Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den kan beskrivas som grafen till ett andragradspolynom. Vi tittar också in på dess geometriska och optiska egenskaper.
Parabeln och vad man kan ha den till 1 (5) 1 Introduktion De kurvor som vi får som grafen av ett andragradspolynom brukar kallas parabler, men parabeln är en rent geometrisk konstruktion och beskrivningen som grafen till ett andragradspolynom bara en konsekvens av dess geometriska definition i ett lämpligt koordinatsystem. I det här dokumentet ska vi titta på vad parabeln egentligen är för något, och vad man kan använda den till. Och varför den kan användas till vad den används till. 2 Parabelns definition Det finns minst två geometriska definitioner av vad en parabel är. Den enklaste baserar sig på att man symmetriaxel ger en linje, kallad styrlinjen, och en punkt, kallad brännpunkten av skäl som vi återkommer till, som brännpunkt inte ligger på linjen. De punkter som ligger på den parabel dessa definierar är de vars avstånd är lika till vertex punkt och linje 1 Man ser direkt att en sådan kurva styrlinje måste vara symmetrisk genom en linje som är vinkelrät mot styrlinjen, en linje som vi kallar parabelns symmetrilinje (sträckad i figuren). Dess skärning med kurvan sker i en punkt som kallas parabelns vertex. För att beskriva parabeln i en ekvation måste vi införa ett koordinatsystem. Vi gör det så att x-axeln är parallell med styrlinjen och ligger mitt emellan den och brännpunkten. Som y-axel tar vi parabelns symmetrilinje. Vertex hamnar alltså i origo, d.v.s. skärningen mellan koordinataxlarna. Vidare väljer vi skalan så att brännpunkten kommer i punkten (0, 1). När vi gjort det har vi figuren till höger. 1 1 x 2 + (y 1) 2 1 (x, y) y + 1 Med beteckningar i figuren ska det alltså gälla att x2 + (y 1) 2 = y + 1 och kvadrerar vi det får vi att detta är ekvivalent med x 2 + y 2 2y + 1 = y 2 + 2y + 1 y = x2. Om vi nu väljer en annan skala, så att brännpunkten hamnar i punkten (0, c) och styrlinjens ekvation blir y = c, så ska vi införa nya koordinater x = cx, y = cy. I dessa koordinater har vi y = x2 y c = (x /c) 2 = (x ) 2 c 2 y = (x ) 2 c. Slutligen, om vi istället lägger vårt koordinatsystem (vi slänger nu prim:en) så att det nya origo svarar mot punkten (x 0, y 0 ), så får vi ekvationen y y 0 = a(x x 0 ) 2, a = 1/c. Det betyder att en parabel kan alltid skrivas på ekvationsformen y = ax 2 + bx + d om vi
Parabeln och vad man kan ha den till 2 (5) väljer x-axeln parallell med styrlinjen, och varje sådan ekvation kan tolkas som en parabel eftersom vi har kvadratkompletteringen y = ax 2 + bx + d = a(x + b 2a )2 + d b2 a. Den andra geometriska definitionen av en parabel är som ett kägelsnitt. Vi återkommer till den längre fram i detta dokument. 3 Några geometriska egenskaper hos parabeln Parabeln har en viktig geometrisk egenskap som vi ser i figuren till höger. Vi ser hur de två röda linjesegmenten, som definierar parabeln genom att vara lika långa, bildar två sidor i en likbent triangel. Den viktiga egenskapen är att tangenten till parabeln skär basen i triangeln under rät vinkel. styrlinje brännpunkt För att se att så är fallet, notera att om vi inför samma koordinatsystem som tidigare, så att brännpunkten ligger i (1, 0) och styrlinjen är, och vi kallar punkten på kurvan för (x, y), så kommer den linje som basen är del av att ha riktningskoefficient 2/x. Det betyder att höjden i triangeln har riktningskoefficient x/2, eftersom två linjer är vinkelräta om produkten av deras riktningskoefficienter är 1. Men x/2 är riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = x 2 /, och därför måste höjden i triangeln ligga på tangenten till parabeln. En annan intressant geometrisk egenskap hos parabeln är att om två tangenter till den skär på styrlinjen, så skär de under rät vinkel. Detta är enklast att visa genom att använda analytisk geometri. Så vi inför ett koordinatsystem så att ekvationen för parabeln är y = x 2 /. En tangent i punkten vars x- koordinat är a har då ekvationen y a2 = a (x a). 2 Skärningen (x, y) mellan de två tangenterna i punkterna vars x-koordinat är a respektive b och som skär styrlinjen ska då uppfylla de tre ekvationena y a2 = a (x a) 2 y b2 = b (x a) 2 2 a2 (1 + ) = x a b 2 b (1 + b2 ) = x a a( + a 2 ) = b( + b 2 ) 2 b (1 + b2 ) = x a Det första villkoret definiera vilket samband som måste gälla mellan tangenternas tangeringspunkter, och kan skrivas (a b) = (b a)(b + a). så om a b så gäller att b + a =, dvs b = /a. Men det betyder att tangenten med tangeringspunkten som ges av b har en riktningskoefficient som är b/2 = 1/(a/2), vilket
Parabeln och vad man kan ha den till 3 (5) betyder att den är vinkelrät mot tangenten med tangeringspunkt i a, eftersom denna har riktningskoefficient a/2. Ekvationen b = /a talar också om varifrån vi ska dra den andra tangenten. Anmärkning Vi ser här hur vi använder analytisk geometri för att lösa geometriska problem: vi inför ett lämpligt koordinatsystem så att vi kan ställa upp ekvationer och räkna. Det går naturligtvis att visa påståendet rent geometriskt också det var så de gamla grekerna gjorde. Parabelns optiska egenskap varför heter det brännpunkt? Om P och Q är två punkter på samma sida en rät linje L, hur ska vi välja punkten R på linjen L så att summan av sträckorna P R och RQ är så liten som möjligt? Om vi tittar i figuren till höger ser vi att följande konstruktion ger svaret: spegla P i Loch dra sedan den räta linjen P Q mellan spegelbilden och Q. Kalla dess skärningspunkt med L för R. För varje annan punkt R på L gäller då att P Q P R + R Q P R + RQ R R eftersom P Q är tredje sidan i den triangel som bildas av P R och R Q, och alltså mindre än deras summa (se figuren). Den viktiga konsekvensen av detta är följande geometriska observation: summan P R + RQ är som minst när vinkeln mellan P R och L P och vinkeln mellan RQ och L är lika stora, d.v.s. den ingående vinkeln är lika med den utgående vinkeln. Dessa påståenden är ekvivalenta 2. Vi vet empiriskt att för ljus gäller att när det reflekteras i en plan yta är den infallande vinkeln lika med den utgående vinkeln, vilket betyder att ljus färdas den kortaste vägen mellan de två punkterna, när det reflekteras i en linje. Vi återvänder nu till parabeln. Ur den första geometriska egenskapen som diskuterades i föregående avsnitt får vi en konsekvens som illustreras i figuren till α β höger. I figuren gäller att vinkeln β är halva toppvinkeln i en likbent triangel och lika stor som vinkeln mellan tangenten och den sträckade linjen. Men den vinkeln är motstående vinkel till vinkeln α, så vi har att α = β. Det betyder att om vi reflekterar en vertikalt inkommande stråle i tangenten, så kommer den reflekterade strålen att hamna i brännpunkten. Alla vertikalt inkommande strålar reflekteras alltså i samma punkt.
Parabeln och vad man kan ha den till (5) Eftersom t.ex. ljus och ljud reflekteras på detta sätt, så betyder det att ljus som kommer in längs med symmetriaxeln kommer att reflekteras till brännpunkten. Omvänt, om det finns en ljuskälla i brännpunkten kommer ljuset att lämna parabeln i form av parallella ljusstrålar. Detta är principen bakom både parabolantenner, som samlar upp parallellt inkommande elektromagnetiska vågor till en mottagarhuvud, och bilstrålkastare, där en glödlampa i brännpunkten genererar ljus som reflekteras till parallellt ljus framåt. Enda problemet är att dessa konstruktioner är tvådimensionella ytor, inte kurvor. Så tekniskt konstruerar man en s.k. rotationsparaboloid, vilken uppkommer genom att vi roterar vår parabel runt en axeln, rotationsaxeln. De olika parabler som utgör ytan kommer då alla att ha samma brännpunkt på rotationslinjen. Rotationslinjen är den gemensamma symmetrilinjen för alla dessa parabler, i de plan de lever. 5 Parabeln som ett kägelsnitt Det finns som påpekats ovan, en alternativ, geometrisk, definition av vad en parabel är. Nämligen som en av de kurvor vi kan få om vi skär en dubbelkon med ett plan. Som sådan utgör den er sorts övergång mellan ellipser och hyperbler 3. Figuren till höger föreställer en kon med vertikal axel. Om vi skär den med ett plan som är parallellt med konens sidor, så får vi en kurva. Om vi ser den som en kurva i planet ifråga, så är den en parabel. Anmärkning Om vi vinklar planet lite, så att det inte längre är parallellt med konens sida, så får vi antingen en ellips eller en hyperbel (beroende av i vilken riktning vi vinklar det). För att se att så är fallet låter vi θ vara vinkeln mellan planet och konens axel (se figuren till höger). Med beteckningarna x och y som i figuren gäller då att sträckan BM = 2y sin θ och att CM = 2r, där r är radien på konen där skärningsplanets högsta punkt ligger. Enligt kordasatsen gäller att BM CM = DM EM, vilket betyder att ry sin θ = x 2, och alltså y = 1 r sin θ x2. Här är r, θ konstanter som bara bestäms av konen och planet. Vi ser alltså att vi har ekvationen för en parabel med brännpunkt i (0, r sin θ) i planet, i det koordinatsystem som vi valt.
Parabeln och vad man kan ha den till 5 (5) Noteringar 1. Med avståndet till linjen menas det minsta avståndet. 2. Detta kallas Herons problem 3. Ellipser och hyperbler behandlas i kapitlet Om ellipser och hyperbler