Kurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson

Kurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson Lektion 1 En separabel differentialekvation är en som kan skrivas på formen f(x)dx = g(y)dy. Lösningar på implicit form fås genom direkt integration: f(x)dx = g(y)dy. Ofta måste man dividera med okända funktioner. Glöm ej bort lösningar som förloras vid division med noll. En linjär differentialekvation av 1:a ordningen är en som kan skrivas y + f(x)y = g(x). Den kan göras exakt, dvs direkt integrerbar, genom multiplikation med den integrerande faktorn e F (x), där F (x) = f(x). Lektion 2 Ibland kan en differentialekvation återföras till en känd typ med hjälp av en substitution (variabeltransformation) av den beroende eller oberoende variabeln. Exempel på sådana fall är 1) homogena ekvationer, dvs. ekvationer av typ y = f(y/x), som blir separabla med u = y/x som ny beroende variabel (i stället för y), samt 2) Bernoullis ekvation y + f(x)y = g(x)y a, som blir linjär i den nya beroende variabeln u = y 1 a. a 1; om a = 1 är ekvationen linjär redan från början). (Här antas Lektion 3 1

2 Existens och entydighet för lösningar till första ordningens differentialekvationer: antag att en differentialekvation kan skrivas på normalform F (x, y, y ) = 0 y = f(x, y). Om då funktionen f(x, y) och dess förstaderivata f/ y är kontinuerliga i ett område D av xy-planet så passerar precis en lösningskurva y = y(x) genom varje punkt i D. - Lektion 4 Vid lösandet av benämnda uppgifter är det viktigt att kontrollera att de uppnådda resultaten är rimliga i sammanhanget ifråga. Lektion 5 En linjär differentialekvation av ordning n är en ekvation som kan skrivas på formen a n (x)y (n) + a n 1 (x)y n 1 + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x). Ofta används det mera kortfattade skrivsättet L(D)y = g, där D = d. Lineariteten innebär att operatorn L(D) bevarar linjärkombinationer: L(D)(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 L(D)y 1 + c 2 L(D)y 2 (c j konstan- dx ter, y j funktioner). Om koefficienterna a j (x) och högerledet g(x) är kontinuerliga på ett intervall I och a n (x) är skild från noll där, så har den allmänna lösningen strukturen y(x) = y H (x) + y P (x) = c 1 y 1 (x) + + c n y n (x) + y P (x). Här är y H är den allmänna homogena lösningen (dvs. allmänna lösningen till L(D)y = 0), y P en partikulär lösning (dvs en lösning, vilken som helst, till L(D)y = g) och samtliga funktioner är definierade på hela I. Funktionerna y 1,, y n utgör en fundamental lösningsmängd (bas för lösningarna) till den homogena ekvationen. Speciellt är de linjärt oberoende, dvs. ingen av dem kan uttryckas som en linjärkombination av de övriga.

3 Givet x 0 I och värden y 0,, y n 1 så kan konstanterna c 1, c n bestämmas entydigt, via lösandet av ett linjärt ekvationssystem, så att lösningen uppfyller begynnelsevillkoret y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1. Determinanten för matrisen till ekvationssystemet i fråga är den s.k. Wronskideterminanten W (y 1,, y n )(x 0 ) för funktionerna y 1,, y n i punkten x 0. För Wronskideterminanten till en godtycklig uppsättning av n stycken homogena lösningar gäller att den antingen är lika med noll på hela intervallet I, eller också aldrig noll (på I), och det senare inträffar om och endast om lösningarna är linjärt oberoende och därmed utgör en fundamental lösningsmängd. Lektion 6 För en linjär ekvation L(D)y = g med konstanta koefficienter erhålls en fundamental lösningsmängd till motsvarande homogena ekvation genom lösning av den karakteristiska ekvationen L(r) = 0. För varje rot r till denna fås en baslösning e rx. Om r råkar vara vara en multipel rot, av multiplicitet m, så genererar den m baslösningar, nämligen e rx, xe rx,...,x m 1 e rx. Ovanstående gäller även i fallet ickereella karakteristiska rötter, varvid lösningarna skrivs på reell form med hjälp av relationen e (α+iβ)x = e αx (cos βx + i sin βx). Om högerledet g är en kombination av exponentialfunktioner och polynom, så finns normalt en partikulärlösning av samma typ, som erhålls genom ansats: för en term i g(x) ansätts e αx (A cos βx + B sin βx) (C 0 + C 1 x + + C n x n ) e αx (a cos βx + b sin βx) (c 0 + c 1 x + + c n x n ), där a, b, c 1,...,c n ska bestämmas. (Om en av A och B är lika med noll så måste ändå både a och b vara med i ansatsen.)

4 Det kan inträffa att ansatsen ovan misslyckas, nämligen om α + iβ råkar vara en karakteristisk rot ( resonans ). Då ändras ansatsen till x m e αx (a cos βx + b sin βx) (c 0 + c 1 x + + c n x n ), där m är multipliciteten för roten. - Lektion 7 Andra metoder för bestämning av partikularlösning till en linjär ekvation L(D)y = g är 1) Reduktion av ordning: Antag att en homogen lösning y 1 är känd. Då leder ansatsen y = uy 1 (för den fullständiga ekvationen) till en linjär differentialekvation för u som innehåller u:s derivator men inte u själv. Alltså kan v = u införas som ny beroende variabel, varvid ekvationens ordning reduceras med en enhet. En 2:a ordningens linjär differentialekvation kan därmed lösas fullständigt om man känner en homogen lösning. 2) Variation av parametrar. Om hela den homogena lösningen y H (x) = c 1 y 1 (x) +... + c n y n (x) är känd så ansätts för den inhomogena ekvationen y(x) = u 1 (x)y 1 (x) +... + u n (x)y n (x), där u 1,...,u n är de tidigare konstanterna, som nu tillåts variera. Om man kräver att de ska vara så konstanta som möjligt, i meningen att u 1(x)y 1 (x) +... + u n(x)y n (x) = 0, u 1(x)y 1(x) +... + u n(x)y n(x) = 0,... u 1(x)y (n 2) 1 (x) +... + u n(x)y (n 2) n (x) = 0, så fås ett linjärt ekvationssystem i u 1,...,u n, som kan lösas rutinmässigt, varefter u 1,...,u n, och därmed y, fås efter integration. Jämför motsvarande metod för system, lektion 19. 3) Laplacetransformering, se nedan. Lektion 8-9

Laplacetransformen för en funktion f(t) definierad för t 0 (t är typiskt en tidsvariabel) är funktionen L(f(t))(s) = F (s) = 0 f(t)e st dt. Den definierad på ett intervall av typen s > c, där c är ett tal som beror på f. Laplacetransformens viktigaste egenskap är att den omvandlar operationen derivation med avseende på t till den mycket enklare operationen multiplikation med s (väsentligen), nämligen L(f (t)) = sf (s) f(0), där F = L(f). Denna egenskap gör att linjära differentialekvationer (med konstanta koefficienter) omvandlas till algebraiska ekvationer då de Laplacetransformeras, och därigenom blir lätta att lösa på transformsidan. Motsvarande gäller för vissa typer av integralekvationer. Återtransformering L 1 till ursprungssidan kan vara besvärlig (underlättas av god tabell), men är alltid möjlig i princip på grund av en entydighetssats: Om L(f) = L(g) så gäller f = g (utom möjligen på en nollmängd ). Några andra viktiga allmänna egenskaper hos Laplacetransformen är att den omvandlar translation (t t a) till multiplikation med en exponentialfaktor, och omvänt: L(f(t a)h(t a)) = e as F (s) om a > 0, L(e at f(t)) = F (s + a). Här är H Heaviside s språngfunktion ( unit step function ): H(t) = 0 för t < 0, H(t) = 1 för t 0.) Lektion 10 Laplacetransformen är en linjär transformation, dvs den bevarar linjärkombinationer av funktioner: L(af(t) + bg(t)) = al(f(t)) + bl(g(t)) om a, b är konstanter. Däremot bevarar den inte multiplikation mellan funktioner. Multiplikation på tranformsidan svarar mot faltning på ursprungssidan: L(f g) = L(f) L(g), där (f g)(t) = 0 f(τ)g(t τ)dτ. 5

6 Den multiplikativa enheten på transformsidan, nämligen funktionen F (s) = 1, svarar mot Diracs deltafunktion δ(t) på ursprungssidan: L(δ) = 1. Det följer att δ(t) är enhet med avseende på faltning: f = f δ = δ f. Lektion 11 En funktion f(t) som är periodisk, med period T > 0 (dvs f(t) = f(t + T ) för alla t), kan utvecklas i en Fourierserie, f(t) = a 0 2 + (a n cos nωt + b n sin nωt), n=1 där Ω = 2π/T är vinkelfrekvensen och där Fourierkoefficienterna a n, b n ges av a n = 2 T c+t c c+t f(t) cos nωt dt (n 0), b n = 2 f(t) sin nωt dt (n 1) T c för godtyckligt c. Om f är styckvis kontinuerligt deriverbar så konvergerar partialsummorna i Fourierserien mot f(t) i varje punkt t i vilken f är kontinuerlig, och mot (f(t+) + f(t ))/2, dvs. medelvärdet av höger- och vänstergränsvärdena, om t är en diskontinuitetspunkt. Fourierserierepresentationen ovan gäller också om f bara är definierad på ett intervall (c, c+t ) av längd T, ty f kan då alltid utvidgas till en T - periodisk funktion på hela reella linjen. Observera dock att punkterna c, c+t osv. blir diskontinuitetspunkter för den periodiska utvidgningen om f(c) f(c + T ). Lektion 12 Om en funktion f(t) är definierad på ett intervall (0, T ) så finns det tre naturliga Fourierserierrepresentationer av f, nämligen de som svarar mot följande periodiska utvidgningar av f till hela reella linjen: 1) Direkt utvidgning till T -periodisk funktion (se Lektion 11). 2) Utvidgning först till en jämn funktion på intervallet ( T, T ), därefter utvidgning av denna som 2T -periodisk funktion.

3) Utvidgning först till en udda funktion på intervallet ( T, T ), därefter utvidgning av denna som 2T -periodisk funktion. Metod 2) ger cosinusserien för f: där f(t) = a 0 2 + a n cos nπt T, T a n = 2 T 0 Metod 3) ger sinusserien för f: f(t) = där b n = 2 T T 0 n=1 n=1 f(t) cos nπt T b n sin nπt T, f(t) sin nπt T dt. dt. - Lektion 13 Typiska rand/begynnelsevärdesproblem för partiella differentialekvationer i rektangulära områden är Värmeledningsekvationen: u t = k 2 u x 2 för 0 < x < L, t > 0, BV : u given för t = 0, RV : u given för x = 0, x = L. 7 Vågekvationen: 2 u t 2 = c2 2 u x 2 för 0 < x < L, t > 0, BV : u och u givna för t = 0, t RV : u given för x = 0, x = L. Laplace ekvation: 2 u x + 2 u = 0 2 y2 för 0 < x < a, 0 < y < b,

8 RV : u given på hela randen. I randvillkoren ovan kan, istället för u, dess normalderivata u n vara given på en del av randen. - Lektion 14-15 Variabelseparationsmetoden för lösning av rand/begynnelsevärdesproblem som ovan (Lektion 13): Man söker först funktioner på formen u(x, t) = X(x)T (t) (u(x, y) = X(x)Y (y) i fallet Laplace ekvation) som löser differentialekvationen samt uppfyller de homogena rand/begynnelsevillkoren (dvs. de villkor som är på formen att u eller någon derivata av u är lika med noll). Differentialekvationen själv ger upphov till likheter av typen (vi tar värmeledningsekvationen som exempel) X (x) X(x) = T (t) kt (t) = konstant = c, och de homogena rand/begynnelsevillkoren tillåter vanligtvis sedan icke-triviala lösningar till denna ekvation endast för vissa speciella värden på c, säg c 1, c 2,... (en sorts egenvärden). Om X n (x), T n (t) är tillhörande lösningar (bestämda upp till konstanta faktorer) så är, utöver u n (x, t) = X n (x)t n (t), även alla linjärkombinationer u(x, t) = a n X n (x)t n (t) n=0 lösningar till differentialekvationen och de homogena rand/begynnelsevillkoren. Slutligen anpassas koefficienterna a n i denna utveckling så att övriga rand/begynnelsevillkor blir uppfyllda. Detta brukar leda till att a n ska identifieras med lämpliga Fourierkoefficienter för rand/begynnelsefunktionerna. Lektion 16

Ett linjärt system av 1:a ordningens differentialekvationer skrivs med fördel på matrisform X (t) = A(t)X(t) + F (t), där A(t) är en matris och X(t), F (t) kolonnvektorer, som alla är funktioner av den oberoende variabeln t. Om A(t) och F (t) har storlek n n respektive n 1 och är kontinuerliga på ett intervall I så finns, givet t I 0 och en startvektor X 0, precis en lösning X(t) (storlek n 1) som löser systemet på intervallet I och som uppfyller begynnelsevillkoret X(t 0 ) = X 0. Den allmänna lösningen till systemet utan begynnelsevillkor har strukturen X(t) = X H (t) + X P (t) = c 1 X(t) 1 +... + c n X n (t) + X P (t), där X 1 (t),..., X n (t) är linjärt oberoende lösningar till motsvarande homogena problem (dvs det med F = 0). En lösningsfamilj X 1 (t),..., X n (t) som ovan kallas fundamental lösningsmängd, och matrisen Φ(t) med dem som kolonner fundamentalmatris (för systemet X = AX). Determinanten W (t) = det Φ(t) kallas Wronskideterminanten. Om X 1 (t),..., X n (t) är homogena lösningar vilka som helst så gäller att de är linjärt oberoende (eller en fundamental lösningsmängd) om och endast om motsvarande Wronskideterminant är skild från noll (i en punkt eller, vilket blir samma sak, i alla punkter). - Lektion 17-18 Ett homogent linjärt system med konstanta koefficienter X (t) = AX(t) löses via ansatsen X(t) = Ke λt, där K är en konstant vektor skild från noll och λ ett reellt eller komplext tal. Insättning av ansatsen ger att X(t) är en lösning om och endast om AK = λk, dvs λ är ett egenvärde till matrisen A och K en tillhörande egenvektor. Egenvärdena fås direkt ur karakteristiska ekvationen det(a λi) = 0 (I är enhetsmatrisen), och tillhörande K fås sedan ur AK = λk. 9

10 Olika egenvärden λ ger linjärt oberoende lösningar X(t), så om A har n stycken skilda reella egenvärden λ 1,..., λ n så blir den fullständiga lösningen till differentialekvationen X(t) = c 1 e λ 1t K 1 +... + c n e λnt K n. Följande komplikationer kan dock inträffa: 1) Det förekommer icke-reella egenvärden. Detta förändrar ingenting i princip, men lösningen måste skrivas på reell form (A antas reell). Om λ = α +iβ är ett icke-reellt egenvärde och K = B 1 +ib 2 en tillhörande egenvektor så är real- och imaginärdelarna Re(e λt K) = [B 1 cos βt B 2 sin βt]e αt, Im(e λt K) = [B 1 sin βt + B 2 cos βt]e αt, var för sig lösningar (observera att vi i själva verket har två egenvärden, α ± iβ). 2) Karakteristiska ekvationen har multipla rötter. Om λ exempelvis är dubbelrot till KE så producerar den ändå två baslösningar, så här: Fall 2a) Det finns två linjärt oberoende egenvektorer, K 1 och K 2, till λ. Då blir baslösningarna K 1 e λt, K 2 e λt. Fall 2b) Det finns endast en egenvektor, K, till λ. I så fall finns också en s.k. generaliserad egenvektor, P, definierad genom ekvationen (A λi)p = K. De två baslösningarna hörande till λ blir nu Ke λt, (Kt + P )e λt. Lektion 19 Om X 1,..., X n är en fundamental lösningsmängd till ett linjärt system X = AX så kan den allmänna lösningen X(t) = c 1 X 1 (t) +... + c n X n (t) skrivas på matrisform som X(t) = Φ(t)C. Här är C är kolonnvektorn med konstanterna c 1,..., c n som komponenter och Φ(t) är matrisen med vektorerna X 1 (t),...x n (t) som kolonner. En sådan matris Φ(t) kallas fundamentalmatris till systemet. Den är alltid icke-singulär och uppfyller Φ (t) = AΦ(t).

Metoden variation av parametrar för lösning av det inhomogena problemet X = AX + F (F = F (t)) innebär att man gör ansatsen X(t) = Φ(t)U(t), där vektorn U(t) ska bestämmas. Detta leder till U(t) = Φ 1 F (t) dt+ C, dvs X(t) = Φ(t)( Φ(t) 1 F (t) dt + C). Även Laplacetransformering är en mycket användbar metod för att lösa system X = AX + F, särskilt om begynnelsevektorn X(0) är given. Lektion 20-21 Här studeras autonoma dynamiska system X (t) = g(x(t)), där g är en (i allmänhet icke-linjär) funktion g : R n R n. Rummet R n kallas i detta sammanhang fasrummet och g uppfattas lämpligen som ett vektorfält. Lösningar X(t) till systemet blir tidsparametriserade kurvor i fasrummet, som kallas fastrajektorier (eller faskurvor, eller banor helt enkelt). Om g är kontinuerligt deriverbar (antas alltid) så passerar exakt en fastrajektoria genom varje punkt i fasrummet, enligt en högredimensionell motsvarighet till existens- och entydighetssatsen i Lektion 3. Lösningarna kan delas in i 1) jämviktslösningar, dvs konstantlösningar: X(t) = X 0 för alla t och något X 0 R n. Punkten X 0 kallas då jämviktspunkt, eller kritisk punkt. 2) periodiska lösningar, dvs icke-jämviktslösningar sådana att det finns en periodtid T > 0 så att X(t + T ) = X(t) för alla (ekvivalent: något) t. 3) Övriga lösningar, dvs lösningar som aldrig kommer tillbaka till samma punkt. Omedelbart inses att X 0 R n är en kritisk punkt om och endast om g(x 0 ) = 0. 11

12 En kritisk punkt X 0 kallas stabil om varje trajektoria som kommer tillräckligt nära X 0 stannar kvar i närheten av X 0 i evighet. I annat fall är den instabil. Om X 0 är stabil och dessutom varje trajektoria X(t) som kommer tillräckligt nära X 0 verkligen sugs in i X 0 (dvs X(t) X 0 då t ) så kallas X 0 asymptotiskt stabil. För linjära system, dvs då g(x) = AX för någon matris A, är origo alltid en kritisk punkt. Om det A 0 så är origo den enda kritiska punkten. Linjära system av dimension n = 2 och med det A 0 kan klassificeras enligt följande, i termer av egenvärdena λ 1, λ 2 till A, eller alternativt i termer av A:s determinant och spår τ (summan av diagonalelementen). Sambanden är λ 2 τλ + = 0, λ = (τ ± τ 2 4 )/2, = λ 1 λ 2, τ = λ 1 + λ 2. Stabilitet: Origo är asymptotiskt stabil om båda egenvärdena har strängt negativa realdelar, instabil om någon av realdelarna är strängt positivt. Typ av kritisk punkt: Fall 1. Reella skilda egenvärden, ekvivalent τ 2 4 > 0 : Om egenvärdena har samma tecken så är origo en nod Om egenvärdena har olika tecken så är origo en sadelpunkt. Fall 2. Två lika reella egenvärden, ekvivalent τ 2 4 = 0 : Origo är en degenererad nod. Om det finns två linjärt oberoende egenvektorer så är fasporträttet rotationssymmetriskt, och man kallar också origo för en stjärna. Fall 3. Komplexa egenvärden, dvs τ 2 4 < 0 : Egenvärdena bildar ett komplexkonjugerat par. Om de ligger på imaginäraxeln så är origo ett centrum, som är en stabil, men icke asymptotiskt stabil, kritisk punkt. Om de ej ligger på imaginäraxeln så är origo en spiralpunkt. Ett icke-linjärt system kan approximeras med linjära system i närheten av varje given punkt i fasrummet. Den linjära approximationen vid en kritiskt punkt ger vanligtvis en god bild av fasporträttet även för det icke-linjära systemet. Låt X 0 vara en kritisk punkt till X = g(x) och låt A = g (X 0 ) vara Jacobimatrisen till g(x) i X 0. Då är den linjära approximationen till systemet vid X 0 helt enkelt Y (t) = AY (t),

där Y är den lokala variabeln Y = X X 0. Alltså undersöks typ och stabilitet med hjälp av A som ovan. 13 SLUT