Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Cadet för gymnasiet för elever på kurs A Kängurutävlingen genomförs 9 mars. Om den dagen inte passar kan hela veckan 20 27 mars användas, däremot får uppgifterna inte användas tidigare. Se till att alla berörda lärare får del av denna lärarinformation. Kopiera nästa sida, uppgifterna och svarsblankett till alla elever. Om någon elev behöver större text går det bra att förstora vid kopieringen, figurerna är inte beroende av storlek. Läs igenom problemen själv i förväg så att eventuella oklarheter kan redas ut. Besök Känguru sidan på ncm.gu.se/kanguru där vi publicerar eventuella rättelser och ytterligare information. Eleverna behöver ha tillgång till papper att göra anteckningar på. Linjal och gradskiva behövs inte, inga uppgifter kan lösas genom mätning då figurerna inte är exakta. Miniräknare eller sax får inte användas. Tävlingen är individuell och eleverna får arbeta i 60 minuter. Avsikten är dock att klassen efteråt ska få arbeta vidare med problemen gemensamt. Detta är inte ett prov eller test på vad eleverna kan i relation till kursplanen. Eleverna ska alltså inte känna att detta är något de borde kunna, utan det ska istället väcka deras intresse och nyfikenhet. Problemen är valda som exempel på vad som kan vara bra och stimulerande att arbeta med. Eleverna kan lämna sina svar på svarsblanketten eller markera sina svar i direkt anslutning till problemen, om det passar bättre. Det finns fem svarsalternativ på varje uppgift, men de ska välja ett. Det är ibland en bra strategi att pröva de olika förslagen för att finna det rätta. Uppmuntra eleverna att tänka efter och att utesluta de svar som de säkert bedömer som felaktiga. Uppmana eleverna att läsa uppgifterna noga. Det finns inga luringar. Du får hjälpa elever med läsningen eller med språket, om de behöver det. Förbered eleverna på att de kanske inte kommer att hinna alla uppgifter. Om någon kör fast och inte vill fortsätta kan du kanske föreslå en uppgift längre fram som du tror att han eller hon kan roas av. Låt eleverna läsa igenom informationen på nästa sida innan de sätter igång. Efter tävlingen Meddela hur många elever som deltagit, gärna flera klasser samtidigt. Så snart du gjort detta, på ncm.gu.se/kanguru, får du rättningsmall och lösningar. Lycka till med årets Känguru! e-post: kanguru@ncm.gu.se, tel: 03-786 296, 03-786 2243, 03-786 6989, fax: 03-786 2200
Till alla elever Välkommen till Kängurun Matematikens hopp 2009 Här är årets Känguruproblem. Det är fler än 5 miljoner elever i omkring 40 länder som arbetar med Kängurun, så du är inte ensam om att fundera på samma problem. Varje deltagande land skickar in förslag på problem och vid ett möte där representanter för alla deltagande länder deltar väljer man sen ut de bästa. Det land som står efter problemet är det land som har bidragit med det. Vi hoppas att du ska tycka om årets problem även de du inte lyckas lösa vid första försöket. Kängurun består av 3 avdelningar med 8 problem i varje. Den första avdelningen tror vi ska vara den lättaste och i den sista avdelningen kommer de svåraste problemen. Det är svårt att hinna med alla problem och det är mycket svårt att få alla rätt. Kom därför ihåg att detta inte är ett prov. Tillsammans i klassen kan ni sen arbeta vidare med problemen. Till varje problem finns det fem svar att välja mellan. Bara ett av de svaren är riktigt. Du kan ibland lösa problemet genom att pröva de olika svarsalternativen. Du behöver papper att rita och anteckna på. Linjal och gradskiva behöver du inte. Sax och miniräknare får du inte använda. Fråga din lärare om det är något du undrar. Din lärare säger till när du ska börja. Lycka till med årets problem! 2
Avdelning, trepoängsproblem. Vilket är ett jämnt tal? A: 2009 B: 2 + 0 + 0 + 9 C: 200 9 D: 200 9 E: 200 + 9 Frankrike 2. Stjärnan i figuren har bildats av 2 identiska, liksidiga trianglar. Stjärnans omkrets är 36 cm. Hur stor är omkretsen av det mörka området? A: 6 cm B: 2 cm C: 8 cm D: 24 cm E: 30 cm Slovakien 3. Maja delar ut reklam på Storgatan. Hon delar ut i alla hus med udda nummer. Det första huset har nummer 5, det sista har nummer 53. I hur många hus delar Maja ut reklam? A:9 B: 20 C: 27 D: 38 E: 53 Nederländerna 4. Fyra pojkar och fyra flickor var på fest. Pojkarna dansade bara med flickor och flickorna dansade bara med pojkar. När vi efteråt frågade dem hur många olika personer de hade dansat med svarade pojkarna: 3,, 2, 2. Tre av flickorna svarade: 2, 2, 2. Vad svarade den fjärde flickan? A: 0 B: C: 2 D: 3 E: 4 Ungern 3
5. Hur stor del av den största kvadratens area utgör den lilla svarta kvadraten? A: 00 B: 300 C: 600 D: 900 E: 000 USA 6. I ett rum finns katter och hundar. Antalet katt-tassar är dubbelt så stort som antalet hundnosar. Då är antalet katter A: dubbelt så stort som antalet hundar B: hälften av antalet hundar C: lika med antalet hundar D: en fjärdedel av antalet hundar E: en sjättedel av antalet hundar 7. Vi ska märka rutorna med A, B, C och D. Grannar får inte ha samma markering. Även rutor med gemensamt hörn räknas som grannar. Några rutor är redan ifyllda. Vad ska det stå i den skuggade rutan? A: A B: B C: C D: D E: Det finns två olika svar som är möjliga. A B C D Ryssland Mexiko 4
8. Produkten av fyra olika positiva heltal är 00. Hur stor är summan? A: 0 B: 2 C: 5 D: 8 E: 20 Avdelning 2, fyrapoängsproblem 9. Vi startar i punkten P och rör oss längs kanten i pilens riktning. I hörnet vid kantens slut kan vi gå till höger eller till vänster. När vi når slutet på nästa kant kan vi återigen gå till höger eller vänster, och så vidare. Vi väljer att gå varannan gång till höger och varannan gång till vänster. Hur många kanter måste vi på detta vis passera innan vi för första gången kommer tillbaka till punkten P? P A: 2 B: 4 C: 6 D: 9 E: 2 Nederländerna 0. En hiss kan ta antingen 2 vuxna eller 20 barn. Hur många barn kan som mest åka i hissen tillsammans med 9 vuxna? A: 3 B: 4 C: 5 D: 6 E: 8 Ukraina. Ali har mätt alla de sex vinklarna i två trianglar en spetsvinklig triangel och en trubbvinklig. Han kommer ihåg fyra av vinklarna: 20, 80, 55 och 0. Hur stor är den minsta vinkeln i den spetsvinkliga triangeln? A: 5 B: 0 C: 45 D: 55 E: Det går inte att avgöra. Ryssland 2. Hur många positiva heltal finns det där talet i kvadrat har lika många siffror som talet i kubik? A: 0 B: 3 C: 4 D: 9 E: oändligt många 5
3. Talen 3 och 5 är utsatta på tallinjen. Var ska 4 placeras? 5 A B C D E 3 A B C D E Nederländerna 4. Befolkningen på Ön består av sanningssägare och lögnare. Sanningssägarna talar alltid sanning och lögnarna ljuger alltid. 25 män står i en kö. Alla, utom han som står först i kön, säger att mannen framför honom i kön är en lögnare. Mannen som står först i kön säger att alla män som står bakom honom är lögnare. Hur många lögnare är det i kön? A: Det går inte att avgöra. B: 0 C: 2 D: 3 E: 24 Ukraina 5. I figuren är QSR en rät linje. Vinkeln QPS är 2 och PQ=PS=RS. Hur stor är vinkeln QPR? P 2 Q S R A: 36 B: 42 C: 54 D: 60 E: 84 6: Hur många tiosiffriga tal finns det som endast består av siffrorna, 2 och 3 och där differensen mellan två närliggande siffror alltid är? A: 6 B: 32 C: 64 D: 80 E: 00 Ukraina 6
Avdelning 3, fempoängsproblem 7. Här ser du de tre första mönstren i en serie. Hur många kvadrater behöver man för att kunna bygga det tionde mönstret i serien, om man inte räknar med den skuggade delen? A: 76 B: 80 C: 84 D: 92 E: 00 Estland 8. Hur stor del av den yttre kvadraten är skuggad? A: 4 π B: 2 C: π +2 4 D: π 4 E: 3 9. Figuren visar en kropp skapad av 6 triangulära ytor. I varje hörn finns ett tal. För varje yta betraktar vi summan av de tre talen i ytans hörn. Alla sidoytor har samma summa och två av talen är och 5 (se fig). Vad blir summan av alla 5 talen? 5 A: 9 B: 2 C: 7 D: 8 E: 24 Mexiko 7
20. I likheten E I G H T F O U R = T W O står varje bokstav för en siffra. Ingen siffra kan motsvaras av mer än en bokstav. Hur många värden kan produkten T H R E E ha? A: B: 2 C: 3 D: 4 E: 5 Vitryssland 2. Romeo skrev en rad med flera olika positiva heltal. Alla talen var mindre än. Julia undersökte talen och upptäckte något intressant. I varje par av tal som stod intill varandra var det ena talet delbart med det andra. Hur många tal kan Romeo som mest ha skrivit? A: 6 B: 7 C: 8 D: 9 E: 0 Litauen 22. Figuren visar en regelbunden niosidig månghörning. Två av sidorna har förlängts till punkten X. Hur stor är den markerade vinkeln vid X? X A: 40 B: 45 C: 50 D: 55 E: 60 23. Vi vill dela upp en kvadrat i 2009 kvadrater, där sidornas längd ska vara ett helt antal cm. Vilken är den kortast möjliga längden på den ursprungliga kvadratens sida? A: 44 B: 45 C: 46 D: 503 E: Det är inte möjligt att dela upp kvadraten i 2009 kvadrater, där sidorna är ett helt antal cm Katalonien 8
24. Om man lägger en kvadrat som är 6 cm x 6 cm ovanpå en triangel kan man täcka upp till 60 % av triangeln. Om man i stället lägger triangeln ovanpå kvadraten kan man täcka upp till 2 av kvadraten. Hur stor area har triangeln? 3 A: 22 4 5 cm 2 B: 24 cm 2 C: 36 cm 2 D: 40 cm 2 E: 60 cm 2 Estland 9
Svarsblankett Markera ditt svar i rätt ruta Uppgift A B C D E Poäng 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 2 22 23 24 SUMMA Namn:... Klass:... 0