Är svenska elever dåliga i algebra och geometri?

Är svenska elever dåliga i algebra och geometri? Lena Adolfsson I förra numret gavs en sammanfattande beskrivning av TIMSS-projektets studie av svenska 13-åringars kunskaper i matematik. I denna artikel fortsätter rapporteringen med en fördjupad analys av resultaten i algebra och geometri. Vad kan det bero på att svenska elever i årskurs 7 presterar sämre än elever i många andra länder inom dessa båda ämnesområden? TIMSS, världens största studie TIMSS, Third International Mathematics and Science Study, är världens hittills största komparativa studie inom utbildningsområdet och den tredje undersökningen som omfattar matematik och naturvetenskap inom IEA, International Project for the Evaluation of Educational Achievement. Ett syfte har varit att beskriva elevprestationer i matematik och naturvetenskap både nationellt och internationellt. TIMSS har varit fokuserad på tre åldersgrupper. Bakom den svenska studien står Skolverket. I den deltog två åldersgrupper, 13-åringarna (årskurs 6 och 7) samt eleverna i gymnasieskolans sista årskurs. Resultaten i matematik När resultaten för åldersgruppen 13-åringar presenterades i november 1996 gick rubrikerna i massmedia ut på att svenska elevers prestationer i matematik var medelmåttiga. Av de 25 länder som hade genomfört studien enligt de krav som den internationella ledningen för TIMSS formulerat placerade sig de svenska eleverna i årskurs 6 på 16:e plats. För åk 7 blev placeringen nummer 14. Bäst presterade Lena Adolfsson är forskningsassistent vid Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå universitet. Hon har tidigare arbetat som lärare på högstadiet och Komvux. Nämnaren nr 1, 1997 eleverna i de asiatiska länderna Singapore, Korea och Japan. De svenska elevernas resultat visade sig också vara lägre för vissa områden, algebra och geometri, och högre för andra, statstik och mätningar. I statistik och mätningar placerade sig eleverna på ungefär 10:e plats. 1 Betydligt sämre blev placeringen i algebra och geometri där de svenska eleverna kom på ca 20:e plats. 2 Studien av 13-åringarna I de flesta deltagande länder börjar eleverna skolan vid 6 års ålder till skillnad från Sverige där de börjar vid 7 års ålder. 3 Det innebär att de årskurser som innehåller flest 13-åringar i Sverige är årskurserna 6 och 7, men i de flesta andra länder årskurs 7 och 8. Mot den bakgrunden valde Sverige att också delta med ett antal klasser från årskurs 8 för att vi skulle kunna göra jämförelser mellan elever som gått lika många år i skolan. 1 I statistik för årskurs 6 plats 7 och för årskurs 7 plats 8. I mätningar för årskurs 6 plats 13 och årskurs 7 plats 10. 2 I geometri för årskurs 6 plats 20 och årskurs 7 plats 21. I algebra för årskurs 6 plats 23 och för årskurs 7 plats 20. 3 Även eleverna i Danmark, Norge och de tysktalande delarna av Schweiz börjar skolan vid 7 års ålder. 21

Uppgiftskategorier i TIMSS Det teoretiska kunskapsprovet bestod av 151 uppgifter i matematik. De flesta var flervalsuppgifter, men det fanns även öppna uppgifter. Samtliga uppgifter kodades efter ämnesmässigt innehåll. I TIMSS delades matematiken in i sex kategorier, dessa kommer fortsättningsvis att kallas TIMSS-kategorier. De fyra kategorier som beskrivs i artikeln presenteras nedan. Övriga kategorier är taluppfattning och proportionalitet. Algebra. Ekvationer, formler, linjära samband och olikheter samt serier och mönster. Geometri. Koordinatsystem, kongruens och likformighet, symmetriegenskaper samt vinklar. Mätningar. Omkrets och volym samt avrundning och avläsning av skalor. Flera av uppgifterna i kategorin skulle i Sverige klassificeras som geometri. Statistik. Tolkningar av tabeller och diagram, statistik samt sannolikhetslära. En nyanserad resultatbild För att kunna nyansera det första allmänna intrycket av resultatbilden skall jag försöka göra en fördjupad beskrivning av de svenska elevernas prestationer. Resultaten kommer att analyseras utifrån de kategorier där de svenska eleverna i årskurs 7 uppvisade ett lägre respektive högre resultat. Till skillnad från resultatredovisningen för TIMSS där jämförelsen gjordes mellan elever i samma åldersgrupp så tittar vi här på resultaten för elever som gått lika många år i skolan. Dessutom kommer resultaten för de olika länderna att relateras till stoff i läroböckerna i respektive land. Slutligen kommer en analys av svenska läroböcker i matematik för årskurs 6, 7, 8 och 9 att presenteras. Följande frågeställningar studeras: Hur ser resultatet ut när elever som gått lika många år i skolan jämförs med varandra? Hur kan resultatet tolkas utifrån en jämförelse med innehållet i olika länders läroböcker? Vilken tonvikt läggs i de svenska läroböckerna på olika moment i matematik för årskurserna 6, 7, 8 och 9 och hur kan detta kopplas ihop med resultatet från TIMSS? Syftet med att belysa de ovan presenterade frågeställningarna har varit att kunna visa en något annan bild av de svenska elevernas prestationer. Det finns givetvis många andra tolkningar av vilka faktorer som påverkar elevernas resultat. Algebra bättre i årskurs 8 I Skolverkets rapport 114 konstaterades att i ett nationellt perspektiv sker en tydlig resultatförbättring på det teoretiska kunskapsprovet i TIMSS för de svenska eleverna från årskurs 6 till 8 (Skolverket, 1996). Den största förbättringen sker från årskurs 6 till 7 i matematikämnet som helhet, men för vissa kategorier, algebra och geometri, är förbättringen störst från årskurs 7 till 8. I tabell 1 redovisas hur placeringen för de svenska eleverna förändras från årskurs 7 till 8 bland de 25 deltagande länderna i högre årskursen. Tabellen visar att det även i ett internationellt perspektiv sker en märkbar förbättring från årskurs 7 till 8 i både algebra och geometri. Resultaten förbättras även i mätningar och statistik. Där har de svenska eleverna i årskurs 8 resultat som är bland de bästa. För att ytterligare beskriva svenska elevers prestationer redovisas resultaten för ett antal utvalda länder. Länderna har valts utifrån två kriterier: dels att de har redovisningar när det gäller den analys av läroböcker som kommer att presenteras längre fram, dels att länderna kan tänkas vara intressanta utifrån ett svenskt perspektiv. 4 4 De nordiska länderna som har fullföljt studien, Norge och Island. USA och Ryssland som stora internationellt viktiga länder. Viktiga europeiska länder: Frankrike och Skottland. England har ej redovisat resultat från läroboksanalyser så därför har Skottland valts i stället. Skottland visar resultat i matematik som påminner mycket om Englands. De länder som presterar bäst i matematik, Singapore och Japan, ingår också. 22 Nämnaren nr 1, 1997

Tabell 1. Rangen för de svenska eleverna i årskurs 7 och årskurs 8 jämfört med årskurs 8 internationellt. Åk Algebra Geometri Mätn Statistik 7, Sv 22 21 10 8 8, Sv 10 13 6 4 Tabell 2. Ländernas rang i TIMSS-kategorierna algebra, geometri, mätningar och statistik. För samtliga länder utom Norge är de redovisade resultaten för åk 8, för Norge åk 7. LandAlgebra Geometri Mätn Statistik Singapore 1 2 1 1 Japan 2 1 2 2 Ryssland3 4 6 10 Sverige, 8 4 5 3 3 Frankrike 5 3 4 4 USA 6 10 10 8 Skottland7 6 8 7 Norge 8 7 7 6 Sverige, 7 9 9 5 5 Island10 8 9 9 Tabell 2 visar att årskurs 7 i Sverige har bättre resultat i mätningar och statistik än i algebra och geometri. Förbättringen för årskurs 8 är tydlig i algebra och geometri och placeringen är nu ungefär lika för de fyra kategorierna. De flesta övriga länder visar ingen större variation i placeringarna för de olika kategorierna förutom Ryssland som har en tydlig skillnad när det gäller resultatet i statistik. USA har ett högre resultat i algebra jämfört med de övriga kategorierna. I Ryssland är det geometri som gäller Hur kan då resultaten variera så för olika länder? En intressant jämförelse är att undersöka de vanligaste läroböckerna i de deltagande länderna. Jag utgår från grundantagandet att läroboksvolymen av ett visst moment också avspeglar den vikt momentet har i undervisningen i respektive årskurs och land. I TIMSS fick varje land i uppgift att koda innehållet i en lärobok. Kodningen gick till så att sammanhängande textstycken med likartat ämnesmässigt innehåll kodades efter de kategorier som tidigare beskrivits. I Sverige analyserades Matematikboken ABC, (Undvall m fl, 1992) för årskurs 7. Figur 1 visar resultat av analysen av läroböcker för årskurs 7 i Sverige och Norge och för årskurs 8 i de övriga länderna. Figuren visar hur den ämnesmässiga tyngdpunkten varierar mellan de olika länderna. Algebra är viktigt i Japan, Ryssland, Singapore och USA. I Sverige, Skottland och Frankrike utgör däremot algebra en mycket liten del av kursen. Geometri utgör en betydande del av kursen i Ryssland, Japan, Frankrike och Singapore. Av de utvalda länder är Sverige det land som har minst Frankrike Island Japan Norge Statistik Figur 1. Fördelning av TIMSS-kategorier i en lärobok i matematik i angivna länder. (Det totala innehållet kan överstiga 100 % eftersom ett stycke kan ha flera koder.) Ryssland Singapore Skottland Sverige USA 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 % Algebra Geometri Mätningar Nämnaren nr 1, 1997 23

av TIMSS-kategorin geometri. I Skottland, Sverige och Singapore är mätningar viktigt medan kategorin saknas i Ryssland och Japan. Statistik betonas i Sverige och i Island. I Ryssland och Singapore saknas däremot statistik helt i de analyserade läroböckerna. Analysen tyder på att i Sverige är statistik och mätningar viktiga kategorier, medan Ryssland saknar dessa. Deras lärobok domineras av algebra och geometri. Är de svenska resultaten i algebra och geometri förvånande? Att koppla analysen av läroböcker i TIMSS till de erhållna resultaten för de olika länderna måste naturligtvis göras med mycket stor försiktighet. En analys av läroböcker ger inte information om vilken roll läroboken har i undervisningen i olika länder. Dessutom beskrivs inte svårighetsnivån i böckerna. Men utifrån ovan redovisade reservationer kan ändå några intressanta iakttagelser göras. Analysen av läroboken för årskurs 7 i Sverige visar att algebra och geometri troligen utgör endast en liten del av undervisningen. Resultatet för de svenska eleverna i årskurs 7 är därför inte förvånande. Däremot betonas geometri och algebra betydligt mer i Norge och i Island, men de har ändå ett resultat som i stort är lika som det svenska och det är mer anmärkningsvärt. Ryssland förefaller ha ett resultat som stämmer väl överens med vad som betonas i läroboken; de presterar bra i algebra och geometri men betydligt sämre i statistik och mätningar. Länder som Frankrike, Singapore och Japan har ett högt resultat i samtliga kategorier. Gemensamt för dessa länder är att geometri och/eller algebra är viktiga men inte statistik. Kunskaper i framför allt algebra tillägnar sig eleverna troligtvis endast i matematikundervisningen, däremot kan det vara rimligt att anta att elever i länder där algebra betonas ändå kan tillgodogöra sig kategorier som mätningar och framförallt statistik. Dessa kategorier är inte av samma formellt matematiska karaktär som algebra och geometri och kunskaper kan därför fås även utanför ämnet matematik. I årskurs 9 betonas algebra Som ett komplement till den analys av läroböcker som genomfördes inom ramen för TIMSS har jag även studerat andra läroböcker enligt en alternativ metod. För en lärobok har sidantalet för varje TIMSS-kategori räknats ut och därefter har kategorins andel av bokens innehåll beräknats. En liknande analys av läroböcker i matematik redovisas också av exempelvis Anna Löthman (1995) i hennes avhandling. De böcker som jag valde ut var de vanligast förekommande läroböckerna för de klasser som deltog i TIMSS våren 1995, enligt uppgifter från de deltagande klassernas lärare. För årskurs 6 var den vanligaste läroboken Räkneresan (Skoogh m fl, 1988). I årskurs 7 och 8 var det Matematikboken ABC (Undvall m fl, 1991, 1992). Eftersom eleverna i årskurs 9 inte deltog i den svenska delen av TIMSS finns inte data för vilken lärobok som användes mest i den årskursen, men vi utgår från att bokvalet för de flesta är detsamma som för årskurs 7 och 8. Därför har även Matematikboken ABC (Undvall m fl, 1992) analyserats för årskurs 9. För årskurs 7 är den analyserade boken avsedd för både allmän och särskild kurs, för årskurserna 8 och 9 är det boken för särskild kurs i matematik som analyserats. I tabell 3 visas resultaten från analysen av läroböcker för årskurserna 6, 7, 8 och 9. Tabell 3 visar tydligt hur kategorin algebra blir allt viktigare i senare årskurser på högstadiet i svenska läroböcker. För årskurs 6 saknas i princip uppgifter i algebra och även för årskurs 7 utgör kategorin en liten andel av det totala innehållet i kursen. Värt att notera är att uppgifterna i TIMSSkategorin geometri inte utgör någon stor del av kursen varken för årskurs 6 eller högstadiet. Det som kallas geometri i svenska läroböcker hör oftast till TIMSS-kategorin mätningar. Statistik utgör en större andel i årskurs 6 jämfört med de övriga årskurserna. Det bör dock betonas att uppgifter som tillhör statistik och som innehåller tolkningar av diagram och tabeller även finns inom andra kategorier i matematik. Dessutom innehåller svenska läroböcker i andra ämnen också tolkningar av tabeller och diagram. 24 Nämnaren nr 1, 1997

Tabell 3. TIMSS-kategoriernas andelar i Räkneresan årskurs 6 samt Matematikboken årskurs 7-9 i procent. (Siffrorna stämmer inte med de i figur 1 eftersom de är kodade efter två skilda principer. Observera att siffrorna för årskurs 8 och 9 gäller för särskild kurs i matematik. I allmän kurs utgör momentet algebra en något mindre andel av kursen.) Årskurs Algebra Geometri Mätningar Statistik Övrigt 6 1 6 18 22 53 7 13 9 14 9 55 8 25 5 14 12 44 9 43 7 12 8 30 Svenska elevers resultat i linje med läroböckernas innehåll och Lgr 80 För att avslutningsvis knyta an till de frågeställningar som inledde artikeln så kan det konstateras att när resultaten jämförs mellan elever som gått lika många år i skolan blir resultatet för svenska elever i ett internationellt perspektiv betydligt bättre. Förbättringen är tydlig i de områden där vi var dåliga i årskurs 7, algebra och geometri. När analysen av läroböcker kopplas till resultatet stämmer bilden väl överens för de svenska eleverna i årskurs 7. Algebra och geometri utgör en liten del av kursen för årskurs 6 och 7 och resultatet kan därför sägas vara förväntat. En närmare beskrivning av svenska läroböcker för årskurs 6-9 visar hur algebra betonas i årskurs 9 och så gott som saknas i årskurs 6 vilket innebär att de flesta uppgifter i TIMSS-provet i algebra inte är relevanta för svenska elever i årskurs 6 och 7. (På UPPSLAGET s 26-29 presenteras några av uppgifterna.) För TIMSS-kategorin geometri är resultatförbättringen för årskurs 8 inte lika tydligt kopplad till betoningen av detta område i läroboken. Att eleverna trots detta presterar klart bättre jämfört med årskurs 7 kan troligtvis förklaras med att många uppgifter i kategorin kan lösas utan specifika kunskaper i geometri. Elevens allmänna kunskapsökning från en årskurs till en annan gör att förbättringen blir tydlig även för denna kategori. De svenska elever som deltog i TIMSS har under hela sin skolgång läst efter Lgr 80 där det betonades att eleven skulle utveckla sin förmåga att lösa vardagsproblem. I Lgr 80 beskrivs vilka kunskaper och färdigheter i algebra som en elev som gått i grundskolan ska ha: Lösning av enkla ekvationer främst genom att pröva och utgå från problem. Funktionsbegreppet introduceras genom praktiska experiment. Tolkning av enkla funktioner, avbildade i första kvadranten av ett koordinatsystem. Beräkning av funktionsvärden genom att sätta in dem i formler, knutna till vardagsliv eller till skolämnen. (s 105-106) Här framgår det att betoningen även i algebra ligger på det som har en verklighetsanknytning. Den mer formella behandlingen av algebra och ekvationer var inte något som alla elever som läst enligt Lgr 80 skulle behärska. Sammanfattning Sammanfattningsvis har avsikten i denna artikel varit att nyansera bilden av att svenska elever presterar dåligt i algebra och geometri. I TIMSS-redovisningen jämfördes elever i samma åldersgrupp. Resultatbilden visade då att svenska elever presterade dåligt i algebra och geometri. Här jämfördes elever som gått lika många år i skolan och dessutom har en jämförelse av läroböcker gjorts. Bilden av resultatet blir då en annan. De svenska elevernas resultat kan till viss del sägas vara förväntade eftersom algebra och ekvationer betonas i senare årskurser i svenska grundskolan. Om svenska elever har bättre kunskaper och kommit ikapp elever i andra länder i exempelvis algebra och ekvationer kan resultaten från den del av TIMSS som gäller gymnasieeleverna ge besked om. I början av 1998 presenteras dessa data och då kan vi få ytterligare kunskap om svenska elevers prestationer i matematik i ett internationellt perspektiv. Nämnaren nr 1, 1997 25

Varför komparativa studier? Internationella studier som TIMSS insamlar en mycket omfattande datamängd från många länder. En poäng med omfattande internationella studier är, för att citera Husén (1973), att vi kan göra en kartläggning av faktorer som förklarar skillnader i skolresultat mellan nationella skolsystem samt mellan skolor och elever inom dessa system. (s 9) Den här typen av undersökningar ger oss alltså möjlighet att se på vårt skolsystem med delvis nya ögon. Intressanta jämförelser av resultaten kan göras mot bakgrund av information om olika länders lärooch kursplaner samt elevers, lärares och skolledares attityder. Förhoppningsvis kan resultatet från TIMSS leda till en konstruktiv och värdefull diskussion kring undervisning i matematik och naturvetenskap. Referenser Beaton, A. (1996). Mathematics Achievement in the Middle School Years: IEA s Third International Mathematics and Science Study (TIMSS). TIMSS International Study Center: Chestnut Hill, MA, USA. Howson, G. (1995). Mathematics Textbooks: A Comparative Study of Grade 8 Texts. TIMSS Monograph No. 3. Vancouver: Pacific Educational Press. Husén, T. (1973). Svensk skola i internationell belysning 1, Naturorienterande ämnen. Uppsala: Almquist & Wiksell. Löthman, A. (1995). Om matematikundervisning innehåll, innebörd och tillämpning. Uppsala: Acta Universitatis Upsaliensis. Robitaille, D. F. (Ed.). (1993). Curriculum Frameworks for Mathematics and Science. TIMSS Monograph No. 1. Vancouver: Pacific Educationl Press. Skoogh, L. m fl (1988). Räkneresan E. Uppsala: Almqvist & Wiksell. Skoogh, L. m fl (1988). Räkneresan F. Uppsala: Almqvist & Wiksell. Skolverket (1996). Svenska 13-åringars kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Skolverkets rapport 114. Stockholm: Liber Distribution. Skolöverstyrelsen (1980). Lgr 80, Läroplan för grundskolan. Allmän del. Stockholm: Liber Utbildningsförlaget. Undvall, L. m fl (1991). Matematikboken för högstadiet. 7 ABC. Falköping: Almqvist & Wiksell. Undvall, L. m fl (1992). Matematikboken för högstadiet. 8 ABC särskild kurs. Falköping: Almqvist & Wiksell. Undvall, L. m fl (1992). Matematikboken för högstadiet. 9 ABC särskild kurs. Falköping: Almqvist & Wiksell. Kommentar till UPPSLAGET Nämnarenredaktionen har i samverkan med Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå universitet, gjort ett urval av uppgifter som ingått i TIMSS. De har tidigare getts till ett slumpmässigt urval av elever i åk 6, 7 och 8 i Sverige. De presenteras nu som kopieringsunderlag på följande sidor för att ge alla intresserade lärare möjlighet att pröva i egna klasser. I nästa nummer kommer vi att kommentera urvalet och diskutera svenska resultat på uppgifterna jämfört med resultaten i andra länder. Bengt Johansson & Ronnie Ryding De svar som bedömts som korrekta ges i tabellen härintill. Uppgift Svar som accepterats V1 Tal i intervallet 165 X < 175 U1 15 eller 16 min V3 D T2 a) 180 b)1/3 eller ekvivalent uttryck Q8 B I7 A K9 D Q1 E P15 B J12 6/7 eller ekvivalent uttryck J16 A L16 7 Samtliga offentliga provuppgifter som gavs i studien av 13-åringarna finns utgivna i bokform. Rapporten innehåller också svarsfrekvenser (%) uppdelade på kön för Sverige för åk 6, 7 och 8 och internationellt: Skolverket (1996). Provuppgifter. TIMSS. Stockholm: Liber Distribution. (Beställningsnummer 96:258). 26 Nämnaren nr 1, 1997