egen arbetsplats i åk. tre, tillsammans med undervisande klasslärare. Skolan är en liten låg- och mellanstadieskola i södra norrland med ca 200 elever. I studien medverkar 23 elever ur åk. 3. Eleverna informerads muntligt, av mej, om studien och jag poängterade att det var frivilligt att delta och att man när som helst kunde välja att inte vara med. Alla elever ville vara med i studien, men två av eleverna ville inte bli filmade. Föräldrarna informerades skriftligt om studien. I informationen framgick att det var själva undervisningen som studien fokuserade på. Föräldrarna fick även lämna ett signerat godkännande att deras barn deltog i studien och filmades med videokamera (se bilaga nr.1).. Undervisningen i studien omfattar två lektioner om 60 minuter vardera. Klassläraren har varit den undervisande läraren och jag har filmat lektionerna. Jag har huvudsakligen planerat undervisningen men klassläraren har också varit delaktig i planeringen. Vi har tillsammans gjort analysen av lektionerna, direkt efter lektionen och vid genomgång av videoinspelningarna. Jag har gått igenom elevdokumenten och analyserat dem, men delgivit resultat till klassläraren och vi har tillsammans satt upp riktlinjer för förändringar till lektion två. Jag står själv för de teoretiska analyserarna. Att studien gjordes just i åk. 3 beror på att jag ville göra en studie på hur division introducerades för eleverna och i den här klassen var det planerat att i matematikundervisningen genomföra just det momentet. I studien har klassen delats i två grupper, grupp ett med elva elever i och grupp två med tolv elever i. Grupp ett är de elever som undervisas under lektionstillfälle ett, och grupp två vid lektionstillfälle två. Ordet introduktion i titeln på studien syftar på introduktion av division matematiskt formellt skrivet. Eleverna kan tidigare ha arbetat med division utan att den varit matematiskt formellt uttryckt. Metoden och teorin i lektionen, resonemang inför lektionsplanering. Utifrån variationsteorin är det flera begrepp som ska belysas i lektionen. Det första är att välja det som är kritiskt i det man ska lära och sedan variera det. I lektionen i studien är det division som eleverna ska lära sig och det som enligt det matematikdidaktiska avsnittet, primärt framstått som kritiskt och en nödvändig kunskap för att eleverna ska lära sig division är att de kan se sambandet med multiplikation. Nedan presenteras hur variationsteorin använts för att bygga upp undervisningen och hur de olika faktorerna som bör erfaras för att lärande ska ske inlemmas i den planerade undervisningen. 12

Variationen blir alltså att se på ett tal som en produkt av två faktorer växelvis som en täljare som kan delas med en nämnare och ge en kvot. Det görs genom att eleverna arbetar med av plockmaterial som läggs i ett mönster, motsvarande en multiplikation, alternativt utgår man från hela mönstret och gör en division ur det. Detta ska belysa den kritiska aspekten, nämligen sambandet multiplikation division. Det som ska urskiljas är att täljaren i en division alltid går att dela upp utifrån motsvarande multiplikation. Genom att använda multiplikationsmönstret avses det att eleverna ska uppleva de båda räknesätten simultant, att de kan se mönstret både som en division och som en multiplikation samtidigt och dra nytta av multiplikationen när de gör divisionen. Det är också meningen att eleverna ska uppleva kontrasten i de båda sätten att se, nämligen att utgå från raderna och komma till hela mönstret blir en multiplikation och att utgå från helheten och dela upp den blir en division. Utifrån det bildas också en separation i två olika räknesätt. I moment två i lektionen är syftet att eleverna ska kunna göra en generalisering och kunna dividera utan hjälp av multiplikationsmönstret. De ska erfara att det går att utföra division med ursprung ur alla olika multiplikationer och när man sett att det är så kan man automatiskt, utan mellanledet med prickmönstret, dra nytta av de båda räknesättens samband. I studien tas också hänsyn till att eleverna har lättare att ta till sig kunskaper om de får utgå från arbete med konkret material och muntligt berätta vad de gör. Allt eftersom de behärskar räkneoperationerna konkret, får de övergå till bildrepresentation för att så småningom uttrycka sig med matematiska symboler. Genom att arbeta två och två får eleverna chans att prata om de nya tankeformerna och på så sätt blir de bättre befästa. Det primära i lektionen är att få en förståelse för division och erfara dess samband med multiplikation. För att det inte ska bli för mycket information på en gång kommer de matematiska nya ord som användes att vara division och dividera. Andra termer får vänta till senare undervisningstillfällen. De nödvändiga förkunskaperna för den lektion jag planerat är att eleverna förstår vad en multiplikation är, att de kan se en multiplikation som ett tvådimensionellt mönster, med t.ex. prickar eller rutor. För att man efter de inledande övningarna ska kunna gå vidare och generalisera kunskapen i division, som ett samband med multiplikation och härleda en division ur multiplikation, bör man också kunna några multiplikationer. Metoden i studien är learning study. Studien fokuserar på hur elever kan lära sig division från början och frågan är: Hur kan man planera en lektion så att eleverna lär sig det så bra som möjligt? När den första lektionen var planerad genomfördes den. Utvärderingen låg sedan till grund för nästa lektion, som efter genomförande också utvärderades. 13

Tillvägagångssätt Genom matematikmetodikstudier drogs riktlinjer upp om hur man kunde och borde undervisa om division för nybörjare. En möjlig kritisk aspekt vid lärande av division framstod därigenom som att kunna se och använda sambandet mellan multiplikation och division. En tidigare studie om division (Weber& Hanson, 1997) visar att elever har en svag uppfattning om vad division egentligen står för, att de inte klart kan se sambandet mellan division och multiplikation samt att de saknar strategier för att lösa divisionsuppgifter. Genom att se på några studier av annat matematikstoff, med learning study som metod, såg jag exempel på hur man kunde lägga upp arbetsgången och tillvägagångssättet. Grundad på matematikdidaktiken och variationsteorin startade jag planeringen av den första lektionen och drog upp riktlinjer för hur det avsedda lärandeobjektet kunde presenteras för att optimera lärandeutrymmet. De begrepp jag tog hänsyn till och de aspekter som skulle uppfyllas var att variationen i lektionen skulle vara fokuserad kring den förmodade kritiska aspekten, sambandet mellan multiplikation och division och att eleverna skulle uppleva urskiljning, simultanitet, kontrast, separation och generalisering. Vid planeringen av lektion hade jag även diskussioner med klassläraren om hur det kunde vara lämpligt att utföra de olika momenten i undervisningen. Lektionsplaneringen dokumenterades skriftligt (se bilaga nr.6). Ett förtest (se bilaga nr.2), som provade att eleverna hade de förkunskaper som krävdes konstruerades. Förtestets uppgifter valdes ur diagnosmaterialet Diamant (Löwing, 2009). Förtestet genomfördes ca en vecka innan den första lektionen och gjordes samtidigt av alla 23 eleverna. Lektion ett genomfördes och filmades. Klassläraren undervisade och jag filmade lektionen med en privat videokamera. Jag filmade lärarens genomgångar och elevernas arbete, vid deras bänkar. Tack vare att de satt stilla vid bänkarna kunde jag låta bli att filma de två elever som inte ville bli filmade. Direkt efter lektionen, skrev vi ned våra omedelbara reflektioner. I utvärderingen av lektionerna har klassläraren och jag, först var och en för oss själva, analyserat lektionen direkt efter den och genom videinspelningen av den. Vi har sedan utvärderat lektionen tillsammans. Efter ett par dagar genomförde eleverna i grupp ett, ett eftertest (se bilaga nr.5). Eftertestet innehöll samma uppgifter som förtest men i lite olika ordning. En tidskrävande uppgift med multiplikationer lades sist i testet, för att eleverna inte skulle trötta ut sig på den. Den var heller inte lika intressant i detta läge, då dess innehåll inte var något som vi arbetade med under lektionen. De insamlade data, som utgjorde en grund för att få en uppfattning om elevernas upplevande och lärande av undervisningen var, förutom lektionsinspelningen, förtest (se bilaga nr.2) och eftertest (se bilaga nr.5) samt elevernas arbetsblad (se bilaga nr.3 och bilaga nr.4) med tillhörande anteckningar. Vid analys av resultatet av lektion ett ställde jag mig frågorna: Gjorde vi som vi hade tänkt? Om inte, var det bra eller dåligt? Upplevde eleverna det avsedda lärandeobjektet som det iscensatta och upplevda lärandeobjektet? Lärde eleverna sig det jag hade tänkt mig, om inte, vad var det som inte uppfattades och lärdes, i lektionen, av eleverna? Var det kritiska momentet det jag trodde eller pekar resultat på något annat eller något mer? 14

En andra lektionsplanering gjordes utifrån analysen av lektion ett, där jag tog hänsyn till resultatet av den första lektionen (se bilaga nr.6). Efter nytt eftertest analyserades sedan den andra lektionen på samma sätt som den första. Etik I genomförandet av studien har jag har jag har utgått från Vetenskapsrådets rekommendationer och råd för att upprätthålla god forskningssed och skydda intervjupersonernas anonymitet (Vetenskapsrådet, 2002). Nedan redogörs för hur de olika områdena behandlats som vetenskapsrådets (2002) krav fokuserar på. Information Innan genomförande av studien tillfrågades klassläraren om hon ville delta i studien. Frivilligheten betonades så att hon inte upplevde någon påtryckning, men samtidigt informerades om vinsterna med den kunskap studien ger och metoden learning study som ett fortsatt redskap för utvecklande av undervisning. Studiens syfte och upplägg delgavs henne också och hon informerades om vilken arbetsinsats och grad av deltagande i studien som förväntades av henne. Eleverna informerades muntligen, av mig om studiens syfte och upplägg och vad som krävdes av dem förklarades. Både klassläraren och eleverna informerades om att studien kommer att publiceras på Internet och att deras deltagande i studien skulle kunna spåras i och med att jag gjorde studien på min egen arbetsplats. Föräldrarna fick skriftlig information om studiens syfte innehåll och upplägg (se bilaga nr.1). Samtycke Eftersom studien utförs med elever under 15 år krävs ett skriftligt samtycke från målsman om lov att medverka i studien. Föräldrarna fick lämna ett skriftligt samtycke till mig att deras barn deltog i studien och att de blev filmade under lektionen (se bilaga nr.1), vilket alla gjorde. Eleverna informerades också om att det var valfritt att deltaga i studien och att bli filmade. Alla elever ville vara med, men två av eleverna ville inte bli filmade, vilket naturligtvis respekterades. Även rektor informerades och gav sitt samtyckte till studien. Konfidientialitet Jag publicerar inte i studien några namn på skola eller deltagare. Genom att jag gör studien på min egen arbetsplats så är både deltagande elever och deltagande klasslärare ändå lätta att spåra. Genom min information om publikation är de medvetna om det och har inte något att invända mot det (se även bilaga nr. 1). Inget av det elevmaterial, för- och eftertest samt arbetsblad och anteckningar som jag använt vid datainsamlingen publiceras, utan används bara av mig för utvärdering och analys. Videoinspelningarna ses bara av mig och klassläraren. Moment ingående i studien har också diskuterats endast av berörda, mig klassläraren och eleverna. 15

Nyttjande Det datamaterialet som samlats in har endast använts för analys och utvärdering. Materialet behandlas med försiktighet och förvaras diskret under hela studien. Studier på egna arbetsplatsen Motivet till att utföra studien på min egen arbetsplats var att jag ville att, jag och min samarbetspartner skulle lära oss att arbeta med learning study och få oss tillgodo en modell för att fortsättningsvis kunna utveckla vår matematikundervisning på skolan. Jag hoppades också genom att göra studien på arbetsplatsen väcka nyfikenhet och intresse bland kollegor för learning study och utveckling av matematikundervisningen. Att vara på min egen arbetsplats har också gett mig en tidsvinst, jag behöver inte åka någon annan utan kan genomföra moment i studien i anslutning till min ordinarie arbetstid. En redan inarbetad arbetsrelation till klassläraren i studien har också underlättat vårt samarbete och gjort genomförandet av studien enklare. Studien utfördes i den klass hon arbetar i. Jag arbetar vanligtvis, som speciallärare i matematik, med några av klassens elever. Detta kan ses som en maktfaktor vilket skulle kunna ge till följd att eleverna känt sig tvingad att vara med i studien. De har därför särskilt informerats om att det är frivilligt att delta i studien och att de inte kommer att behandlas på annorlunda sätt eller att vi på något vis skulle förändra vår syn på dem om de inte ville vara med i studien. Jag har under lektionspassen förhållit mig passiv, ej agerat som lärare, och dokumenterat lektionerna. För eleverna har det påtalats att våra roller skulle vara just så och att de så lite som möjligt skulle bry sig om min närvaro. En känslig punkt här skulle kunna vara att min roll kan uppfattas som att jag observerar läraren, alltså min kollega, när hon undervisar. Vi har därför pratat om detta och klargjort att det är undervisningen och elevernas erfarande och agerande under lektionen som studerats och dokumenterats, inte läraren i sig. Studiens trovärdighet och generaliserbarhet Enligt Patel och Davidson (2003) handlar validitet i en kvalitativ studie om att göra en trovärdig tolkning och om forskaren fångar det som är mångtydigt och kanske motsägelsefullt. Studien har genomförts just så som jag har beskrivit den och jag har försökt att skildra förloppet så detaljerat och genomskinligt som möjligt. Vid bedömning av elevernas förtest, eftertest och arbetsblad har jag försökt hålla mig objektiv, utan att dra slutsatser som inte framstår klart och varit öppen även för oväntade resultat och fenomen. I utvärderingen av lektionerna har klassläraren och jag först var och en för oss själva analyserat lektionen direkt efter den och genom videinspelningen av den, vilket ger en större trovärdighet i den delen av arbetet. Att lektionerna lagrats i form av videoinspelningar ger också betraktaren möjlighet till en vidare och objektivare analys enligt Patel och Davidson (2003). Forskning har visat att undervisningsupplägg, med framgång, kan baseras på resultat från en learning study (Kullberg, 2010). Det tillvägagångssätt som studien beskriver i sättet att 16