Reglerteknik 6 Kapitel Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln
Föreläsning 6 kap Reglersystemets egenskaper Stabilitet är den viktigaste egenskapen. Ett ostabilt system är oanvändbart.
Stabilitet är viktigast Regulatorn är den del av överföringsfunktionen man kan påverka. Med den kan man kompensera för brister i processens överföringsfunktion. Segway är i sig instabil, det är regulatorn som gör den till ett användbart fordon.
Stabilitet är viktigast Men även om processen är stabil, kan felaktiga regulatorinställningar resultera i ett ostabilt system! Kretsöverföring: G ( s) G ( s) G ( s) G ( s) K R P G (Open loop) G K (s)
Nyquistkriteriet för stabilitet (eg. Det förenklade Nyquistkriteriet) Man studerar det öppna systemet G K. Kommer en sinusformad störning att växa till en större kopia efter ett varv? G K (s) Harry Nyquist I så fall kommer den, i ett slutet system, att växa varv efter varv helt ostabilt! U
Nyquistkriteriet för stabilitet (eg. Det förenklade Nyquistkriteriet) Finns det något ω då insignal och utsignal till G K är i fas? G K ( jω) ϕk ( ω) 8 + ϕ K ω ) 8 ( π 36 dvs. i fas 8 ( kopia)! Har amplituden ökat något vid den frekvensen? G K ( jω) A ( ω) > K i så fall blir det slutna systemet instabilt! Detta ω kallas för ω π egensvängningsfrekvensen.
Nyquistkriteriet för stabilitet (eg. Det förenklade Nyquistkriteriet) ϕ 8 A K π ( ω ) ( ω ) < K π stabilt stabilt ωπ < ostabilt ωπ >
Stabilitetsmarginaler Hur stabilt är ett stabilt system? Om systemet slits, eller utsätts för extrema temperaturer så att överföringsfunktionen blir något förändrad kan det då bli instabilt? Man vill ha siffervärden på hur långt ifrån stabilitetsgränsen som systemet ligger. Amplitudmarginal A m AK ( ω π ) Fasmarginal Φ m 8 +ϕk ( ωc ) ω π : ϕk 8 ω C : A K Typiskt: A m 5 Φ m 3 6
Polbestämning för stabilitet Slutna systemets överföringsfunktion. s-planet. s σ + jω Ökande frekvens Ostabilt! Dämpning Förstärkning
Polbestämning för stabilitet En överföringsfunktion är stabil om nämnarpolynomet inte har rötter som ger poler i högra halvplanet.
Gyllene regeln
Ex. stabilt? G 5 + 6 5 + + s s G Y 5 5 5 6 5 5 6 5 5 6 5 5 + + + + + + + + + + + s s s s s s s s G G G G G TOT Quadratic Equation Solver X X Stabilt! Re Im
Routh-Hurwitz metod Man kan ta reda på om det finns det någon rot i högra halvplanet eller ej, utan att man behöver lösa hela nämnarpolynomet! Edward Routh s 3 + s + s + + + Början på Routhtabellen Adolf Hurwitz
Routh-Hurwitz metod s 3 + s + s + Fortsättningen på Routhtabellen,5,5
Routh-Hurwitz metod s 3 + s + s + Fortsättningen på Routhtabellen,5
Routh-Hurwitz metod s 3 + s + s + Fortsättningen på Routhtabellen,5,5,5
Routh-Hurwitz metod s 3 + s + s + Fortsättningen på Routhtabellen,5,5,5
Routh-Hurwitz metod s 3 + s + s + Routhtabellen är nu klar. 3+ rader för gradtal 3.,5 Alla i första kolumnen har positivt tecken Stabilt!
Routh-Hurwitz metod Ett annat nämnarpolynom: s s 3 + + s + 9 3,5 9 9 3,5 Nu kan man sluta att räkna. Minst en i första kolumnen är negativ (teckenbyte) ostabilt!
Routh-Hurwitz metod Routh s metod kan enkelt ge algebraiska vilkor för stabilitet. Hur stor förstärkning K kan integratorn maximalt ha? + G K s G 3 ( + s) G TOT G G + G G G TOT K 3 s ( + s) 3K 3K 3 K 3 + s( + s) + 3K s + s + s+ 3K s ( + s)
Routh-Hurwitz metod K s s s 3 3 + + + 3 3 3 K K K Vilkor för stabilitet: 3 3 > > K K 3 < < K Man får tydligen inte vrida upp integratorns förstärkning K över,66!
. Stabilitet Vilka processer är stabila? a ) y + y 6y x + x b) y + 6y 8y 3x c) y + y + y x + 4x d) y + 3y y + y u + 5u e) y + 7 y + y + 4y u + 3u f ) y + 3y + y + 6y u + 7u g h) ) s s s + s 6 + 3s + s + 4
e) y + 7y + Ys Routh s 3 3 + 7s + s + 7 4 + 7Ys 4. e lösning, Stabilitet y + 4y + Ys + 4Y 4 3 7 7 u + 3u Us 7 4 7 3 + 3U { L :} Inga teckenbyten, stabilt Y U s 3 s + 3s + 7s + s + 4 MATLAB» pole(tf([,3,],[,7,,4])) ans -6.939 -.35+.7586i -.35-.7586i poler i vhp, stabilt
s 3 3 + + 3 6 + s s 6. f lösning, Stabilitet f ) y + 3y + y + 6y u + 7u { L :} 3 Y Ys + 3Ys + Ys + 6Y Us + 7U U Routh 6 3 6 3 teckenbyte, ostabilt s 3 s + 7 + 3s + s + 6 MATLAB» pole(tf([,7],[,3,,6])) ans -3.583.9+.359i.9-.359i poler i hhp, ostabilt
g. g lösning, Stabilitet s + s ± + 6 ± s s 6 ) 4 5 poler i hhp, ostabilt MATLAB» pole(tf([,],[,-,-6])) ans 3 - pol i hhp, ostabilt
. h lösning, Stabilitet h) s + 3s + s + 4 s 4 pol i vhp, stabilt MATLAB» pole(tf([,3,],[,4])) ans -4 pol i vhp, stabilt
Statisk noggrannhet När systemet väl är stabilt försöker man också att uppfylla ytterligare prestandakrav. Statisk noggrannhet litet kvarvarande fel. R + Regulator G R V + Process + Y GP Kvarvarande fel? Börvärdesändringar Processtörningar
Statisk noggrannhet e e e V Gränsvärde vid stegformad börvärdesändring: Gränsvärde vid rampformad börvärdesändring: Gränsvärde vid stegformad processtörning: Bevis i appendix.
Kommer Du ihåg OP-följaren? OP-Förstärkning ggr
Om OP-förstärkning 5 ggr? Vi ändrar OPmodellen från AolK till Aol5. Nu är förstärkningen bara fem gånger!
Om OP-förstärkning 5 ggr?,666 5 e -,8333,666 e 6% fel! a + G + 5 lim s R GP,666
Operationsförstärkaren Operationsförstärkarens förstärkningskurva faller en dekad/dekad i Bodediagrammet. Trots att den har ggr förstärkning kan den därför stabilt motkopplas enda ned till förstärkningen ett. Frekvenskurvan faller brantare först vid lägre förstärkning än ett (under db). Vid tillverkningen har man lagt till en kondensator för att få denna effekt! Men till reglerteknikens processer kan man av stabilitetsskäl oftast bara använda låga förstärkningsvärden.
Ex. utan/med Integrerande regulator Processtörning. Proportionell regulator K e v lim s G + G P R a G P e V K P lim + Ts + K + Ts lim P s K s P + Ts + KK P K + K P K K P Litet kvarvarande fel e V kräver hög regulatorförstärkning K Risk för stabilitetsproblem.
Ex. utan/med Integrerande regulator Processtörning. Integrerande regulator /T s e v lim s G + G P R a G P K P lim + K PT s e Ts V lim s K s P + T s( + Ts) + K T s + Ts Inget kvarvarande fel! P K För att eliminera kvarstående fel efter en stegformad processstörning krävs en integrerande regulator. P
Fel vid börvärdesändring Börvärdesändring. Stegformad börvärdesändring. Här har det ingen betydelse var integreringen är placerad. För att eliminera kvarstående fel efter en stegformad börvärdesändring krävs att antingen regulatorn eller processen är integrerande. e om GR eller GP integrerande
Sammanfattning e e V R + Regulator V + Process + Y G G e R P För att eliminera en steg-börvärdesändring R krävs: G R eller G P är integrerande För att eliminera en steg-störning V krävs: G R är integrerande
Ex. Steg, ramp börvärde/störning G P s( + s) Börvärde: Störning: integrering ) GP integrering e s h h h ) ramp e lim lim s 3 s s ( + s ) + 3 3 s + s( s) + + s 3a s( + s) a a 3) steg ev lim lim s 3 s + s( + s) + 3a 3 s( + s)
Ex. steg, ramp börvärde/störning h a ) e ) e 3) ev 3 3 e h! e 3 e V a 3!
.4 Statisk noggrannhet R + K? ( + s )( + s) Y e,? Ställ in regulatorns förstärkning K så att e,.
.4 lösning % fel R + K? ( + s )( + s) Y e,? e lim s + G R G P lim s + K ( + s)( + s) K + K + K + <, <, +,K,K >,9 K > 9
Snabbhet Stigtidsmarkeringar på oscilloskopskärm Stigtid t r Stigtiden kan enkelt mätas med oscilloskop, de har ofta någon inbyggd mätfunktion för detta. För överföringsfunktioner som har höga gradtal är det dock besvärligt att beräkna vilket exakt värde stigtiden bör ha. Därför använder man tumregler när man värderar stigtidsmätningar.
Snabbhet, tumregel Kretsöverföringen, den öppna överföringsfunktionen, har överkorsningsfrekvensen ω C i Bodediagammet. ( Skärningen med A(ω) ) För ofta förekommande, normala, överföringsfunktioner använder man följande aproximativa tumregel: A A ω C ω t r,4 ω C
Avläsning av felen e e ur Bodediagrammet A( ω ) Ur kretsöverföringen (öppna systemet) e Typ Typ Lutning A A ω dekad/dekad ω e + A( ω ) e e ω
Sammanfattning av Bodediagrammet Typ Fel vid rampstörning e ω Stigtid vid börvärdessteg t r,4 ω C e e + A( ω ) Stabilitet Fasmarginal Stabilitet Amplitudmarginal
.7 Bodediagram A m? Φm? tr? e? e? R + G K (s) Y
.7 a Bodediagram
.7 a lösn Bodediagram Typ e integrator e,8 t r,5,4,8,75 A m,4,5 Φ 45 m
.7 b Bodediagram
.7 b lösn Bodediagram Typ e + 4 e, t r,4,5 A m,56,5 Φ m
.7 c Bodediagram
.7 c lösn Bodediagram Typ e integrator t r,4,7 e,8,5 A m,6 3,8 Φ 7 m
.7 d Bodediagram
.7 d lösn Bodediagram Typ e e + 3,5 t r,4,75 A m,6,6 Φ 7 m
Styrsignalstorlek? Hur stor blir styrsignalen U? Det är ingen mening med en matematiskt perfekt regulator som genererar orimliga styrsignaler under regleringen!
Styrsignalöverföringsfunktioner R P R G G G R U + R P R G G G W U + R P P R G G G G V U + R P R G G G V U + Styrsignalaktiviteten kan simuleras, eller studeras med Bodediagram.
Styrsignalöverföringsfunktioner För höga frekvenser är det vanligt att G P. Styr-signalerna beror då mest på regulatorns högfrekvensegenskaper: U R G U G R R + GPGR W + GPGR U V GR + G G P R lim ω G R + GPG ω R lim G R