KTH Matematik Lösningar till Kapitel 7 A a Karakteristiska polynomet av detλi A det A λ λ λ b Egenvdena av A nollställen till karakteristiska polynomet alltså har A egenvdet λ c Motsvarande egenrum E lösningsrummet till v v I Av E Span B a Karakteristiska polynomet av detλi B det λ 8 λ B { 8 } λ 6 λ λ λ λ+3 b Egenvdena av B nollställen till karakteristiska polynomet alltså har B egenvdena λ och λ 3 c Egenrummet E motsvarande egenvdet λ lösningsrummet till v I Bv 4 8 4 E Span { 4v 8v + 4 } Egenrummet E 3 motsvarande egenvdet λ 3 lösningsrummet till 4 v 4v v 3I Bv 8 4 8v 4 E 3 Span C a Karakteristiska polynomet av C { 6 7 3 4 6 8 4 }
detλi 3 C det λ 6 7 3 4 λ + 6 8 4 λ λ 3 λ λ+ λ λ λ+ b Egenvdena av C nollställen till karakteristiska polynomet alltså har C egenvdena λ λ och λ c Egenrummet E motsvarande egenvdet λ lösningsrummet till I 3 Cv 4 7 3 4 7 6 8 4 9 som man löser med Gauss elimination och får 3 E Span 6 v v 3 Analogt hittar man egenrummet E motsvarande egenvdet λ och E motsvarande egenvdet λ som lösningsrummet till I 3 Cv respektive I 3 Cv och får E Span och E Span 3 7 D a Karakteristiska polynomet av detλi 3 D det D λ λ λ λ 3 b Egenvdena av D nollställen till karaktistiska polynomet alltså har D egenvdet λ c Motsvarande egenrum E lösningsrummet till v I 3 Dv v 3 v E Span Om rotationsvinkel inte eller 8 då ligger bilden av en icke noll vektor aldrig parallell till vektorn själv Dmed har en rotationsmatris i planet med rotationsvinkel olik och 8 inga egenvektorer och dmed också inga egenvden Alternativt kan man se att karakteristiska polynomet har om rotationsvinkel olik och 8 inga reella egenvden
3 A: a Då karakteristiska polynomet av A lika med λ den algebraiska multipliceten av egenvdet λ lika med Då dimensionen av egenrummet E lika med den geometriska multipliciteten av λ lika med b Då den algebraiska och geometriska multpliciteterna av egenvdet inte lika matrisen inte diagonaliserbar B: a Den algebraiska och geometriska multipliciteten av båda egenvdena lika med b Då den algebraiska och geometriska multpliciteterna av båda egenvderna lika och addera till matrisen diagonaliserbar c Diagonalmatrisen D består av egenvdena av B D 3 och matrisen P basbytesmatris från basen av egenvektorer till standardbasen { P Obs: N ni har kommit så långt testa att P DP verkligen lika med B! C: a Den algebraiska och geometriska multipliciteten av egenvde och lika med b Då den algebraiska och geometriska multpliciteter av båda egenvdena lika och addera till 3 matrisen diagonaliserbar c Diagonalmatrisen D består av egenvdena av C D } och matrisen P basbytesmatris från basen av egenvektorer tagen i samma ordning som egenvdet i D till standardbasen 3 6 P 3 3 6 3 7 7 D: a Algebraiska multipliceten av egenvdet λ lika med 3 Då dimensionen av egenrummet E lika med den geometriska multipliceten av λ lika med b Då den algebraiska och geometriska multpliciteter av egenvdet inte lika matrisen inte diagonaliserbar
4 För att beräkna A börja vi med att hitta egenvdena av A Karaktistiska polynomet av A lika med detλi A λ λ så att A har de två egenvde och Egenrummet E motsvarande egenvdet hittar vi som lösningen av I Av E Span { och egenrummet E motsvarande egenvdet hittar vi som lösning ai Av { } E Span Det följer att för D A P DP och dmed och P } A P DP P D P 4 4 För varje av följande symmetriska matriser S hitta en ortogonal matris P P SP diagonal Lösning: a Vi hittar P som basbytesmatrisen från en ortonormalbas av egenvektorer till standardbasen Dför beräkna vi först att egenvdena av S som lösningen till detλi S λ 4 λ λ 3 λ+λ 3 λ och λ 3 Motsvarande egenrum E Span { } Basbytesmatrisen från ortonormal basen { / / och E 3 Span / / till standardbasen lika med ortogonala matrisen P / / / / } { } 3 4
P SP 3 b Vi hittar P som basbytesmatrisen från en ortonormalbas av egenvektorer till standardbasen Dför beräknar vi först att egenvdena av 7 4 4 S 4 8 4 8 som lösningen till detλi 3 S λ 9 λ + 9 λ 9 och λ 9 Motsvarande egenrum E 9 Span och E 9 Span Basbytesmatrisen från ortonormal basen / / /3 4/3 /3 till standardbasen lika med P / / /3 4/3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 c Vi hittar P som basbytesmatrisen från en ortonormalbas av egenvektorer till standardbasen Dför beräkna vi först att egenvdena av S 9 som lösningen till detλi 3 S λ 3 λ + λ λλ λ λ λ och λ Motsvarande egenrum E Span E Span och E Span 4 Basbytesmatrisen från ortonormal basen / /3 / /3 /3 till standardbasen lika med P / / /3 /3 /3 /3 4/3 /3 /3 4/3 /3
6 Hitta en 3 3 matris med egenvdena λ λ 3 och λ 3 7 och tillhörande egenvektorer v v 3 Lösning: En ortonormal bas av egenvektorer / / / / Låt ortogonala matrisen P vara basbytesmatrisen från ovanstående basen av egenvektorer till standardbasen och diagonalmatrisen D består av egenvde av A dvs P A P DP t / / / / / / / / 3 / 7/ / 7/ och D 3 7 / / / / 3 7 / / / / 3 3 4 4 3 Obs: Kontrollera nu att Av λ v A λ och Av 3 λ 3 v 3 7 En symmetrisk 3 3 matris A har karakteristiska polynomet detλi 3 A λ + λ och alltså egenvderna och En egenvektor hörande till egenvdet Bestäm matrisen A Lösning: Egenrummet motsvarande egenvdet ligger ortogonal till egenvdet motsvarande egenvde och består dmed av vektorer för vilka v v 3 + v 3 Vi hittar alltså en ortonormal bas av egenvektorer som / / / /
Låt ortogonala matrisen P vara basbytesmatrisen från ovanstående basen av egenvektorer till standardbasen och diagonalmatrisen D består av egenvde av A dvs P A P DP t / / / / / / / / / / / / och D / / / / / / / / Obs: Kontrollera att A den sökta matrisen dvs att detλi 3 A λ+ λ och A