Loggbok Matematisk Fysik FTF131 lp 2 2015

Loggbok Matematisk Fysik FTF131 lp 2 2015 Föreläsning 1 (4/11): Efter en introduktion om kursens innehåll och syfte, samt en del praktisk information, startade jag upp kursens första tema: FRÅN EXPERIMENT TILL TEORI... OCH TILLBAKS IGEN. Det centrala begreppet är här Greenfunktioner och jag repeterade via ett allmänt resonemang utfört med hjälp av Diracnotation (som jag också repeterade!) och via exemplet med Poissons ekvation hur man kan ta fram lösningen till en linjär inhomogen diff ekv genom att först bestämma dess Greenfunktion. Jag försökte sedan förmedla en fysikers sätt att tänka på en Green funktion som den integralkärna som kopplar samman störfält och respons i fallet (då störfältet är svagt linjär respons mer om detta på fredag). Eftersom det i detta fall alltid finns en underliggande differentialekvation så sammanfaller fysikerns Greenfunktion med matematikerns, men perspektivskiftet tillåter vissa generaliseringar (dock ej i denna kurs). Föreläsning 2 (6/11): Jag började dagens föreläsning med att ge några exempel på linjär respons, där Greensfunktionen fungerar som en responsfunktion (termodynamik, transport,...). Jag tog mig sedan an ekvationen för Greensfunktionen för en driven harmonisk oscillator och försökte lösa den med hjälp av Fourier-transformering (standardmetod!).dock stötte vi på patrull då den inversa transformen visade sig innehålla poler på den reella axeln. Vad göra? Svar: komplexifiera!, dvs. bädda in reella axeln i komplexa talplanet och angrip problemet med residykalkyl. Resten av min föreläsning var en repetition av residykalkylens ABC, inkl. ett par enkla räkneexempel, bl.a. en integral på enhetscirkeln innehållande en trigonometrisk funktion. För detaljer, se slides från föreläsningen! Föreläsning 3 (11/11): Jag fortsatte repetitionen av residykalkyl genom att diskutera några problem som illustrerade hur man kan välja smarta kurvor i det komplexa talplanet. Efter det gick jag igenom de viktiga begreppen grenpunkt, grensnitt, och Riemannytor, och snackade runt litet om dessa. Tänk gärna själv igenom dessa begrepp med hjälp av läroboken och föreläsningsanteckningarna. Testa varandras förståelse! Jag visade genom ett noga valt exempel hur man kan utnyttja grensnitt till att göra residykalkyl om man har en flervärd funktion i integranden: Lägg snittet genom integrationsintervallet, bilda en sluten kurva som går strax ovanför OCH strax nedanför snittet och använd Cauchy! I mitt

exempel ersatte vi den ursprungliga integralen med en hjälpintegral som innehöll en flervärd funktion, räknade på denna med hjälp av en grensnittskonstruktion, och listade på detta sätt ut svaret på den ursprungliga integralen. Ofta en mycket användbar strategi! Föreläsning 4 (13/11): Jag började dagens föreläsning med att definiera Cauchys principalvärde av en integral av en funktion med en enkel pol på reella axeln, och tog också fram ett allmänt uttryck för principalvärdet. Jag visade sedan på ett alternativt sätt att hantera en integral med en enkel pol på reella axeln: Genom att deformera kurvan som vi använde för att definiera principalvärdet kan vi "knuffa ut" polen från reella axeln ("Feynmans trick").principalvärdet är medelvärdet av de två integralerna där vi knuffat polen uppåt respektive nedåt i det komplexa talplanet! Min diskussion kanske tedde sig litet pedantisk, varför bry sig...?!. MEN, faktiskt, en hel del (teoretisk) fysik görs just genom att knuffa runt poler i det komplexa talplanet! Jag förberedde marken genom att ta fram Kramers-Kronig relationen. En av er påpekade på rasten att Kramers-Kronig ger fel svar om funktionen F är reell. Implicit i konstruktionen förutsätts dock att F har både en real- och imaginärdel. Tänk igenom varför! Kramers-Kronig relationen används i många delar av fysiken, bl.a. för att härleda det viktiga fluktuationsdissipationsteoremt (Kubo, 1956), vilket generaliserar bl.a. Einsteinrelationen (Brownsk rörelse, 1905) och Johnson- Nyquistrelationen (sambandet mellan brus och resistivitet i en strömkrets, 1928). Efter litet rundsnack om detta gick jag sedan tillbaks till det problem som första kursveckan motiverade oss att repetera residykalkylens elementa: problemet att ta fram en Greenfunktion med hjälp av en Fouriertransform. Typiskt uppträder här poler på reella axeln, såsom i mitt typexempel med Greenfunktionen för en driven harmonisk svängning. Vi konfronteras här med frågan hur vi skall definiera integralen? Vi gick igenom tre alternativ (via exemplet med en tvingad harmonisk svängning, men resultaten är helt allmänna!), svarande mot en retarderad, avancerad, och symmetrisk Greenfunktion. (Problem 1, inlämningsomgång #2, ger ett fjärde recept, vilket i fallet med Klein- Gordon ekvationen leder till en s.k. Feynmanpropagator.) Bara den retarderade Greenfunktionen visade sig vara kausal och därmed hålla måttet för en direkt fysikalisk tolkning. Olyckligtvis hade jag i mina egna föreläsningsanteckningar här utelämnat flera steg, vilket kan ha gjort det svårt att hänga med i min framställning vid tavlan. Jag är ledsen för detta (särskilt för mitt första och inkorrekta svar på frågan varifrån stegfunktionerna kom ifrån!). Kompletta och renskrivna anteckningar för detta avsnitt kommer upp på kurshemsidan under länken Kompletterande material: vecka 2 någon av de närmaste dagarna!

Föreläsning 5 (18/11): Jag började föreläsningen med att visa ett alternativ till Fouriertransformering för att ta fram en Greenfunktion: Laplacetransformering. Fouriertransformen är dock ofta att föredra, bl.a. för att den tillåter oss att också arbeta med avancerade Greenfunktioner (hjälpmedel i formella beräkningar, även om dessa inte kan ges en direkt fysikalisk tolkning pga icke-kausaliteten). Som exempel på hur man via en Fouriertransform tar fram en Greenfunktion för en PDE så studerade vi d Alemberts ekvation. Jag visade sedan hur man fixar till ett önskat randvillkor för en Greenfunktion genom att lägga till den lösning till den homogena PDEn som ger just OK randvillkor. Vi tog sedan sats för nästa delmoment av kursen: integralekvationer. Jag formulerade de fyra huvudtyperna (Fredholm och Volterra av första och andra slaget), och diskuterade kort varför integralekvationer ibland är att föredra framför differentialekvationer (inbyggda randvillkor, naturlig formulering av det inversa problemet att rekonstruera en input från en output,...) Föreläsning 6 (20/11): Jag presenterade och räknade exempel på de två vanligaste metoderna i fysiken att lösa integralekvationer: METOD 1 (separabla kärnor) och METOD 2 (Neumannserie). Den första termen i Neumannserien kallas Bornapproximation när man gör spridningsteori i kvantmekanik, och jag gick igenom ett enkelt fall. Fysiken kommer att uppenbaras för er när ni läser kvantmekanik på Mastersnivå! Föreläsning 7 (25/11): And now for something completely different..., en rolig timme, (litet löst) motiverat av förskräckliga integraler (!). Jag försökte mig på en populärvetenskaplig introduktion till fraktaler och Hausdorffdimensioner (mest för kul) och Lebesgueintegraler (för allmänbildning)., och de användbara dominerade konvergens och Fubini teoremen.vid fysikalisk problemlösning är vi mindre bortskämda med dylika rigorösa teorem, istället måste vi förlita oss på erfarenhet, eftertanke och god fysikalisk intuition för hur vi ska ta ett gränsvärde eller kasta om två gränsvärden. Som exempel på hur lätt man kan hamna i skenbart paradoxala resultat diskuterade jag Romeos och Julias romans i roddbåten, jfr. Problem på inlämningsomgång 2! Slides finns på länkade på kurshemsidan. Jag tog också upp ett exempel från kvantmekaniken: klassisk reflektion från en underkritisk potentialbarriär! Paradoxen löstes upp när vi insåg att för att ta en klassisk gräns i denna typ av problem så måste problemet/modellen innehålla en karakteristisk längdskala!

Föreläsning 8 (27/11): Vi kastade nu in oss i kursens andra tema: VARIATIONSKALKYL. Det arketypiska problemet här är att hitta ett lokalt extremvärde för en integral av ett uttryck som innehåller en funktion y(x), dess derivata y'(x), och ev. också den oberoende variabeln x. Vi fann att vi kan lösa problemet genom att lösa Eulers ekvation, vilken är det fundamentala samband som bygger upp variationskalkylen. Jag gick igenom det kanoniska problemet med en såpbubbelfilm uppspänd över två koncentriska ringar, och passade på att utfärda varningen att i användningen av Eulers ekvation så antar man att lösningen är kontinuerlig. I fallet med såpbubbelmodellen fallerar detta antagande vid "Goldschmidtövergången"! (Se Arfken-Weber-Harris för detaljer.) Jag generaliserade sedan Eulers ekvation till fallet med flera beroende variabler, vilket naturligt ledde mig in på en kortrepetition av minsta verkans princip och Euler-Lagrange ekvationerna. Mer om detta på måndag! Föreläsning 9 (30/11): Efter att ha snabbrepeterat några formler från i fredags generaliserade jag Eulers ekvation också till fallet med flera oberoende variabler. Jag anbefallde försiktighet vid deriveringarna. Elementärt, men ändå en vanlig fallgrop vid användningen av Euler med flera oberoende variabler! Ett exempel som vi räknade tillsammans visade att Laplace ekvation för en elektrostatisk potential ingenting annat är än Eulerekvationen i förklädd form! Jag fortsatte sedan föreläsningen med en diskussion av hur man använder Lagrangemultiplikatorer i min/max problem för vanliga funktioner. Generaliseringen till funktionaler ( isoperimetriska problem ) är omedelbar (fler detaljer i AWH för dem av er som så önskar!). Jag skissade slutligen en historiskt intressant tillämpning: Schrödingers motivation av sin vågekvation via variationskalkyl med tvång. Föreläsning 10 (2/12): Jag startade idag upp kursens tredje tema: kvantmekanikens matematiska grund, speciellt teorin för Hilbertrum. Faktiskt, vi behöver denna teori inte bara för att göra kvantmekanik, men också för att på ett ekonomiskt sätt härleda de "klassiska ortogonala polynomen" (oerhört användbara i mer avancerade fysiktillämpningar). Jag värmde upp med en repetition av elementa för linjära vektorrum (välkända från kursen i linjär algebra). Jag försökte förklara varför generaliseringen ändligt-dimensionellt oändligt-dimensionellt vektorrum är icketrivial: Det är inte självklart att en Cauchysekvens av vektorer i ett oändligdimensionellt vektorrum konvergerar mot en vektor som själv är ett element i rummet. Dock, ett fullständigt vektorrum har denna önskvärda egenskap! Ett Hilbertrum är ett fullständigt inre produktrum, dvs. normen induceras av den inre produkten. Tyvärr blev det sedan litet rundgång i min diskussion av vad man kan göra med en fullständig ON sekvens Misströsta ej! Allt kommer att bli glasklart

när vi träffas nästa gång! Föreläsning 11 (9/12): Jag redde upp rundgången från förra föreläsningen med ett klargörande att fullständig ON sekvens i ett Hilbertrum kan definieras på två olika sätt. Mitt resonemang 2/12 avsåg att visa detta, speciellt att egenskapen nollvektorn är den enda vektorn som är ortogonal mot varje element i sekvensen tillsammans med ON-egenskapen är ekvivalent med att varje vektor i Hilbertrummet kan utvecklas i en serie med elementen i den fullständiga ON-sekvensen. Jag gjorde sedan ett avbrott från rutinerna med en slideshow på (den icke-relativistiska) kvantmekanikens fyra postulat, där jag bl.a. berättade om mätproblemet, och kort redogjorde för några av de tankeskolor (tolkningar av kvantmekaniken) som uppstått kring försöken att komma till rätta med problemet. Jag fick här lägga band på mig att inte fara iväg på en helt annan tangent än kursens! Fantastiskt fascinerande ämne! En utmärkt introduktion för dig som vill gå litet mer på djupet är kapitel 8 ( Conceptual issues in quantum theory ) i Chris Ishams bok QUANTUM THEORY: MATHEMATICAL AND STRUCTURAL FOUNDATIONS. Wojciech Zureks text http://fy.chalmers.se/~tfkhj/zurek.pdf rekommenderas också!tillbaks vid svarta tavlan fortsatte jag sedan med att via ett exempel (Gram-Schmidt och Legendre polynomen) berätta hur man kan ta fram de klassiska ortogonala polynomen genom ortonormering av monombasen implicerad av Stone-Weierstrass. Olika ortogonala polyonom svarar mot olika val av viktfunktioner på L^2 och olika val av frön (för detaljer, se hand-out med mina handskrivna anteckningar om Rodrigues generaliserade formel!). Föreläsning 12 (11/12): Efter en kort-intro till de två alternativa formuleringarna av klassisk partikelmekanik Hamilton vs Lagrange så härledde jag Feynmans formulering av ett matriselement av tidsutvecklingsoperatorn (ibland kallat propagator ) som en vägintegral (baserad på Lagrange, att jämföras med den kanoniska operatorformalismens utgångspunkt i Hamilton). En finess hos Feynmans vägintegralformulering är att den ger oss en inkörsport till att konceptualisera hur den klassiska fysiken uppstår ur den kvantmekaniska världen. Speciellt visade jag hur den klassiska Lagrangemekanikens minsta verkans princip naturligt kan förstås som en konsekvens av Feynman! Föreläsning 13-15 (15/12, 16/12, 18/12): Jag fortsatte på temat vägintegraler med att berätta om kopplingen mellan kvantfältteori och statistisk fysik: En Feynmanpropagator i imaginär tid svarar mot partitionsfunktionen i statistisk fysik om man tolkar den imaginära tiden som en invers temperatur! För mer om vägintegraler för dem av er som är intresserade, se den utmärkta introduktionen av Ben Simons: http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/tp3/pi.ps Efter litet snack om hur Diracs deltafunktion är en konsekvens av att

ha infört en generaliserad bas i L^2 rummet (avrundning av avnittet om formell Hilbertrumsteori) så startade jag upp kursen sista tema: Introduktion till grupp- och representationsteori. Se handout, länkat under Kompletterande material på kurshemsidan. För dem av er som är särskilt intresserade, kan jag rekommendera kapitel 4 i H.F. Jones bok Groups, Representations, and Physics, där bl.a. Schurs lemmor och det fullständiga ortogonalitetsteoremet bevisas (ingår ej i kursen!).