OS? p.1/15 Vad är KAOS? Mario Natiello Matematikcentrum (LTH) Lunds Universitet
Intro Innehåll
Innehåll Intro Dynamik
Innehåll Intro Dynamik Exempel 1: Svängningar
Innehåll Intro Dynamik Exempel 1: Svängningar Exempel 2: Planeternas rörelse
Innehåll Intro Dynamik Exempel 1: Svängningar Exempel 2: Planeternas rörelse Exempel 3: Vädret
Innehåll Intro Dynamik Exempel 1: Svängningar Exempel 2: Planeternas rörelse Exempel 3: Vädret Exempel 4: Den Logistiska avbildningen
Innehåll Intro Dynamik Exempel 1: Svängningar Exempel 2: Planeternas rörelse Exempel 3: Vädret Exempel 4: Den Logistiska avbildningen Vad är kaos?
OS? p.2/15 Innehåll Intro Dynamik Exempel 1: Svängningar Exempel 2: Planeternas rörelse Exempel 3: Vädret Exempel 4: Den Logistiska avbildningen Vad är kaos? END
Intro Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen)
Intro Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare.
Intro Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare. Pier-Paolo Passolini: Veckorubrik i tidskriften Tempo 1968-70.
Intro Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare. Pier-Paolo Passolini: Veckorubrik i tidskriften Tempo 1968-70. Kaosdalen inspirerat filmen Kaos (1984).
Intro Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare. Pier-Paolo Passolini: Veckorubrik i tidskriften Tempo 1968-70. Kaosdalen inspirerat filmen Kaos (1984). Wikipedia har många poster med rubriken chaos.
OS? p.3/15 Intro Friedrich Dürrenmatt: Durcheinandertal (förvirringsdalen eller kaosdalen) Avant-garde efterkrigs schweizisk författare. Pier-Paolo Passolini: Veckorubrik i tidskriften Tempo 1968-70. Kaosdalen inspirerat filmen Kaos (1984). Wikipedia har många poster med rubriken chaos. Tillbaka till Innehåll
Dynamik I Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den.
Dynamik I Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den. Differentialekvationer (exempel här) d 2 x dt 2 +ω2 x = 0
Dynamik I Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den. Differentialekvationer (exempel här) d 2 x dt 2 +ω2 x = 0 Differensekvationer (exempel här, applet från Andy Burbank) x n+1 =λx n (1 x n )
Dynamik I Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den. Differentialekvationer (exempel här) d 2 x dt 2 +ω2 x = 0 Differensekvationer (exempel här, applet från Andy Burbank) x n+1 =λx n (1 x n ) Startpunkt (begynnelsevillkor)
Dynamik I Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den. Differentialekvationer (exempel här) d 2 x dt 2 +ω2 x = 0 Differensekvationer (exempel här, applet från Andy Burbank) x n+1 =λx n (1 x n ) Startpunkt (begynnelsevillkor) Parametrar (ex:ω,λ)
OS? p.4/15 Dynamik I Dynamik studerar rörelse och vad som orsakar den. Differentialekvationer (exempel här) d 2 x dt 2 +ω2 x = 0 Differensekvationer (exempel här, applet från Andy Burbank) x n+1 =λx n (1 x n ) Startpunkt (begynnelsevillkor) Parametrar (ex:ω,λ) Tillbaka till Innehåll
Exempel 1: Svängningar Fullständigt regelbunden rörelse.
Exempel 1: Svängningar Fullständigt regelbunden rörelse. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 35
Exempel 1: Svängningar Fullständigt regelbunden rörelse. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 35 Frekvens (Fas)
Exempel 1: Svängningar Fullständigt regelbunden rörelse. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 35 Frekvens (Fas) Stryktåligt system men... kolla här
OS? p.5/15 Exempel 1: Svängningar Fullständigt regelbunden rörelse. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 35 Frekvens (Fas) Stryktåligt system men... kolla här Tillbaka till Innehåll
Exempel 2: Planeternas rörelse Ganska regelbundet
Exempel 2: Planeternas rörelse Ganska regelbundet
Exempel 2: Planeternas rörelse Ganska regelbundet Energi (Fas)
Exempel 2: Planeternas rörelse Ganska regelbundet Energi (Fas) Rörelsemängd (rotationstakten)
Exempel 2: Planeternas rörelse Ganska regelbundet Energi (Fas) Rörelsemängd (rotationstakten) Nästan lika stryktålig (jfr satellit & komet)
Exempel 2: Planeternas rörelse Ganska regelbundet Energi (Fas) Rörelsemängd (rotationstakten) Nästan lika stryktålig (jfr satellit & komet) OS? p.6/15 Tillbaka till Innehåll
Exempel 3: Vädret Ett tämligen komplicerat system
Exempel 3: Vädret Ett tämligen komplicerat system
Exempel 3: Vädret Ett tämligen komplicerat system Temperatur, vind, mm
Exempel 3: Vädret Ett tämligen komplicerat system Temperatur, vind, mm Ex: Lorenzekvationer
Exempel 3: Vädret Ett tämligen komplicerat system Temperatur, vind, mm Ex: Lorenzekvationer Mycket känsliga för små avvikelser
OS? p.7/15 Tillbaka till Innehåll Exempel 3: Vädret Ett tämligen komplicerat system Temperatur, vind, mm Ex: Lorenzekvationer Mycket känsliga för små avvikelser
Exempel 4: Logistiska Avbildningen Populariserad av Scientific American
Exempel 4: Logistiska Avbildningen Populariserad av Scientific American 1980-81 1 0.8 0.6 x 0.4 0.2 0 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 lambda
Exempel 4: Logistiska Avbildningen Populariserad av Scientific American 1980-81 1 0.8 0.6 x 0.4 0.2 0 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 lambda Utfall efter lång tid vs parameterλ
Exempel 4: Logistiska Avbildningen Populariserad av Scientific American 1980-81 1 0.8 0.6 x 0.4 0.2 0 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 lambda Utfall efter lång tid vs parameterλ Regelbundet för litenλ
Exempel 4: Logistiska Avbildningen Populariserad av Scientific American 1980-81 1 0.8 0.6 x 0.4 0.2 0 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 lambda Utfall efter lång tid vs parameterλ Regelbundet för litenλ Icke-regelbundet för störreλ
Exempel 4: Logistiska Avbildningen Populariserad av Scientific American 1980-81 1 0.8 0.6 x 0.4 0.2 0 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 lambda Utfall efter lång tid vs parameterλ Regelbundet för litenλ Icke-regelbundet för störreλ OS? p.8/15 Tillbaka till Innehåll
Vad är kaos Återkommande, ej regelbundet förlopp.
Vad är kaos Återkommande, ej regelbundet förlopp. Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer).
Vad är kaos Återkommande, ej regelbundet förlopp. Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer). Utgången kan inte förutsägas i det långa loppet.
Vad är kaos Återkommande, ej regelbundet förlopp. Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer). Utgången kan inte förutsägas i det långa loppet. Känslighet för ingångsdata (begynnelsevillkor).
Vad är kaos Återkommande, ej regelbundet förlopp. Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer). Utgången kan inte förutsägas i det långa loppet. Känslighet för ingångsdata (begynnelsevillkor). Notera: Kaos bör inte blandas ihop med slumpartade processer, vilka är förvirrande och oförutsägbara, men inte av samma skäl.
OS? p.9/15 Vad är kaos Återkommande, ej regelbundet förlopp. Förloppet styrs av välutformade regler (ekvationer). Utgången kan inte förutsägas i det långa loppet. Känslighet för ingångsdata (begynnelsevillkor). Notera: Kaos bör inte blandas ihop med slumpartade processer, vilka är förvirrande och oförutsägbara, men inte av samma skäl. Vidare
Varför studerar man kaos? Förstå när och varför det inträffar
Varför studerar man kaos? Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen
Varför studerar man kaos? Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen Läsa regelbundheterna inom komplicerade system
Varför studerar man kaos? Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen Läsa regelbundheterna inom komplicerade system Styra tillbaka ett förlopp till det regelbundna
Varför studerar man kaos? Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen Läsa regelbundheterna inom komplicerade system Styra tillbaka ett förlopp till det regelbundna Lära var gränserna för vår kunskap går
OS? p.10/15 Varför studerar man kaos? Förstå när och varför det inträffar Skilja åt kaos och slumpen Läsa regelbundheterna inom komplicerade system Styra tillbaka ett förlopp till det regelbundna Lära var gränserna för vår kunskap går Vidare
OS? p.11/15 Regelbundna Mönster: I Fraktaler Självlikformighet
OS? p.11/15 Regelbundna Mönster: I Fraktaler Självlikformighet
OS? p.11/15 Regelbundna Mönster: I Fraktaler Självlikformighet Inbyggd i systemet ( fingeravtryck )
OS? p.11/15 Regelbundna Mönster: I Fraktaler Självlikformighet Inbyggd i systemet ( fingeravtryck ) Användningsområde: Fractal Image Compression (utnyttjar Barnsleys collage theorem)).
OS? p.11/15 Regelbundna Mönster: I Fraktaler Självlikformighet Inbyggd i systemet ( fingeravtryck ) Användningsområde: Fractal Image Compression (utnyttjar Barnsleys collage theorem)). Ex: ormbunke, lönnblad, bildbibliotek (se www.math.okstate.edu/mathdept/dynamics/lecnotes/node46.html)
Regelbundna Mönster II Hur förenas kaos med reproducerbarhet?
Regelbundna Mönster II Hur förenas kaos med reproducerbarhet? Galileos & Poppers vetenskaplig paradigm.
Regelbundna Mönster II Hur förenas kaos med reproducerbarhet? Galileos & Poppers vetenskaplig paradigm. För 3-d system: Klassificering av periodiska lösningar
Regelbundna Mönster II Hur förenas kaos med reproducerbarhet? Galileos & Poppers vetenskaplig paradigm. För 3-d system: Klassificering av periodiska lösningar Kan användas till validering, kan skilja åt kaos/icke kaos, osv
OS? p.12/15 Regelbundna Mönster II Hur förenas kaos med reproducerbarhet? Galileos & Poppers vetenskaplig paradigm. För 3-d system: Klassificering av periodiska lösningar Kan användas till validering, kan skilja åt kaos/icke kaos, osv Tillbaka till huvudlinjen
OS? p.13/15 Underliggande periodiska mönster "a.txt" u 2:3 X_2 X_1-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1.2 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2-1.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-1.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 X_1 Kaotiskt Ej kaotisk Tillbaka ett steg
Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning
Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok
Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut
Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå
Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå En del drag kan fås med datorbilder
Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå En del drag kan fås med datorbilder Detaljer kräver avancerade beräkningar
Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå En del drag kan fås med datorbilder Detaljer kräver avancerade beräkningar Vad lär man sig av det hela?
Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå En del drag kan fås med datorbilder Detaljer kräver avancerade beräkningar Vad lär man sig av det hela? Problemen i naturen bestämmer sin egen gång. Vi kan inte styra de enbart efter vår vilja, utan samförstånd med problemens villkor.
OS? p.14/15 Hur studerar man kaos? Ekvationer utan elementär lösning Kvalitativa metoder (t ex jämföra periodiska lösningar), efter Poincaré. Se t ex denna bok Kunskap om lösningar som inte kan fås fullt ut Datorsimuleringar på spetsnivå En del drag kan fås med datorbilder Detaljer kräver avancerade beräkningar Vad lär man sig av det hela? Problemen i naturen bestämmer sin egen gång. Vi kan inte styra de enbart efter vår vilja, utan samförstånd med problemens villkor. Tillbaka till Innehåll
OS? p.15/15 TACK! Matematikcentrum Lunds Universitet