5 Förord till studenten Denna bok har många sidor. Den riktar sig förstås inte bara till dig utan också till dina medstudenter, som har delvis andra utgångspunkter. Var därför beredd på att ignorera argumentationer som förekommer i boken som du inte behöver (för tillfället). Den har många sidor för att det som är relevant ska finnas med om och när du behöver det. Matematikböcker har enligt traditionen varit kortfattade och obegripliga. Boken har många sidor för fullständighetens, läsbarhetens, den geometriska känslans och för den övergripande matematiska insiktens skull. Och för din möjlighet att träna dig till hög skicklighet i matematiska kalkyler. Detta förord tar upp fyra punkter: 1. Praktisk information om hur denna bok är upplagd. 2. Vad som kan hoppas över och varför. 3. Förslag på olika sätt att läsa denna bok. 4. Om lärande av matematik. 1. Praktisk information om hur denna bok är upplagd Bokens återkommande specialrubriker är här beskrivna efter hur vanligt förekommande de är de vanligaste först. Exempel: Boken innehåller ett mycket stort antal exempel med fullständiga och detaljerade lösningar. De liknar tentamensproblem. Slutet på varje exempel markeras med symbolen E. Teknikproblem: Exempel följs oftast av ett teknikproblem. Det är en uppgift som du kan lösa själv. Det föregående exemplets lösning är mall för teknikproblemets lösning, normalt uppträder inga annorlunda svårigheter. Det finns svar längst ner på sidan. De är till för att ge dig möjlighet att träna upp din teknik att lösa problem. Det ger starkare kunskaper, du upptäcker var du har luckor i din kunskap, och det är mycket tentamensförberedande. Matematik innebär träning av hjärnan regelbundenhet och uthållighet är viktigt i all träning. Du kan också välja att gissa svar till teknikproblem, och kontrollera gissningen med det befintliga svaret. Bevis: Utan bevis kan vi inte vara säkra på att de matematiska sanningarna gäller. De flesta bevis föregås av konkreta exempel i många fall är beviset inte mycket mer än en generell variant av denna kalkyl. Alla bevis avslutas med B.
6 Dialoger: Dialoger förekommer längst ner på vissa sidor. De startar på någon specifik punkt i texten, där fotnotens nummer finns. De tar upp vitt skilda matematiska frågor och synvinklar. Där sker en del matematiska experiment. Vissa dialoger fortsätter på följande sida, men varje dialog avslutas med D. Rekommenderade övningar: Samtliga övningar som rekommenderas syftar på problem i Övningar i analys i en variabel, Matematiska Instutitionen, Lunds Tekniska Högskola, Lund 2001 (tryck: KFS AB, Sölveg. 22 F, 223 62 Lund). Utvalda problem räknas upp just efter motsvarande avsnitt. I slutet på varje kapitel finns utförliga ledningar till de övningar som rekommenderas i kapitlet. Matematiska fortsättningar: Text under denna rubrik tillhör inte bokens egentliga innehåll. De är populärvetenskapliga beskrivningar om fortsättningar av bokens matematik, som tillhör fortsättningskurser. Dessa textavsnitt avslutas med F. Frågor: Frågorna har inga svar i boken. De kan betraktas som motsatsen till teknikproblemen. De har mycket varierande knepighetsgrad. Fastna inte alltför mycket på dem, fråga någon: lärare, andra studenter, bibliotek eller internet. (Å andra sidan lär man sig aldrig så mycket som när man inte ger upp. Det gör svaren extra värdefulla, när man får dem, på ett eller annat sätt. Om det finns svar.) Kurser och böcker har alltid problem som är mycket väl avvägda för att vara lagom svåra, och det finns alltid ett facit. Så är inte verkligheten, och så är inte vetenskapen. Frågorna liknar verkligheten mer än de läroboksideal som du antagligen är van vid efter alla skolår. Frågorna är till för att utmana och visa hur rikt på intressanta problem matematik är. Att det finns många matematikproblem som varit olösta i åratal beror givetvis på att inte heller professionella matematiker lyckats klara dem. Sådan är matematiken. Välj själv om du vill grubbla. Kortversioner: Varje kapitel avslutas med en matematisk sammanfattning utan onödiga motiveringar. Här finns alla bokens definitioner, satser och bevisidéer bevisen finns i kapitlet. Kortversionerna utgör en bok i boken på ca 50 sidor. Hemsida: Om du fastnar någonstans, gå till www.bth.se/analysmeddialoger. Här kan du få hjälp, antingen av matematiklärare eller av andra studenter som använder boken. Du skriver in bokens sidnummer, och får upp eventuellt tidigare frågor och svar angående denna sida. Du kan registrera dig och skriva in egna frågor (och svar). Dessutom hjälper du till med matematikutbildningen på sikt. Dina och andra studenters frågor och åsikter (och lärares) kommer att användas till att förbättra nästa upplaga. Studenters åsikter är viktiga för att utveckla böcker som fungerar riktigt bra. Detta är sannolikt första gången som studentkollektivet kan påverka en lärobok på ett systematiskt sätt. Några ord om val av typsnitt:
7 Kursiv används för icke-matematiska begrepp, och för betoning av huvudpunkter i resonemang i allmänhet. Fetstil används för matematiska begrepp. Varje definition innehåller därför något ord i fetstil. 2. Vad som kan hoppas över, och varför Det finns mycket du kan hoppa över i denna bok. Men det är nog inte samma saker som en annan student hoppar över. Läs i första hand de avsnitt som är viktiga för dig. Här är några överhoppningsfriheter: 1. Början på varje kapitel repeterar gymnasie- och grundskolematematik. Detta är kanske lättläst. Här får du utgångspunkterna i universitetsversion, och inte gymnasieversion i en version som hänger ihop med fortsättningen. 2. Matematiska fortsättningar ingår inte i kursen. De ger glimtar om framtida kurser oerhört mycket annan matematik bygger nämligen på materialet i denna bok. De kan hoppas över om du inte är intresserad. 3. Dialogerna introducerar aldrig någon ny matematik. De beskriver vanliga fel, minnesregler, reaktioner, alternativa tolkningar, och sökandet i allmänhet. 4. Boken försöker få liv i matematiken genom att ge konkreta tolkningar och beskrivningar av hur formalismen fungerar. Antagligen är en del av dem intressanta för dig, och en del inte. 5. I denna bok är det i betydligt större grad möjligt att hoppa mellan avsnitten utan att förlora sammanhang. Det beror på att varje kapitel har en överblick i början och en kortversion i slutet även varje del har en översikt. Dessutom framhålls sammanhanget ofta i texten. Ju mer du läser på ditt sätt, ju bättre lär du dig, antagligen. Det du hoppar över kan du titta närmare på senare. 3. Förslag på olika sätt att läsa denna bok Det finns antagligen tre huvudmetoder att läsa en matematikbok, som kan kombineras på många sätt: 1. Problem först. Ett ganska rimligt sätt att angripa ett kapitel i en matematikbok är att först försöka lösa problemen. Om det inte fungerar kan man studera lösta
8 exempel. Om det inte fungerar kan man läsa texten. Det är en rimlig metod, särskilt om man till slut kommer igenom huvuddelen av texten. Om man stannar på problemen finns det en risk att det är en hel del viktigt som man har missat, och att kunskaperna blir snabbt glömda. 2. Från början till slut. Denna bok är nog läsbar från pärm till pärm i ovanligt hög grad. Man får då givetvis allt i rätt ordning. Om du gör det, räkna problem eller övningar då och då. Annars riskerar kunskapen att bli tunn och svåranvändbar. 3. Igrupp. Man kan på olika sätt dela upp kapitel och problem och berätta om innehållet för varandra. Formulering av matematik verbalt ändrar ämnets karaktär. Det blir synligare, mer hanterbart, och stannar antagligen bättre i minnet. Den blir förknippad med aktiviteter. Arbete i grupp rekommenderas varmt, även om man nog alltid måste reservera en del tid att tänka ensam. Om inte annat är man ensam vid tentamenstillfället. 3. Om lärande av matematik Några generella kommentarer: Du förstår nog inte allt vid första genomläsningen. Du kanske omedelbart kunde få en helhetsförståelse på gymnasiet, men det gör du säkert inte på högskole- och universitetsnivå. Det är en ganska stor skillnad. Du har kommit närmare forskningsnivån. Insikter gror och växer sig djupa om de vattnas med tålmodigt arbete. Prova dig fram. Man får tycka att ämnet är konstigt. Forskare arbetar efter olika hypoteser, som ibland visar sig stämma, ibland visar sig vara fel. Det är samma sak för varje matematikstudent. Så är matematikämnet. Man ser inte i förväg vad som är det riktiga, man arbetar sig fram till det. Diskutera. Matematik är antagligen ett ämne där mycket vinns på verbalt utbyte. Traditionen är tvärtom: matematik är inte ett typiskt diskussionsämne. Detta problem är kanske språkligt. Matematiken har ett säreget språk, och även säregna, svårformulerade betydelser. Det gör att diskussioner kräver visst mod och acceptans för konstigt formulerade påståenden. Varje utbyte ökar detta utrymme något. Kort sagt: känn dig fri! När du väl har upptäckt just hur dina svårigheter ser ut har du kommit långt. Det är okej att vara dum då och då! Vi är alla korkade ibland, självklart, man kan inte vara människa annars. Det är bara ett tecken på att man försöker. Små barn har inget speciellt problem med att vara dumma, låt oss vara fria som dem. Bry dig om respekt för människor, strunta i den respekt för matematiken som hindrar dig från att prova, tänka och tolka. Titta på vad som står där, försök formulera vad du
9 tror och tycker, i matematiskt språk eller på svenska. Då kan du komma vidare. Så är matematisk verksamhet. Det som är viktigt är att slutresultatet är så felfritt som möjligt (Och, i andra hand, att man kommer dit så fort som möjligt.). Verksamheten syns inte, endast resultaten syns. Därför finns det missuppfattningar om matematikaktivieten. Matematik är obekvämt, men kan vara mycket spännande om man bara kommer igång med upptäckandet. Det bekväma är sällan spännande. Både studenter och lärare känner sig nöjda när matematikutbildningen verkligen fungerar. Om du är saklig, utgår från dig själv och ta din utbildning på allvar (dvs inte låter läraren slippa undan dina frågor) kommer vi någonstans. Det är din insats till en framgångsrik utbildning, förutom tid och energi. För detta måste vi ge oss in i djunglerna av matematiska kalkyler och betydelser. Låt diskussionerna handla mer om matematik ( Kan man integrera på detta sätt? ) än om organisation ( När är tentan?, Ingår det här kapitet?,...). Vi lärare har en hyfsad lön och anställningstrygghet. Låt oss visa vad vi kan. Det är något konstigt med matematiken. Om vi river bort det fula skalet som växt fram ur alla prestigelåsningar visar sig en stor, komplex, glimmande ädelsten. Den ligger och glimmar mitt i vår kultur, mitt i vår tillvaro. Lycka till!! författaren, Ramdala, juli -02