Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Relevanta dokument
===================================================

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2017, kl. 8:00-12:00

===================================================

2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

===================================================

October 9, Innehållsregister

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då

Explorativ övning Vektorer

Vektorgeometri för gymnasister

1 Vektorer i koordinatsystem

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

SF1624 Algebra och geometri

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Tel.:

Vektorgeometri för gymnasister

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

Att beräkna:: Avstånd

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

Vektorgeometri och funktionslära

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4).

TENTAMEN HF1006 och HF1008

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

= ( 1) ( 1) = 4 0.

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:

MATEMATIK Datum: Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Vektorgeometri för gymnasister

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

Tillämpad Matematik II Övning 1

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

LYCKA TILL! kl 8 13

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH


Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.2. Linjens ekvation kan vi skriva som. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl

Del A. Lösningsförslag, Tentamen 1, SF1663, CFATE,

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 3 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e ett koordinataxel.

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht Block 5, översikt

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

Vektorgeometri för gymnasister

Sidor i boken Figur 1: Sträckor

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

Vektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson

Facit/lösningsförslag

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

Transkript:

VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z =================================================== vstånet från en punkt till ett plan Låt π vara ett plan vars ekvation är skriven på formen x + y + Cz + D = 0 och låt x, vara en given punkt Meto: vstånet från punkten = x, till planet x + y + Cz + D = 0 är + D = Q nmärkning: Härlening av ovanståene formel finns i slutet av stencilen Meto: Linjen L genom vinkelrät mot planet har ekvationen x, y, = x, + t, Om vi betecknar me Q skärningspunkten mellan linjen L och planet π å är avstånet = Q =================================================== vstånet från en punkt till en rät linje Meto: vstånet från punkten = x, till en linje som går genom = x0, och har riktningsvektorn av 9 vv

v = vx, v y, vz ) är v = v nmärkning: Den här formeln beräknar avstånet som höjen av parallellogrammen som späns upp av vektorerna v och, v vs arean v = = basen v Meto: Vi kan bestämma en punkt på linjen x, y, = x0, + t, som ligger närmast punkten genom att använa villkoret v = 0 som gäller i enna punkt, och ärefter beräkna = Exempel: eräkna avstånet från punkten =,3,8) till linjen L: x, y, =,,6) + t,,0 ) Lösning : Låt vara en punkt på linjen L Då har koorinater = + t, + t, 6) Om punkten ligger på linjen närmast punkten å gäller se bilen ovan) v = 0 *) Eftersom = t, + t, ) och v =,,0 ) får vi från *) t + t + 0 = 0 t = / Därför = t, + t, ) =,, ) 8 3 och = = + + 4 = = 4 4 4 nmärkning: unkten = 5/, 5/, 6), kan också beräknas genom att substituera t = / i = + t, + t, 6) =================================================== av 9

Meto3: Vi kan bestämma en punkt på linjen L: x, y, = x0, + t, som ligger närmast punkten genom att först bestämma ekvationen för planet Π som går genom vinkelrät mot L Därefter bestämmer vi som skärningspunkt mellan planet Π och linjen L: Exempel: eräkna avstånet från punkten =,3,8) till linjen L: x, y, =,,6) + t,,0) lanet Π har en normalvektor N = v =,,0) och ärför är planets ekvation: x ) + y 3) + 0 z 8) = 0 eller x + y 5 = 0 Vi substituerar linjens ekvationer x = + t, y = + t och z = 6 i planets ekvation och får + t + + t 5 = 0 t = / Skärningspunkten är ärför = 5/, 5/, 6) Härav = /, /, ) och ärme Π vv och ärme 3 = = Meto4: Vi kan bestämma en punkt på linjen L: x, y, = x0, + t vx, v y, vz ) som ligger närmast punkten genom att först bestämma projektionen av vektorn på linjen L, är = x 0, y0, z0 ) och = x, y, ) z Exempel: a) estäm en punkt på linjen L: x, y, =,,6) + t,,0 ) som ligger närmast punkten =,3,8) b) eräkna ärefter avstånet från punkten till linjen L a) Vi har =,,6) och =,3,8), v =,,0) Låt u = = 0,, ) å gäller, enligt projektionsformeln u v = proj v u) = v =,,0) = v v 5 5 Därför O = O+ =,,6) +,,0) =,,6) ; 3 av 9,,0) vv

5 5 me anra or =,,6) b) Eftersom =,, ) har vi 8 3 = + + 4 = = 4 4 4 vstånet mellan två parallella räta linjer Välj en punkt på t ex linjen L och beräkna avstånet från punkten till linjen L L L =================================================== vstånet mellan två icke-parallella räta linjer Låt L och L vara två räta linjer genom och me riktningsvektorer v och v Låt N vara en normalvektor till båe L och L, t ex N = v v vstånet mellan linjerna är N = N L L Uppgift lanet 6 x + y + 3z = 6 skär koorinataxlarna i punkterna, och C estäm omkretsen av triangeln C 4 av 9

Skärningen me x-axeln får vi om vi substituerar y = 0 och z = 0 i ekvationen: 6 x + 0 + 0 = 6 x = lltså är =, 0, 0) å samma sätt får vi = 0, 3, 0) och C= 0,0, ) Härav: =,3, 0) och = 0, C =,0, ) och C = 5, C = 0, 3, ) och C = 3 Därme är omkretsen av triangeln C lika me 0 + 5 + 3 Svar: 0 + 5 + 3 Uppgift estäm avstånet från punkten =,, 3) till planet x + 5y = 4z Först skriver vi planets ekvation på formen x + y + Cz + D = 0 lltså x + 5y + 4z + = 0 vstånet från punkten till planet är + D + 5 ) + 4 3 + 6 6 = = = = = + 5 + 4 45 3 5 5 5 Svar: = ) 5 5 Uppgift 3 Linjen x, y, =,,) + t,, ) skär planet x + y + z 7 = 0 i en punkt estäm avstånet från punkten till planet x + 3y + 4z + 0 = 0 z x C y Vi substituerar x = + t, y = + t, z = + t i ekvationen x + y + z 7 = 0 och får t = lltså är skärningspunkten =3,,) vstånet från punkten till et anra planet x + 3y + 4z + 0 = 0 är + D 3 + 3 + 4 + 0 30 = = = + 3 + 4 9 Svar: 30 9 Uppgift 4 estäm avstånet mellan följane parallella) plan x + y + z = 5 och x + y +z = 0 5 av 9

Ovanståene plan är parallella eftersom e har parallella normalvektorer, faktisk samma normalvektor,,) en här gången) Vi väljer en punkt på första planet t ex,,) och använer formeln vstånet från punkten = x, + D till planet x + y + Cz + D = 0 är = I vårt fall Svar: 5 = 3 x = + D + + + 0 = + + = Uppgift 5 Linjen x, y, = 0,,) + t,,3 ) skär planet x + y + z 3 = 0 i en punkt estäm avstånet från punkten till linjen x, y, =,,6) + t,,0) Vi substituerar x = 0 + t, y = + t, z = + 3t i ekvationen x + y + z 3 = 0 och får t = Skärningspunkten är =,3,8) För att beräkna avstånet från punkten till linjen x, y, =,,6) + t,,0 ) använer vi formeln v = v Vi väljer en punkt på en anra linjen t ex =,,6) och bilar vektorn = 0,, ) Linjens riktningsvektor är v =,,0 ) v =,,) vstånet från punkten till linjen x, y, =,,6) + t,,0 ) är v 9 3 = = = v 3 3 Svar: = ) Uppgift 6 estäm avstånet från punkten =,,3) till skärningslinjen mellan två plan x + y + z = och x + y + z = 3 först bestämmer vi skärningen mellan planen: 5 3 6 av 9

x + y + z = [ ) ekv + ekv] x + y + z = 3 x + y + z = y + z = Vi betraktar z som en frivariabel, betecknar z=t och får x = y = t z = t lltså skär e två plan längs en linje För att beräkna avstånet från punkten =,,3) till linjen x, y, =,,0) + t0,, ) använer vi formeln v = v är =,,0) och v = 0,, ) Härav = 0,,3 ) och v = -4,0,0) vstånet från punkten till linjen är v 4 = = = v Svar: Uppgift 7 estäm avstånet mellan följane linjer L : x, y, =,,4) + t,,3 ) och L : x, y, =,,) + t,,6) Linjernas riktningsvektorer v =,,3) och v =,,6) är parallella eftersom v = v Därför väljer vi en vilken som helst) punkt på en linje och beräknar avstånet från enna punkt till en anra linje Vi väljer =,,4) och använer formeln v =, är =,,) och v = v =,,6) v Härav = 0,0,3) och v = 6,-6,0) vstånet från punkten till linjen är v 6 3 = = = v Svar: 3 7 av 9

Uppgift 8 estäm avstånet mellan följane linjer L : x, y, =,,) + t,, ) och L : x, y, =,3,4) + t,,0) Linjerna har riktningsvektorer v =,,) och v =,,0) Vektor N = v v =-,,-) är vinkelrät mot båa linjer Vi väljer en punkt på varje linje Låt =,,) och =,3,4) Då =0,,3) vstånet är N = = N Svar: = 3 3 3 = 3 3 Uppgift 9 Vi betraktar två linjer L: x, y, = 7, 3, 4) + t,, 0) och L: x, y, =, 0, ) + s0,, ) a) estäm e två punkter, Q på L respektive L som ligger närmast b) eräkna ärefter et kortaste) avstånet mellan linjerna L och L L Q L Linjerna har riktningsvektorer v =,, 0) och v = 0,,) unkter och Q ligger närmast om Q är vinkelrät mot båe v och v, vs om Q v =0 och Q v =0 unkten ligger på L och ärför får vi punktens koorinater för ett väre på parameter t lltså = 7 t, 3 + t, 4) unkten Q ligger på L och ärför har Q koorinater Q=, s, + s) : Därme Q = t 6, s t 3, s 3) 8 av 9

Från Från Q v =0 har vi 4t + s t 3 =0 ekv) Q v =0 har vi s + t + 3 + s 3 =0 ekv) Vi löser systemet: 5t s +9=0 ekv) t+ s =0 ekv) och får s = och t= Härav = 3,5,4) och Q=,,0) och vstånet = Q = 4 + 6 + 6 = 6 Svar: a) = 3,5,4) och Q=,,0) b) =6 Uppgift 0 T teori) Q =, 4, 4) Låt π vara ett plan vars ekvation är skriven på formen x + y + Cz + D = 0 och låt x, vara en given punkt evisa formeln + D = för avstånet från punkten = x, Q till planet x + y + Cz + D = 0 Linjen L genom vinkelrät mot planet har ekvationen x, y, = x, + t, som vi kan skriva som tre skalära ekvationer: x = x + t, y = y + t och z = z + tc För att bestämma skärningspunkten mellan linjen och planet, vs punkten Q = x0,, substituerar vi linjens skalära ekvationer i planets ekvation x + y + Cz + D = 0 och får x + t) + y + t) + C z + t + = 0 x D t + y + t + zc + tc + D = + D) = + 0 t + D) eteckna enna lösning me t0 = *) unkten Q = x, y, ) har följane koorinater 0 0 z0 y0 y + t0 = x t, = och = z t C x0 + 0 z0 + 0 och ärför Q = t, t t = t, ) 0 0 0 0 C vstånet = Q = t0, = t0, = t0 enligt *) ) + D + D = = VS 9 av 9