AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t), y = y(t), z = z(t) (t I), () dvs av vektorfunktionen där variabeln t är en parameter. punkten r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k (t I), (2) Då t genomlöper intervallet I = (t, t ), så genomlöper P (t) = (x(t), y(t), z(t)) punktmängden i xyz-rummet (en rymdkurva). Om parameterintervallet I = (t, t ) har ändpunkterna t = a t = b, så kan parametern t genomlöpa intervallet I på två sätt: t : a b eller t : b a genom detta får vi två olika orienteringar av kurvan. Vid orientering t : a b är P (a) begynnelsepunkt P (b) slutpunkt på kurvan. Vid orientering t : b a är P (b) begynnelsepunkt P (a) slutpunkt. Om P (a) = P (b), så är kurvan sluten. EXEMPEL Ellipsbåge Vektorfunktionen r(t) = [a cos t, b sin t], t : π ger en orienterad ellipsbåge (i xy-planet). Parameterintervallet I = (t, t ) har ändpunkterna t = a = π t = b =. Vid sådan orientering är P (π) = (a cos π, b sin π) = ( a, )

begynnelsepunkt slutpunkt på den orienterad ellipsbågen. P () = (a cos, b sin ) = (a, ) Kurvintegralens definition Om är en orienterad kurva med parameterekvationen P = P (t) (x = x(t), y = y(t), z = z(t)) t I = (t, t ), t : t t, (3) f(p ) g(p ) är reela (eller komplexa) funktioner, definierade på, så definieras kurvintegralen f(p )dg(p ) f(p )dg(p ) = t=t t=t f(p (t))dg(p (t)), (4) (om integralen i högerledet existerar). En kurvintegral av vektorfunktionen F(r) definieras eller komponentvis b (F dx + F 2 dy + F 3 dz) = a F(r(t)) dr dt dt, b a (F x + F 2 y + F 3 z )dt ( = d/dt). EXEMPEL 2 En kurvintegral i planet Beräkna kurvintegralen när F(r) = [ y, xy] är (orienterade) cirkelbågen från begynnelsepunkten (, ) till slutpunkten (, ). Lösning. En cirkel med radien (enhetscirkeln) i xy-planet på parameterform ges av vektorfunktionen r(t) = [cos t, sin t] = cos ti + sin tj, (5) r(t) = [cos t, sin t], t : π/2 ger en orienterad cirkelbåge. Parameterintervallet I = (t, t ) har ändpunkterna t = t = π/2. Vid sådan orientering är P () = (cos, b sin ) = (, ) begynnelsepunkt P (π/2) = (a cos π/2, b sin π/2) = (, )

slutpunkt på den orienterad cirkelbågen. Vi har x = cos t, y = sin t kan skriva vektorfunktionen F(r) på enhetscirkeln Bestäm F(r(t)) = y(t)i x(t)y(t)j = [ sin t, cos t sin t] = sin ti cos t sin tj. beräkna kurvintegralen: π/2 π/2 (sin 2 t cos 2 t sin t)dt = r (t) = sin ti + cos tj ( sin ti cos t sin tj) ( sin ti + cos tj)dt = π/2 π/2 (/2) [( cos 2t)dt [(/2)( cos 2t) cos 2 t sin t]dt = π/2 cos 2 td cos t = π 4 3. EXEMPEL 3 Kurvintegralen beror av kurvans form (en sluten kurva: samma ändpunkterna) Beräkna kurvintegralerna för F(r) = [5z, xy, x 2 z] när kurvorna 2 har samma begynnelsepunkten A : (,, ) samma slutpunkten B : (,, ): är ett intervall på räta linjen 2 är en parabolbåge r (t) = [t, t, t] = ti + tj + tk, t, r 2 (t) = [t, t, t 2 ] = ti + tj + t 2 k, t. Lösning. Vi har F(r (t)) = 5ti + t 2 j + t 3 k, r (t) = i + j + j. Då kan man beräkna kurvintegralen längs Kurvintegralen längs 2 är F(r (t)) r (t)dt = (5t + t 2 + t 3 )dt = 5 2 + 3 + 4 = 37 2. 2 F(r 2 (t)) r 2(t)dt =

Vi har fåt två olika värden. SATS 9.2. Kurvintegralen (5t 2 + t 2 + 2t 5 )dt = 5 3 + 3 + 2 6 = 28 2. (F dx + F 2 dy + F 3 dz), där F, F 2, F 3 är kontinuerliga funktioner på mängden D i rummet, är oberoende av vägen i D, om endast om F = [F, F 2, F 3 ] är gradienten av en (deriverbar skalär) funktion f = f(x, y, z) i D (F säges vara ett gradientfält, f kallas en skalär potential till F): F = grad f; komponentvis F = x, F 2 = y, F 3 = z. Om F är ett gradientfält, f är en skalär potential till F då f(b) f(a), där A är begynnelsepunkt B slutpunkt på. kurvintegralen EXEMPEL 4 Kurvintegralen oberoende av vägen Visa att kurvintegralen (2xdx + 2ydy + 4zdz) är oberoende av vägen på varje mängd i rummet beräkna kurvintegralen när kurvan har begynnelsepunkten A : (,, ) slutpunkten B : (2, 2, 2). Lösning. Vi har F = [2x, 2y, 4z] = 2xi + 2yj + 4zk = grad f, f = x 2 + y 2 + 2z 2. Enligt SATS 9.2., kurvintegralen är oberoende av vägen på varje mängd i rummet. Då kan man beräkna kurvintegralen genom att välja en rät linje sådan att begynnelsepunkten slutpunkten ligger på den här linjen: r(t) = [t, t, t] = t(i + j + k), t 2, begynnelsepunkten A : (,, ), t =, slutpunkten B : (2, 2, 2), t = 2. Vi får r (t) = i + j + j. (2xdx + 2ydy + 4zdz) = F(r) r = 2t + 2t + 4t = 8t 2 F(r(t)) r (t)dt = 2 8tdt = 6.

EXEMPEL 5 Kurvintegralen oberoende av vägen. Potentialen Beräkna kurvintegralen I = från A : (,, 2) till B : (,, 7): Lösning. Om F har potentialen f, Vi får Då F = grad f : x = F = 3x 2, f = x 3 + g(y, z), (3x 2 dx + 2yzdy + y 2 dz) y = F 2 = 2yz, z = F 3 = y 2. f y = g y = 2yz, g = y 2 z + h(z), f z = y 2 + h = y 2, h =, h =, f(x, y, z) = x 3 + y 2 z I = f(,, 7) f(,, 2) = + 7 ( + 2) = 6. SATS 9.2.2 Kurvintegralen (F dx + F 2 dy + F 3 dz) där F, F 2, F 3 är kontinuerliga funktioner på mängden D i rummet, är oberoende av vägen i D, om endast om längs varje sluten kurva i D. Differentialformen F dx + F 2 dy + F 3 dz kallas exakt i ett öppet område D om det i D existerar en deriverbar funktion f sådan att Man kan skriva där SATS 9.2.3 df = dx + dy + x y z dz. F dx + F 2 dy + F 3 dz = df, F = x, F 2 = y, F 3 = z. Betrakta kurvintegralen (F dx + F 2 dy + F 3 dz),

där F, F 2, F 3 är deriverbara funktioner i ett öppet område D i rummet. Om kurvintegralen är oberoende av vägen i D (differentialformen F dx + F 2 dy + F 3 dz är exakt), då komponentvis, Om curl F = i D; F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y. curl F = i D; D är ett enkelt sammanhängade område, så är kurvintegralen oberoende av vägen i D. Antag att F, F 2, F 3 är deriverbara funktioner av tre variabler x, y, z i ett öppet, enkelt sammanhängade område D. Då, enligt SATS 9.2.3, är följande villkor ekvivalenta: (i.3) Differentialformen F dx + F 2 dy + F 3 dz är exakt. (ii.3) F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y. (iii.3) (F dx + F 2 dy + F 3 dz) = för varje sluten kurva i D. (iv.3) L (F dx+f 2 dy+f 3 dz) beror bara av begynnelsepunkten slutpunkten på kurvan L i D, men är i övrigt oberoende av vägen. Antag att F F 2 är deriverbara funktioner av två, variabler x, y i ett öppet, enkelt sammanhängade område D. Då, enligt SATS 9.2.3, är följande villkor ekvivalenta: (i.2) Differentialformen F dx + F 2 dy är exakt. (ii.2) F 2 x = F y. (iii.2) F dx + F 2 dy = för varje sluten kurva i D. (iv.2) L F dx + F 2 dy beror bara av begynnelsepunkten slutpunkten på kurvan L i D, men är i övrigt oberoende av vägen. Greens formel i planet Låt vara en sluten kurva i xy-planet, som inte skär sig själv genomlöpes precis ett varv i positivt led (moturs). Antag att F (x, y) F 2 (x, y) är deriverbara funktioner (har kontinuerliga partiella derivator F y F 2 ) i det slutna begränsade område som omslutes x av. Då är ( F 2 x F ) dxdy = (F dx + F 2 dy). y

Man kan skriva Greens formel med hjälp av rotation (curl F) kdxdy = F dr. EXEMPEL 6 Greens formel i planet Använd Greens formel när F = y 2 7y, F 2 = 2xy + 2x är enhetscirkeln : x 2 + y 2 = ett varv i positivt led. Lösning. Beräkna dubbelintegralen ( F 2 x F ) dxdy = y [(2y + 2) (2y 7)]dxdy = 9 Beräkna motsvarande kurvintegralen. Enhetscirkeln på parameterform ges av På r(t) = [cos t, sin t] = cos ti + sin tj. r (t) = sin ti + cos tj. dxdy = 9π. F = y 2 7y = sin 2 t 7 sin t, F 2 = 2xy + 2x = 2 cos t sin t + 2 cos t, vi får att kurvintegralen i Greens formel är lika med dubbelintegralen: F(r) dr = 2π [(sin 2 t 7 sin t)( sin t)+(2 cos t sin t+2 cos t) cos t]dt = +7π ++2π = 9π. EXEMPEL 7 Arean av ett område i planet Genom insättning F =, F 2 = x (eller F = y, F 2 = ) får vi dxdy = xdy, Då är arean av begränsade området som omslutes av A = 2 (xdy ydx). dxdy = ydx. För ellipsen (x/a) 2 + (y/b) 2 = (parameterekvationerna är x = a cos t, y = b sin t) har vi Då är arean av ellipsen A = 2 (xdy ydx) = 2 2π x = a sin t, y = b cos t, (xy yx )dt = 2 2π [ab cos 2 t ( ab sin 2 t)]dt = πab.

EXEMPEL 8 Antag att w = w(x, y) är en deriverbar funktion sätt F = w y, F 2 = w x Då kurvintegralen blir (F dx + F 2 dy) = F 2 x F y = 2 w x 2 + 2 w y 2 = 2 w. (F x + F 2 y )ds = ( w y x + w x y )ds = (grad w) nds där n är en normalvektor till eftersom n är vinkelrät mot tangentvektor till r (s) = x i + y j : r (s) n =. Enligt definitionen, är grad w n normalderivatan av w (riktningsderivatan av w i riktningen n), w n, Då får vi dubbelintegralen av Laplaces operator w = 2 w: 2 wdxdy = w n ds.

POBLEM 9.. Beräkna b a F(r(t)) dr dt dt där F = [y 2, x 2 ] är ett intervall på räta linjen från (, ) till (, 4). Lösning. Den räta linjen ges av parameterekvationerna r(t) = [t, 4t] = ti + 4tj, t, På r (t) = i + 4j. F(r(t)) = 6t 2 i t 2 j, Kurvintegralen längs är F(r(t)) r (t)dt = (6t 2 4t 2 )dt = 4. POBLEM 9..5 Beräkna F(r) dr, där F = [(x y) 2, (y x) 2 ] : xy =, x 4. Lösning. ges av parameterekvationerna r(t) = [t, /t] = ti + /tj, t 4, På r (t) = i /t 2 j. F(r(t)) = (t /t) 2 (i + j). Kurvintegralen längs är F(r) dr = 4 F(r(t)) r (t)dt = 4 [(t /t) 2 ( /t 2 )]dt = 4 [t 2 +3/t 2 /t 4 3]dt = 89 64. POBLEM 9.2.2 Beräkna kurvintegralen från A : (, π) till B : (3, π/2). I = e x (cos ydx sin ydy)

Lösning. Om F har en potential f, dåfår man F = grad f : x = F = e x cos y, y = F 2 = e x sin y. Bestäm primitiva funktionen, f = e x cos y dx = e x cos y + g(y), f y = dg dy = ex sin y, thus g = const =, potentialen Differentialformen f(x, y) = e x cos y. e x cos ydx e x sin ydy = df = d(e x cos y) är exakt. Enligt SATS 9.2., kurvintegralen I är oberoende av vägen I = f(3, π/2) f(, π) = e 3 ( ) =. POBLEM 9.2.3 Beräkna kurvintegralen I = (3z 2 dx + 6xzdz) från A : (, 5) till B : (4, 3). Lösning. Om F har en potential f, dåfår man F = grad f : Bestäm primitiva funktionen, x = F = 3z 2, z = F 2 = 6xz. f = f(x, z) = 3z 2 dx = 3xz 2 + g(z), f z = dg dz = 6xz, thus g = const =, potentialen Differentialformen f(x, z) = 3xz 2. 3z 2 dx + 6xzdz = df = d(3xz 2 ) är exakt. Enligt SATS 9.2., kurvintegralen I är oberoende av vägen I = f(4, 3) f(, 5) = 2 9 ( 3) 25 = 83. POBLEM 9.2. Visa att differentialformen 2xy 2 dx + 2x 2 ydx + dz är exakt beräkna kurvintegralen från A : (,, ) till B : (a, b, c).

Lösning. Vi testar differentialvillkoren (ii.3) Vi har () y = (2x2 y) z F 3 y = F 2 z, F z = F 3 x, F 2 x = F y. =, differentialformen är exakt. Nu, (2xy 2 ) z x = F = 2xy 2, = () x =, (2x 2 y) x = (2xy2 ) y x = F 2 = 2x 2 y z = F 3 =. = 4xy, Bestäm primitiva funktionen f: f = f(x, y, z) = 2xy 2 dx = x 2 y 2 + g(y, z), f y = g y = 2x 2 y, g = 2x 2 ydy = x 2 y 2 + h(z), Då B A f z = dh dz =, h(z) = z. f(x, y, z) = x 2 y 2 + z (2xy 2 dx + 2x 2 ydx + dz) = f(a, b, c) f(,, ) = a 2 b 2 + c. POBLEM 9.4. Använd Greens formel i planet för att beräkna kurvintegralen I = b a F(r(t)) dr dt dt, där F = [x 2 e y, y 2 e x ] är rektangeln med hörnen i punkterna (, ), (2, ), (2, 3) (, 3) Lösning. Vi har F = x 2 e y, F 2 = y 2 e x, F 2 x = y2 e x, F y = x2 e y. Beräkna dubbelintegralen över rektangeln som omslutes av : ( F 2 x F ) dxdy = y (y 2 e x x 2 e y )dxdy = 2 3 2 3 dx y 2 e x dy dx x 2 e y dy = 2 3 2 3 e x dx y 2 dy x 2 dx e y dy = 9(e 2 ) 8 3 (e3 ). Vi testar Greens formel beräknar kurvintegralen längs I = 2 F (x, )dx + 3 F 2 (2, y)dy 2 F (x, 3)dx 3 F 2 (, y)dy

2 POBLEM 9.4.3 (x 2 x 2 e 3 )dx + 3 (y 2 e 2 y 2 )dy = 9(e 2 ) 8 3 (e3 ). Använd Greens formel i planet för att beräkna kurvintegralen där F = [y, x] är x 2 + y 2 = /4. Lösning. Vi har F = y, F 2 = x, I = F(r) dr, F 2 x =, F y =. Beräkna dubbelintegralen över cirkeln av radien /2 som omslutes av : ( F 2 x F ) dxdy = y ( )dxdy = 2 dxdy = ( 2)π(/2) 2 = π/2. POBLEM 9.4.4 Beräkna kurvintegralen w n ds längs randkurvan (gränsen) av rektangeln : x 2, y for w = e x + e y. Lösning. Vi har 2 w = w = e x + e y Då 2 wdxdy = 2 2 e x dx dy + dx e y dy = = (e 2 ) + 2(e ) = e 2 + 2e 2. w n ds = e2 + 2e 2.