18 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande

Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande Eleverna behöver få möta aktiviteter där de får möjlighet att konkret uppleva ett nytt begrepp eller en ny metod, reflektera gemensamt och med lärarens hjälp bli medvetna om vilka de kritiska aspekterna är för just detta begrepp eller denna metod. Sådana aktiviteter finns bl a på sidor med rubriken Utforska i grundboken. I lärarboken lyfter vi fram de kritiska aspekterna för de lärandeområden som behandlas, allt för att underlätta skapandet av bra undervisningssituationer. Språket får här en viktig roll, att kunna förklara något muntligt och att kunna föra matematiska resonemang, liksom träning på att uttrycka ny kunskap med symbolspråk. Det är bättre för lärandet att räkna färre uppgifter och ha hög kvalitet på arbetet med dem än att hasta igenom många uppgifter utan reflektion. Att se samband är viktigt i matematik. Samtala därför om vad eleverna kan som liknar det område ni håller på med eller som på något sätt kan ha kopplingar dit. Det är nödvändigt att kunna utnyttja sina kunskaper i nya situationer, något som många elever behöver hjälp med att upptäcka. Att kunna generalisera är en viktig förmåga i matematik, vilken måste synliggöras tidigt, t ex 4 + 3 = 7, 40 + 30 = 70, 40 000 + 30 000 = 70 000 och 343 + 434 = 777. När t ex ett talområde utökas måste eleverna få möjlighet att pröva hur det som de tidigare lärt sig kommer att fungera i det nya talområdet. Vad upptäcker de? Låt eleverna ställa hypoteser och pröva och se om de håller. Den formella matematiken ett abstrakt språk Man kan närma sig matematik på olika sätt. För de elever som upptäcker och förstår samband, mönster och strukturer blir matematiken i skolan intressant och spännande. Men för de elever som inte ser hur allt hänger ihop, utan försöker lära sig regler och mallar utantill och flyttar siffror utan förståelse, är risken stor att matematik snart blir något svårt och ångestfyllt. I förskolan delar barnen äpplen och pratar om halvor och fjärdedelar. Frågar vi dessa barn hur mycket en fjärdedel och två fjärdedelar är, så tänker de på sina äppelbitar och svarar tre fjärdedelar. Ger vi samma uppgift, formellt skriven som 1/4 + 2/4, i åk 6 så kommer några att svara 3/8 i stället för det rätta svaret 3/4. Det är lätt att symbolerna tar över och att såväl täljare som nämnare adderas. Bråktalen har blivit siffror på ett papper och tyvärr glömmer en del elever vad bråktalen står för. Om alla elever kunde föreställa sig inre bilder av fjärdedelar eller rita sina fjärdedelar skulle inte felsvaret 3/8 förekomma. I kunskapskraven för åk 6 står: Eleven kan redogöra för och beskriva tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande/ändamålsenligt/ändamålsenligt och effektivt sätt och använder bilder, symboler, tabeller, grafer och andra matematiska uttrycksformer med viss/förhållandevis god/god anpassning till sammanhanget. När en elev svarar fel så är det inte att räkna fler uppgifter av samma sort som eleven behöver, utan lärarens hjälp att reda ut begreppen. Därefter kan eleven färdighetsträna med rätt begrepp eller tankeform. Forskningsprojekt som Learning Study (artiklar om detta finns att söka på tidningen Nämnarens nätplats) har visat att det är möjligt att med genomtänkt undervisning snabbt förbättra elevers resultat och att det är de svagas resultat som förbättras mest när de får möjlighet att förstå. Det är när man förstår som matematik är roligt! Från konkret till abstrakt Konkret och, och Språk Inre bilder Abstrakt 2 + 3 = 3 + 2 Det konkreta arbetet ska hjälpa eleverna att utveckla förståelse av begrepp och processer. När eleverna parvis arbetar med t ex subtraktionsuppställning och parallellt använder tiobasmaterial och formell uppställ 18 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande

b) Om 8 37 = 296, vad är då? 32 37 42 8 c) 62 59 =? 3 4 17 171 Tänk till och förklara 2 och förklara 4 2 8 lösningar eller begrepp. Till sist ska eleverna a) avgöra + 1 2 6 Varför om har de man känner skrivit en sig 2:a säkra, ovanför talen ganska säkra eller 2 1 7 1 och en 1:a under strecket? osäkra på vart och ett av de lärandeområden som tas b) Vilka räknemetoder väljer du vid 82 79, 94 53 och 3524 1358? upp i kapitlet. Se exemplet nedan. c) Visa och förklara hur du räknar 57 + 38 eller 448 + 327. 172 Matematiken i kapitlet Är du säker, ganska säker eller osäker på matematiken i kapitlet? a) Symboler, räknesätt och räknelagar: Använda likhetstecknet. Välja räknesätt i textuppgifter. b) Generalisering av talkombinationer: 4000 + 2000 80000 30 000 c) Räknemetoder vid addition och subtraktion: huvudräkning uppställning överslagsräkning Ställ frågor som kräver tankeproduktion! KAPITEL 2 utvärdering 81 Det behövs både frågor som leder till ett känt svar och frågor som kräver tankeproduktion. Den ena sorten utesluter inte den andra, men alltför många frågor i skolan är av den typ som endast genererar svarsproduktion, t ex: Vad heter den här figuren? Så fort någon svarat kvadrat så är frågan förbrukad och därmed ointressant. Följande frågor kräver mer kunskaper om figurernas egenskaper, t ex Vad måste du tänka på om du ska rita en kvadrat?, Vilka egenskaper har en kvadrat? eller Vilka likheter och skillnader är det mellan en parallellogram och en kvadrat? Kräv inte att en elev ska beskriva alla egenskaper på en gång, eftersom många elever då inte vågar svara. Att nämna en egenskap är en bra början, sedan kan ni tillsammans hitta fler. Eldorado4A.indb 81 2011-04-20 18.47 Jämför följande uppgifter i huvudräkning. Hur mycket är 41 39? och Ge exempel på två tal med skillnaden 2. I den första uppgiften väljer man en strategi och använder sig av den för att räkna fram svaret, men i den andra uppgiften måste man själv vara medveten om att skillnaden/differensen är 2 när två tal ligger två steg ifrån varandra på tallinjen, t ex 45 43, 44 42 och 41 39 eller 503 501 och 501 499. Jämför uppgifterna Hur mycket är 8 450 och 300? och Tryck in 8 450 på miniräknaren. Ändra 4:an till en 7:a genom att använda addition. I den senare måste man veta att 4:an i detta tal är värd 400 och att man måste addera 300. Här är exempel på generella frågetyper som kräver tankeproduktion: Vad händer om... t ex det är 5 elever i stället för 4? Dvs du ändrar på förutsättningarna. Skulle det kunna vara? Varför? Varför inte? Dvs du ger eleverna ett annat förslag att fundera på. Hur kan du veta det? Hur tänkte du då? Låt eleven argumentera för sitt förslag. Kan du göra på fler sätt? Detta är en fråga som öppnar upp för kreativt tänkande för elever i alla årskurser. Läsning och läsförståelse Vikten av läsförståelse kan inte nog betonas. Eleverna måste få många tillfällen att träna läsning av faktatexter, eftersom det är stor skillnad på att läsa faktatexter och att läsa en text ur en läsebok eller skönlitterär bok. Texten i matteuppgifter är mycket koncentrerad och man måste ofta förstå vartenda ord för att kunna tolka uppgiften och frågeställningen. Det håller inte att skumläsa! I en av PISA-undersökningarna för 15-åringar bedömdes att ungefär 70 % av de svar som inte var korrekta kunde härledas till dålig läsförståelse. Det är även vanligt att elever ger upp om de stöter på ord som de inte förstår. Alla behöver träna på att fortsätta att läsa en uppgift även om något ord är obekant. Ofta kan de ändå förstå vad uppgiften går ut på och kanske även lista ut vad det obekanta ordet betyder. Vi måste få eleverna att inte ge upp så fort det tar emot, utan i stället verkligen försöka göra sitt bästa. I Eldorado har eleverna ända från åk 1 arbetat med textuppgifter och använt sig av fingerfemmans fem punkter: Läs uppgiften, Förstå frågan, Rita enkelt, Skriv på mattespråk och Är svaret rimligt? Eleverna har tränat att rita enkelt som tankestöd och även att rita en ruta för att kunna generalisera till vilka tal som helst. Våga ge sig i kast med annorlunda uppgifter Eleverna arbetar med textuppgifter och problemuppgifter på mattetimmar för att träna metoder och strategier som de sedan ska kunna använda sig av när de ska lösa uppgifter i andra ämnen, i vardagen och i kommande yrkesliv. Det är en omöjlighet att eleverna i skolan ska kunna arbeta med alla typer av uppgifter som de kommer att möta senare i livet. Men vi kan hjälpa eleverna att träna hur de kan angripa nya uppgiftstyper, att de ibland behöver pröva flera olika strategier och att det kan ta tid. Vid genomgång av textuppgifter räcker det inte att jämföra lösningar och svar, utan en viktig del är att samtala om vad man kan lära av arbetet med uppgifterna och vad man kan ha nytta av att tänka på när man ska lösa andra uppgifter. 20 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande

Om något nytt dyker upp i en uppgift är det vanligt att en del elever säger att det här kan jag inte för det har vi inte lärt oss än. I stället borde de säga: Vad spännande! Här kommer något nytt. Nu måste jag pröva hur jag kan göra. Vid t ex PISA-undersökningarna har det visat sig att alltför många elever hoppar över uppgifter som de inte direkt känner igen och när det tar emot lite. I Eldorado har vi därför lagt in annorlunda uppgifter på uppslagen med rubriken Kul med matte, så att eleverna får möjlighet att ge sig i kast med uppgifter som de troligen inte mött tidigare. Enligt många lärare som använt Eldorado i åk 1 3 har liknande problemlösningsuppslag varit just de sidor som eleverna uppskattat allra mest och många gillar ju lite kluriga uppgifter. Uppmuntra eleverna att våga pröva och ge beröm för varje försök, även om de inte lyckats nå hela vägen fram till den slutliga lösningen. Aritmetiken ett system eller en sifferröra? Ofta är det just i aritmetiken som många elever upplever svårigheter. Orsakerna kan vara många, men det är vanligt att en del elever inte uppfattat hur talsystemet och olika lagar och regler fungerar. För de elever som missat detta redan från start blir aritmetiken allt mer obegriplig. Men det är aldrig för sent att lära om! Ju tidigare vi kan ge eleverna den möjligheten, desto bättre. Det finns många likheter mellan trafiken i en stad och aritmetiken. Gatorna i staden är planerade efter ett system och ibland behövs en tunnel eller bro för att klara olika hinder. För trafiken gäller att alla bilar måste köra på höger sida av gatan och gående hänvisas till trottoarer och till övergångsställen när de ska korsa en gata. Trafikljus visar när du måste släppa fram andra trafikanter och när det är din tur att köra och högerregeln gäller vid korsningar, såvida du inte kör på huvudled. Inom aritmetiken finns ett talsystem som är uppbyggt med ett tiobassystem. Det finns regler för att en multiplikation beräknas före en addition och lagar som säger att t ex 3 57 = 3 50 + 3 7 och att 4 + 3 = 3 + 4. Det skulle inte fungera om man i trafiken kör på vänster sida, struntar i högerregeln, stopplikt och rödljus, samt parkerar på järnvägsspåret. På liknande sätt gäller att du måste förstå talsystemet, vad räknesätten innebär, deras samband och vad lagar och regler säger om hur du får hantera tal. Liksom i trafiken kan elever inte lära sig allt på en gång. För en 6-åring gäller att se sig för och släppa fram bilar innan gatan korsas, att använda övergångsställen och respektera röd gubbe medan en 10-åring som cyklar i trafiken behöver kunna betydligt mer. Har du elever som inte knäckt systemet och reglerna så se till att de får intensivträning på detta så snart som möjligt. Elever är olika och lär olika Ingen skulle komma på tanken att på en idrottslektion i längdhopp kräva att alla elever ska hoppa 3,5 meter och att ingen får hoppa varken kortare eller längre. Alla vet att eleverna inte hoppar lika långt och det accepteras, även av föräldrarna. Men när eleverna arbetar med matematik är det många som förväntar sig att alla ska klara lika mycket, även om en del behöver lite mer tid. Vi ska ha höga förväntningar på våra elever, men förväntningarna ska vara realistiska. Det är mycket som påverkar elevernas prestationer i matematik. Föräldrarnas attityder till matematik och syskons och kamraters inställning väger tungt, liksom naturligtvis lärarens engagemang och intresse. Vad har eleverna fått möta gällande språk och matematiska begrepp i hemmiljön, förskolan, förskoleklassen, samt under de första skolåren och vilken grad av entusiasm har de vuxna visat? Dessutom är det mycket annat som påverkar en elevs lärande, t ex abstraktionsförmåga, minne, språklig förmåga, perception och koncentration. Elever som behöver utmaningar i matematik För en del elever verkar allt så enkelt. När de möter något nytt så kan de koppla det till tidigare kunskaper och de vågar pröva och göra upptäckter. Hur får vi dessa elever att behålla sin nyfikenhet och entusiasm och samtidigt utveckla goda kunskaper i matematik? Även de här eleverna behöver utmaningar på lämplig nivå. Lösningen är inte att låta dem sitta själva och räkna fler uppgifter av samma sort eller att självständigt räkna på i böcker för högre årskurser. Visst klarar de i regel böckernas uppgifter, men utan undervisning blir det oftast ytliga kunskaper. De ska inte bara lära sig att göra lika som exemplen i en bok, utan de ska få undervisning i matematik. Om du har elever som du vill ska få arbeta i lite snabbare takt, så behöver alltså även de din undervisning för att lyckas bra. Nationella och internationella undersökningar i matematik visar att gruppen högpresterande elever i Sverige har krympt rejält under senare år, och det har vi inte råd med. Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande Eldorado 4 A Lärarbok 21

I Eldorado har vi i lärarböckerna gett förslag på hur du kan utmana dessa elever och i 4:ans grundböcker finns ett uppslag med extrauppgifter till varje kapitel. Vi är medvetna om att detta inte räcker för alla. Därför ger vi här några förslag där du kan hitta fler lämpliga uppgifter för att utmana dina elever: Kängurusidan hittar du på ncm.gu.se. Här finns matematikuppgifter för olika åldrar och från flera år tillbaka. Ecolier riktar sig till åk 3 4 och Benjamin till åk 5 7. Förutom Rätta lösningar finns även Arbeta vidare, som går lite djupare med den matematik som respektive uppgift behandlar och det är just vad dessa elever behöver. Problemuppgifter med variation finns också på ncm.gu.se under Arkiv N, Problemavdelningen och där finns även tillhörande lösningar. Tipsa gärna föräldrarna om böcker, nätsidor och länkar som du tycker är bra. Vad kan de elever som alltid lyckas i matematik? Det är vanligt att elever som lyckas i matematik ser samband och mönster, har god taluppfattning, kan föreställa sig en inre tallinje, kan använda sig av inre bilder, har god abstraktionsförmåga, att de med ord kan uttrycka sin kunskap, har god läsförståelse, gott självförtroende, kan koncentrera sig, är uthålliga m m. vilka insatser skulle förskolan, förskoleklassen, åk 1 3 och åk 4 6 kunna göra för att ännu fler elever ska få liknande förutsättningar och lyckas i matematik? Diskutera detta med dina kollegor på din skola och skriv ned era förslag. Samtala om hur ni med utgångspunkt i dessa förslag skulle kunna hjälpa fler elever att lyckas. De elever som i åk 2, 3 eller 4 börjar tycka att matte är svårt har troligen missat något i den grundläggande undervisningen. Att då t ex få stöd i form av specialundervisning under en timme i veckan blir endast en hjälp för dem att hanka sig fram år efter år. I stället bör de få en ny chans att lära sig de nödvändiga grunder som de av olika orsaker missat. En ny chans skulle ge många av dem möjlighet att förstå och upptäcka hur roligt det kan vara med matematik, så att de så småningom åter kan följa klassens arbete. Försök att organisera intensivperioder med matematik för dessa elever, t ex 20 min/dag under några veckor, sedan uppehåll och så en ny period. Kanske några intensivperioder räcker under terminen och det kräver inte mer tid än den vanliga speciallärarhjälpen med 1tim/vecka. Det ger dessa elever både chans att förstå de grundläggande momenten och att få nytt självförtroende. Det är den skickligaste matematikläraren som ska hjälpa dessa elever med de grunder som behövs för att lyckas i matematik. En del elever behöver mer tid för att förstå och träna olika moment. Hur kan ni organisera så att de får mer tid? Ett tips som många prövat och prisat är att i stället för att dessa elever efter en genomgång i klassen får ytterligare en genomgång med specialläraren, så gör man tvärtom och låter dessa elever få arbeta med begreppen innan den gemensamma genomgången. Då har de en bättre förförståelse när klassläraren sedan undervisar om begreppet. Det kräver inte mer tid, bara att tiden ges före i stället för efter, men det kan ha stor betydelse för eleven att känna att de förstår och lyckas tillsammans med sina kamrater. Elever som tycker att matematik är svårt intensivinsatser I början tycker de flesta elever mycket om matematik, eftersom alla på ett eller annat sätt klarar att räkna och skriva rätta svar på uppgifter som 3 + 2 =, vilka brukar vara vanliga i början. Vid låga tal, som just 3 + 2 = 5, går det att dölja en bristande taluppfattning genom att räkna ett och ett på räkneramsan framåt eller bakåt och på så sätt komma fram till rätt svar. Men nu när talområdet omfattar flersiffriga tal avslöjas kvaliteten på kunskaperna. Läs mer om detta i häftet Matte Tankar, Undvik räknefällan i åk 1 (Natur & Kultur). Den kan beställas gratis på www.nok.se/eldorado. 22 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande

Matematik är inte bara att räkna bara att räkna Alla behöver vi ibland reflektera över vad vi vill med Alla behöver vi ibland reflektera över vad vi vill med vår undervisning i matematik. Det är så lätt att inte se vår undervisning i matematik. Det är så lätt att inte se skogen för alla träd, att fastna i räknandet och arbeta för lite med de övergripande målen, dvs vad vi ska skogen för alla träd, att fastna i räknandet och arbeta för lite med de övergripande målen, dvs vad vi ska använda allt räknande till. Därför kommer vi här att pre använda allt räknande till. Därför kommer vi här att presentera några viktiga moment i matematik undervisningen, samt ge en översikt över den grundläggande sentera några viktiga moment i matematikundervisningen, samt ge en översikt över den grundläggande aritmetik som tas upp i Eldorado åk 1 3. Det är vår aritmetik som tas upp i Eldorado. Det är vår förhoppning att lärare ska ta sig tid att reflektera över detta, förhoppning att lärare ska ta sig tid att reflektera över detta, gärna gemensamt, vilket kan leda till att matematikundervisningen på skolan utvecklas. gärna gemensamt, vilket kan leda till att matematikundervisningen på skolan utvecklas. Det övergripande målet är att kunna lösa matematiska problem Det övergripande i situationer/händelser målet är att i kunna vardagen lösa eller matematiska textuppgifter. problem i situationer/händelser För att göra det måste man i vardagen kunna eller tol- i form av ka i form situationer av textuppgifter. (A), förstå För vad att de handlar göra det om måste och man vad man kunna ska tolka ta reda situationer på. Det kan (A), inte förstå nog vad betonas de handlar hur viktigt och det vad är man att eleverna ska ta reda får på. träna Det att kan tolka inte textuppgifter. nog betonas om I hur Lärarbok viktigt det 2 A är och att 2 eleverna B beskrivs får träna detta att utförligt tolka textuppgifter. samband med fingerfemman, läsförståelse, signal- bl a i ord, välja information, rita enkelt och rita ruta. Först då man tolkat uppgiften kan man välja räknesätt Först och matematisk då man tolkat modell uppgiften (B). Det kan resulterar man välja i räknesätt ett matematiskt matematisk uttryck. modell Nu krävs (B). kunskaper Det resulterar om olika i ett räkne mate- och matiskt metoder uttryck. och vana Nu att krävs välja kunskaper en lämplig om metod olika (C) räknemetoder att sedan och utföra vana beräkningarna att välja en lämplig (D). När metod man kommit (C) för för att fram sedan till svaret utföra så beräkningarna bör en återkoppling (D). När ske man till den kommisprungliga fram till händelsen svaret så bör eller en textuppgiften återkoppling ske för till att den be urdöma om svaret är rimligt (E). Vi ritar en ruta. Först tar vi bort 1 krona. Så delar vi resten i 4 delar. 24 Rita bild 25 1 X Det blir subtraktion och sedan division. Inre bild A Tolka B Välja räknesätt matematisk modell Max köper 4 isglassar. Han lämnar fram 25 kr. Han får 1 kr tillbaka. Hur mycket kostar en isglass? 6 kronor är rimligt för en isglass. Men t ex 24 kr hade inte varit rimligt. Händelse Textuppgift F Översätta till räknehändelse T ex Det är 25 elever i Elins klass. Erik är borta idag. Eleverna delar upp sig i 4 lag. Hur många elever är det i varje lag? Uttryck på mattespråk C Välja räknemetod 25 1 = 4 Det klarar vi med huvudräkning. E Bedöma rimlighet 6 kr Lösning Svar D Beräkna 25 1 = 24 24 = 6 4 Huvudräkning Skriftliga räknemetoder Miniräknare Överslag 14 Eldorado 3 A Lärarbok MATEMATIKEN I ELDORADO 3 A Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande Eldorado 4 A Lärarbok 23

Ofta ägnas mycket tid åt att räkna fram svar till givna matematiska uttryck, se pilen vid D i bilden på s 23. Risk en är stor att en del elever uppfattar att matematik enbart är att beräkna olika uttryck och komma fram till rätta svar. Djupanalysen av TIMSS 2007 visar att eleverna ofta behärskar olika räknemetoder och strategier, men är sämre på att avgöra när olika metoder och strategier är lämpliga att använda. När en viss strategi är given, t ex som rubrik på en sida med uppgifter i en lärobok, så använder eleverna den. Men när uppgiftstyper som passar olika strategier blandas, så har många elever svårt att välja en lämplig strategi. För att lyckas bättre med detta behöver de reflektera: Nu kan jag de här metoderna och strategierna. Till vilket matematiskt uttryck passar vilken strategi? I Eldorado finns därför uttryck som eleverna ska sortera efter lämplig metod och strategi, och därutöver finns kopierings underlag med ytterligare uttryck att sortera. Eleverna behöver även kunna ge förslag på situation er som ett visst uttryck kan representera (F). T ex till 25 1 dividerat med 4: Det är 25 elever i Elins klass. Erik är borta i dag. Eleverna delar upp sig i 4 lag. Hur många elever är det i varje lag? Vilken nytta har eleverna av att kunna beräkna 25 1 dividerat med 4 om de inte kan översätta uttrycket till en händelse? Det är endast i matteboken som det är lönsamt att enbart kunna räkna ut nakna uppgifter. Alla stegen A F i bilden på s 23 finns med i Eldorado för att ge eleverna möjlighet att lära sig matematik och inte bara räkna fram rätta svar. Vi ska nu fokusera på stegen B Välja räknesätt och uttrycka på mattespråk, C Välja räknemetod och E Bedöma rimlighet. Utgångspunkten är en situation eller en textuppgift. A Tolka B Välja räknesätt addition subtraktion MULtiplikation division ökning minskning mångfaldigande likadelning sammanläggning uppdelning upprepad addition innehållsdivision jämförelse jämförelse/ skillnad C Välja räknemetod exakt svar u Ungefärligt svar huvudräkning skriftliga räknemetoder miniräknare överslagsräkning olika strategier talsortsräkning vid + uppställning D Beräkna E Bedöma rimlighet Överslagsräkning. Återkoppling till händelsen eller textuppgiften. F Översätta till räknehändelse 24 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande

B Välja räknesätt När eleverna tolkat uppgiften och vet vilka fakta de ska använda sig av, måste de välja räknesätt. Addition och subtraktion Det kan verka enkelt att välja mellan t ex addition och subtraktion, men det krävs att eleverna vet vilka räknehändelser som leder till respektive räknesätt. Vi har i grundböckerna tagit med uppgifter som representerar olika varianter av räknesätten, men det kan vara lämpligt att nu i åk 4 sammanfatta och samtala om vilka olika räknehändelser som respektive räknesätt kan leda till. På s 25 ger vi exempel på de vanligaste typerna av räkne händelser. För att sambandet mellan räknesätten addi tion och subtraktion respektive multiplikation och division tydligt ska framgå presenteras de parallellt. Exemplen nedan visar att det ibland bara är nyanser som skiljer varianter av räknehändelser åt i addition och subtraktion. Det viktiga är emellertid att du ger eleverna möjlighet att möta och använda många olika varianter. I analysen av TIMSS 2007 påpekades att speciellt textuppgifter med skillnad gav låg lösningsfrekvens. Därför är det viktigt att uppmärksamma skillnad extra noga. ADDITION Ökning 3 + 2 =? Lukas har 3 datorspel och får 2 till. Hur många datorspel har han sedan? Sammanläggning 3 + 2 =? Lukas köper en banan för 3 kr och ett äpple för 2 kr. Hur mycket kostar frukterna tillsammans? Jämförelse 3 + 2 =? (skillnaden given) Lukas har 3 kr. Sara har 2 kr mer. Hur mycket har Sara? SUBTRAKTION Minskning 5 2 =? Sara har 5 datorspel och ger bort 2 spel. Hur många datorspel har hon kvar? Uppdelning 5 2 =? En banan och ett äpple kostar tillsammans 5 kr. Äpplet kostar 2 kr. Hur mycket kostar bananen? Jämförelse 5 2 =? (skillnaden eterfrågas) Sara har 5 kr. Lukas har 2 kr. Hur mycket mer har Sara? Hur mycket mindre har Lukas? Sara har 2 kr och vill köpa en isglass för 5 kr. Hur mycket pengar fattas? (skillnaden given) Sara har 5 kr. Lukas har 2 kr mindre. Hur mycket har Lukas? Återställa en minskning 3 + 2 =? Sara köpte ett sudd för 3 kr och har 2 kr kvar. Hur mycket hade hon från början? Återställa en ökning 5 2 =? Lukas har fått 2 kr och har nu 5 kr. Hur mycket hade han innan? Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande Eldorado 4 A Lärarbok 25

Multiplikation och division I multiplikation har faktorernas ordning betydelse för hur uppgiften ska tolkas. T ex skrivs som 4 3: Fyra trehjulingar har tillsammans 4 3 = 12 hjul. Medan skrivs som 3 4: Tre personbilar har tillsammans 3 4 = 12 hjul. Eleverna ska kunna rita de här två olika varianterna. Det kan vara bra att veta att multiplikationsuttryck som ovan kan tolkas olika i olika länder. Om man däremot ritar ett rutsystem (3 4 rutor) så kan det tolkas som både 3 4 och 4 3. Eleverna bör själva kunna rita en multiplikation som ett rutsystem, vilket de tränar när de ritar mattor. Uppmärksamma speciellt innehållsdivision, eftersom många elever tycker att det är svårt, vilket även bekräftas i TIMSS-analysen som tidigare nämnts. Orsaken är främst att denna divisionsvariant inte är så vanlig, varken i matematikundervisning eller i läromedel, varför eleverna får allt för lite träning på innehållsdivision. Förutom att situationer och textuppgifter som kräver innehållsdivision upplevs svåra, så blir det problem när eleverna i högre årskurser inte behärskar innehållsdivision då de ska räkna med bråk. Hitta på en räknehändelse till ett uttryck som t ex 9/1,5. Du märker att det resulterar i en innehållsdivision, t ex Hur många hopprep som är 1,5 m kan man klippa av ett 9 m långt rep. Det går inte att klara detta med delningsdivision. I Eldorado har vi lyft fram innehållsdivision för att ge begreppsförståelse även för den varianten av division. I början av 1900-talet hade vi fem räknesätt i stället för nuvarande fyra, eftersom de två divisionsvarianterna räknades som två olika räknesätt med bråkstreck för delningsdivision och kolon för innehållsdivision. I dag syns båda tecknen sammanslagna på miniräknarens divisionsknapp. När de två olika typerna av division slogs samman så försvann innehållsdivisionen nästan helt i flertalet läromedel. Sambandet mellan multiplikation och division blir tydligt när man skriver talfamiljer, t ex 3 4 = 12, 4 3 = 12, 12/3 = 4 och 12/4 = 3. Eleverna ska kunna generalisera och använda samma sätt att tänka vid olika uttryck, t ex eftersom 5 12 = 60 så måste 60/5 vara 12. multiplikation division Upprepad addition Sara, Lukas och Ludvig har 10 kr var. Hur mycket har de tillsammans? 10 + 10 + 10 = 30 3 10 = 30 Upprepad subtraktion, innehållsdivision Varje barn ska ha 10 kr. Till hur många barn räcker 30 kr? 30 10 10 10 = 0 30 10 = 3 Mångfaldigande En påse plommon kostar 10 kr. Hur mycket kostar 3 påsar? 3 10 = 30 Likadelning, delningsdivision Tre lika påsar plommon kostar 30 kr. Hur mycket kostar en påse? 30 3 = 10 26 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande

C Välja räknemetod När man valt det eller de räknesätt som behövs för att lösa uppgiften kommer nästa val, nämligen vilken räknemetod som är lämpligast att använda, se s 24. Först gäller det att avgöra om man behöver ett exakt svar eller om det räcker med ett ungefärligt svar, ett överslag. Exakt svar Om svaret ska vara exakt så väljer man mellan metoderna huvudräkning, skriftliga räknemetoder och miniräknare. Dessa metoder presenteras här nedan för respektive räknesätt. Väljer man huvudräkning så måste man sedan välja en strategi som är lämplig för att lösa det aktuella uttrycket. Det är viktigt att eleverna använder strategier som är effektiva och utvecklingsbara. Väljer man skriftliga räknemetoder så är nästa val olika för olika räknesätt. Uppställningar/algoritmer funge rar alltid men i addition finns även varianten vågrät algoritm, talsortsräkning. Addition Huvudräkning: Gäller det endast två termer i addition så är det ofta enklast att använda huvudräkning. Här följer en sammanställning över de strategier som presenterats i grundböckerna och som ingående har förklarats i tidigare lärarböcker. 34 + 23 Varje talsort är tillsammans högst 9. Se svaret. 38 + 3 Lägg till lite. Räkna framåt. 39 + 23 Entalen är tillsammans fler än 9. Flytta mellan termerna 40 + 22 eller 39 + 23 = 59 + 3 Talsorterna adderas var för sig, med tiotalen först. Det syns tydligt på tom tallinje. Analyser av elevlösningar har visat att elever med hög begreppsförståelse använde sig av strategier som gjorde beräkningarna enklare, t ex att flytta mellan termerna i exemplet ovan med 39 + 23. Eleverna med mindre god begreppsförståelse använde sig ofta av talsortsvisa beräkningar, som i sista exemplet ovan där först tiotal en adderas och sedan entalen. Den strategin tränade eleverna på tom tallinje redan i grundbok 2 A. Det är elevernas begreppsförståelse som avgör vilka strategier de kan hantera. Den strategi som en elev tycker är enklast kanske inte upplevs enklast av en annan. Det går därför inte att säga att en viss strategi är bäst för alla. I trean kanske en elev väljer en strategi som han/hon inte klarade av att hantera i tvåan. Ovanstående strategier fungerar bra vid såväl två- som tresiffriga tal, när endast två tal ska adderas. I 3 A tränar eleverna dessa strategier vid tresiffriga tal. Naturligtvis finns det varianter av dessa och många fler strategier och det är du som väljer vilka du vill ta upp och med vilka elever. Kanske har du elever som tänker ut t ex 58 + 27 som sjuttio åttiofem genom att t ex tänka 78 + 7 eller 70 + 10 + 5 och då t ex utnyttja att 8 + 7 är 15. Givetvis ska de få fortsätta att tänka så, men de kan ändå arbeta med andra strategier, eftersom det ger god träning i taluppfattning. Skriftliga räknemetoder: Här väljer eleverna mellan vanlig uppställning eller någon annan sorts algoritmer där talsorter beräknas var för sig, t ex talsortsräkning. De elever som ännu inte är så säkra i taluppfattning kan redan vid addition av två termer ha nytta av att välja en algoritm, där de räknar varje talsort för sig. Det kan t ex vara talsortsräkning, en vågrät algoritm. Den metoden används frekvent i många läromedel även vid addition av flera termer, kanske för mycket. När flera tresiffriga termer ska adderas, så bör vi fundera över om vad som är enklast, att addera vågrätt eller lodrätt. Att ha termerna under varandra i en lodrät algoritm är ofta enklare, speciellt när termerna innehåller olika antal siffror och även längre fram vid addition av decimaltal. Det kan därför underlätta för många elever att de får lära sig uppställning med talen under varandra. Detta introducerades i grundbok 2 B. Miniräknare: Innan miniräknaren fanns var elever som inte klarade de aritmetiska beräkningarna utestängda från att lösa textuppgifter. Men i dag ger miniräknaren alla elever möjlighet att klara beräkningarna. Samtala med eleverna om vid vilka uppgifter de behöver använda miniräknaren. I åk 1 kanske de föreslår miniräknaren till uppgifter som 61 48 och 237 + 378 + 125, medan de i 3:an klarar dessa uppgifter med huvudräkning respektive uppställning. Uppgifter som kräver mini räknare kommer således att variera, både beroende av skolår och av vilken elev det är. Subtraktion Huvudräkning: Genom att välja en lämplig strategi kan eleverna klara många subtraktionsuppgifter med huvud räkning. Strategierna nedan har förklarats i tidigare lärarböcker. 48 23 Alla talsorter räcker till. Se svaret. 41 3 Ta bort lite. Räkna bakåt. 41 39 Talen ligger nära varandra. Se skillnaden. 41 18 Talen ligger inte nära varandra och talsorterna räcker inte till. Lägg till lika 43 20 = 23 Räkna upp bakifrån 2 + 21 = 23 Ta bort 41 10 = 31, 31 8 = 23 Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande Eldorado 4 A Lärarbok 27

Skriftliga räknemetoder: I Eldorado rekommenderas att inte använda talsortsräkning i subtraktion, eftersom den räknemetoden ställer höga krav på elevernas taluppfattning och därför har hög felfrekvens. Uppställning i subtraktion presenterades i grundbok 3 B. som svårt av många elever. Att avgöra hur noggrant svar et måste vara och om man ska räkna med tiotal eller tusental, kräver erfarenhet. Något som eleverna ännu inte har, men som de ska skaffa sig. Träna därför ofta överslag! Multiplikation och division Huvudräkning: Enkla uttryck för kort division, som t ex 639/3 introduceras i grundbok 3 B, varför miniräknaren kan vara ett val vid andra typer av divisionsuttryck. Genom att generalisera sina tabellkunskaper i multiplikation och division bör eleverna klara en hel del uttryck med hjälp av huvudräkning. Skriftliga räknemetoder: Talsortsräkning vid enkla multiplikationer, t ex 6 18 presenterades i 3 B. Övrig talsortsräkning och uppställning introduceras i grundbok 4 B. Om eleverna möter uttryck i multi plikation som de inte klarar med huvudräkning får de därför använda miniräknaren. I 4 B får eleverna arbeta med kort division med växling. Miniräknare: För att lösa vardagsmatematik, där eleverna inte klarar beräkningarna med huvudräkning eller skriftliga räknemetoder, får de använda miniräknare. Nyheter i kursplanen till Lpo 94 var bl a att eleverna från skolstart först skulle arbeta med taluppfattning och huvudräkning och därefter med uppställningar/ algoritmer. Detta för att eleverna först skulle utveckla de förkunskaper som krävs för att förstå uppställningarna, så att de inte bara flyttar siffror efter inlärda regler. Dessutom visade undersökningar att många elever som först lärde sig uppställning, senare hade svårt att tänka lite friare i huvudräkning. Vid t ex 401 398 tänkte sig många talen under varandra och försökte räkna uppställning i huvudet, vilket ofta resulterade i det felaktiga svaret 197. Tyvärr var det vanligt att kursplanens skrivelse tolkades så att uppställningarna helt försvann från undervisningen. De elever som förlorat mest på detta är de som tycker att aritmetik är svårt. För dem kan uppställningar, vilka fungerar i alla lägen, vara en trygghet. Kursplan ens uppmaning var alltså att först arbeta med övergripande taluppfattning och huvudräkning och sedan uppställningar och andra skriftliga räknemetoder, vilket vi gör i Eldorado. Ungefärligt svar Om svaret inte behöver vara exakt väljer vi överslagsräkning. Många beräkningar i vardagen löser vi med överslagsräkning, t ex Räcker pengarna? Hur lång tid tar det att köra hem? och När måste jag gå för att hinna till bussen? Överslagräkning brukar upplevas E Bedöma rimlighet När eleverna väl har räknat fram ett svar, ska de återkoppla till den ursprungliga uppgiften och reflektera över om svaret kan vara rimligt eller ej, se s 23. Tyvärr är det många elever som vill hoppa över denna viktiga sista punkt i fingerfemman. Det är vanligt att elever tycker att rimlighetsbedömning är svårt. Orsaker kan vara att det tar tid och att många elever vill hinna lösa fler uppgifter, att det är svårt eftersom elevernas erfarenheter är begränsade och rimlighet kräver erfarenhet, samt att när elever ska avrunda är det svårt att välja vilken talsort som de ska avrunda till. Eftersom rimlighets bedömning är så viktigt behöver eleverna ofta få träning på detta. Förkunskaper i aritmetik För att förstå och säkert kunna använda effektiva matematiska metoder och strategier i rätt sammanhang krävs bl a följande förkunskaper: Taluppfattning: Eleverna måste känna sig trygga med talen och veta hur de kan hantera dem. Tallinjen: Att föreställa sig en inre mental tallinje är till god hjälp. Tallinjen betonas i nya kursplanen. Talkamrater: 1 10 Denna kunskap är en förutsättning för huvudräkning. 11 18 Denna kunskap underlättar mycket i huvudräkning. Multiplikationstabellerna: En förutsättning för att räkna multi plikation och division. Positionssystemet: Speciellt växlingarna mellan olika talsorter, t ex ental, tiotal och hundratal. Räknelagar: kommutativa lagen a + b = b + a, t ex 5 + 3 = 3 + 5 Associativa lagen a + b + c = a + c + b, t ex 6 + 7 + 4 = (6 + 4) + 7 distributiva lagen a(b + c) = a b + a c, t ex 2(5 + 3) = 2 5 + 2 3 28 Eldorado 4 A Lärarbok Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande

Viktigt att träna För att med säkerhet behärska räknemetoder och strategier räcker det inte med att elever räknar spalter med uppgifter. Vid t ex TIMSS år 2007 framkom att elever ofta kan olika strategier, men att många inte vet när de ska använda den ena eller den andra. För att kunna göra det valet måste eleverna kunna identifiera olika uppgiftstyper och säga vad som är typiskt för dem, samt veta vilken strategi som passar bra för respektive uppgiftstyp. Det innebär att undervisningen måste innehålla matteprat och fokus på vägen fram till svar en och inte bara fokusera på rätt eller fel svar. Talkombinationerna för talen 1 10 Pyramiden: Lägg patiensen Pyramiden med talkort 0 10 eller med spelkort där joker är 0. Det behövs fyra av varje. Här följer förslag på sådant som bör få större utrymme i matematikundervisningen. Generalisera kunskaper: Att utnyttja det man redan kan i nya situationer, t ex att använda kunskapen om talkamrater och tabeller vid tiotal och hundratal, som 5 6, 5 60 och 5 600. Upprepad träning på att välja vilka strategier som passar till vilka uppgiftstyper: Eleverna skriver själva fler liknande uppgifter av den sort som de just tränat. Då ser du om de förstått vad strategin gick ut på. Eleverna sorterar också ut en specifik typ av uppgift bland många andra. Känner de igen uppgiftstypen? Färdighetsträning av strategier: Eleverna grundlägger först en bra tankeform och färdighetstränar sedan. Tom tallinje: Låt eleverna synliggöra hur de tänker med hjälp av en tom tallinje. Du ser deras strategier och de blir själva medvetna om hur de tänker och kan då lät tare förbättra sina strategier. Träning på olika strategier: Eleverna sorterar uppgifter efter de strategier som är enklast att använda till respektive uppgift. Fokus på vägen fram till svaret: Eleverna löser t ex 49 + 18 på så många olika sätt som de kan och kryssar för den strategi som är enklast. Ställ frågor som t ex Vilken strategi hade varit enklast om första termen i stället varit 41? 50? För att träna t ex talet 5 behövs alltså 24 kort. Blanda korten, lägg dem som en pyramid med fyra rader. Börja med att lägga toppen. De återstående 14 korten utgör högen. Spelet går ut på att bilda 5-kamrater och lägga dessa i parhögen. Titta på nedersta raden om du har något 5-par. Om inte vänder du översta kortet i högen och ser om du då kan bilda par med något kort som ligger fritt i pyramiden. Kort med 5 måste alltid paras ihop med ett 0-kort. Här är det meningsfullt att behärska talkamraterna och snabbt kunna bilda par. När ett kort med baksidan upp ligger fritt vänder man på det. När patiensen gått ut eller när det inte går längre, används parhögen för ytterligare träning. Vänd upp översta kortet i parhögen. Om det är en 3:a säger eleven 2 och vänder nästa kort och får bekräftat att det är en 2:a. Gör på motsvarande sätt med andra talkamrater. Slalombana: Rita en slalombana och skriv talen 0 10 på flaggorna. När eleverna kör banan med fingret säger de talkamraten till flaggornas tal. Samband mellan räknesätt: Redan i talfamiljerna och tabellerna möter eleverna samband mellan räknesätten och detta behöver sedan generaliseras till andra uppgifter som t ex 58 + 27 = 85, 85 58 = 27. Undervisning att skapa förutsättningar för elevers lärande Eldorado 4 A Lärarbok 29