Euklides algoritm för polynom

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma delaren till två polynom, och precis som för heltal kan Euklides algoritm användas till detta. Enligt faktorsatsen motsvarar gemensamma delare gemensamma nollställen. En gemensam delare h till två polynom f och g kallas för en största gemensam delare om h har maximal grad bland alla polynom som delar både f och g. Om det är fallet skriver vi SGD(f, g) = h. Den största gemensamma delaren är entydigt bestämd upp till associering. Med det menas att om h 1 och h 2 uppfyller villkoret för att vara SGD(f, g), så finns det ett nollskilt tal λ sådant att h 1 = λh 2. Exempel 6.1. Polynomen x 3 x och x 2 x 2 har x + 1 som en största gemensam delare. Man kan se ett exempel på hur det går till att dividera polynom med varandra med kvot och rest med liggande stolen i [Vre06, sid 159]. Euklides algoritm för två polynom f och g fungerar som Euklides algoritm för två heltal: Först divideras f med g med kvot och rest. Sedan divideras g med resten, första resten med andra resten osv, till dess att en division går jämnt upp och resten därmed blir noll. En största gemensam delare till f och g är den sista nollskilda resten. Eftersom den endast är bestämd upp till associering, kan vi när som helst byta ut ett polynom i Euklides algoritm mot ett associerat polynom om det förenklar beräkningarna. Eller, skrivet med formler: SGD(p(x), r(x)) = SGD(p(x), λr(x)) för alla tal λ 0. Reella polynom Den första satsen om reella polynom säger att dess icke-reella nollställen kommer i konjugerade par: Sats 6.2. Låt f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n vara ett reellt polynom, så att a 0, a 1,..., a n R. Om z = α + iβ är ett nollställe till f, så är även z = α iβ ett nollställe. Bevis. Räknereglerna för konjugering leder till att f( z) = f(z) = 0 = 0 om f(z) = 0. Om f(x) är ett reellt polynom med ett icke-reellt nollställe z så är alltså även z ett nollställe. Dessa två har samma multiplicitet: f(x) är ju delbart med det reella andragradspolynomet (x z)(x z): f(x) = (x 2 x(z + z) + z z)q(x) där q(x) är ett reellt polynom av grad två lägre än f. Om z skulle vara ett nollställe till q(x), kommer dess multiplicitet vara ett lägre än det var i f(x), och även z skulle vara ett nollställe

till q(x). Detta argument kan upprepas ända tills kvoten q(x) inte längre har z som nollställe. För varje faktor (x z) vi dividerar bort, kan vi också dividera bort en faktor (x z). Vi fortsätter med ytterligare en sats om reella polynom; den säger att ett reellt icke-konstant polynom alltid kan skrivas som en produkt av reella första- och andragradsfaktorer faktorer av grad tre eller högre behövs aldrig. De irreducibla andragradsfaktorerna motsvarar konjugerade par av icke-reella nollställen och förstagradsfaktorerna motsvarar polynomets reella nollställen. Sats 6.3. Ett reellt icke-konstant polynom kan alltid skrivas som en produkt av reellt irreducibla första- och andragradsfaktorer. Faktoriseringen är entydig (så när som på associering och faktorernas ordningsföljd). Bevis. Enligt algebrans fundamentalsats, har vi p(x) = c(x α 1 )(x α 2 ) (x α n ) där α 1, α 2,..., α n är polynomets nollställen, och den faktoriseringen är entydig. Nollställena är à priori komplexa tal, men en del av dem kan mycket väl vara reella (de som har imaginärdel noll). De icke-reella nollställena kommer i konjugerade par, och varje sådant par ger upphov till en reell andragradsfaktor: Paret α och α ger upphov till (x α)(x α) = x 2 (α + α)x + αα, som är reellt eftersom de tre koefficienterna är reella. Dessutom är det irreducibelt, eftersom en faktorisering uppenbarligen skulle kräva icke-reella tal. Därefter återstår de reella nollställena, och de ger upphov till reella förstagradsfaktorer: Ett reellt nollställe β ger upphov till den reella faktorn x β. Säg att ett reellt polynom p(x) har det komplexa nollstället x = 2 3i. Då följer det att dess konjugat x = 2 + 3i också är ett nollställe, och tillsammans ger de upphov till den reella andragradsfaktorn (x (2 3i))(x (2 + 3i)) = (x 2 + 3i)(x 2 3i) ( ) = (x 2) 2 (3i) 2 = (x 2 4x + 4) + 9 = x 2 4x + 13. Observera likheten ( ) där konjugatregeln används att multiplicera på det viset sparar en del möda när man vill hitta den reella andragradsfaktorn som hör till ett konjugerat par av icke-reella nollställen. Exempel 6.4. Bestäm samtliga nollställen till polynomet p(x) = x 7 9x 6 + 34x 5 70x 4 + 89x 3 81x 2 + 56x 20 givet att det har nollställena x = i, x = 2 + i och x = 2. Lösning: Eftersom p(x) är ett reellt polynom, kommer dess icke-reella nollställen i konjugerade par. Paret x = i och x = i ger upphov till en faktor (x i)(x + i) = x 2 + 1, och paret x = 2 + i och x = 2 i ger upphov till en faktor (x 2 + i)(x 2 i) = x 2 4x + 5.

Till sist ger nollstället x = 2 upphov till en faktor (x 2). Kvoten då p(x) divideras med (x 2 4x + 5)(x 2 + 1)(x 2) = x 5 6x 4 + 14x 3 16x 2 + 13x 10 är x 2 3x + 2, så p(x) = (x 2 + 1)(x 2 4x + 5)(x 2)(x 2 3x + 2). Eftersom x 2 3x + 2 = (x 2)(x 1) följer det att p:s samtliga (sju) nollställen är i, i, 2 + i, 2 i, 2 (dubbelt nollställe) och 1. Det följer av sats 6.3 att alla reella polynom av udda grad har (minst) ett reellt nollställe: De icke-reella nollställena kommer ju i konjugerade par, så antalet icke-reella nollställen är jämnt. Men det sammanlagda antalet nollställen (räknade med multiplicitet) är udda alltså måste det finnas minst ett reellt nollställe. Detta kan också ses på grafen till f: om högstagradstermen har positiv koefficient så gäller det att lim f(x) = och lim f(x) =, så grafen måste x x skära x-axeln någonstans däremellan. Om högstagradskoefficienten skulle vara negativ har vi istället lim f(x) = och lim f(x) =, men vi kan ändå dra samma slutsats. x x Exempel 6.5. Faktorisera följande reella polynom i reella faktorer av grad högst 2. a) p(x) = x 3 x 2 4x 6 (tips: p(3) = 0), b) p(x) = x 4 + 4, Lösning: a) Faktorn som hör till x = 3 är (x 3), och med hjälp av liggande stolen kan vi se att p(x) = (x 3)(x 2 + 2x + 2). Den andra faktorn har nollställena 1 i och 1 + i, alltså ett konjugerat par av icke-reella nollställen. b) Det komplexa talet a är ett nollställe till p(x) omm det löser den binomiska ekvationen a 4 = 16 (se v21.pdf för beskrivning av hur en sådan ekvation löses). Lösningarna ligger på en cirkel i det komplexa talplanet med radie två och centrum i origo, och de har argument π/4, 3π/4, 5π/4 och 7π/4. Man ser (enklast genom att rita en figur) att de kommer i konjugerade par: lösningarna är 1 ± i och 1 ± i. Motsvarande faktorisering av p(x) är p(x) = (x 1 + i)(x 1 i)(x + 1 i)(x + 1 + i) = (x 2 2x + 2)(x 2 + 2x + 2). Precis som förväntat krävdes ingen faktor av grad tre eller högre. Eftersom faktoriseringen är entydig, finns inte heller något annat sätt att faktorisera p(x) på (så när som på associering och att faktorerna byter plats), så att faktorisera polynomet i reella första- och andragradsfaktorer är verkligen precis samma sak som att hitta dess nollställen. Känner man till nollställena så känner man till faktoriseringen och om man känner till faktoriseringen så känner man till nollställena. Annars kanske det vore frestande att försöka faktorisera polynomet direkt utan att först hitta dess nollställen men det är inte så enkelt som det ser ut! Multipla rötter Derivatan av ett polynom p(z) = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 2 z 2 + a 1 z + a 0 är polynomet p (z) = na n z n 1 + (n 1)a n 1 z n 2 +... + 3a 3 z 2 + 2a 2 z + a 1.

Sats 6.6. Om z = a är ett nollställe av multipliciteten m 2 till polynomet f(z), så är z = a ett nollställe av multipliciteten m 1 till derivatan p (z). Om a är ett enkelt nollställe till p(z), så är det inte ett nollställe till p (z). För att hitta multipla rötter till ett polynom p(z) bör man alltså söka en största gemensam delare till p(z) och p (z), för om z = a är en rot till både p(z) och p (z), så har båda dessa en faktor (z a). Exempel 6.7. Bestäm samtliga nollställen till polynomet p(x) = x 4 2x 3 7x 2 + 20x 12 givet att det har ett dubbelt nollställe. Lösning: Vi söker gemensamma faktorer till p(x) och p (x) = 4x 3 6x 2 14x + 20, med hjälp av Euklides algoritm. p(x) = 1 ( 4 x 1 2) p (x) 17 ( 4 x 2 53 17 x + 38 ) 17 p (x) = 4 ( x + 55 ) ( 34 x 2 53 17 x + 38 ) 17 800 289 (x 2) x 2 53 17 x + 38 17 = ( x 19 17) (x 2). Vi drar slutsatsen att p(x) och p (x) har en gemensam faktor x 2, och alltså att p(x) har ett nollställe x = 2 av multiplicitet 2. Det ger upphov till en faktor (x 2) 2 = x 2 4x + 4. Division av p(x) med denna faktor visar att p(x) = (x 2) 2 (x 2 + 2x 3), så förutom det dubbla nollstället x = 2 har p nollställena 1 och 3. Rationella rötter Sats 6.8. Antag att a 0, a 1,..., a n är heltal och att polynomet a 0 + a 1 x +... + a n x n har ett rationellt nollställe a = p/q, där p och q är heltal och SGD(p, q) = 1. Då måste p a 0 och q a n. Om speciellt a n = 1, så måste eventuella rationella nollställen vara heltal. Exempel 6.9. Ekvationen 15x 3 + 10x 2 + 21x + 14 = 0 har en rationell rot. Lös ekvationen! Lösning: Om x = p/q är en rot, så måste p {±1, ±2, ±7, ±14} och q {1, 3, 5, 15}. Eftersom alla koefficienter i polynomet är positiva finns ingen positiv rot, så p < 0. Då återstår 16 tal att testa, och det visar sig att x = 2 3 är en rot. Om man är listig, kan man utesluta ytterligare några av de 16 utan att testa: Om x 1 så följer det till exempel att både 15x 3 +10x 2 och 21x+14 är negativa, så deras summa kan ej bli noll. Då återstår bara talen med p < q. De resterande två nollställena finner man genom att dividera 15x 3 + 10x 2 + 21x + 14 med (x + 2 3 ), eller med (3x + 2) för den delen; då blir kvoten 5x2 + 7 som har de två nollställena x = ±i 7/5. Samband mellan nollställen och koefficienter Antag att andagradspolynomet t 2 + a 1 t + a 0 har nollställen α och β. Då gäller det att t 2 + a 1 t + a 0 = (t α)(t β) = t 2 t(α + β) + αβ,

så att polynomets koefficienter a 1 och a 0 ges av { a 1 = α + β a 0 = αβ. För ett tredjegradspolynom ser det ut som följer: Om polynomet har nollställen α, β och γ, så följer det att t 3 + a 2 t 2 + a 1 t + a 0 t 3 + a 2 t 2 + a 1 t + a 0 = (t α)(t β)(t γ) = t 3 t 2 (α + β + γ) + t(αβ + αγ + βγ) αβγ, så att polynomets koefficienter a 2, a 1 och a 0 ges av a 2 = α + β + γ a 1 = αβ + αγ + βγ a 0 = αβγ. I både andra- och tredjegradsfallet är alltså summan av polynomets nollställen lika med nästhögstagradskoefficienten med ombytt tecken. Och produkten av rötterna är lika med ( 1) deg(f) a 0. Detta gäller mer allmänt: Om ett polynom t n + a n 1 t n 1 +... + a 2 t 2 + a 1 t + a 0 har nollställen α 1, α 2, α 3,..., α n så gäller det att summan av dem är nästhögstagradskoefficienten med ombytt tecken och produkten av dem är ( 1) n gånger konstanttermen eller, skrivet med formler: n n a n 1 = α i och ( 1) n a 0 = α i. i=1 Detta var det sista som ingår i kursen, men vi säger ytterligare några ord om sambandet mellan ett polynoms nollställen och koefficienter för att stilla vår nyfikenhet. i=1 Överkurs Hur är det med de övriga koefficienterna? Vi har rett ut hur konstanttermen och nästhögstagradskoefficienten uppför sig, men om man tittar på formeln a 1 = αβ + αγ + βγ ovan så verkar det finnas en slags regelbundenhet även där. Om vi tittar vidare på sambandet för fjärdegradspolynom så framträder mönstret ännu tydligare: nollställena α, β, γ och δ till ett fjärdegradspolynom t 4 + a 3 t 3 + a 2 t 2 + a 1 t + a 0 uppfyller a 3 a 2 a 1 a 0 = α + β + γ + δ = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = αβγδ, och i allmänhet har vi följande samband mellan ett polynoms nollställen och dess koefficienter: Om polynomet t n + a n 1 t n 1 + a n 1 +... + a 2 t 2 + a 1 t + a 0

har nollställen α 1, α 2, α 3,..., α n så gäller det för alla 0 i n 1 att ( 1) i a i = S α σ(1) α σ(2) α σ(3) α σ(i), där summan löper över mängden S av alla funktioner σ : {1, 2, 3,..., i} {1, 2, 3,..., n} som är växande i meningen att σ(k) < σ(l) för alla 1 k < l i. Referenser [Vre06] A. Vretblad och K. Ekstig. Algebra och geometri. Gleerup, 2006.