75 12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI. I slutet av 1800-talet uppfann Cantor mängdteorin som ett hjälpmedel vid sitt arbete med integrationsteori. Med en mängd menade Cantor "vilken som helst samling av väl åtskilda objekt i vår föreställning, tänkta som en helhet", dvs i "Cantors paradis" fick man bilda mängder utan några restriktioner. Exempel 12.1 {1,2}, N = {0,1,2,3,...}, {alla ändliga mängder med 7 element}. I mängdteorin studeras mängder helt utan struktur, samt mängder försedda med en ordningsrelation. Typiskt problem: storleksjämförelser. Kan göras både för mängder utan struktur och för ordnade mängder. Exempel 12.2 Jämför mängden av personer och mängden av sittplatser i en lokal. Kan göras enligt två principer: a) para ihop personer och sittplatser; b) räkna 1,2,3,... för både personer och sittplatser. a) motsvarar begreppet mäktighet eller kardinalitet. Vi definierar: card A = card B finns bijektion: A B card A card B finns injektion: A B card A < card B finns injektion men ej bijektion: A B. Observera att tills vidare ger vi ingen självständig betydelse åt "card A" och "card B", utan "card A = card B" är att betrakta som att en viss relation gäller mellan A och B. Man ser lätt att denna är en ekvivalensrelation. Vidare är relationen card A card B reflexiv och transitiv (inses lätt) och antisymmetrisk (inte trivialt), dvs den är en partialordning. (Huruvida denna partialordning är en totalordning, se nedan). Exempel 12.3 En oändlig mängd kan, till skillnad från en ändlig, ha samma kardinalitet som en äkta delmängd av sig själv. Exempelvis är card N = card {jämna naturliga tal}, vilket inses med hjälp av bijektionen f(x) = 2x. b) i exempel 12.2 motsvarar begreppet ordinalitet, avseende välordnade mängder. Definition En välordning av A är en totalordning (linjär ordning), sådan att varje delmängd av A har ett minsta element. Hur kan en välordnad mängd se ut? Här några exempel: {0,1,2,3,...,n}, {0,1,2,3,...}, {0,1,2,3,...,ω,ω+1,ω+2,...}, {0,1,2,3,...,ω,ω+1,...,2ω,2ω+1,...3ω,3ω+1,...ω 2,ω 2 +1,...,ω 2 +ω,......,ω 2 +2ω,...,2ω 2,...3ω 2,...,ω 3,...,ω 4,...ω ω,... } osv, osv.
76 För välordnade mängder A finns en induktionsprincip, som generaliserar den vanliga induktionsprincipen för naturliga tal: x Α(P(y) för alla y < x P(x)) x A(P(x)) (Observera att speciell "bas" för induktionen ej behövs med denna formulering: om det minsta elementet i A betecknas 0, så följer P(0) av att (P(y) för alla y < 0 P(0)) är sant). Denna typ av induktion kallas transfinit induktion, om A går utöver N. Om A och B är två välordnade mängder, så kan man med transfinit induktion visa att precis ett av följande påståenden gäller: (i) det finns en ordningsbevarande bijektion: A B (ii) dito men med A äkta begynnelseavsnitt av B (iii) dito men med B äkta begynnelseavsnitt av A. Vi skriver i fall (i) ord A = ord B (ii) ord A < ord B (iii) ord B < ord A. I "Cantors paradis" kunde förstås alla mängder välordnas. Det följer att där för godtyckliga mängder A och B gällde antingen card A card B eller card B card A (kardinaliteterna alltså linjärt ordnade). Cantor införde kardinaltal och ordinaltal: talen 0,1,2,3,... svarande mot ändliga mängder utvidgades med oändliga tal. Det minsta oändliga talet kallas ofta ω, som ovan. Det är både ett kardinaltal och ett ordinaltal; som kardinaltal svarar det mot uppräkneligt oändliga mängder (med samma kardinalitet som N, alltså). Ett par välkända resultat: OBS Om A i, i = 0,1,2,3,... är uppräkneliga, så är B = Ak k=1 uppräknelig (dvs "en uppräknelig union av uppräkneliga mängder är uppräknelig"). Bevis-skiss: A 0 : a 00 a 01 a 02 osv............ A 1 : a 10 a 11 a 12................. A 2 : a 20 a 21 a 22................. A 3 : a 30............................... : Jämför det vanliga beviset för att de rationella talen är uppräkneliga. OBS Låt A vara en godtycklig mängd, och (A) A:s potensmängd, dvs mängden av alla delmängder till A. Då gäller card A < card (A). (Speciellt för ändliga mängder: card A = n card (A) = 2 n ).
77 Bevis: En injektion f: A (A) finner man lätt, t.ex. f(x) = {x}. Vi ska nu se att det inte kan finnas någon bijektion g: A (A). Tag nämligen en godtycklig funktion g: A (A) och bilda mängden B = {x A ; x g(x)}. Då gäller att B (A), men B är inte = g(x) för något x A (varför?). Jämför med "Cantors diagonalbevis" (brukar presenteras i analyskurser) för att de reella talen är överuppräkneliga. Om vi observerar att vi medelst binärbråksframställning (nästan) har en bijektion mellan det reella intervallet [0,1] och (N) (enligt principen för karakteristisk funktion: t.ex. får delmängden {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13,...} motsvara det binära bråket 0,11011011011011...), så finner man vid närmare betraktande att Cantors diagonalbevis förlöper parallellt med det ovanstående beviset för card A < card (A). Betrakta följande svit av mängder: N, (N), ( (N)), ( ( (N))),..., M = unionen av alla föregående, (M), ( (M)), ( ( (M))),..., L = unionen av alla föregående, (L), ( (L)), ( ( (L))),...... Tanken på de ökande mäktigheterna är tämligen svindlande. Cantor ställde upp kontinuumhypotesen: det finns ingen kardinalitet mellan card N (uppräknelighet) och card (N) (de reella talens mäktig-het). Han lyckades ej avgöra denna fråga; vi skall återkomma till den nedan. Att mängdteorin är en kraftfull teori framgår av att all "vanlig" matematik kan fås i den: man kan i mängdteorin definiera begreppen Cartesisk produkt A x B, relation och funktion, samt olika typer av tal (naturliga, hela, rationella, reella, komplexa), vidare gränsvärde, kontinuitet, derivata, integral, oändlig serie etc etc, samt bevisa allt i traditionell matematik. I början av seklet drevs emellertid matematikerna ut ur "paradiset": man hittade motsägelser, eller paradoxer i mängdläran. Sätt t.ex. M = unionen av alla mängder (i "Cantors paradis" fick man bilda mängder på detta sätt). Vi finner då Cantors paradox: för varje godtyckligt vald mängd A gäller enligt definitionen av M att A M, varav följer card A card M. Speciellt skall detta vara sant för A = (M). Motsägelse! Burali-Fortis paradox: motsvarande för ordinalitet. Russells paradox: Sätt U = {alla mängder som inte har sig själva som element}. Vi finner då U U U U och U U U U, vilket är en motsägelse. (Jämför med den populära varianten: barberaren i byn rakar alla som inte rakar sig själv; rakar han sig själv?)
78 Slutsatsen måste bli att man tydligen inte får bilda mängder hur som helst. Mängderna i ovanstående paradoxer verkar t.ex. att vara "för stora" i någon mening. I och med paradoxerna kunde man tala om en grundlags-kris i matematiken. Tre olika skolor för att grundlägga matematiken uppstod: Russells typteori Intuitionism Formalism Kommenterar vi inte här. (konstruktiv matematik). Tillåter ej "fullbordade oändligheter". Tidigare diskuterat i samband med naturlig deduktion. (axiomatisk metod). Klassisk matematik skall formuleras som en formell axiomatisk teori (språk L, axiomsystem Γ; P är ett teorem om Γ - P i någon lämplig formell kalkyl, t.ex. naturlig deduktion). Teorin skall bevisas vara "konsistent", dvs motsägelsefri. Hur skall ovannämnda konsistensbevis gå till? Med en modell? (Om det finns någon modell för axiomen måste de vara konsistenta. Varför?) Modellen får hämtas från en annan (samma?!) teori, t.ex. mängdteorin. Exempel på detta är skapandet av den icke-euklidiska geometrin. Skaparen av formalismen, David Hilbert, hade en annan vision: använd bara "ändliga" eller "metamatematiska" metoder, dvs försök visa, genom att betrakta den formella kalkylen som en samling spelregler, att inte kan härledas i den betraktade teorin (den är ju då konsistent). Det första förslaget ovan ger relativa konsistensbevis: "om den teorin är konsistent, så är också den". Det andra förslaget kallas "Hilberts program". 1931 bevisade Kurt Gödel sina mest berömda resultat, som innebar att Hilberts program kraschade i två avseenden: (i) Betrakta Peanos axiomsystem. Gödel visade att hur mycket vi än utvidgar axiomsystemet (ett visst naturligt krav ställs alltid på ett axiomsystem, se vidare avsnitt 13) så förblir teorin ofullständig (dvs det finns aritmetiska utsagor P sådana att varken P eller P följer av axiomen), så länge den är konsistent. (ii) Konsistensen av teorin ifråga kan inte bevisas med metoder som är formaliserbara i teorin själv (en utvidgning av Peanos axiomsystem alltså), än mindre med "ändliga" metoder.
79 Desto värre är det naturligtvis att bevisa konsistensen för en axiomatisering av den betydligt starkare mängdteorin (metoder som inte är formaliserbara i den axiomatiska mängdteorin är det svårt att ens drömma om). Konsistensen av nedanstående axiomsystem Z för mängdteorin får alltså bli en trossak. Z formulerades av Zermelo 1908. Här kan i princip all klassisk matematik härledas. Systemet förstärktes senare till ZF av Fraenkel, huvudsakligen på grund av behov från den rena mängdteorin. Ett språk för mängdteori (tvåställig predikatsymbol) {, } (tvåställig funktionssymbol. Obs: en enda symbol), (enställiga funktionssymboler) (individkonstant) Det "naturliga" universum föreställer vi oss bestå av mängder uppbyggda (transfinit) av och { } (mängdklammer med godtyckligt, ev transfinit, antal element). Exempelvis {, { }, {{ }}, {{{ }}},...}. Här handlar det om ett system med bara en "atom" (objekt som inte har några element); i andra system kan förekomma många atomer, t.ex. de naturliga talen. Vi skall nedan se hur dessa kan definieras i Z. Axiom i Zermelos system Z: x y( z(z x z y) x = y) x( x ) x y z(z {x,y} z = x z = y) x y(y x z(z x y z)) extensionalitet tom mängd oordnade par union (Vi inför här några definitioner: {x} = {x,x}, x y = {x,y}, S(x) = x {x}, {x,y,z} = {x,y} {z}, {x,y,z,w} = {x,y,z} {w} etc, 0 =, 1 = S(0) = { } = {1}, 2 = S(1) = {,{ }} = {0,1}, 3 = S(2) = {,{ },{,{,{ }}} = {0,1,2} osv. ) x( x y(y x S(y) x)) (Definition: x y z(z x z y) x y(y (x) y x) x 1... x n x y z(z y z x P(z,x 1,...,x n )) oändlighet potensmängd separation Separationsaxiomet är ett oändligt axiomschema, ett axiom för varje formel P(z,x 1,...,x n ) med de fria variablerna z, x 1,..., x n. För att förstå vad det säger, titta på det enklaste fallet med n = 0: x y z(z y z x P(z)), dvs "givet en mängd x, så finns en mängd y som består av alla element z i x som uppfyller villkoret P(z)".
80 Exempel 12.4 x y z w(w z w y w x) är ett separationsaxiom (med litet andra namn på variablerna). Det kan uttydas: "för alla mängder x och y existerar mängden z = x y". Man kan också välja att utöka språket med,,, etc etc, och införa axiom för dessa i stället för definitioner; effekten blir densamma. Man brukar i Z inkludera ytterligare ett par axiom, urvalsaxiomet och regularitetsaxiomet, varav det första tilldrar sig stort intresse i olika sammanhang (det andra är mera av tekniskt intresse, ej så väsentligt). För vidare studium av mängdteori hänvisar vi i första hand till Halmos klassiska bok "Naive Set Theory". Vad gäller Cantors tidigare nämnda kontinuumhypotes bevisade Gödel att den ej kan motbevisas i teorin ZF (Z), förutsatt att denna teori är konsistent. Så sent som 1963 visade Cohen att den inte heller kan bevisas i ZF (Z). Kontinuumhypotesen är alltså oberoende av de vanliga axiomsystemen för mängder. Två attityder kan intas till denna situation: antingen kan man låta mängdteorin förgrena sig i en variant där kontinuumhypotesen gäller och andra varianter där dess negation gäller, analogt med uppdelningen av geometrin i euklidisk och icke-euklidisk; eller så kan man mena att kontinuumhypotesen borde kunna avgöras, bara vi hittar en adekvat utvidgning av axiomsystemet. Gödel och Cohen visade också att samma situation gäller för urvalsaxiomet som för kontinuumhypotesen, samt flera liknande resultat. Vi vill slutligen betona att axiomatisering inte enbart, eller ens huvudsakligen, används för att lösa grundlagsfrågor. Det är också ett sätt att abstrahera vissa väsentliga egenskaper som finns hos olika matematiska system. Typiskt är då att man har flera olika intressanta modeller av teorin. (I grundlagsfallet har man tvärtom föreställningar om en viss naturlig tolkning av teorin; jämför dock icke-standardmodeller för Peanos axiom). Det handlar om att systematisera, att åstadkomma en "korsbefruktningsprocess" mellan olika delar av matematiken. Exempel 12.5 Vektorrum, grupper, ringar, kroppar, partialordningar, lattices, booleska algebror etc etc. ***************************