MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 3 6 kl. 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Tony Stillfjord, tel. 76-4488 TMV66 Linjär Algebra för M Tentamen Tentamen består av st uppgifter vardera värda 3p och 4 st uppgifter vardera värda 5p, vilka tillsammans ger maximalt 5p. Till detta läggs de bonuspoäng (maximalt 6p) som tjänats ihop genom presentation av kryssuppgifter. Betygsgränser är p (betyg 3), 3p (betyg 4) och 4p (betyg 5) för det sammanlagda resultatet. Till de första tio uppgifterna (3p-uppgifter) skall endast svar ges. Svar måste anges i rätt ruta på den bifogade svarsblanketten. Lämna ej in lösningar eller kladdpapper till dessa uppgifter! Till de sista fyra uppgifterna (5p-uppgifter) skall utförliga, tydliga och välskrivna lösningar ges. Renskriv dina lösningar, lämna ej in kladdpapper! Poängavdrag ges för dåligt motiverade, svårtolkade eller svårläsliga lösningar. Lycka till! Tony
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 3 6 kl. 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Tony Stillfjord, tel. 76-4488 TMV66 Linjär Algebra för M Tentamensuppgifter. Ange hur många lösningar följande ekvationssystem har: x + 3x + x 3 = 5 3x + x x 3 = x 4x + 4x 3 = 4 Om det finns precis en lösning, ange även denna. Lösning: Radreducera totalmatrisen: 3 5 3 4 4 4 4 4 4 5 9 3 Alltså finns en unik lösning. Fortsätt till radkanonisk form: 4 4 4 5 9 3 Den unika lösningen är (x, x, x 3 ) = (,, ).. Låt -matriserna A, B och C ges av [ 3 A = B = [ C = [ 5 3. 3. Bestäm X R så att AXB = C. Lösning: Vi har X = A CB. Via t.ex. formeln för matrisinvers i -fallet får vi att [ [ A = och B =, 3 / så För vilka värden på a är vektorerna [ 9/ 5 X = 5 5 3, 7. och a 8 4 linjärt beroende? Lösning: Beteckna vektorerna med v, v och v 3. Då v och v är uppenbart linjärt oberoende så är de tre vektorerna linjärt beroende omm v 3 = c v + c v för två tal c och c. Detta är ekvivalent med att ekvationssystemet [ [ c v v = v 3 har en lösning. Radreducera därför totalmatrisen: a 3 7 8 4 a 8 Alltså är systemet konsistent endast om a = 8. (Och då är v 3 = v 4v.) c
4. Låt W = Span { { b, b = Span 5. 3, vektorer y W och z W så att y + z = [ 7 3 5 T. vara ett underrum av R 3. Ange två Lösning: Eftersom b och b är ortogonala kan vi använda projektionsformeln direkt: proj W x = x b b + x b 3 b = b b = b b b b 7 Vidare vet vi att den unika uppdelningen av x som efterfrågas ges av så vi får x = proj W x + ( x proj W x ), y = 3 7 och z = Låt W, b och b vara som i föregående uppgift. Då är B = { b, b en bas för W. Om 4 möjligt, bestäm B koordinaterna för vektorn v = [ 7 6 T. Lösning: Låt P B = [ b b vara basbytesmatrisen från standardkoordinater till B koordinater. Då gäller att v = P B [v B. Radreducera totalmatrisen [ PB v 7 7 7 = 6 4 5 3 Alltså ligger v i planet W, och genom att fortsätta till radkanonisk form får vi [v B = [ 5 T. 6. 7. Beräkna determinanten av matrisen A = 3 4 5 7 Lösning: Enklast är att använda det faktum att subtraktion av en rad från en annan rad inte ändrar determinanten, och sen kofaktor-expandera. Detta ger 3 4 5 7 = 3 4 5 7 = 4 5 = 5 4 = 3. Matriserna A och B nedan är radekvivalenta. Ange en bas för Col A och en bas för Nul A. 4 3 A =, B = 5 3 Lösning: Matrisen B är på trappstegsform, och vi ser att det finns en pivotposition i kolonn och i kolonn. En bas för Col A ges av A:s pivotkolonner, alltså { 4 3, 5 3 En bas för Nul A får vi genom att skriva lösningarna till Ax = på parametrisk form. Dessa är desamma som lösningarna till Bx = och ges alltså av x = x 3, där x 3 är en fri variabel. En bas för nollrummet är således mängden {.
8. 9. Låt A vara matrisen i föregående uppgift. Ange rank A, dim Nul A och dim Row A. (Endast poäng om alla tre talen är rätt.) Lösning: Rangen av A är antalet bundna variabler, dvs., och dimensionen av nollrummet är antalet fria variabler, dvs.. Dimensionen av radrummet är enligt Rang-satsen lika med matrisens rang, dvs.. Svar:,,. Alternativ lösning om man gjort föregående uppgift: Observera att rank A = dim Col A = eftersom det finns två baselement i basen för Col A. Basen för Nul A innehåller bara en vektor, så dim Nul A =. Enligt Rang-satsen är dim Row A = dim Col A =. Dvs. svar:,,. Låt X = 3 och y =. Bestäm en minstakvadrat-lösning till Xβ = y. Lösning: En minstakvadrat-lösning ˆβ erhålls genom att lösa normalekvationerna X T X ˆβ = X T y. Vi får [ [ X T 4 X = och X T 4 y =, [ så enkel radreducering eller användning av formeln för matrisinvers ger att ˆβ = /3 /3.. En matris A kallas idempotent om A = A. Vilka egenvärden kan en sådan matris anta? Lösning: Om λ är ett egenvärde till A så finns ett x så att Ax = λx. Men då är A x = A(Ax) = Aλx = λax = λ x och eftersom A x = Ax = λx får vi att (λ λ)x =. Detta ger λ = λ då x, och alltså är λ antingen eller. En idempotent matris kan således endast ha egenvärdena och... Man kan lätt visa att V = R n n, dvs. mängden av alla n n-matriser, är ett vektorrum. Låt U = {A R n n det A = vara en delmängd av V. (a) Definiera vad som menas med ett underrum till ett vektorrum. (p) (b) Är U ett underrum till V? I så fall, motivera varför. Om inte, ge ett motexempel. Lösning: a) U är ett underrum till V ifall det är en delmängd av V som uppfyller att U, u + v U för alla u, v U och cu U för alla u U och c R. b) Nollmatrisen ligger visserligen i U, men i allmänhet gäller för två matriser A och B att det ( A + B ) det A + det B. Alltså är U inte ett underrum. Ett motexempel ges t.ex. av matriserna [ [ A = och B =. Dessa uppfyller det A = det B =, men det ( A + B ) =. Matrisen A = har åtminstone två egenvektorer, 3 och.
Diagonalisera A, eller ange varför det inte går. Lösning: Den karakteristiska ekvationen för A är = det ( A λi ) ( ) = ( λ) ( λ)( λ) + = ( λ)λ(λ ), så egenvärdena är λ =, λ = och λ 3 =. Genom att multiplicera A med de givna vektorerna ser vi att v = [ T hör till λ och v 3 = [ T hör till λ3. Det återstår att undersöka egenvektorerna för λ. Men (A λ I)x = ger att x = x = och x 3 är en fri variabel. Alltså spänner v = [ T upp egenrummet för λ. Då de tre egenrummen tillsammans spänner upp hela R 3 är A diagonaliserbar, och en diagonalisering ges t.ex. av A = P DP där P = och D = 3. Betrakta följande MATLAB-kod: x = [; ; ; x = [-; ; ; v = x; v = x - x *v / (v *v) * v; v = v / norm(v); v = v / norm(v); (a) Vilken metod implementerar den? (p) (b) Vad beräknas? (p) (c) Visa att vilka x och x vi än väljer så blir v och v linjärt oberoende. Lösning: a) Gram-Schmidts metod. b) En ortonormal bas för Span {, (som är en parametrisk beskrivning av det plan i R 3 som ges av ekvationen x y + z = ). c) Antag att c v + c v =. Eftersom v och v är ortogonala (per konstruktion) så får vi att = v (c v + c v ) = c v v + c v v = c v v Men eftersom v och v har normerats så är v v = och därmed får vi c =. Genom att istället ta skalärprodukten med v får vi på samma sätt att c =. Alltså är v och v linjärt oberoende. 4. Låt P n beteckna vektorrummet som består av alla polynom p av grad högst n. Standardbasen för P n ges av B n = {b, b,..., b n där b k (t) = t k för k =,,..., n. Vidare, låt T : P P 4 vara den linjära avbildningen som avbildar andragrads-polynomet p(t) på fjärdegrads-polynomet p(t) + t p(t). (a) Om p(t) = + t, vad är (T (p))(t)? (p) (b) Bestäm matrisen för T relativt standardbaserna för P och P 4. (4p) Lösning: a) (T (p))(t) = + t + t ( + t ) = + 3t + t 4. b) Matrisen för T är den matris M som uppfyller att [T (p) B4 = M[p B.
Den ges av M = [ [T (b ) B4 [T (b ) B4 [T (b ) B4 R 5 3 då dim P = 3 och dim P 4 = 5. Vi har (T (b ))(t) = + t = b (t) + b (t) [T (b ) B4 = [ T (T (b ))(t) = t + t 3 = b (t) + b 3 (t) [T (b ) B4 = [ T (T (b ))(t) = t + t 4 = b (t) + b 4 (t) [T (b ) B4 = [ T, så M =
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 3 6 kl. 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Tony Stillfjord, tel. 76-4488 TMV66 Linjär Algebra för M Svar till tentamensuppgifter Tentamenskod:... Uppgift Svar Poäng 3 4 5 6 7 8 9