Lektion 5
Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7)
Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7)
Gradient Låt f vara en funktion av två variabler. 1. Gradienten i punkt (a, b) är vektorn f (a, b) = (f x (a, b), f y (a, b)) = f x (a, b)i + f y (a, b)j. 2. Likadant, i punkter där partiella derivatorna existerar, kan vi definiera gradienten som en vektorfunktion. f (x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)) = f x (x, y)i + f y (x, y)j. Ex. 1 sid 715.
Gradient Låt f vara en funktion av två variabler. 1. Gradienten i punkt (a, b) är vektorn f (a, b) = (f x (a, b), f y (a, b)) = f x (a, b)i + f y (a, b)j. 2. Likadant, i punkter där partiella derivatorna existerar, kan vi definiera gradienten som en vektorfunktion. f (x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)) = f x (x, y)i + f y (x, y)j. Ex. 1 sid 715.
Example: f (x, y) = x2 2 y 2 ; f (x, y) = (x, 2y); f (1, 1) = (1, 2). f (1, 1) = 1 2 1 = 1/2. Nivåkurvan x2 2 y 2 = 1/2 går igenom punkten (1, 1). Implicit derivering m.a.p. t i nivåkurvans ekvation visar att gradienten i punkten (1,-1) är vinkelrätt mot tangentan till nivåkurvan i punkten (1,-1). Vi har, nämligen att x(t)x (t) 2y(t)y (t) = 0 som betyder (x(t), 2y(t)) (x (t), y (t)) = 0, alltså det vi har sagt tidigare. Detta gäller alltid och vi formulerar allmänna resultatet nedan.
Sats 1 (Th.6 sid 615) Gradienten i en punkt är vinkelrätt mot tangentan till nivåkurva i respektive punkt. Bevis: f (a, b); f (a, b) = c. Kurvan f (x, y) = c är nivåkurvan till grafen av f som innehåler punkten (a, b). Om x = x(t), y = y(t) är en parametrisering av kurvan ger implicit derivering att f x (a, b)x (t) + f y (a, b)y (t) = 0 som betyder att sklärprodukten mellan gradienten och tangentvektorn är 0, dvs dessa vektorer är vinkelrätta mot varandra; exakt det vi ville bevisa.
Riktningsderivata Låt u = (u, v) vara en enhetsvektor. Riktningsderivatan av f (x, y) i punkten (a, b) är förändringstakten av f (i punkten (a, b)) i vektors u riktning. D u f (a, b) = lim h 0 f (a + hu, b + hv) f (a, b) h dvs D u f (a, b) = g (0), g(t) = f (a + tu, b + tv). Observera att D u f (a, b) = D u f (a, b). Partikulära fall: Partiella derivatorna map x, y.
Sats 7 sid. 716 Låt u = (u, v) vara en enhetsvektor. D u f (a, b) = u f (a, b) Bevis: Kedjeregeln: D u f (a, b) = uf x (a, b) + vf y (a, b) = (u, v) f (a, b).
Ex.2a)/sid. 716 f (x, y) = y 4 + 2xy 3 + x 2 y 2 och u = (1/ 5, 2/ 5). Beräkna D u f (0, 1). Lösning: f (0, 1) = (f x (0, 1), f y (0, 1)) = (2, 4) och enligt Sats 7 så är D u f (0, 1) = (1/ 5, 2/ 5) (2, 4) = 2/ 5+8/ 5 = 10/ 5 = 2 5.
Riktningsderivata Låt D u f (a, b) = u f (a, b) = f (a, b) cos θ där θ är vinkeln mellan u och f (a, b). I vilken rikting växer (avtar) funktionen snabbast? Var är ytan som brantast? Läs Ex. 3 och 4 sid 718!
Gradienten till funktioner av tre variabler Låt f vara en funktion av tre variabler. 1. Gradienten i punkt (a, b, c) är vektorn f (a, b, c) = (f x (a, b, c), f y (a, b, c), f z (a, b, c)) = f x (a, b, c)i + f y (a, b, c)j + f y (a, b, c)k. 2. Likadant, i punkter där partiella derivatorna existerar, kan vi definiera gradienten som en vektorfunktion. f (x, y, z) = (f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z)) = f x (x, y, z)i + f y (x, y, z)j + f z (a, b, c)k.
Gradienten till funktioner av tre variabler Låt f vara en funktion av tre variabler. 1. Gradienten i punkt (a, b, c) är vektorn f (a, b, c) = (f x (a, b, c), f y (a, b, c), f z (a, b, c)) = f x (a, b, c)i + f y (a, b, c)j + f y (a, b, c)k. 2. Likadant, i punkter där partiella derivatorna existerar, kan vi definiera gradienten som en vektorfunktion. f (x, y, z) = (f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z)) = f x (x, y, z)i + f y (x, y, z)j + f z (a, b, c)k.
Exemplet 6 sid. 721: a) f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; f (x, y, z) = (2x, 2y, 2z); f (1, 1, 2) = (2, 2, 4). Nivåytan x 2 + y 2 + z 2 = 6 går igenom punkten (1, 1, 2) och är en sfär i rummet.
Sats 1 (Th.6 sid 615) ( revisited ) Gradienten i en punktär är vinkelrätt mot tangentplanet till nivåytan i respektive punkt. Bevis: f (a, b, c); f (a, b, c) = d. Ytan f (x, y, z) = d är nivåytan till grafen av f som innehåler punkten (a, b, c). Implicit derivering att f x x t(t, s) + f y y t(t, s) + f z z t = 0 f x x s(t, s) + f y y s(t, s) + f z z s = 0 som betyder att sklärprodukten mellan gradienten till f och tangentvektorerna som bestämmer tangentplanet till ytan i punkten (a,b,c) är 0. Dvs gradienten är vinkelrätt mot tangentplanet till ytan; alltså normalvektor till nivåytan.
Exemplet 6 sid. 721: b) Gradienten i punkten (1,-1,2) är normalvektor till ytan! Skriv tangentplanetsekvation.
Riktningsderivata Låt u = (u, v, w) vara en enhetsvektor. Riktningsderivatan av f (x, y, z) i punkten (a, b, c) är förändringstakten av f (i punkten (a, b, c)) i vektors u riktning. D u f (a, b, c) = lim h f (a + hu, b + hv, c + hw) f (a, b, c) h dvs D u f (a, b, c) = g (0), g(t) = f (a + tu, b + tv, c + tw). Observera att D u f (a, b, c) = D u f (a, b, c). Partikulära fall: Partiella derivatorna map x, y, z.
Sats 7 sid. 716 Låt u = (u, v, w) vara en enhetsvektor. Bevis: Kedjeregeln D u f (a, b, c) = u f (a, b, c)
Riktningsderivata Låt D u f (a, b, c) = u f (a, b, c) = f (a, b, c) cos θ där θ är vinkeln mellan u och f (a, b, c). I vilken rikting växer (avtar) funktionen snabbast?
Uppgift 7 sid. 723 Låt f (x, y, z) = x 2 y + y 2 z + z 2 x. Bestäm ekvationen till tangentplanet till ytan x 2 y + y 2 z + z 2 x = 1 i punkten (1, 1, 1). Obs! f (1, 1, 1) = 1 Vi har att och f (x, y, z) = (2xy + z 2, x 2 + 2yz, y 2 + 2xz) f (1, 1, 1) = ( 1, 1, 3) men denna vektor är normalvektor till tangentplanet till ytan. Alltså tangentplanetsekvation är 1(x 1) 1(y + 1) + 3(z 1) = 0.