Least Squares Monte Carlo-metoden & korgoptioner

Least Squares Monte Carlo-metoden & korgoptioner - En kvantitativ studie Måns Sandin Handledare: Markus Ådahl Masterexamen, 30 hp Civilingenjörsprogrammet i industriell ekonomi Institutionen för matematik och matematisk statistik VT-2019

Sammanfattning Inom bank och försäkringsbranschen finns behov av framtidsprognoser och riskmått kopplade till finansiella instrument. För att skapa prisfördelningar, som kan användas som grund till olika riskmått, används ibland nästlad simulering. För att göra detta simuleras först en stor mängd yttre scenarion för någon tillgång, som används i ett finanisellt instrument. Vilket görs genom att priser simuleras över en tidsperiod. Detta utgör tidshorisonten varvid prisfördelningen befinner sig. Utifrån varje yttre scenario simuleras sedan ett antal inre. Som i sin tur används för att prissätta finansiella instrumentet i det yttre scenariot. En metod som används för att prisätta de yttre scenariona är Monte Carlo-metoden, vilket kräver ett stort antal inre scenarion för att prissättningen ska bli korrekt. Detta gör metoden krävande i tidsåtgång och datorkraft. Least Squares Monte Carlo-metoden är en alternativ metod som använder sig av regression och minstakvadratmetoden för att utföra prissättningen med ett mindre antal inre scenarion. En regressionsfunktion anpassas efter yttre scenarionas värden och används sedan för att omvärdera dessa, vilket minskar felen som ett mindre antal slumptal annars skulle ge. Regressionsfunktionen kan även användas för att prissätta värden utanför de som den anpassas efter, vilket gör att den kan återanvändas vid liknande beräkningar. I detta arbete undersöks hur väl Least Squares Monte Carlo-metoden beskriver prisfördelningen för korgoptioner, som är optioner med flera underliggande tillgångar. Tester utförs med olika värden för parametrarna och vikt läggs vid vilken effekt yttre scenarionas längd har, samt hur väl priserna beskrivs i prisfördelningens svansar. Resultatet är delvis svåranalyserat på grund av många extrema värden, men visade på svårigheter med prissättningen vid längre yttre scenarion. Vilket kan bero på att regressionsfunktionen som användes hade svårt att anpassa sig efter och beskriva mer spridda prisfördelningar. Metoden fungerade också sämre i den nedre delen av prisfördelningen, något som den dock delar med Standard Monte Carlo. Mer forskning behövs för att undersöka vilken effekt andra uppsättningar regressionsfunktioner skulle ha på metoden.

Abstract In the banking and insurance industry, there exists a need for forecasting and measures of risk connecting to financial instruments. To create price distributions, used to create measures of risk, nested simulations are sometimes used. This is done by simulating a large amount of outer scenarios, for some asset in a financial instrument. Which is done by simulating prices over a certain time period. This now outlines the time horizon of the price distribution. From each outer scenario, some inner scenarios are simulated. Which in turn are used to price the financial instrument in the outer scenario. A common method for pricing the outer scenarios is the Monte Carlo method, which uses a large amount of random numbers for the pricing to be accurate. This makes the method time consuming, as well as requiring large amounts of computing power. The Least Squares Monte Carlo method is an alternative method, using regression and the least squares method to perform the pricing using a smaller amount of inner scenarios. A regression function is fitted to the values of the outer scenarios and then used to revalue these, reducing the error which a smaller number of random numbers otherwise would give. The regression function can also be used to price outside of the values used for the fitting, making it reusable in similar computations. This paper examines how well the Least Squares Monte Carlo-method describes the price distribution of basket options, which are options containing several underlying assets. Tests are made for different values for the parameters used and an emphasis is laid on the effect of the time length of the outer scenarios, also, how accurate the tails of the distribution are. The results are somewhat hard to analyze,due to some extreme values, but showed difficulties for the method, when pricing longer outer scenarios. This can be due to the regression function having problems fitting to - and valuing - broader price distributions. The method also performed worse in the lower parts of the distribution, something it shares with the standard Monte Carlo method. More research is needed to ascertain the effects of other regression functions.

Innehåll 1 Inledning 1 1.1 Bakgrund............................. 1 1.1.1 Least Squares Monte Carlo-metoden.......... 1 1.1.2 Korgoptioner....................... 4 1.1.3 Forskning......................... 4 1.2 Syfte................................ 5 1.3 Begränsningar........................... 5 2 Teori 6 2.1 Notation.............................. 6 2.2 Optionstyper........................... 6 2.2.1 Geometrisk korgoption.................. 7 2.2.2 Max-korgoption...................... 7 2.3 Geometrisk Brownsk rörelse................... 7 2.4 Linjär regression & minstakvadratmetoden (Least Squares).. 8 2.4.1 Linjär regression..................... 8 2.4.2 Minstakvadratmetoden/Least Squares-metoden.... 9 2.5 Analytisk prissättning...................... 10 2.5.1 Black-Scholes formel................... 10 2.5.2 Geometrisk korgoption.................. 11 2.5.3 Max-korgoption...................... 12 2.6 Monte Carlo-metoden....................... 14 2.7 Multidimensionella Monte Carlo-metoden............ 15 2.8 Nästlad simulering........................ 17 2.9 Beskrivning av nästlad simulering................ 17 2.9.1 Least Squares Monte Carlo-metoden.......... 19 2.9.2 Nästlad simulering med korgoptioner.......... 21 2.10 R 2................................. 21 2.11 Antitetiska variat......................... 22 3 Metod 23 3.1 Notation.............................. 23 3.2 Slumptalsgenerering....................... 23 3.3 Optionerna............................ 23 3.4 Parametrar............................ 23 3.4.1 Tillgångarnas parametrar................ 23

3.4.2 Optionernas parametrar................. 24 3.5 Simulering............................. 24 3.6 Val av funktion för regression.................. 24 3.7 Materiell.............................. 25 3.8 Simulering............................. 25 3.9 Simulering för jämförelse av antal inre scenarion........ 28 3.10 Beräkningar av fel & R 2 -värden................. 29 3.11 Optimering av regressionsfunktion................ 31 4 Resultat 33 4.1 Geometrisk korgoption...................... 33 4.2 Max-korgoption.......................... 44 4.3 Inre scenarionas effekt...................... 54 4.4 Tidsåtgång............................ 58 4.4.1 Geometrisk korgoption.................. 58 4.4.2 Max-korgoption...................... 59 5 Analys & slutsats 60 5.1 Analys............................... 60 5.1.1 R 2............................. 60 5.1.2 Felen............................ 60 5.1.3 Antalet inre scenarion.................. 62 5.1.4 Tidsåtgång........................ 62 5.2 Förbättringar & vidare arbete.................. 62 5.3 Slutsats.............................. 64

1 Inledning Least Squares Monte Carlo är en metod som använder sig av slumptal och regression för att beskriva en prisfördelning för finansiella instrument, som i sin tur kan användas som den är eller ligga till grund för riskmått. Den huvudsakliga fördelen med metoden är att den kräver mindre datorkraft än andra jämförbara metoder, vilket gör den snabbare. 1.1 Bakgrund 1.1.1 Least Squares Monte Carlo-metoden Least Squares Monte Carlo, LSMC, även känt som American Monte Carlo, är en metod som ursprungligen användes för prissättning av amerikanska optioner. Då dessa optioner kan lösas in när som helst under sin löptid, så kräver en värdering att den underliggande tillgångens potentiella värde under hela detta tidsspann tas i beaktande. Detta i kontrast till den europeiska optionen, som endast kan lösas in vid lösendatumet. Vilket då endast kräver att underliggande tillgångens pris vid detta skede används. Medan den europeiska optionen har en analytisk lösning på sin värdering - även om Monte-Carlo ibland nyttjas - så kräver amerikanska optioners pris, på grund av sin högre komplexitet, simulering för att beräknas. I verkligheten finns det en oändlig mängd tidpunkter för innehavaren av en amerikansk option för inlösen. Detta är dock inte möjligt inom simulering, utan ett antal tidpunkter för inlösen väljs istället som en approximering. Till skillnad från en Monte-Carlo-simulering för att prissätta en europeisk option, eller annan option med möjlig inlösen vid ett eller flertalet, men begränsade till antalet, tillfällen, så krävs alltså betydligt fler beräkningar. Detta då slumptal behöver genereras och värden beräknas vid fler tidpunkter, vilket ökar mängden datorkraft som krävs. Det är här LSMC kommer in i bilden. Genom att använda regression genom minstakvadratmetoden kan antalet slumptal som krävs minskas, på så sätt minskas antalet/storleken på beräkningarna. Därigenom krävs mindre 1

datorkraft. Med direktivet Solvens II (2009) så finns krav på försäkringsbolag att beräkna kapitalkrav. Då försäkringsbolag kan ha stora innehav av många olika tillgångar, som är svåra att prissätta i framtiden, rent analytiskt, så kan Monte Carlo användas för att göra denna prissättning. I vissa fall kan den vanliga Monte Carlo-metoden vara för långsam och beräkningarna för komplexa för att priset ska kunna beräknas i rimlig tid. För att utföra nästlad simulering genereras först de så kallade yttre scenariona, där priser simuleras över en tidsperiod. Utifrån varje yttre scenario skapas sedan ett antal inre scenarion, genom att priser simuleras över ytterligare en tidperiod, diskonteras och används som en värdering i tidpunkt där de yttre och inre scenariona möts. På så sätt skapas en fördelning av priser vid en bestämd tidshorisont. Denna kan sedan i sin tur användas för att skatta riskmått så som Value at Risk och Expected Shortfall. En mer detaljerad beskrivning av nästlad simulering finns i avsnitt 2.8. Där diskuteras hur denna typ av simulering utförs med både den vanliga Monte Carlo-metoden och Least Squares Monte Carlo-metoden. 2

Figur 1: Nästlad simulering. Visar exempel på nästlad simulering, med och utan användning av Least Squares Monte Carlo-Metoden. Skapad i Matlab. I Figur 1.1.1 visas visas exempel på nästlad simulering, med den vanliga Monte Carlo-metoden till vänster och Least Squares Monte Carlo-metoden till höger. I praktiken skulle en bank kunna hålla en option på någon tillgång i yttre scenarionas startpunkt. Banken vill då undersöka vad denna option är värd under olika scenarion, vid någon specifik tidpunkt i framtiden. Denna tidpunkt utgör tidshorisonten där de yttre och inre scenariona möts. De yttre och inre scenariona består då av möjliga prisbanor för den underliggande tillgången. När den nästlade simuleringen är utförd får banken en prisfördelning, i yttre scenarionas tidpunkt, baserat på informationen från de inre scenariona. 3

När vanliga Monte Carlo-metoden används för att generera denna prisfördelning med hjälp av nästlad simulering krävs ett stort antal inre scenarion för att ge en pricksäker värdering. Detta kan leda till att en stor mängd datorkraft krävs för att kunna beräkna detta inom rimlig tid, speciellt vid ett stort antal yttre scenarion. Det är här Least Squares Monte Carlo kan komma till användning. Genom att använda ett mindre antal inre scenarion, än vid vanlig Monte Carlo, och regression för att beskriva prisfördelningen med en anpassad funktion kan den datorkraft som krävs minskas, utan att pricksäkerheten försämras för mycket. 1.1.2 Korgoptioner I detta arbete undersöks prissättning av korgoptioner, vilket är en typ av option med flera underliggande tillgångar. Medan en del korgoptioner kan prissättas analytiskt, så kräver andra numeriska metoder så som Monte Carlo-metoden. Med fler tillgångar ökar antalet beräkningar som krävs för att prissätta optionen. På så sätt kan Least Squares Monte Carlo-metoden potentiellt begränsa datorkraften som krävs, med bibehållen pricksäkerhet. 1.1.3 Forskning Den tidigare forskningen inom området rör ofta Least Squares Monte Carlometodens användning inom prissättning av amerikanska optioner. Metoden utvecklades av Longstaff och Schwartz (2001), som beskrev den som ett effektivt och kraftfullt sätt att uppskatta värdet på amerikanska optioner. Moreno och Navas (2003) undersöker hur robust metoden är och testar hur uppbyggnaden av regressionsfunktionen påverkar prissättningen. När det kommer till metodens användning för annat än finansiella instrument så har Sabour och Poulin (2006) undersökt hur metoden kan nyttjas vid andra investeringar. 4

1.2 Syfte Syftet med detta arbete är att undersöka hur väl Least Squares Monte Carlo approximerar prisfördelningen hos flerdimensionella optioner. Främst kommer effekten från dimensionaliteten och längden på yttre scenariona att undersökas. Vidare kommer vikt läggas vid att se hur väl metoden beskriver de högsta och lägsta priserna, fördelningens svansar. 1.3 Begränsningar Detta arbete är tidsbegränsat och dess omfattning således likaså. Endast geometrisk Brownsk rörelse kommer att användas som stokastisk process för utvärdering av LSMC. Detta beror på att den är vanligt förekommande inom området och för att formlerna för de exakta priserna på optionerna är baserade på Black-Scholes formel som i sin tur nyttjar denna process för aktiernas pris. Endast köpoptioner kommer att undersökas i detta arbete. Då förhållandet mellan köp- och säljoptioner (put-call-parity) är enkelt så kommer inte tester av båda typerna att tillföra något till att uppnå syftet med arbetet (se avsnitt 2.5.1). 5

2 Teori I detta avsnitt förklaras och diskuteras teori som är relevant för arbetet. 2.1 Notation Nedan deklareras en del av den notation som kommer att användas i detta och följande avsnitt. Notation som ej inkluderas här beskrivs där den används. S i (t) K C typ N i (x) t T T t r σ i ρ ij W (t) Pris på tillgång i vid tid t Lösenpris för den aktuella optionen Pris för köpoption av den typ som anges. Om index ej används gäller den option som diskuteras Kumulativa normalfördelningsfunktionen av dimension i. Om inget index anges så är det ordinarie fördelningsfunktionen som gäller Starttid för option Tid för inlösen av option Löptid för option Riskfria räntan Standardavvikelsen eller volatiliteten för tillgång i Korrelationskoefficient för korrelation mellan tillgång/variabel i och j Wienerprocessen 2.2 Optionstyper De två optioner som kommer användas är en max-korgoption och en geometrisk korgoption. Utbetalningen, också känd som payoff, för dessa är beroende 6

av tillgångspriserna då optionen löper ut, samt ett lösenpris, också känt som strike price. 2.2.1 Geometrisk korgoption En säljoption av typen geometrisk korgoption är något svåröversättlig i termer av att ha rätten att köpa och sälja en tillgång. Dess utbetalning är beroende av det geometriska medelvärdet av tillgångspriserna vid optionens utlöpande, samt det förutbestämda priset. Utbetalningsfunktionen för en köpoption är följande: C Geo = max( n S 1 (T )S 2 (T )S 3 (T )...S n (T ) K, 0) (1) 2.2.2 Max-korgoption Innehavaren av en köpoption av typen max-korgoption får vid optionens inlösen köpa den tillgång, vars pris är högst, för det förutbestämda priset, K. Utbetalningsfunktionen för en köpoption av typen max-korgoption, med n underliggande tillgångar är som följer: C Max = max(max(s 1 (T ), S 2 (T ), S 3 (T ),..., S n (T )) K, 0) (2) En säljoption av samma typ har följande utbetalning: P Max = max(k max(s 1 (T ), S 2 (T ), S 3 (T ),..., S n (T )), 0) (3) 2.3 Geometrisk Brownsk rörelse Givet att µ och σ är konstanter, samt att W är en Wienerprocess, så följer en tillgångs pris en geometrisk Brownsk rörelse om den uppfyller följande stokastiska differentialekvation: ds(t) = µ S(t) dt + σ S(t) dw (t) (4) 7

Där µ beskriver driften, σ volatiliteten och t står för tidpunkten. 2.4 Linjär regression & minstakvadratmetoden (Least Squares) 2.4.1 Linjär regression Givet en beroende variabel Y och en förklarande variabel X så kan en enkel modell av linjär regression skrivas som: Y = β 0 + β 1 X + ɛ (5) Där ɛ är en residual som beskriver en eventuell avvikelse av Y från det värde som den förklarande variabeln bör ge upphov till, alltså de observerade beroende värdena Y. β i är parametrar. En modell kan även innehålla flera förklarande variabler, dessa kan vara beroende eller oberoende. En sådan modell kan se ut så här: Y = β 0 + β 1 X 1 + ɛ 1 +... + +β n X n + ɛ n (6) Där n anger antalet variabler. En linjär regressionsmodell behöver inte använda sig av en rak linje. En vanlig typ av linjär regressionsmodell nyttjar polynom. Regressionen räknas dock som linjär i parametrarna β i. En regressionsmodell med två förklarande variabler kan se ut på följande sätt: Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 2 1 + β 4 X 2 2 + β 5 X 1 X 2 + ɛ (7) Här består alltså modellen av en konstant, de enskilda förklarande variablerna, de enskilda variablerna upphöjt till 2 samt en korsterm. 8

2.4.2 Minstakvadratmetoden/Least Squares-metoden För att skatta parametrarna vid linjär regression kan en mängd metoder tillämpas. En av dessa är den så kallade minstakvadratmetoden, eller Least Squares-metoden varifrån första delen av namnet i Least Squares Monte Carlo härrör. Denna metod går ut på att parametrarna, β i, skattas så att summan av residualerna i kvadrat, alltså E = m i=1 ɛ2 i minimeras, givet m observervationer av den beroende variabeln. Residualerna, ɛ i, är skillnaden mellan det värde som modellen ger och det observerade värdet. Givet en regressionsmodell vars funktion innehåller n förklarande variabler och m observationer av den beroende variabeln och motsvarande förklarande variabler, så har vi följande matris X 11 X 12 X 1n X X = 21 X 22 X 2n.... (8).. X m1 X m2 X mn där varje rad beskriver termerna för varje observation. Vanligtvis består första kolumnen endast av 1:or, för att beskriva en konstant. Vidare antag att vi har en vektor β 1 β β = 2. β n (9) där varje element betecknar en parameter. 9

Då kan en linjär modell skrivas som: Y = Xβ (10) De optimala parametrarna enligt minstakvadratmetoden fås av: (Glasserman 2003) ˆβ = (X T X) 1 X T Y. (11) Där ˆβ är de skattade parametrarna och Y är de observerade värdena för den beroende variabeln. 2.5 Analytisk prissättning I detta avsnitt beskrivs den analytiska prissättningen av en vanlig köp- och säljoption samt för de typer av optioner som ska användas i detta arbete. 2.5.1 Black-Scholes formel Formlerna för båda optionerna som ska användas baseras till stor del på Black-Scholes formel, som beskrivs i Black & Scholes (1973). I sin ursprungliga form beräknar den priset för en europeisk köpoption. Den kan även genom små ändringar användas för prissättning av europeiska säljoptioner. Detta genom nyttjande av så kallad put-call parity, alltså förhållandet mellan priset på en köp- och säljoption. Formeln för en europeisk köpoption ser ut som följer: C = N(d 1 )S e r(t t) N(d 2 )K (12) [ ( ) ) ] 1 S d 1 = σ ln + (r + σ2 (T t) (13) T t K 2 d 2 = d 1 σ T t (14) 10

Där N är kumulativa normalfördelningsfunktionen, S är underliggande tillgångens startpris, r är riskfria räntan, T t är optionens löptid, K är lösenpris och σ är tillgångens volatilitet. För en säljoption byts ekvation 12 ut mot: P = e r(t t) N( d 2 )K N( d 1 )S (15) 2.5.2 Geometrisk korgoption Formeln för värdering av geometriska korgoptionen, dess härledning och en stor del av dess notation är tagen från Haslet (2006, 8-10). Några ändringar har gjorts för att ekvationerna ska vara lättare jämförbara med de i Black- Scholes formel. Haslet (2006) använder en indexerad ränta, r i, då optionen som prissätts använder valutor som tillgångar. Därför används olika räntor från olika länder. Lösningen är dock så pass generell så att den kan tillämpas på andra tillgångar. I beskrivningen nedan utelämnas indexeringen då tillgångarna har samma förväntad avkastning. Prissättningen av denna typ av option är baserad på att en produkt av lognormalfördelade variabler är i sin tur också lognormalfördelad. Detta gäller dock inte för summor av lognormalfördelade variabler, därför är en exakt värdering av en option med utbetalning baserat på ett aritmetisk medelvärde inte möjlig på samma sätt. Detta då summans fördelning inte är känd. Givet att tillgångarnas prisprocess är av typen geometrisk Brownsk rörelse 11

och att optionen prissätts under riskneutralt Q-mått så gäller följande: N N N S i (T ) = S i (T ) N 1 i=1 = i=1 N i=1 S i (t) N 1 e N 1 (r σ 2 i 2 )(T t)+n 1 σ i W i (T t) = B(t)e N i,j=1 N 1 (r i σ2 i 2 )(T t)+ N i,j=1 N 1 σ i W i (T t) (r a)(t t)+σw (T t) = B(t)e (16) där a = N σ 2 i i=1 2, σ = n i,j=1 a ia j ρ ij σ i σ j och B(t) är det geometriska medelvärdet av tillgångarnas pris i den tidpunkt då optionen prissätts t, alltså B(t) = N i=1 S i(t) N 1. Genom applicering av Black-Scholes-modellen fås sedan priset på en geometrisk korgoption, av typen köpoption, av: C = B(t)e a N(d 1 ) e r(t t) N(d 2 )K (17) [ ( ) ] 1 B(t) d 1 = σ ln + a(t t) (18) T t K d 2 = d 1 σ T t (19) 2.5.3 Max-korgoption Formeln för värdering av max-korgoptionen och dess härledning är tagen från Ouwehand & West (2006), där den ingår i en grupp av så kallade Rainbow Options, med namnet call on max option. Bakgrunden till formeln och dess härledning som diskuteras av författarna är ganska omfattande. Här kommer bakgrunden och härledningen endast att diskuteras kortfattat. Två metoder som används för att prissätta optionen är att byta ut den ena tillgången mot den andra vid lösendatumet och att använda en tillgång som numerär. Den första metoden kan jämföras med en europeisk köpoption där lösenpriset är värdet på en aktie, vilket då innebär att lösenpriset är 12

stokastiskt. Utbetalningen för optionen kan skrivas som: max(s 1 S 2, 0) (20) Den andra metoden innebär att en av optionernas underliggande tillgångar används som numerär, alltså valuta, så att alla priser anges som antalet av valutatillgången som den är värd. Ouwehand & West (2006, 5) ger en lösning för en option med utbetalningen max(s 1, S 2, S 3 ), alltså med 3 underliggande tillgångar. Lösningen appliceras sedan på max-optionen som används på följande sätt (Ouwehand & West 2006, 6): max(max(s 1, S 2, S 3, S 4 ) K, 0) = max(max(s 1, S 2, S 3, S 4 ), K) K = max(s 1, S 2, S 3, S 4, K) K (21) Lösenpriset tolkas alltså som en tillgång, utan korrelation med de andra tillgångarna och ingen volatilitet. På så sätt är värdet av en köpoption av typen max-korgoption, på 3 tillgångar (med lösenpriset som den fjärde), följande: C max (t) = S 1 (t)n 3 ( d 2 1, d 3 1, d 1 +, Ω 1 ) + S 2 (t)n 3 ( d 1 2, d 3 2, d 2 +, Ω 2 ) + S 3 (t)n 3 ( d 1 3, d 2 3, d 3 +, Ω 3 ) Ke r(t t) [1 N 3 ( d 1, d 2, d 3, Ω 4 )] (22) 13

Där följande gäller: σ 2 i j d i j ± = d i ± = = σ 2 i + σ 2 j 2ρ ij σ i σ j (23) ln S i(t) S j (t) ± 1 2 σ2 i (T t) j (24) T t σ i j ln S i(t) K (r ± 1 2 σ2 i )(T t) (25) σ i T t ρ ij σ i σ j ρ ik σ i σ k ρ kj σ k σ j + σk 2 ρ ij,k = (σi 2 + σ2 k 2ρ ikσ i σ k )(σj 2 + σ2 k 2ρ jkσ j σ k ) (26) I den första termen i ekvation 22 används första tillgången som numerär eller valuta. I den andra termen används den andra tillgången och så vidare, medan sista termen använder sig av lösenpriset. Ω k är matriser av storlek 3 x 3, när antalet tillgångar är 4. Ouwehand & West (2006, 5) skriver att matriserna kan ursprungligen ses som av storlek 4 x 4, med ρ ij,k på plats (i, j), där rad och kolumn k tas bort. Då den fjärde tillgången är lösenpriset har den ingen korrelation med de andra tillgångarna ρ 24 = ρ 34 = 0; samt har ingen volatilitet, σ 4 = 0. 2.6 Monte Carlo-metoden Monte Carlo-metoden i ett finansmatematiskt sammanhang använder sig av slumptal för att beräkna olika mått, så som finansiella instruments värden, vilka i sin tur kan användas för att bestämma riskmått. Först genereras ett stort antal tillgångspriser, vid tidpunkten då kontraktet löper ut, med hjälp av slumptal. Sedan beräknas vilken utbetalning varje pris hade gett i varje fall. Därefter beräknas medelvärdet för dessa utbetalningar, vilket då representerar den förväntade vinsten vid köp av optionen. Till sist diskonteras detta till den tidpunkt då optionens värde eftersöks. 14

På följande sätt kan priset, P (t, T ), på en option i tidpunkt t, som löper mellan tidpunkt t och T, skattas med hjälp av Monte Carlo-metoden: 1. Ett stort antal, m, normalfördelade slumptal, x i N(0, 1), genereras. 2.Tillgångspriser, givet att de följer geometrisk brownsk rörelse, simuleras enligt följande formel: ) S(T ) i = S(t)exp ((r σ2 2 )(T t) + x i T t (27) Där S(T ) i motsvarar tillgångspriset för slumptalet x i i tidpunkt T, där r är den riskfria räntan, S(t) är startpriset för tillgången och σ är tillgångens standardavvikelse. 3. Optionens värde givet varje tillgångspris beräknas med hjälp av den aktuella optionens utbetalningsfunktion och diskonteras. P i = e r(t t) f payoff (S(T ) i ) (28) 4. Ett medelvärde beräknas. P (t, T ) = m P i /m (29) i=1 Desto fler slumptal som används, desto bättre skattning av optionspriset fås. 2.7 Multidimensionella Monte Carlo-metoden Om en option är beroende av flertalet korrelerade tillgångar behöver simuleringen av dess priser ta denna korrelation i beaktning. Givet att vi har m genererade normalfördelade slumptal per tillgång, n antal tillgångar, att σ i betecknar tillgång i:s standardavvikelse och ρ ij betecknar 15

korrelationskoefficienten mellan tillgång i och tillgång j så har vi slumptalsmatrisen x 11 x 12 x 1n x X = 21 x 22 x 2n..... (30). x m1 x m2 x mn och kovariansmatrisen σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 1n σ 1 σ n ρ Σ = 21 σ 2 σ 1 σ 2 2 ρ 2n σ 2 σ n...... ρ n1 σ n σ 1 ρ n2 σ n σ 2 σn 2 (31) För att slumptalen ska ta tillgångarnas kovarians i beaktning så görs följande: X = chol(σ) X (32) Där chol(σ) är Choleskyfaktoriseringen av Σ som sedan transponerats. Choleskyfaktorisering av Σ ger matrisen A, då Σ representeras som AA, där A är en uppåt triangulär matris.(glasserman 2003, s. 72) För att sedan beräkna priset, vid tidpunkt T, för tillgång j för motsvarande slumptal på rad i i X, utförs följande beräkning: ) S(T ) ij = S(t) ij exp ((r σ2 2 )(T t) + x ij T t (33) Ovanstående formeln utgör då multidimensionella Monte Carlo-metodens 16

motsvarighet till hur tillgångspriser beräknas enligt ekvation 27 från avsnitt 2.6. I övrigt utförs metoden på samma sätt och enligt samma steg som i avsnitt 2.6. Där utbetalningsfunktionen i detta fall på något sätt är beroende av flera tillgångar. 2.8 Nästlad simulering Nedan följer en beskrivning av hur nästlad simulering används för att producera en prisfördelning. Både användningen av Least Squares Monte Carlometoden och vanliga Monte Carlo-metoden beskrivs. Med beskrivningen av Least Squares Monte Carlo-metoden följer ett exempel, som visas i Figur 2, vilket beskriver en nästlad simulering och hur en regressionsfunktion anpassar sig efter de beräknade optionsvärdena. I exemplet prissätts en köpoption med en underliggande tillgång. Endast en tillgång används för att enklare kunna visualisera resultatet, vilket inte är lika enkelt vid fler tillgångar. Givet exemplet, följer beskrivningen hur nästlad simulering utförs för en option med en underliggande tillgång. Tillvägagångssättet skiljer sig inte mycket från en option med fler tillgångar. Skillnaderna presenteras i slutet. 2.9 Beskrivning av nästlad simulering Antag att vi har en option med en underliggande tillgång, lösenpris K, startpris S(t 0 ), vid tidpunkt t 0. För att producera en prisfördelning vid tidshorisonten t 1, där optionen löper till t 2 görs följande: 1. Priser simuleras över en tidsperiod, t 0 till t 1, för den underliggande tillgången. Detta utgör tidsspannet för det yttre scenariot, där t 1 är tidpunkten för den 17

tidshorisont varvid en prisfördelning ska beräknas. Detta steg visas i Figur 2, där tillgångspriser utgår från ett startvärde i t 0 och får ett annat i t 1. 2. För varje yttre scenario genereras ett antal inre scenarion, genom att tillgångspriserna simuleras över ytterligare en tidsperiod, t 1 till t 2. Detta tidsspann utgör den återstående löptiden för optionen som prissätts, med inlösen vid t 2. Detta steg visas i högra halvan, av vänstra grafen, i Figur 2. Där utgår ett antal linjer från varje yttre scenario och utgör några möjliga prisbanor som tillgången skulle kunna få. 3. Utbetalningen för varje inre scenario beräknas, vid t 2, med utbetalningsfunktionen för den aktuella optionen. Utbetalningsfunktionen i exemplet är C = Max(S(t 2 ) K, 0). 4. För varje samling inre scenarion, alltså de som tillsammans utgår från samma yttre scenario, beräknas optionspriset som medelvärdet av utbetalningarna och diskonteras till den valda tidshorisonten, t 1. Detta utgör nu det slutgiltiga priset för vanliga (Standard) Monte Carlo-metoden. 18

2.9.1 Least Squares Monte Carlo-metoden För Least Squares Monte Carlo-metoden följer ytterligare steg: 5. Optionspriserna, från föregående steget, representerar nu observationer av den beroende variabeln i en regressionsmodell, och tillgångspriserna vid t 1 utgör observationer av de förklarande variablerna. Koefficienterna, eller parametrarna, i regressionsfunktionen bestäms med minstakvadratmetoden. 6. Optionspriserna räknas om med den anpassade regressionsfunktionen. I högra delen av Figur 2 visas funktionen som en röd linje. De omräknade priserna hamnar då på denna. Funktionen kan även användas för att snabbt beräkna optionspriser, då den tar tillgångspriser som invärde (x-axeln) och ger optionspris som utvärde (y-axeln). 19

20 Figur 2: Figurtext visas på nästa sida.

Figur 2: (Figur på föregående sida) Nästlad simulering & Least Squares Monte Carlo-metoden. Visar exempel på nästlad simulering, i vänstra grafen. Med yttre scenarion mellan t0 och t1, samt inre scenarion mellan t1 och t2. I högra grafen visas optionspriser och en linje anpassad efter priserna, enligt Least Squares Monte Carlo-metoden. Varje blå ring i högra grafen motsvarar ett optionspris i yttre scenarionas slutpunkt, vid t1, från vänstra grafen. 2.9.2 Nästlad simulering med korgoptioner När optionen har fler underliggande tillgångar behöver detta beaktas i simuleringen. Vid simuleringen av tillgångarnas priser behöver dess kovarians tas med i beräkningarna, i steg 1 och 2. Hur detta görs beskrivs i avsnitt 2.7. Vidare så blir utbetalningen i steg 3 också beroende av fler tillgångar, enligt optionens utbetalningsfunktion. Dessutom bör regressionsfunktionen innehålla samtliga underliggande tillgångars priser i någon form. 2.10 R 2 Determinationskoefficienten, R 2, direkt översatt från engelskans coefficient of determination, är ett mått på hur väl en regressionsmodell förklarar de observerade värdena av den förklarande variabeln. Koefficienten har ett värde mellan 0 och 1, där 0 betyder att inga av de observerade värdena förklaras av modellen, medan värdet 1 betyder att 100% av värdena kan förklaras av modellen. Determinationskoefficienten beräknas på följande sätt: R 2 = 1 N i=1 (y i f i ) 2 N i=1 (y i ȳ) 2 (34) (Alm & Britton 2008) Där y i är de observerade värdena på den beroende variabeln, N antalet 21

värden, f i är värdena som fås av regressionsmodellen och ȳ = 1 N N i=1 y i, alltså medelvärdet av de observerade värdena. Täljaren är det som minimerades i minstakvadratmetoden. Medan en hög koefficient visar på en bra anpassning av modellen på de observerade värdena så kan en för hög koefficient vara tecken på en dålig modell. Då regression generellt används för att bygga en funktion som kan förutspå värden, andra än de redan observerade, så kan en modell med hög koefficient möjligtvis följa de redan observerade värdena för nära. Vilket leder till att nya värden som observeras ligger långt utanför modellen som skapats. En ökning av termer i en regressionsmodell leder dessutom med få undantag till en högre determinationskoefficient. 2.11 Antitetiska variat För att minska antalet slumptal som behöver genereras, samt förbättra regressionen genom minskad varians, så kan så kallade antitetiska variat nyttjas. Detta är enklast då slumptalen är normalfördelade med väntevärde 0. Om detta gäller så innebär att när de genererade slumptalen, {Z 1,..., Z n }, används så används även dess negativa motsvarigheter, alltså { Z 1,..., Z n }. 22

3 Metod I detta avsnitt diskuteras hur resultatet produceras. 3.1 Notation LSMC SMC Least Squares Monte Carlo-metoden Vanliga (Standard) Monte Carlo-metoden 3.2 Slumptalsgenerering Vid generering av slumptal, för att producera tillgångspriser i de yttre och inre scenariona, för både LSMC och SMC, kommer antitetiska variat att användas. När antal scenarion anges nedan kommer det faktiska antalet genererade slumptal vara hälften av dessa, medan den andra hälften kommer från applicering av metoden. 3.3 Optionerna De optioner som kommer att användas i simuleringen är geometrisk korgoption och maxkorgoption, som beskrivs i avsnitt 2.2.1 resp. 2.2.2. Något som skiljer optionerna åt är att med fler underliggande tillgångar, med samma pris, standardavvikelse och korrelation som de andra, så ökar priset på maxkorgoptionen, medan värdet på den geometriska minskar. Detta kan observeras i formlerna som presenteras i avsnitt 2.5.2 och 2.5.3. 3.4 Parametrar 3.4.1 Tillgångarnas parametrar Tillgångarna kommer att vara homogena i att de kommer att ha samma startpris, standardavvikelse och korrelation mellan varandra. Detta beror på 23

att syftet är att undersöka dimensionalitetens effekt på LSMC, snarare än effekten från enskilda tillgångars parametrar. Om en option, med två homogena tillgångar, jämförs med en option med ytterligare en tillgång, som är vitt skilt från de övriga två, så kan effekten av detta bero på den tillagda tillgångens egenskaper än den som fås av en generell ökning i dimensionalitet. Tillgångspriserna, S i, sätts till 100 för samtliga aktier. Korrelation mellan samtliga tillgångarna, ρ ij, sätts till 0.3. Tillgångarnas standardavvikelse, σ i, sätts till 0.2. Riskfria räntan, r, sätts till konstant 3%. 3.4.2 Optionernas parametrar Nedanstående parametrar gäller för både max-korgoptionen och den geometriska korgoptionen. Antalet underliggande tillgångar, N, sätts till 2, 3 och 4, för att se dimensionalitetens effekt. Yttre scenarionas tidslängd, τ, sätts till 1, 3 och 6, för att testa tidshorisontens effekt. Lösenpriset, K, sätts till 50, 100 och 120. Dessa valdes för att testa vad skillnaden mellan startpriserna och lösenpriset har för påverkan. 3.5 Simulering 3.6 Val av funktion för regression Regressionsfunktionen, innan optimering som beskrivs i en senare del, kommer att bestå av polynom med tillgångspriserna som variabler. Då alla andra möjliga variabler, så som ränta, volatilitet, korrelation, är konstanta för varje regressionsmodell som används inkluderas de inte som variabler i regressionsfunktionen. Nedan beskrivs de termer som ingår i den regressionsfunktion som används i Least Squares Monte Carlo-metoden. Funktionen är ett polynom bestående 24

av termer innehållande de underliggande tillgångarnas priser, vid yttre scenariots slutpunkt och inre scenariots startpunkt. Dessa anges som S i, vilket är priset för tillgång i. Vid initiala tester av metoden, gav ett ordinarie polynom, av grad 5, som var felaktiga. Därför valdes istället att priserna upphöjs med värden mindre än 1, alternativt att 2:a till 5:e roten beräknas, som visas nedan. Detta gav bättre värden. Givet n tillgångar innehåller regressionsfunktionen följande: 1 konstant k 5n stycken termer för enskilda tillgångspriser 25n(n 1) 2 S 1, S 2...S n S 1/2 1, S 1/2 2...Sn 1/2. S 1/5 1, S 1/5 2...Sn 1/5 stycken korstermer S 1/p i S 1/q j, p = {1,..., 5}, q = {1,..., 5} i j Där varje term erhåller en parameter eller koefficient som bestäms med minstakvadratmetoden enligt Least Square Monte Carlo-metodens utförande. 3.7 Materiell Matlab, versionen MATLAB R2016b (Academic Use), kommer användas för samtliga simuleringar, beräkningar och figurer. 3.8 Simulering För att jämföra Least Squares Monte Carlo-metoden med vanliga (Standard) Monte carlo-metoden och den exakta prissättningen så utförs simuleringar där optionspriser beräknas med metoderna. Därefter jämförs resultatet för 25

att utvärdera hur väl metoderna presterade. De optionspriser från Least Squares Monte Carlo-metoden som jämförs mot exakta och vanliga Monte Carlo-metoden kommer att vara skiljda från de priser som används för att bestämma regressionsmetodens parametrar. Detta för att validera att funktionen kan användas för att prissätta utanför de värden som den tränas med. Därför beskriver de första stegen, 1 till 5, hur LSMC:s regressionsfunktion först anpassas. För att göra resultatet mer statistiskt signifikant och mer stabilt görs 10 körningar av simuleringarna som beskrivs nedan. Tidpunkten för simuleringens och yttre scenarionas start sätts till 0, så att tidpunkten där yttre och inre scenariona möts blir τ, alltså yttre scenarionas tidslängd. För alla möjliga sammansättningar av: optionstyperna geometrisk korgoption och max-korgoption, yttre scenariots tidslängd τ = {1, 3, 6}, inre scenariots tidslängd 1, antal underliggande tillgångar n = {2, 3, 4} och lösenpris K = {50, 100, 120}, utförs följande: 1. Först genereras 10000 (10 4 ) yttre scenarion, där varje scenario består av n stycken tillgångspriser. Där n är antalet tillgångar för optionen i den aktuella körningen. 2. 100 inre scenarion, per yttre scenario, genereras. 3. Optionens utbetalning för varje inre scenario beräknas, vid tidpunkt τ + 1. Dettta görs med utbetalningsfunktionerna från teoriavsnitten 2.2.1 och 2.2.2, för geometriska optionen resp. maxoptionen. 4. Optionsvärdet för varje yttre scenario beräknas som medelvärdet av utbetalningarna från steg 3, diskonterat till tidpunkt τ. 26

5. Med de 10000 optionspriserna, från steg 3, bestäms nu parametrarna i LSMC:s regressionsmodell, med hjälp av minstakvadratmetoden. Där optionspriserna är den observerade variabeln och tillgångspriserna vid τ är de förklarande variablerna. Nu kan regressionsmodellen användas för prissättning av optioner med hjälp av genererade tillgångspriser som är oberoende av den som användes vid anpassningen av modellen. 6. Ytterligare 10000 (10 4 ) yttre scenarion genereras, oberoende av de i steg 1. Tillgångspriserna från detta steg ligger till grund för samtliga metoders resultat som senare jämförs. 7. 10000 inre scenarion, per yttre, genereras för användning i vanliga Monte Carlo-metoden. 8. Utbetalningar beräknas för inre scenariona från föregående steget. 9. Sedan följer slutgiltiga prissättningar enligt de olika metoderna: 9.1 Exakt prissättning: Optionerna prissätts baserat på tillgångspriserna från yttre scenariona i steg 6, med exakta formlerna från teoriavsnitten 2.5.2 och 2.2.2, för geometriska resp. maxoptionen. 9.2 Vanliga Monte Carlo-metoden: Optionens pris för varje yttre scenario bestäms som medelvärdet av utbetalningarna från dess inre scenarion, från steg 7, diskonterat till τ. 9.3 Least Squares Monte Carlo-metoden: Optionspriser beräknas genom att tillgångspriserna från steg 6 sätts in i regressionsfunktionen, som anpassades i steg 5. Vid initiella tester upptäcktes att LSMC kan ge negativa optionsvärden. Dessa ligger i den nedre svansen och de egentliga värden bedöms ligga mycket nära 0. I samtliga fall, där LSMC ger ett negativt optionvärde, sätts det istället till 0. 27

3.9 Simulering för jämförelse av antal inre scenarion För att jämföra effekten antalet inre scenarion har för LSMC en mindre simulering utförts. Under denna simulering testas 6 och 30 inre scenarion, vars resultat sedan jämförs med det från den större simuleringen med 100 inre scenarion. Testet uförs endast för den geometriska optionen, med tidslängd för yttre scenarion τ = 1, n = 4 stycken tillgångar och lösenpris K = 50. Likt de tidigare simuleringarna tränas LSMC:s regressionsmodell först, på följande sätt. 1. 10000 (10 4 ) yttre scenarion genereras. 2. Inre scenarion genereras. 3. Utbetalningar, vid inre scenarionas slut t = τ + 1, beräknas med utbetalningsformeln för geometriska optionen från avsnitt 2.2.1. 4. Optionspriser beräknas för varje yttre scenario, som medelvärdet av utbetalningarna för dess inre scenarion. Priserna diskonteras till τ 5. Parametrarna i LSMC:s regressionsmodell bestäms med de beräknade priserna, med hjälp av minstakvadratmetoden. 6. 10000 nya yttre scenarion genereras, oberoende av de i steg 1. 7. Optionspriser beräknas med LSMC genom att de yttre scenariona sätts in i regressionsfunktionen som anpassades i steg 5. Likt simuleringen ovan, i avsnitt 3.8, sätts negativa optionsvärden till 0. 28

3.10 Beräkningar av fel & R 2 -värden Efter simuleringarna beräknas de mått som ligger till grund för analysen. För att beräkna mått över olika delar prisfördelningarna ordnas optionernas priser i storleksordning. Ordningen bestäms av prissättningen med den exakta metoden för varje yttre scenario, med priserna för SMC och LSMC i samma ordning.i de flesta fall kommer samtliga metoders värden då vara i storleksordning, med ett fåtal undantag för SMC och LSMC. Notationen för optionspriser beräknade med den exakta formeln är följande: O ij,exakt (τ, K, N) (35) Första indexet, i, anger vilken av de 10 körningarna värdet tillhör och det andra indexet, j, anger optionsnummer enligt ökande storleksordning. Parametern τ är yttre scenarionas tidlängd, K är lösenpris och N anger antalet tillgångar. Optionspriserna skattade med Least Squares Monte Carlo eller Standard Monte Carlo: O ij,exakt(τ, K, N) (36) Med samma notation som ovan. Alla måtten, förutom R 2 -värdena, kommer att beräknas för olika delar av prisfördelningen. Dessa är en nedre del bestående av de 250 lägsta värdena i varje körning, alltså 2.5:e procentilen; de 250 högsta, 97.5:e procentilen; och mitten av fördelningen där de två tidigare nämnda delarna inte inkluderas. I nedanstående formler används variablerna p och P. Där P anger sista numret för optionen i den del av prisfördelningen som beräknas, medan p står för den första optionen i delen. 29

Det andra måttet som beräknas är skillnaden i medelvärde mellan den exakta prissättning och de båda Monte Carlo-metoderna. Det beräknas på följande vis: M 1 (τ, K, N) = 1 10 10 i=1 [ 1 P p + 1 1 P p + 1 P O ij (τ, K, N) j=p P ] (37) Oij(τ, K, N)] Detta mått används för att jämföra LSMC:s och SMC:s förmåga att producera värden som består av delar av prisfördelningen, där eventuella över- och underskattningar tar ut varandra, till skillnad från de nästkommande två måtten. Mått så som Expected Shortfall använder en prisfördelning för att bestämma förväntad förlust inom olika konfidensintervall. j=p Det tredje måttet som beräknas är roten ur summan av kvadratfel och beräknas på följande sätt: M 2 (τ, K, N) = 1 10 10 P (O ij (τ, K, N) Oij (τ, K, N))2 (38) i=1 j=p Måttet visar hur felen ackumuleras över prisfördelningen och låter inte överoch underestimeringar ta ut varandra. Det sista måttet som beräknas är genomsnittet på felens storlek i förhållande till det exakta värdet och beräknas på följande sätt: 30

M 3 (τ, K, N) = 1 10 10 i=1 ( 1 P p + 1 ) P O ij (τ, K, N) Oij(τ, K, N) j=p O ij (τ, K, N) (39) Måttet visar hur stort genomsnittsfelet är i förhållande till det exakta priset. 3.11 Optimering av regressionsfunktion Desto fler termer en regressionsfunktion har, desto bättre kan den följa de observerade värdena. Dock så ökar detta risken för att modellen som används följer dessa värden för nära. På så sätt kan modellens förmåga att förutsäga nya värden minska. Därför optimeras regressionsfunktionen. En optimering kommer också ge fördelen att antalet termer i funktionen minskar, vilket leder till att tidsåtgången för beräkningar vid återanvändning minskar. Dessutom upptäcktes vid initiala tester att minstakvadratmetoden vid sällsynta tillfällen kan ge kraftigt felaktiga värden för vissa termer och observerade värden. Även detta problem kan minimeras med en optimering. Optimeringen sker på följande sätt: 1. En reducerad funktion, bestående av endast en konstant samt de enskilda tillgångspriserna används för att bestämma parametrar. Vid första iterationen används alltså 1 + n termer, där n är antalet tillgångar. För varje term som ännu inte lagts till i den reducerade funktionen utförs följande steg: 2.1 En ny term inkluderas i funktionen och dess parameter bestäms genom ekvation 11 från avsnitt 2.4.2, medan de andra termernas parametrar behålls från steg 1. 2.2 Ett R 2 -värde beräknas. 3. Den term som ger det bästa R 2 -värdet läggs till i den reducerade funktio- 31

nen och sedan utförs steg 2.1-2.2 igen. Detta utförs tills dess att maximalt 70 % av alla termer lagts till i den optimerade funktionen. 4. När alla termer valts bestäms parametrarnas värden igen och kan sedan användas i Least Squares Monte Carlo-metoden. Genom den ovanstående metoden testas varje term separat och läggs till i omgångar, där varje ny term är den som ger bäst förklaringsförmåga. Begränsningen på 70 % av termerna används för att inte alla termer som beskrivs i avsnitt 3.6 ska användas. Om den term som valts ut i steg 3 ger ett negativt R 2 -värde så kommer den inte att läggas till. Detta bedöms hända ytterst sällan, men kan innebära att mindre än 70 % av alla termer används. 32

4 Resultat I detta kapitel presenteras resultatet som producerats under arbetet. Följande notation och förkortningar används: SM C LSM C K τ N Vanliga (Standard) Monte Carlo-metoden Least Squares Monte Carlo-metoden Lösenpris Yttre scenarionas tidlängd el. tidshorisont Antal tillgångar el. dimensionalitet 4.1 Geometrisk korgoption Här presenteras resultatet av testerna för den geometriska korgoptionen. Först presenteras ett urval optionspriser för olika tillgångspriser; därefter visas ett urval av genomsnittliga exakta optionspriser; de fyra sista tabellerna utgör R2-värden och felmåtten som diskuteras i metodavsnittet. 33

Tabell 1: Optionsvärden för geometrisk korgoption. Visar exakta priser för geometrisk korgoption med tid till lösen 1 och riskfri ränta r = 3%, för olika lösenpris (K), antal underliggande tillgångar (N)och pris på underliggande tillgångar (Tillgångspris) vid optionens startpunkt. Samtliga av tillgångarna har samma pris. Värdena är avrundade till 3 decimaler, förutom värdet då blivit 0. Tillgångspris N K 50 70 100 130 150 50 5.06 20.840 49.923 79.446 99.134 2 100 0.012 0.6968 10.121 32.611 51.094 120 0.001 0.115 3.717 18.399 33.927 50 4.475 20.332 49.402 78.776 98.361 3 100 0.004 0.426 8.949 31.510 50.132 120 1E-4 0.050 2.847 16.916 32.550 50 4.165 20.083 49.144 78.443 97.976 4 100 0.002 0.311 8.330 30.962 49.666 120 4E-5 0.029 2.413 16.136 31.855 Priset ökar med lägre lösenpris och högre startvärde på underliggande tillgången, då det är en köpoption. Med fler underliggande tillgångar minskar priset. Detta beror på att optionens utbetalning ges av tillgångarnas geometriska medelvärde, så fler tillgångar ger samma effekt som diversifiering. Den relativa effekten som fler tillgångar ger är större för lågt startpris och högt lösenpris, alltså där priserna är som lägst. 34

Tabell 2: Genomsnittligt exakt pris för geometrisk korgoption. Visar medelvärdet och (±) standardavvikelsen för optionsprisfördelningens medelvärde, prissatt med analytisk metod, baserat på 10 uppsättningar av scenarion. Resultatet visas för olika delar (Del) av prisfördelningen: de 250 lägsta priserna, de 250 högsta samt resten av priserna. Optioner som använts har olika lösenpris (K) och antal tillgångar (Antal tillgångar), medan de yttre scenariona som använts har olika tidsspann (τ ). Antal tillgångar K Del τ 2 3 4 1 50.726 ± 0.283 49.755 ± 0.155 49.293 ± 0.109 Mitten 3 52.622 ± 0.340 50.690 ± 0.369 49.768 ± 0.300 6 55.945 ± 0.531 52.557 ± 0.656 50.940 ± 0.455 1 9.297 ± 0.261 11.035 ± 0.280 12.170 ± 0.531 50 P 2.5 3 0.679 ± 0.074 1.069 ± 0.122 1.381 ± 0.123 6 0.010 ± 0.002 0.019 ± 0.004 0.029 ± 0.004 1 123.029 ± 1.656 112.753 ± 1.453 107.721 ± 1.410 P 97.5 3 206.868 ± 3.410 181.800 ± 1.855 169.086 ± 1.973 6 317.534 ± 4.486 268.676 ± 7.540 250.045 ± 3.861 1 13.647 ± 0.152 11.945 ± 0.166 11.069 ± 0.059 Mitten 3 18.961 ± 0.339 16.535 ± 0.360 15.167 ± 0.248 6 25.470 ± 0.443 21.558 ± 0.380 19.666 ± 0.505 1 0.080 ± 0.009 0.071 ± 0.005 0.064 ± 0.006 100 P 2.5 3 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 6 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 74.868 ± 1.302 65.045 ± 1.248 59.621 ± 0.911 P 97.5 3 155.635 ± 4.199 132.166 ± 3.060 120.016 ± 1.891 6 269.064 ± 6.494 220.838 ± 5.278 199.886 ± 7.295 1 6.778 ± 0.110 5.362 ± 0.069 4.606 ± 0.089 Mitten 3 11.930 ± 0.248 9.584 ± 0.144 8.327 ± 0.116 6 18.315 ± 0.445 14.542 ± 0.352 12.989 ± 0.247 1 0.009 ± 0.001 0.006 ± 0.001 0.005 ± 0.000 120 P 2.5 3 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 6 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 55.866 ± 1.285 45.902 ± 1.554 41.029 ± 0.847 P 97.5 3 136.643 ± 2.781 112.493 ± 1.952 100.645 ± 2.563 6 249.498 ± 6.231 201.000 ± 6.263 181.048 ± 5.110 35

Tabellen följer de effekter som parametrarna förväntas ha enligt Tabell 1. Med lägre optionspriser för högre lösenpris och fler tillgångar. Längre yttre scenarion ger högre priser då tillgångspriserna förväntas växa med riskfria räntan, på 3%, och optionspriset drar även nytta av den potentiella spridningen för underliggande tillgångarna, som längre tidsspann ger. Den övre delen av prisfördelningen, P 97.5, påverkas mest av parametrarnas effekter och växer således snabbare vid längre tidshorisont, medan priserna sjunker mer med fler tillgångar. Den nedre delen av prisfördelningen, P 2.5, får en omvänd påverkan av yttre scenarionas tidslängd. Detta beror på att priserna som ligger i denna del av fördelningen är de som sjunkit över tiden. Vid de två längre tidshorisonterna, för de två högre lösenpriserna visar tabellen på priser som ligger på 0. Dock så är dessa ej exakt 0 utan endast så små att de avrundas till detta, vid avrundning till 3 decimaler. Tabell 3: R 2 -värden för geometrisk korgoption. Visar medelvärde och (±) standardavvikelse för R 2 -värden, beräknade med 10 uppsättningar tränings- (Träning) och valideringsscenarion (Validering), för geometrisk korgoption med olika lösenpris (K), tidslängder för yttre scenarion (τ ) och antal tillgångar (Antal tillgångar). Avrundning till 3 decimaler. Antal tillgångar 2 3 4 K τ Träning Validering Träning Validering Träning Validering 1 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 50 3 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 0.999 ± 0.001 0.998 ± 0.004 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 6 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.001 1 0.995 ± 0.000 0.995 ± 0.000 0.994 ± 0.002 0.994 ± 0.002 0.995 ± 0.001 0.994 ± 0.002 100 3 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.998 ± 0.000 0.998 ± 0.000 0.997 ± 0.001 0.995 ± 0.005 6 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.997 ± 0.000 0.998 ± 0.001 0.996 ± 0.001 0.994 ± 0.007 1 0.991 ± 0.000 0.991 ± 0.000 0.989 ± 0.001 0.989 ± 0.001 0.988 ± 0.001 0.988 ± 0.001 120 3 0.992 ± 0.020 0.990 ± 0.025 0.996 ± 0.000 0.996 ± 0.001 0.978 ± 0.051 0.974 ± 0.067 6 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.995 ± 0.003 0.979 ± 0.036 0.994 ± 0.000 0.991 ± 0.008 36