TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av kursen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 56 Innehåll föreläsning 12: 1. Reglerproblemet 2. Modellbygge ˆ Fysikalisk modell ˆ Identifiering (t ex frekvensanalys) 3. Specifikationer ˆ Modellen ˆ Tidsplanet ˆ Frekvensplanet ˆ Känslighet ˆ Robusthet 4. Analys av lineära tidsinvarianta system ˆ Simulering ˆ Lineära differential ekvationer ˆ Stablitet 5. Syntes av regulatorer ˆ Kompensering (t ex PID- och lead-lagregulator) ˆ Tillståndsåterkoppling
Reglerproblemet
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 3 / 56 1. Reglerproblemet: Ex design av farthållare
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 4 / 56 1. Reglerproblemet Givet ett system S med en mätsignal y, bestäm dess styrsignal u, så att utsignalen y så nära som möjligt följer referenssignalen r, trots inverkan av störningar v och systemvariationer.
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 5 / 56 1. Design av farthållare u(t) Drivande/bromsande kraft genererad av motor och broms [N] y(t) Bilens hastighet [m/s] φ Vägbanans lutning [rad] m Bilens vikt [kg] α Luftmotståndskoefficient [Ns/m], luftmotstånd = αy(t) [N]
Modellbygge
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 7 / 56 2. Modellbygge: Metoder Två huvudalternativ för modellering: 1. Använd kunskaper från fysik, ellära, biologi, etc och härled ekvationerna. Exempel farthållare: Newton mẏ(t) = u(t) αy(t) mg sin(φ) Modell: (m = 1000 kg, α = 200 Ns/m, φ = 0) 1000ẏ(t) + 200y(t) = u(t) 2. Använd experimentella mätningar av u och y, frekvensanalys. Exempel ögondynamik och lyftkran
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 8 / 56 2. Modellbygge: frekvensanalys Högtalartest: ˆ En testsignal (en sinusformad spänning) skickas till högtalaren. ˆ En mikrofon mäter ljudet och registrerar förstärkningen från spänningsstyrka till ljudvolym. Typiska fenomen: ˆ Mätsignalen (ljudet) har samma frekvens (skulle låta väldigt illa annars) men förstärkningen beror på frekvensen.
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 9 / 56 2. Modellbygge: frekvensanalys sinus in, sinus ut
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 10 / 56 2. Grafisk framställning av frekvensfunktionen Frekvensfunktionen kan skrivas som i arg G(iω) G(iω) = G(iω) e Bodediagram består av: ˆ Amplitudkurva G(iω) ˆ Faskurva arg G(iω) G(s) = 1 s + 1
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 11 / 56 2. Modellbygge: ex frekvensanalys av ögondynamik Ögat har en reglermekanism som ser till att lagom ljusmängd kommer till näthinnan genom att pupillens storlek anpassas till det infallande ljuset.
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 12 / 56 2. Modellbygge: ex bodediagram för ögondynamik Experiment Genom att utföra en rad sinus in, sinus ut experiment kan vi skissa upp ett bodediagram för ögondynamiken. Vi har experimentellt tagit reda på systemets dynamik genom att göra mätningar på systemet.
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 13 / 56 2. Modellbygge: ex frekvensanalys av lyftkran Insignal: Pålagd kraft i upphängningen Utsignal: Lastens position i sidled
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 14 / 56 2. Modellbygge: ex frekvensanalys av lyftkran Svårt att modellera matematiskt (främst pga de flexibla kablarna) Istället har experiment med sinusformade insignaler genomförts, och gett ett bodediagram för systemet
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 15 / 56 2. Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p Lutningen ges i db-skalan av 20 db per 10 rad/s, eller 20 db per dekad. Dekad = 10-potens
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 15 / 56 2. Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p G(iω) : Amplitudkurva (belopskurva) log-log-skala (ofta i db) arg G(iω): Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 16 / 56 2. Andra ordningens system Bodediagram för 1 G(s) = s 2 + 2ζs + 1 Den asymptotiska approximationen är dålig nära resonanstoppen.
Specifikationer
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 18 / 56 3. Specifikationer Skapar en länk mellan kraven på systemet (ofta från en kund) och vår matematik: ˆ Svängighet ˆ Snabbhet ˆ Statisk noggrannhet Specifikationer kan anges i: ˆ Tidsplanet (stegsvar) ˆ Frekvensplanet (bodediagram) ˆ Modellens egenskaper (poler)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 56 3. Specifikationer Reglermål: z(t) = r(t) Z(s) = Specialfall G c (s) }{{} Slutna systemet R(s) + S(s) }{{} Känslighetsfuntionen V (s) Den modell vi tidigare (oftast) jobbat med får med: F r (s) = F y (s) = F (s) och n = 0 T (s) N(s) }{{} Komplementära känslighetsfunktionen
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 20 / 56 3. Specifikationer i tidsplanet Stegsvar för en insignal med amplitud r y d Myf y f r 0.9y f e0r d 0.1y f t T r Ts ˆ Snabbhet (stigtid, T r ) ˆ Svängighet (översläng, M fy, lösningstid, T s ) ˆ Stationärt fel (felkoefficienter, e 0, e 1,... )
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 21 / 56 3. Specifikationer, polernas läge Kopplingen mellan poler och stegsvar: 1. Ökat avstånd från origo snabbare system 2. Polen närmast origo bestämmer mest (dominerande) 3. Komplexa poler svängigt system
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 22 / 56 3. Specifikationer, slutna systemet i frekvensplanet Y (s) = G c (s)r(s) = G o(s) 1 + G o (s) R(s)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 23 / 56 3. Specifikationer, det öppna systemet 1 arg G o ϕ m A m G o 180 ω c Skärfrekvens, ω c : G(iω c ) = 1 ω p Fasmarginal, ϕ m : ϕ m = arg G o (iω C ) ( 180 ) Amplitudmarginal, A m : A m = 1 G o(iω p) Fas-skärfrekvens, ω p : arg G o (iω p ) = 180 ω [rad/s]
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 24 / 56 3. Specifikationer, samband mellan specifikationer Poler Tidsplanet Frekvensplanet Stegsvar Bode G c(s) Bode G o(s) Snabbhet avstånd till stigtid, T r bandbredd, skärfrekvens, origo ω B ω c Svängighet vinkel mot översläng, resonanstopp, fasmarginal, reella axeln M, lösningstid, M p φ m Stationärt fel T s lim t e(t) statisk först, G c(0) 1 statisk först, G o(0)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 25 / 56 3. Specifiaktioner, känslighet mot störningar G c = S = T = GF r 1 + GF y 1 1 + GF y GF y 1 + GF y Varför kan inte S(s) göras godtyckligt liten? 1. Praktiska skäl: ˆ S(s) liten svarar mot att G(s)F y (s) är stor, vilket kräver en stor styrsignal. ˆ S(s) kan bara göras liten i det frekvensområde som har små mätstörningarm eftersom S(s) + T (s) = 1 2. Teoretiska skäl: ˆ Bodes integralsats S(iω) < 1 för vissa frekvenser S(iω) > 1 för andra frekvenser.
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 26 / 56 3. Specifiaktioner, robusthet mot modellfel ˆ Hur bra måste vår modell av det verkliga (sanna) systemet vara? ˆ Vad händer med stabiliteten?
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 27 / 56 3. Specifiaktioner, robusthetskriteriet G c (iω) = T (iω) < 1 G (iω) OBS Om α är liten (den försummade dynamiken har låg frekvens, dvs den är långsam) måste bandbredden vara låg.
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 28 / 56 3. Specifiaktioner, robusthet: ex svävande kula (1/3) Vi approximerar modellen för den svävande kulan med en dubbelintegrator (dvs ett enkelt kraft-massa system) mÿ(t) = u(t) Y (s) = 1 ms 2 U(s) Vi känner inte kulans massa exakt utan har m = m + δ Den verkliga överföringsfunktionen kan efter lite omskrivningar skrivas som 1 ( n + δ)s 2 = 1 m ( δ ) 1 + m + δ }{{} G
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 29 / 56 3. Specifiaktioner, robusthet: ex svävande kula (2/3) Nominell modell med m = 1 G(s) = 1 s 2 Regulator baserad på nominell modell (PD med approximerad derivata) ( s ) F (s) = 2 1 + 2 0.1s + 1 Komplementära känslighetsfunktionen T (s) = G(s)F (s) 1 + G(s)F (s)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 30 / 56 3. Specifiaktioner, robusthet: ex svävande kula (3/3) Robusthetskriteriet Som störst 1.172 G c (iω) = T (iω) < 1 G (iω) δ 1 < 1 + δ 1.172 0.46 < δ < 5.8
Analys
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 32 / 56 4. Analys ˆ Simulering (datorlektioner och labbar) ˆ Beskrivning av lineära differentialekvationer ˆ Överföringsfunktionen G(s) (poler och nollställen) ˆ Frekvensfunktionen G(iω) (bodediagram) ˆ Tillståndsbeskrivning (egenvärden) ˆ Stabilitet
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 33 / 56 4. Analys, stabilitet Definition (Insignal-utsignalstabilitet) Ett system sägs vara insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger upphov till en begränsad utsignal. ˆ Ett system är insignal-utsignalstabilt om alla systemets poler har strikt negativa realdelar. ˆ Ett system är insignal-utsignalstabilt om och endast om samtliga egenvärden till A har strikt negativ realdel. ˆ Det slutna systemet är insignal-utsignalstbilt om och endast om ϕ m > 0 och A m > 1.
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 34 / 56 4. Analys, stabilitet och bodediagram (1/2) Tankeexperiment För frekvensen ω 0 gäller att: G o (iω 0 ) = 1 arg G o (iω 0 ) = 180 Omkopplaren i läga A (stationärt tillstånd): y(t) = G o (iω 0 ) sin ( ω 0 t + arg G o (iω 0 ) ) = sin(ω 0 t π) = sin(ω 0 t)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 35 / 56 4. Analys, stabilitet och bodediagram (2/2) Tankeexperiment ˆ I punkten B är signalen y(t) = sin(ω 0 t) ˆ Momentan förändring från A till B medför nu att systemet upprätthåller en sjävsvängning ˆ Två fall: Fall 1, G o (iω 0 ) < 1: Fall 2, G o (iω 0 ) > 1: Svängningens amplitud avtar. Svängningens amplitud ökar.
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 36 / 56 4. Analys, stabilitet och bodediagram Självsvängning (stabilitetsgräns) G(iω 0 ) = 0 arg G(iω 0 ) = 180 Stabil Instabil
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 37 / 56 4. Analys, samband mellan specifikationer, forts Poler Tidsplanet Frekvensplanet Stegsvar Bode G c(s) Bode G o(s) Snabbhet avstånd till stigtid, T r bandbredd, skärfrekvens, origo ω B ω c Svängighet vinkel mot översläng, resonanstopp, fasmarginal, reella axeln M, lösningstid, M p φ m T s Stationärt fel lim t e(t) statisk först, G c(0) 1 statisk först, G o(0) Stabilitet i VHP går mot φ m > 0, Re(s) < 0 ett ändligt A m > 0 (BIBO) värde
Syntes
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 39 / 56 5. Syntes ˆ Kompensering r + u + Σ F G + Σ v y ˆ ˆ PID-regulator Lead-lagregulator ˆ Tillståndsåterkoppling U(s) = ( K P + K ) I s + K Ds E(s) U(s) = K τ Ds + 1 τ I s + 1 βτ D s + 1 τ I s + γ E(s) u(t) = Lx(t) + r(t)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 40 / 56 5. Syntes, PID-regulator t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ }{{} t 0 Proportionell }{{} Integrerande + K D de(t) dt }{{} Deriverande e(t) = r(t) y(t) är reglerfelet. Laplacetransform för PID regulatorn ( U(s) = K P + K ) I s + K Ds E(s) Intuition för PID-regulator P -reglering betrakatar felet just nu (minskar reglerfelet) I -reglering minns även gamla fel (tar bort stationärt fel) D -reglering förutser vad som kommer att hända (stabiliserar)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 41 / 56 5. Syntes, ex flygplan Vi vill ha en regulator som uppfyller: ˆ Snabbare: ω c,d = 5 rad/s ˆ Mer dämpad: minst ϕ m = 50 ˆ Stationära felet då insignalen är ett steg: max 5 %
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 42 / 56 5. Syntes, P-regulator, ex flygplan Vi vill ha ett snabbare system, dvs öka ω c G(s) G o (s) = F (s)g(s) = 3G(s) Ren förstärkningsökning ger en ökad bandbredd (snabbare system), men fasmarginalen minskar (ökad översläng, högre resonanstopp)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 43 / 56 5. Syntes, fasavancerande (lead-) länk F P D (s) = F lead (s) = K τ Ds + 1 βτ D s + 1 1. Välj β så att den maximala fasökningen blir den önskade ϕ max = arctan 1 β 2 β Dvs placera argumentkurvans topp på den önskade skärfrekvensen 2. Se till att den maximala fasökningen sker just vid den önskade skärfrekvensen τ D = 1 ω c,d β
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 44 / 56 5. Syntes, maximal fasavancering
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 45 / 56 5. Syntes, ex flygplan, slutgiltig leadlänk F lead = K τ Ds + 1 βτ D s + 1 = 1.05 0.58s + 1 0.12 0.58s + 1 En leadlänk ger alltså: ˆ ˆ Ökad fas Ändrad förstärkning Detta är en PD-regulator. (D-delen har stabiliserande verkan!)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 46 / 56 5. Syntes, ex. kretsförstärkningen för F lead G Ser bra ut! Hur är det med det stationära felet?
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 47 / 56 5. Syntes, fasavancerande (lag-) länk F P I (s) = F lag (s) = τ Is + 1 τ I s + γ 1. Välj γ så att lågfrekvensförstärkningen blir den önskade. 2. Välj τ I
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 48 / 56 5. Syntes, ex flygplan, slutgiltig laglänk F lag (s) = τ Is + 1 τ I s + γ = 2s + 1 2s + 0.11
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 49 / 56 5. Syntes, ex flygplan, slutlig lead-lagregulator 0.58s + 1 2s + 1 F (s) = F lead(s) F lag (s) = 1.05 0.12 0.58s + 1 2s + 0.11 G(s) G o (s) = F (s)g(s)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 50 / 56 5. Syntes, ex flygplan, analys av regulator v + r u y + Σ F G + Σ Stegsvar för slutna systemet Bodediagram för slutna systemet
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 51 / 56 5. Syntes, kretsformning, lead-lagkompenering 1. Räcker det med en P-regulator? 2. Inför en leadlänk (PD) för att få tillräcklig snabbhet och stabilitetsmarginal 1. Välj β så tillräcklig ϕ m fås (tänk på att laglänken tar fas) 2. Välj τ D så att fasökningen sker vid ω c 3. Välj K så att w c hamnar rätt 3. Om reglerfelet är för stort, inför en laglänk (PI) 1. Välj γ så felkoefficienterna blir tillräckligt liten 2. Välj τ I så insvängningen mot stationäritet blir tillräckligt snabb 4. Rita bodediagram för det kompenserade systemet. Kontrollera att samtliga krav i frekvensplanet är uppfyllda. 5. Rita stegsvar och kontrollera att samtliga krav i tidsplanet är uppfyllda. OBS! Det är inte ovanligt att man måste göra om sin syntes några gånger! Det är en iterativ process!
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 52 / 56 5. Syntes, tillståndsåterkoppling Styrlag: u(t) = Lx(t) + r(t) = Lx(t) + l 0 t(t)
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 53 / 56 5. Syntes, tillståndsåterkoppling, val av regulatorn L Antag här att dim(a) = 2 och L = (l 1, l 2 ), och poler önskas i p 1 och p 2. 1. Det önskade karakteristiska polynomet blir (s p 1 )(s p 2 ) = s 2 + ( p 1 p 2 )s + p 1 p 2 = 0 (1) 2. Återkopplingens (A BL) karakteristiska polynom ges av: det ( si (A BL) ) = 0 3. Skriv på formen: s 2 + f 1 (l 1, l 2 )s + f 2 (l 1, l 2 ) = 0 (2) 4. Jämför (1) och (2), kvationssystemet blir: f 1 (l 1, l 2 ) = (p 1 + p 2 ) f 2 (l 1, l 2 ) = p 1 p 2 5. Lös ut l 1 och l 2. 6. Välj l 0 för att få rätt statisk förstärkning.
Sammanfattning
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 55 / 56 Slutligen: Hur allt hänger ihop! Snabbhet Svängighet Stationärt fel Stabilitet i VHP Re(s) < 0 (BIBO) K K polplacering K F polplacering Poler Tidsplanet Frekvensplanet Regulatorer Stegsvar Bode G c(s) Bode G o(s) PID Lead-lag Tillståndsåterkoppling avstånd stigtid, T r bandbredd, skärfrekvens, till origo ω B ω c P vinkel mot översläng, resonanstopp, fasmarginal, reella axeln M, M p φ m D lead lösningstid, T s lim t e(t)statisk statisk K I F lag l 0 först, först, G c(0) G o(0) 1 går mot ett ändligt värde φ m > 0, A m > 0 mindre K P, mindre K I, större K D F lead, K poler i VHP
TSIU61 Föreläsning 12 Gustaf Hendeby HT1 2017 56 / 56 Tack och lycka till! Reglerteknik är konsten att få saker att uppföra sig som man vill
Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se www.liu.se