Gleerups Utbildning AB Box 367, Malmö Kundservice tfn Kundservice fax e-post

Transkript

1 3 Lärarhandledning I din hand håller du ett läromedel från Gleerups. Gleerups författare är lärare med erfarenhet från klassrummet. Lärare och elever hjälper till att utveckla våra läromedel genom värdefulla synpunkter på både innehåll och form. Vi förankrar våra läromedel i skolan där de hör hemma. Gleerups läromedel är alltid utvecklade i samarbete med dig! Har du som användare frågor eller åsikter, kontakta oss gärna på telefon eller via Författare till Matematik är Åsa Brorsson, lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik. Åsa är matematikutvecklare och arbetar på Hagenskolan i Göteborg. Johanna Kristiansson, en av den nya generationens serietecknare och barnboksillustratörer, har illustrerat.

2 Gleerups Utbildning AB Box 367, 0 3 Malmö Kundservice tfn Kundservice fax e-post info@gleerups.se matematik 3 Lärarhandledning 0 Åsa Brorsson och Gleerups Utbildning AB Gleerups grundat 86 Redaktör Mimmi Persson Formgivning Helena Alvesalo Illustratör Johanna Kristiansson Första upplagan, första tryckningen ISBN Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, då ej annat anges i materialet. De sidor som får kopieras får endast spridas inom skolenheten! På kopierade sidor ska och upphovsrättinnehavarnas namn anges. Ingen del av materialet får lagras eller spridas i elektronisk (digital) form. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Prepress Holmbergs, Malmö, 0. Kvalitet ISO 900/Miljö ISO 00 Tryck Holmbergs, Malmö, 0. Kvalitet ISO 900/Miljö ISO 00

3 Innehållsförteckning Välkommen till... Komponenter i... Struktur och målarbete... Mattelabbet... Diagnos och uppföljning...6 Om s tre matriser...7 Matris (Kopieringsunderlag) Centralt innehåll och kunskapskrav Matris (Kopieringsunderlag) Syfte och kunskapskrav...0 Matris (Kopieringsunderlag) Förmågamatris... Framgångsfaktorer för matematikundervisningen... Att arbeta med förmågorna... Pedagogisk planering... Anvisningar till 3A Matematiska profiler genom historien...7 Talsystem genom historien...6 Anvisningar till 3B Extra geometriövning Algebra... 7 Kopieringsunderlag översikt...60 Kopieringsunderlag

4 Välkommen till är framtagen utifrån den nya läroplanen, Lgr. Materialet ger dig som lärare möjlighet att på ett enkelt sätt undervisa utifrån de nationella målen i matematik och genom våra matriser blir det dessutom lätt att följa varje elevs kunskapsutveckling och göra den tydlig för elever och föräldrar. I arbetar vi för att utveckla elevernas förmågor att reflektera, argumentera och kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Det gör vi bland annat genom att lyfta fram laborativt arbete och matematiska diskussioner. Du får möjlighet att skapa ett kreativt arbete i matematik i ditt vanliga klassrum, med enkelt material som du redan har tillgång till. Vi rekommenderar att klassen hålls samman så att alla elever samtidigt arbetar med samma avsnitt. Tack vare de er och utmaningar som finns i såväl grundbok som lärarhandledning kan alla elever få arbeta på sin egen nivå inom aktuellt område. Struktur och målarbete Kojbygget I det här kapitlet lär du dig talraden 0 till 00 udda och jämna tal använda tecknen >,< och addition och subtraktion i talområdet 0 till 0 addition och subtraktion med hela tiotal räkna med tiotal och ental. mål och samtalsbild I inleds varje kapitel med ett illustrerat startuppslag där kapitlets mål tydligt framgår. Dessa mål återfinns också i matrisen där du på ett överskådligt sätt kan se hur målet relaterar till Lgr i form av det centrala innehållet, och till förmågorna så som de uttrycks i kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3. Startuppslaget fungerar som ett samtalsunderlag och i lärarhandledningen finns exempel på frågor att använda. MÅL Komponenter i Materialet för skolår 3 består av två grundböcker, en lärarhandledning och en extrabok. Extraboken kan användas för mer träning eller som läxbok. Varje uppslag i extraboken avslutas med en utmaning. Dessutom finns ytterligare material på lärarwebb och elevwebb, där eleverna i olika spel kan öva vidare på några av de mål som finns i varje kapitel i boken. Mattelabbet Hämta en liten näve knappar och en liten näve pärlor. Räkna hur många du har av varje sort. 3 Räkna ut summan. Räkna ut differensen. Rita och skriv dina lösningar. LÖSNiNG summa differens 6 Rita och skriv en kompis lösningar. LÖSNiNG summa differens 6 Laborativt arbete med addition och subtraktion. Underlag för utbyte av idéer och diskussion. 7 matematiklaborationer Efter startuppslaget följer Mattelabbet, en laboration i vilken barnen får arbeta konkret med ett av kapitlets mål, läs mer nedan.

5 8 MÅL Talraden 0 till 00. Skriv färdigt talraden. 6 Dra streck från 0 till 00 (-hopp) Diagnos Skriv färdigt talraden Ringa in alla udda tal Sätt ut rätt tecken. Välj mellan MÅL Måla jämna tal gröna och udda tal blå. Skriv färdigt talmönstret. Udda och jämna tal. Jämna tal kan du dela i lika stora delar. Udda tal kan du inte dela i lika stora delar grundkapitel I kapitlet står målen som tränas som rubriker på sidorna, detta gör det lätt för dig som lärare att se vilka sidor som övar vilket moment. Skriv additionen. 6 Skriv subtraktionen. + + kr + kr kr kr + kr kr 9 s matriser Till finns tre matriser, matriserna utifrån syfte och centralt innehåll i Lgr (planschen) och förmågamatrisen som elev och lärare kan använda för att visa hur elevens matematiska förmågor utvecklas utifrån de förmågor som lyfts fram i syftetexten. Alla matriserna finns som kopieringsunderlag och lämpar sig mycket bra som underlag vid utvecklingssamtal. Här kan du tillsammans med elev och föräldrar följa kunskapsutvecklingen. Läs mer om matriserna nedan. mattelabbet För ett framgångsrikt arbete i matematik behövs konkret arbete och diskussioner kring matematik. Med språkets hjälp bygger man broar mellan det konkreta och det abstrakta och tillbaka igen, detta är ett arbete som ständigt måste pågå och mattelabbet ger dig som lärare en god grund för detta Skriv färdigt Talraden 0 till 00. Udda och jämna tal. 3 Tecknen >,< och. Add. och subtr. talområdet 0 till kr - kr kr 70 kr - kr kr 7 Dela upp talet i tiotal och ental Addition och subtraktion med hela tiotal och ental. 7 Räkna med tiotal och ental. Diagnos Efter grundkapitlet finns en diagnos som testar kapitlets mål var för sig. Utifrån resultatet på diagnosen arbetar sedan eleverna vidare med och/eller utmaning. 9 Laborationerna genomförs med hjälp av mycket enkelt material, oftast bara plockmaterial såsom stenar, knappar, pärlor eller liknande. Varje elev får arbeta konkret med materialet i övningar som ger rika möjligheter till en matematisk diskussion. Mattelabbet är utformat för att ge möjligheter att arbeta både individuellt, i par och i grupp. Eleverna får inte samma resultat, det finns alltid någon faktor med som gör att eleverna inte har exakt samma lösning. Skriv färdigt talraden Talraden 0 till 00. Udda och jämna tal Ringa in alla jämna tal i talraderna. Skriv färdigt talmönstret Hitta på ett eget talmönster Repetition utmaning Sätt ut rätt tecken. Välj mellan Sätt ut rätt tecken. Välj mellan +0 Sätt ut tecken så att det stämmer. Välj mellan REpETiTiON UTMANiNG - 0 Tecknen >, < och. och utmaning Varje moment testas och följs upp för sig vilket innebär att samma elev kan göra på ett moment och utmaning på ett annat. På högersidan lyfts sedan elevernas olika tankar och idéer fram. På denna sida övas elevernas förmåga att förklara sin lösning med bild och text samt att sedan kommunicera detta med en kompis och i gruppen. Låt detta moment ta tid och betona vikten av en utförlig förklaring. Medan eleverna arbetar med labbet är det lämpligt att du som lärare iakttar hur de löser uppgiften. Skriv ner de olika lösningsmodeller du ser och försök att för dig själv rangordna dessa från den enklaste till den mest utvecklade lösningsmodellen. När det är dags för den viktiga gemensamma diskussionen kan du använda följande modell: Om det är en lösning som är lämplig att visa på tavlan

6 delar du in tavlan i lika många fält som det antal lösningsmodeller du sett. Inled sedan med att låta en av de elever som enligt din åsikt valt den enklaste eller minst utvecklade lösningsmodellen komma fram och visa sin lösning. Lyft fram det positiva som finns i denna lösningsmodell, bygg sedan vidare genom att låta en elev som representerar nästa steg i lösningstrappan komma fram, lyft fram det positiva i den lösningen och så vidare tills alla lösningar finns representerade. Ofta kan det finnas fyra till fem olika lösningsvarianter. Nästa steg blir nu att låta alla elever berätta vilken av lösningsmodellerna på tavlan som mest liknar deras egen. Skriv gärna elevernas namn bredvid denna. Kanske finns det nu någon elev som tycker att deras modell inte finns med bland de visade varianterna. Låt dem då förklara sin lösning, kanske är det en variant du missat eller så ser eleven själv inte likheterna med en annan lösning. I en diskussion brukar elevgruppen kunna argumentera för var lösningen hör hemma! När alla lösningar finns representerade är det dags för eleverna att fundera över de fördelar de olika modellerna har. Fråga eleverna vilken modell de skulle välja om de skulle göra om uppgiften? Skulle de byta variant eller är de nöjda med sin egen lösning? Genom att börja med den enklaste lösningsvarianten känner alla elever att de har något att bidra med, de kan också byta upp sig en lösningsmodell genom att de får lättare att följa med i kamraternas resonemang när svårighetsgraden ökar stegvis. Diagnos och uppföljning I diagnosen testas kapitlets mål var för sig. När eleverna gjort diagnosen rättas den av läraren som i samband med detta fyller i hur eleven ska arbeta vidare. Varje mål följs upp för sig vilket gör att eleverna bara repeterar de moment som är aktuella, i övrigt arbetar de med utmaningar inom samma matematiska område. I ligger och utmaning till varje mål på samma sida i boken, detta gör att alla elever arbetar med målet på sin egen nivå. Då du som lärare rättar diagnosen kan du direkt bläddra till de efterföljande s- och utmaningssidorna och med ett enkelt kryss markera vilken/ vilka delar av sidan som eleven ska arbeta på. Efter diagnosen kan eleverna delas in i tre huvudgrupper:. De elever som i diagnosen visar att de har förstått momentet och behöver en utmaning. Dessa elever går direkt till utmaningen.. De elever som förstått grunderna men behöver öva mer för att befästa kunskapen. För dessa kan ibland en kortare genomgång krävas men i princip kan de sedan arbeta vidare med suppgifterna och eventuellt gå vidare med vissa av utmaningarna. 3. De elever som har stora svårigheter med ett moment och behöver konkreta genomgångar och övningar med eventuellt material innan de kan gå vidare till suppgifterna. Denna grupp brukar vara den minsta till antalet, men det är här du som lärare behöver lägga fokus. Om s tre matriser I matrisen utifrån centralt innehåll och kunskapskrav i Lgr visas hur eleverna i arbetar med det centrala innehållet och hur innehållet kopplar till kunskapskraven för skolår 3. Du kan använda matrisen för att markera vilka avsnitt eleven behärskar genom att färglägga de olika rutorna efterhand. Tänk på att markeringen ska visa om eleven behärskar området eller inte. Det handlar alltså inte bara om att enbart visa att man har arbetat med ett område. Den andra matrisen heter Syfte och kunskapskrav. Här kan du se hur vi arbetar med matematikämnets övergripande syfte (Lgr ). Denna matris är främst avsedd för dig som lärare. Matriserna finns som kopieringsunderlag och dessutom följer en färgplansch med i lärarhandledningen. 6

7 På gång Ja Nej På gång Ja Nej På gång Ja Nej På gång Ja Nej På gång Ja Nej Här kan du läsa vad i skolår 3 tar upp för matematiskt inehåll. Här kan du läsa hur matematik år 3 kopplar till Lgr :s centrala innehåll. Taluppfattning och tals användning 3A Dela upp tal på olika sätt A, B 3A, kap Olika sätt att visa naturliga tal 3A, kap 3A 3 centralt innehåll och kunskapskrav Centralt innehåll Kunskapskrav år 3 Markera och avläsa tal på Skriva och storleksordna Ordningstal, blandad Taluppfattning, blandad Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen Eleven har grundläggande kunskaper tallinjen höga tal träning träning kan delas upp och hur de kan användas för att ange om naturliga tal och kan visa det 3B, kap 6 3B, kap 6 3B, kap 8 3B, kap 0 antal och ordning. genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal. A, B Matematikens historia, Olika talsystem genom tiderna 3A, kap Mer om positionssystemet 3A, kap Positionssystemet, blandad träning 3B, kap 0 Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien. A, B Om tal i bråkform 3B, kap 7 Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal. Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk. A, B Tal i bråkform, blandad träning 3A, kap Om tal i bråkform 3B, kap 7 Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer. A, B A, B A, B Multiplikation och division Att välja räknesätt 3A, kap, och 3 3B, kap 7 3B, kap 8 Multiplikation och division med och 3A, kap Huvudräkning, Addition med uppställning och växling och överslags-räkning subtraktion uppställning och växling Rimlighets-bedömning Huvudräkning i Subtraktion med med och 0 3A, kap addition med 3 och 6 3A, kap 3 3A, kap 3A, kap 3A, kap 3A, kap 3A, kap med 7, 8 och 9 3B, kap 8 De fyra räknesätten Strategier vid huvudräkning, Addition och subtraktion Multiplikation och division Strategier vid huvudräkning, Redovisa uppställning i 3A, kap addition och subtraktion med uppställning i ett utvidgat talområde multiplikation och division räknehäfte 3B, kap 6 3B, kap 6 3B, kap 7 3B, kap 8 3B, kap 9 De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer. Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer. Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat. Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0-0, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet A, B Rimlighetsbedömning i samband med överslagsräkning 3A, kap Rimlighetsbedömning vid additions- och subtraktionsuppställningar 3B, kap 6 och kap 9 Rimlighetsbedömning vid problemlösning 3B, kap 8 Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar och uppskattningar. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet Algebra Centralt innehåll Kunskapskrav år 3 A, B Matematiska likheter, öppna utsagor 3A, kap - 3B, kap 6-0 Matematiska likheter, algebra 3A, kap Algebra: mönster, likhetstecknets betydelse och bokstavssymboler 3B, kap 0 Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse. Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt. A, B Mönster vid multiplikation 3A, kap och 3 Mönster, tid 3A, kap 3 Mönster med stickor 3A, kap Talmönster 3B, kap 8 Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om geometriska mönster och mönster i talföljder Det finns en matris för skolår och också. Du hittar dem i LH och LH. Här kan du läsa hur matematik år 3 kopplar till Lgr :s kunskapskrav. I den tredje matrisen, förmågamatrisen har vi brutit ned och gett exempel på hur de olika matematiska förmågorna kan utvecklas. I denna matris kan elev och lärare tillsammans göra en bedömning och kryssa för om eleven har uppnått nivån (ja, nej eller är på gång). Notera att förmågorna har den egenskapen att det handlar om att utveckla kvaliteterna på elevernas kunnande. Exempelvis kan en elev ha grundläggande kunskap om begrepp inom geometrin medan en annan elev kan ha goda kunskaper och kan förklara samband mellan begreppen. Det handlar då om samma förmåga men eleverna har nått olika kvalitet på sitt kunnande. Du ska använda samma förmågamatris till alla tre skolåren. Förmåga att formulera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier och metoder Kommentar: Förmåga att använda och analysera matematiska begrepp Kommentar: Kommentar: kan översätta konkreta händelser till matematikens symbolspråk kan välja en lösningsmetod och lösa matematiska problem kan avgöra vilken lösningsmetod som är mest lämplig i en given vardaglig problemlösningssituation funderar över svarets rimlighet kan avgöra ett svars rimlighet kan själv formulera matematiska problem förstår olika matematiska begrepp använder sig av olika matematiska begrepp kan beskriva egenskaper hos matematiska begrepp och ge exempel på enkla samband mellan dem Förmåga att välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter FÖRMÅGAMATRIS kan avgöra vilket räknesätt som ska användas kan lösa en uppgift på ett sätt kan lösa samma typ av uppgift på flera sätt kan välja den mest effektiva matematiska beräkningsmetoden Förmåga att föra och följa logiska matematiska resonemang Kommentar: Förmåga att använda ett matematiskt språk för att samtala om och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser Kommentar: Kan följa ett matematiskt resonemang som läraren förklarar Kan själv föra ett matematiskt resonemang Kan argumentera logiskt för sin lösning Kan följa kamraternas matematiska resonemang Kan reflektera över sin egen lösning och se styrkor och svagheter Kan reflektera över någon annans lösning och se styrkor och svagheter kan med konkret material visa och förklara matematiska händelser kan med bilder visa och förklara matematiska händelser kan med matematiska symboler visa och förklara matematiska händelser förstår enkla matematiska ord försöker använda matematiska ord och använder dem mestadels i rätt sammanhang behärskar matematiska ord och använder dem i rätt sammanhang kan i samtal använda sig av ett matematiskt språk kan i skrift använda sig av ett matematiskt språk Förmågorna som eleverna ska utveckla, står på fliken. 7

8 Namn: 3 centralt innehåll och kunskapskrav Taluppfattning och tals användning Taluppfattning och tals användning A, B A, B 3A Dela upp tal på olika sätt Dela upp tal på olika sätt 3A, kap 3A, kap Olika sätt att visa Olika sätt att visa naturliga tal naturliga tal 3A, kap 3A, kap 3A Markera och avläsa tal på Markera och avläsa tal på tallinjen tallinjen 3B, kap 3B, kap 6 Skriva och storleksordna Skriva och storleksordna höga tal höga tal 3B, kap 3B, kap 6 Ordningstal, blandad Ordningstal, blandad träning träning 3B, kap 3B, kap 8 Taluppfattning, blandad Taluppfattning, blandad träning träning 3B, kap 0 3B, kap 0 Centralt innehåll Centralt innehåll Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning. antal och ordning. Kunskapskrav år Kunskapskrav år 3 Eleven har grundläggande kunskaper Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal. genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal. A, B A, B Matematikens historia, Olika talsystem genom tiderna Matematikens historia, Olika talsystem genom tiderna 3A, kap 3A, kap Mer om positionssystemet Mer om positionssystemet 3A, kap 3A, kap Positionssystemet, blandad träning Positionssystemet, blandad träning 3B, kap 0 3B, kap 0 Hur positionssystemet kan användas för att Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling några olika kulturer genom his- beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historientorien. A, B A, B A, B A, B Om tal bråkform Om tal i bråkform 3B, kap 3B, kap 7 Tal bråkform, blandad träning Tal i bråkform, blandad träning 3A, kap 3A, kap Om tal bråkform Om tal i bråkform 3B, kap 3B, kap 7 Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal. enkla bråk förhåller sig till naturliga tal. Naturliga tal och enkla tal bråkform och deras Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning vardagliga situationer. användning i vardagliga situationer. Eleven visar grundläggande kunskaper om tal bråkform genom att dela Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela upp helheter olika antal delar samt upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som jämföra och namnge delarna som enkla bråk. enkla bråk. A, B A, B A, B A, B A, B A, B Multiplikation och division Multiplikation och division 3A, kap, och 3A, kap, och 3 3B, kap 3B, kap 8 Multiplikation och division med och 3A, kap Multiplikation och division med och 3A, kap med och 0 3A, kap med och 0 3A, kap med och 3A, kap med 3 och 6 3A, kap 3 med 7, och 3B, kap med 7, 8 och 9 3B, kap 8 De fyra räknesätten De fyra räknesätten 3A, kap 3A, kap Strategier vid huvudräkning, Strategier vid huvudräkning, addition och subtraktion addition och subtraktion 3B, kap 3B, kap 6 Huvudräkning, Huvudräkning, addition addition 3A, kap 3A, kap Addition och subtraktion Addition och subtraktion med uppställning med uppställning 3B, kap 3B, kap 6 Att välja räknesätt Att välja räknesätt 3B, kap 3B, kap 7 Addition med uppställning och växling Addition med uppställning och växling 3A, kap 3A, kap Rimlighets-bedömning Rimlighets-bedömning och överslags-räkning och överslags-räkning 3A, kap 3A, kap Multiplikation och division Multiplikation och division ett utvidgat talområde i ett utvidgat talområde 3B, kap 3B, kap 7 Huvudräkning Huvudräkning i subtraktion subtraktion 3A, kap 3A, kap Strategier vid huvudräkning, Strategier vid huvudräkning, multiplikation och division multiplikation och division 3B, kap 3B, kap 8 Subtraktion med Subtraktion med uppställning och växling uppställning och växling 3A, kap 3A, kap Redovisa uppställning Redovisa uppställning i räknehäfte räknehäfte 3B, kap 3B, kap 9 De fyra räknesättens egenskaper och samband samt De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning olika situationer. användning i olika situationer. Centrala metoder för beräkningar med naturliga Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning olika situationer. beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer. Eleven kan välja och använda huvudsak fungerande matematiska metoder Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resul- med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat. Eleven kan använda huvudräkning tat. Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0-0, samt ligger inom heltalsområdet 0-0, samt för beräkningar av enkla tal ett utvidgat talområde. Vid addition och sub- för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda traktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet ligger inom heltalsområdet A, B A, B Rimlighetsbedömning samband med överslagsräkning Rimlighetsbedömning i samband med överslagsräkning 3A, kap 3A, kap Rimlighetsbedömning vid additions- och subtraktionsuppställningar Rimlighetsbedömning vid additions- och subtraktionsuppställningar 3B, kap och kap 3B, kap 6 och kap 9 Rimlighetsbedömning vid problemlösning Rimlighetsbedömning vid problemlösning 3B, kap 3B, kap 8 Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar och Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar och uppskattningar. uppskattningar. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet och räknesätt samt om resultats rimlighet Algebra Algebra Centralt innehåll Centralt innehåll Kunskapskrav år Kunskapskrav år 3 A, B A, B Matematiska likheter, öppna utsagor Matematiska likheter, öppna utsagor 3A, kap - 3A, kap - 3B, kap 6-0 3B, kap 6-0 Matematiska likheter, algebra Matematiska likheter, algebra 3A, kap 3A, kap Algebra: mönster, likhetstecknets betydelse och Algebra: mönster, likhetstecknets betydelse och bokstavssymboler bokstavssymboler 3B, kap 0 3B, kap 0 Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse. Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse. Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då lik- Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande hetstecknet på ett fungerande sätt. sätt. A, B A, B Mönster vid multiplikation Mönster vid multiplikation 3A, kap och 3A, kap och 3 Mönster, tid Mönster, tid 3A, kap 3A, kap 3 Mönster med stickor Mönster med stickor 3A, kap 3A, kap Talmönster Talmönster 3B, kap 3B, kap 8 Hur enkla mönster talföljder och enkla geometriska Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas. mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om geometriska Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om geometriska mönster och mönster talföljder mönster och mönster i talföljder Sida av 8 Får kopieras! Författarna och Gleerups Utbildning AB.

9 Namn: Geometri Centralt innehåll Kunskapskrav år 3 A, B Begrepp för att beskriva tvådimensionella geometriska objekt Begreppen fyrhörning, hörn, sida, parallell, vinkel 3B, kap 9 Begrepp för att beskriva tredimensionella objekt Begreppen hörn, sidoyta och kant 3B kap 9 Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, cirklar, klot, koner, cylindrar och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. Eleven kan använda grundläggande geometriska begrepp och vanliga lägesord för att beskriva geometriska objekts egenskaper, läge och inbördes relationer. A, B Använda skala vid förminskning och förstoring 3A, kap Bygga och rita av tredimensionella figurer 3B, kap 9 Konstruktion av geometriska objekt. Skala vid enkel förstoring och förminskning. Eleven kan även avbilda och, utifrån instruktioner, konstruera enkla geometriska objekt. A, B Lägesbegrepp vid problemlösning, utmaning 3B, kap 8 Vanliga lägesord för att beskriva föremåls och objekts läge i rummet. Dessutom kan eleven använda grundläggande geometriska begrepp och vanliga lägesord för att beskriva geometriska objekts egenskaper, läge och inbördes relationer. A, B Målet har behandlats i tidigare böcker Symmetri, till exempel i bilder och i naturen, och hur symmetri kan konstrueras. A, B Klockan, analogt, blandad träning 3A, kap Klockan, analogt och digitalt 3A, kap 3 3B, kap 9 Jämföra, uppskatta och mäta omkrets 3A, kap Jämföra areor 3A, kap Måttenheter, blandad träning 3B, kap 6 Matematikens historia, äldre måttenheter 3B, kap 7 Skriva datum på olika sätt 3B, kap 7 Termometern, avläsa temperatur 3B, kap 0 Jämförelser och uppskattningar av matematiska storheter. Mätning av längd, massa, volym och tid med vanliga nutida och äldre måttenheter. Eleven kan göra enkla mätningar, jämförelser och uppskattningar av längder, massor, volymer och tider och använder vanliga måttenheter för att uttrycka resultatet. Sannolikhet och statistik Centralt innehåll Kunskapskrav år 3 A, B Undersöka sannolikhet i slumpmässiga försök 3A, kap 3 Slumpmässiga händelser i experiment och spel. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om slumpmässiga händelser A, B Statistik, tolka och presentera information i tabeller och diagram 3A, kap 3 Linjediagram, temperatur 3B, kap 0 Enkla tabeller och diagram och hur de kan användas för att sortera data och beskriva resultat från enkla undersökningar. Eleven kan dessutom vid olika slag av undersökningar i välkända situationer avläsa och skapa enkla tabeller och diagram för att sortera och redovisa resultat. Samband och förändring Centralt innehåll Kunskapskrav år 3 A, B Multiplikation och division med och, tankemodell dubbelt och hälften. 3A, kap Räkna med proportionella samband 3A, kap Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften. Eleven kan även använda och ge exempel på enkla proportionella samband i elevnära situationer. Problemlösning Centralt innehåll Kunskapskrav år 3 A, B A, B Strategier vid problemlösning 3A, kap Skriva en multiplikation eller division till bilden 3A, kap Olika sätt att beskriva en matematisk händelse 3A, kap Problemlösning, planera och välja lösningsmetod 3B, kap 6 Problemlösning, att formulera en frågeställning och redovisa en lösning 3B, kap 8 Redovisa problemlösning i räknehäfte 3B, kap 9 Formulera en räknehändelse, blandad träning 3B, kap 0 Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer. Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet. matematik 3 Centralt innehåll och kunskapskrav Sida av Får kopieras! Författarna och Gleerups Utbildning AB. 9

10 Namn: A 3A syfte och kunskapskrav 3A 3A Kunskapskrav år 3 Syfte matematik 3 Kunskapskrav år 3 Syfte Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att: I matematik utvecklar eleven sina matematiska förmågor genom att: matematik 3 Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin I matematik utvecklar eleven sina matematiska förmågor genom att: Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet. förmåga att: Formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. Arbeta med räknehändelser för att formulera problem. Lära sig strategier vid problemlösning, vi lyfter fram fem viktiga delar: A, B. Läs uppgiften. Tänk och planera. Vad ska du ta reda på? Hur? Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet. Formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. Arbeta med räknehändelser för att formulera problem. Lära sig strategier vid problemlösning, vi lyfter fram fem viktiga delar: 3. Lös uppgiften, flera metoder presenteras.. Redovisa A, din B lösning.. Rimlighet. Är svaret rimligt? Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. Eleven kan även ge exempel på hur några begrepp relaterar till varandra Använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp.. Läs uppgiften. Tänk och planera. Vad ska du ta reda på? Hur? 3. Lös uppgiften, flera metoder presenteras.. Redovisa din lösning.. Rimlighet. Är svaret rimligt? Möta en korrekt terminologi inom olika delområden. A, B Eleven arbetar med matematiska begrepp, redovisar samband mellan begrepp, till exempel samband mellan olika räknesätt och mellan geometriska begrepp. Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. Eleven kan även ge exempel på hur några begrepp relaterar till varandra Använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp. Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat. Välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter. Möta en korrekt terminologi inom olika delområden. A, B A, B Eleven arbetar med matematiska begrepp, redovisar samband mellan begrepp, till exempel samband mellan olika räknesätt och mellan geometriska begrepp. Arbeta med problemlösning och olika tankemodeller i de fyra räknesätten. Eleverna får arbeta med grundläggande tabeller i de fyra räknesätten vid huvudräkning samt skriftliga räknemetoder vid addition och subtraktion. Eleverna tränas i att välja räknesätt och bedöma resultatets rimlighet. Föra och följa matematiska resonemang. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet, slumpmässiga händelser, geometriska mönster och mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet. I diskussioner kring samtalsbilder och mattelabb öva sig i att föra och följa matematiska resonemang. Eleven tränas då i att förklara sin egen lösningsmetod och får jämföra denna med en kompis och med gruppen. A, B Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat. Välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter. Arbeta med problemlösning och olika tankemodeller i de fyra räknesätten. Eleverna får arbeta med grundläggande tabeller i de fyra räknesätten vid huvudräkning samt skriftliga räknemetoder vid addition och subtraktion. Eleverna tränas i att välja räknesätt och bedöma resultatets A, B Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. Använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Varierande arbete och redovisningar med konkret material, bild och symboler samt genom skriftliga och muntliga förklaringar och resonemang. A, B rimlighet. Föra och följa matematiska resonemang. Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet, slumpmässiga händelser, geometriska mönster och mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet. I diskussioner kring samtalsbilder och mattelabb öva sig i att föra och följa matematiska resonemang. Eleven tränas då i att förklara sin egen lösningsmetod och får jämföra denna med en kompis och med gruppen. A, B Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. Använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Varierande arbete och redovisningar med konkret material, bild och symboler samt genom skriftliga och muntliga förklaringar och resonemang. A, B 3A 3A Får kopieras! Författarna och Gleerups Utbildning AB.

11 Namn: FÖRMÅGAMATRIS Förmåga att formulera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier och metoder På gång Ja Nej kan översätta konkreta händelser till matematikens symbolspråk kan välja en lösningsmetod och lösa matematiska problem kan avgöra vilken lösningsmetod som är mest lämplig i en given vardaglig problemlösningssituation funderar över svarets rimlighet kan avgöra ett svars rimlighet kan själv formulera matematiska problem Kommentar: Förmåga att använda och analysera matematiska begrepp På gång Ja Nej förstår olika matematiska begrepp använder sig av olika matematiska begrepp kan beskriva egenskaper hos matematiska begrepp och ge exempel på enkla samband mellan dem Kommentar: Förmåga att välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter På gång Ja Nej kan avgöra vilket räknesätt som ska användas kan lösa en uppgift på ett sätt kan lösa samma typ av uppgift på flera sätt kan välja den mest effektiva matematiska beräkningsmetoden Kommentar: Förmåga att föra och följa logiska matematiska resonemang På gång Ja Nej Kan följa ett matematiskt resonemang som läraren förklarar Kan själv föra ett matematiskt resonemang Kan argumentera logiskt för sin lösning Kan följa kamraternas matematiska resonemang Kan reflektera över sin egen lösning och se styrkor och svagheter Kan reflektera över någon annans lösning och se styrkor och svagheter Kommentar: Förmåga att använda ett matematiskt språk för att samtala om och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser På gång Ja Nej kan med konkret material visa och förklara matematiska händelser kan med bilder visa och förklara matematiska händelser kan med matematiska symboler visa och förklara matematiska händelser förstår enkla matematiska ord försöker använda matematiska ord och använder dem mestadels i rätt sammanhang behärskar matematiska ord och använder dem i rätt sammanhang kan i samtal använda sig av ett matematiskt språk kan i skrift använda sig av ett matematiskt språk Kommentar: Får kopieras! Författarna och Gleerups Utbildning AB.

12 Framgångsfaktorer för matematikundervisningen Tydliga mål Senare tids forskning har visat på några viktiga framgångsfaktorer för att matematikundervisningen ska ge resultat. En av dessa faktorer är att målen för undervisningen är väl kända av eleverna. I har vi lyft fram detta genom att göra målen tydliga i boken samt att koppla dessa till kunskapskraven i Lgr. Formativ bedömning En annan framgångsfaktor är att eleverna känner till vad det är som ska bedömas och hur detta ska bedömas. De ska också känna till vad nästa steg i utvecklingen är och hur de kan nå dit. Här är det viktigt att det blir tydligt för eleverna att matematik inte enbart handlar om att kunna avge ett korrekt svar, det handlar också om att kunna förklara sina tankegångar, att kunna använda matematiska begrepp på ett korrekt sätt och att kunna förklara olika matematiska samband. I har vi skapat ett material som hjälper dig som lärare att arbeta med att utveckla elevernas förmågor, använd dig av föreslagna laborationer så att eleverna verkligen får tillfälle till exempelvis diskussioner. En gemensam och individualiserande undervisning Individualisering har inom matematiken kommit att handla om hastighetsindividualisering och har inneburit att eleverna har räknat på i sin egen takt och att matematiktimmarna framför allt har ägnats åt tyst räkning. Denna syn på individualisering ses som en av förklaringarna till sjunkande resultat i matematik och är mycket negativ. En annan form av individualisering har handlat om nivågruppering, även detta har visat sig vara negativt då grupperingarna har visat sig ha inlåsningseffekter då eleverna inte förmått höja sig till nästa nivå. Här spelar troligen elevens och lärarens förväntningar på resultatet in, med höga förväntningar når eleven längre. Vi menar att individualisering istället ska handla om att möta varje elev på sin nivå samtidigt som gruppen som helhet hålls samman och arbetar med samma moment. Genom att gruppen hålls samman blir det rika tillfällen till gemensamma genomgångar och diskussioner, något som gynnar alla elever. Inom samma område kan eleverna genom att använda s- och utmaningsuppgifter få möta samma ämnesinnehåll men på olika nivåer. Ett annat mycket viktigt sätt att individualisera inom ramen för det gemensamma är att förvänta sig att alla skriver förklaringar, reflekterar och argumenterar utifrån sin förmåga. När man fokuserar på förmågorna finns det så att säga inget tak utan bara olika kvaliteter på kunnandet. Att arbeta med förmågorna Syftestexten i Kursplanen i matematik i Lgr finns sammanfattad i fem avslutande punkter. Här ger vi några förslag till hur du med hjälp av kan arbeta med dessa punkter: Att utveckla förmågan att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. (Syfte Lgr ) I har vi valt att utgå från fem punkter vid problemlösning (se kopieringsunderlag ), vi kallar det för strategier vid problemlösning (handen). Dessa punkter finns med i elevboken men det finns också upprepade hänvisningar till dem i lärarhandledningen. Vi har valt att arbeta med punkterna genom att lyfta fram olika delar av dem vid olika tillfällen. Bilden av en hand är tänkt att hjälpa eleverna att komma ihåg de fem stegen LÄS TÄNK OCh PLANErA LÖS redovisa. rimlighet

13 . Läs Det här är en punkt som behöver få ta tid, det är en mycket viktig del av problemlösningsprocessen hänger nära samman med den andra punkten: Tänk och planera. Låt gärna eleverna läsa och diskutera vad uppgiften innebär med en kompis. Genom att formulera vad problemet är kan man lättare komma vidare. Tänk på att inte falla i fällan att lotsa fram eleverna till lösningen! Om de behöver hjälp att förstå uppgiften handlar det istället om att ställa frågor som får dem att reflektera. Uppmana dem att förklara vilka delar av uppgiften de förstår och vilka delar de inte förstår.. Tänk och planera Efter att man har läst uppgiften gäller det att fokusera på vad det är man ska ta reda på och utifrån detta fundera över hur man kan lösa uppgiften. Eleverna får i mattelabb och vid olika typer av problemuppgifter öva sig i att välja olika lösningsmetoder beroende på uppgiftstypen. Några metoder som presenteras är att skriva, rita, bygga, göra en tabell, göra en uträkning eller att pröva. Olika lösningsmetoder passar olika bra till olika typer av uppgifter, därför är det viktigt att eleverna vid gemensamma diskussioner får jämföra sin egen lösning med kompisarnas lösning och lära sig att se styrkor och svagheter i olika typer av lösningar. Det är också viktigt att lyfta fram styrkan i att en uppgift kan lösas på flera olika sätt. 3. Lös Här genomför eleven arbetet med att hitta svaret på problemet. Kanske genom att gissa och pröva eller genom att göra någon uträkning.. redovisa Den fjärde punkten handlar om att redovisa sin lösning. Att ha tillgång till en tydlig struktur vid redovisning av lösningen är ofta en god hjälp för att lösa problemet. I 3B (kapitel 9) tränas eleverna i att redovisa problem genom att använda olika rubriker.. rimlighet Det femte och avslutande steget i problemlösningsstrategin är att bedöma rimligheten. Är svaret rimligt? Har du svarat på frågan? Elever med en god taluppfattning tycks ofta göra denna rimlighetsbedömning automatiskt, andra elever behöver tränas i att bedöma rimlighet. Genom att kontrollera svaret mot frågan så upptäcker eleven ofta själv eventuella misstag och orimligheter. Att utveckla förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp. (Syfte Lgr ) I har vi konsekvent använt oss av en korrekt matematisk terminologi. Eleverna möter många begrepp i boken men den viktigaste begreppsinlärningen står du som lärare för. Genom att i genomgångar och diskussioner använda matematiska ord och begrepp får eleverna även höra begreppen användas dagligen. Uppmuntra eleverna att använda begreppen i muntliga och skriftliga förklaringar. Ett sätt att systematiskt arbeta med begrepp är att till exempel en gång/vecka lyfta fram ett begrepp som eleverna själva ska förklara. Låt varje elev ha en egen skrivbok där de samlar sina förklaringar. Alla matematikens delar kan användas för detta ändamål! Några exempel: Kopiera en additionsuppställning från boken och be eleverna klistra in denna samt förklara steg för steg hur de tänker när de löser uppgiften. Inled gärna med att samla olika matematiska ord som eleverna tror att de kan få användning av när de ska förklara uppgiften, det skulle t.ex. kunna vara ord som ental, tiotal, addition och summa. Kopiera en klockuppgift från boken och be eleverna förklara hur de vet var de ska rita visarna. Uppmana dem att använda så många matematiska ord som möjligt. Be dem rita tre olika fyrhörningar och förklara likheter och skillnader mellan de olika objekten. 3

14 Kopiera en uppgift där de ska placera tal i storleksordning och be dem förklara hur de gör för att lösa uppgiften. Genom att medvetet arbeta med att förklara begrepp utvecklar eleverna sin begreppsuppfattning. Uppgiften fungerar bra för alla elever eftersom de skriver förklaringen utifrån sin egen kunskapsnivå. Det blir också ett utmärkt dokument att ha som underlag vid bedömning. Vi har i velat ge möjlighet till matematiska diskussioner men det är du som lärare som avgör om materialet får den funktionen eller inte! Ha som mål att prata matematik under varje matematiklektion, det kan vara i par, mindre grupp eller helklass. Se till att begreppen lyfts kontinuerligt! Att utveckla förmågan att välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter. (Syfte Lgr ) Att kunna välja lämpliga matematiska metoder innebär bland annat att kunna lösa problem på olika sätt, men det handlar också om att kunna avgöra vilket räknesätt som ska användas och om uppgiften bör lösas med huvudräkning eller skriftliga räknemetoder, till exempel uppställning. Inom varje räknesätt finns det flera olika tankemodeller som vi i medvetet har valt att arbeta med. I subtraktion har eleverna t.ex. redan från skolår mött tankeformerna ta bort och jämföra, detta innebär att eleverna har möjlighet att välja just den strategi som är mest lämpad för den aktuella uppgiften. I division har modellerna delningsdivision (dela lika) och innehållsdivision (hur många gånger ryms/går nämnaren i täljaren) presenterats. Detta har vi gjort för att eleverna ska ha tillgång till olika tankemodeller men också för att de ska kunna utnyttja sambanden mellan olika räknesätt. I möter eleverna uppgifter där de ska avgöra vilket räknesätt de ska använda för att lösa uppgiften och de textproblem som finns med i boken är utformade så att eleverna ska behöva fundera över viket räknesätt som ska användas. Att utveckla förmågan att föra och följa matematiska resonemang. (Syfte Lgr ) Genom att ge rika tillfällen till muntliga diskussioner och skriftliga förklaringar övas eleverna i att föra matematiska resonemang. Ett exempel på ett sådant tillfälle är mattelabbet, där huvudsyftet är att visa på sambandet mellan den konkreta övningen och de mer abstrakta förklaringarna. Genom att alla elever ritar och/eller skriver ner sin egen lösning och sedan jämför med en kompis så övar de sig både i att föra och följa resonemang. Förutom mattelabben finns det många andra tillfällen. Låt eleverna ofta få dela med sig av sina förklaringar och jämföra olika lösningsmodeller i grupp. Tänk på att det lika gärna kan handla om att förklara hur man räknar ut additionen t.ex. 9+7 som att berätta vad som är summan. Med det tankesättet finns det mängder av tillfällen till diskussioner! Att utveckla förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Syfte Lgr ) Genom att du skapar ett klassrumsklimat där diskussioner är en självklar del av matematikundervisningen och genom att du gör det tydligt för eleverna, att samtala, argumentera och redogöra, är förmågor de ska utveckla, kommer eleverna naturligt att använda matematikens olika uttrycksformer. Pedagogisk planering En pedagogisk planering kan se ut på olika sätt men det är några delar som bör vara med. Planeringen bör formuleras så att den blir ett verktyg för dig som lärare, elever och föräldrar. Använd gärna kopieringsunderlag 39-0.

15 I den pedagogiska planeringen bör följande delar finnas med: Centralt innehåll och koppling till förmågorna i kursplanens syfte. I s matris kan du se på vilket sätt de olika delområdena hänger samman med det centrala innehållet och kunskapskraven. Titta också på den delen av matrisen där de mer generella förmågorna lyfts fram. En förklaring av målen, gärna genom exemplifiering, för eleverna. Vad innebär målen rent konkret för eleverna? Vilka begrepp är det ni ska arbeta med? Vilka områden? Arbetssätt och arbetsformer, på vilka sätt ska ni arbeta med området? Vilka laborativa övningar ska ni göra? Andra praktiska inslag? Kommer ni att göra något i par eller grupp? Ska ni arbeta med skriftliga förklaringar utöver bokens övningar? Färdighetsträning? Spel? Är det något ni ska göra i samarbete med andra ämnen? Bedömning. Vad är det som kommer att bedömas och på vilka sätt och i vilka sammanhang kommer bedömningen att ske? Vad är det som eleverna förväntas kunna när området är avslutat`? Hur kan de visa det? Det kan t.ex. handla om att delta i diskussioner, att skriva utförliga förklaringar med matematikens språk, att göra ett stapeldiagram, att bygga en tredimensionell figur, att redovisa ett arbete eller liknande. Lycka till i arbetet med matematik!

16 kap PrimA matematik 3A På matematikmuseum MÅL I det här kapitlet lär du dig dela upp tal på olika sätt multiplikation och division med och olika sätt att visa naturliga tal om matematikens historia _Kap0.indd _Kap0.indd Samtalsunderlag kapitel Titta tillsammans på bilden och beskriv vad ni ser. Visa målen och diskutera med barnen vad de ska lära sig i det här kapitlet: olika sätt att dela upp tal multiplikation och division med och olika sätt att visa naturliga tal matematikens historia. Förslag på frågor utifrån illustrationen: ) Var tror du att barnen är? ) Vad ser du på bilden som har med matematik att göra? På vilket sätt har det du ser med matematik att göra? 3) Vilka olika former ser du på bilden? ) Vilka siffror ser du? ) Vilka tal ser du? 6) Ser du några tecken som du inte känner igen? Vad tror du att det är för tecken? 7) Vad finns det på bilden som man kan mäta tid med? Klockor, timglas 8) Hur mäter man tid? 9) Vilka enheter mäter man tid i? Timmar, minuter, sekunder, tiondels sekunder, dygn etc. 0) Klockan på bilden har inte de arabiska siffrorna (,, 3 osv.). Vad är det för slags tecken på klockan? Romerska siffror ) Vad finns det på bilden som man kan mäta längd med? Linjal och måttband visar formella enheter men man kan också mäta med andra föremål. ) Hur mäter man längder? 3) Vilka enheter mäter man längd i i dag? T.ex. m, dm, cm, mm, km, mil ) Vet du några längdenheter som man använde förr? T.ex. aln, fot, tum ) Vad finns det på bilden som man kan väga med? Två olika typer av balansvågar 6) På vilka olika sätt kan man väga saker? Det finns olika typer av vågar, t.ex. digitala vågar och balansvågar. Man kan också väga saker i händerna, jämföra vikt etc. 7) I vilka enheter väger man? T.ex. kg, hg, g, ton 8) Vad finns det på bilden som man kan mäta volym med? Kärlen på bordet 9) Hur mäter man volym? 0) Vilka volymenheter använder man i dag? T.ex. l, dl, cl, ml 6

17 PrimA matematik 3A kap matematiska profiler genom historien Pythagoras som levde ca 70 ca 97 f.kr, var en grekisk matematiker och filosof. Pythagoras föddes på den grekiska ön Samos men flydde och hamnade så småningom i Italien där han grundade en skola. Det är Pythagoras som har hittat på ordet matematiker. De elever som hade studerat länge och var extra skickliga kallade han nämligen för mathematikoi. Mest berömd är han för Pythagoras sats, men det var inte han som hittade på den, den hade funnits i mer än 000 år när han föddes. Pythagoras sats används för att räkna ut längden på sidorna i en rätvinklig triangel: a²+b²c² (kateterns längd²+kateterns längd²hypotenusans längd²). Eratosthenes som levde ca 8 ca 00 f.kr, var en grekisk vetenskapsman och diktare. Han är bl.a. känd för att ha hittat en modell för hur man kan ta reda på vilka tal som är primtal. Ett primtal är ett naturligt tal som är större än och som bara är delbart med och med sig själv. Modellen för att hitta primtalen kallas för Eratosthenes såll. Prova själv metoden: Skriv upp alla tal från till 00. Ringa in talet. Stryk alla andra tal som är jämnt delbara med. När ni har gjort det tittar ni vilket det första talet är som ni inte har strukit. Det är talet 3. Ringa in 3 och stryk sedan alla andra tal som är jämnt delbara med 3. Det första talet som efter detta inte är struket är. Ringa in talet och stryk alla andra tal som är jämnt delbara med. Fortsätt på samma sätt tills ni kommer upp till 00. Alla tal ni har ringat in är primtal (, 3,, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37,, 3, 7, 3, 9, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97). al-khwarizmi som levde ca , var en arabisktalande matematiker. Han skrev de första standardverken i aritmetik och ekvationslära. I sin bok beskrev han bl.a. de indiska siffrorna -9 och 0, positionssystemet och al-jabr (algebra). al- Khwarizmi sägs också ha fått ge namn åt algoritmen en bestämd procedur för att lösa en uppgift. Hans böcker har haft mycket stor inverkan på den islamiska och den tidiga västerländska matematikutvecklingen. Leonardo Fibonacci som levde ca 70- ca 0, var en italiensk matematiker som växte upp i Algeriet. Han skrev en mycket viktig bok om räknekonsten Liber abaci. I boken beskrev Leonardo de arabiska siffrorna och positionssystemet som han hade lärt sig i Algeriet. Han tyckte att det var ett mycket smartare och enklare system än det romerska systemet som användes i Europa, eftersom man med tio siffror kunde skriva alla tal, men det tog ändå flera hundra år innan de arabiska siffrorna började användas i Europa. Fibonacci har gett namn åt Fibonaccis talföljd, där varje tal är summan av de två föregående talen:,,, 3,, 8, 3 osv. Sonja Kovalevsky som levde 80-89, var en rysk matematiker. Hon föddes i Moskva (det är hon som håller i tavlan längst ner på samtalsbilden i kapitel ). Sonja hette egentligen Sofja. Hennes pappa uppmuntrade hennes intresse för matematik och naturvetenskap. I Ryssland fick inte kvinnor studera på universitet så därför flyttade Sonja till Tyskland. 88 flyttade hon till Sverige och 88 blev hon professor vid Stockholms högskola. Hon blev då både Sveriges och världens första kvinnliga matematikprofessor. Källor: Dahl, K. (99), Matte med mening. Alfabeta, Kiselman, C., Mouwitz, L., (008), Matematiktermer för skolan, Nationellt Centrum för matematikutbildning Scott, J, Hansen H.C, Jess, K & Schou, J (00), Matematik för lärare, grundbok och. Gleerups och NE. 7

18 67070_Kap0.indd _Kap0.indd kap PrimA matematik 3A Mattelabbet Hämta knappar. Dela upp knapparna i högar på minst 3 olika sätt. 3 Skriv på mattespråket hur du delat upp dina knappar. LÖSNING Hur många olika uppdelningar kan ni hitta om varje del ska vara lika stor? Hur många uppdelningar har ni hittat där delarna är olika stora? Skriv på mattespråket hur en kompis delat LÖSNING upp sina knappar. 6 Laborativt arbete med uppdelning av tal. Underlag för utbyte av idéer och diskussion. 7 mattelabbet Jämför också hur eleverna har skrivit ner sina resultat på mattespråk. Vilka olika räknesätt har de använt? När det gäller uppdelning i lika stora delar kan man tänka sig åtminstone tre räknesätt: addition, multiplikation och division. För uppdelning i olika stora delar är det troligast att man använder sig av addition men även subtraktion kan förekomma. Syfte Syftet är att öva uppdelning av tal och att förstå att tal kan delas upp på många olika sätt. I kursplanen i matematik för grundskolan (Lgr ) står det i Centralt innehåll: Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp. I syftestexten kan vi också läsa att eleverna ska utveckla förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. I utgör mattelabbet en viktig del där eleverna får öva på att utveckla denna förmåga såväl muntligt som skriftligt. Arbetsgång Uppmana eleverna att hämta knappar och dela upp dessa på minst tre olika sätt. Därefter skriver eleverna på mattespråk vilka uppdelningar de har gjort. Instruktionen anger inte om uppdelningarna ska vara lika stora eller ej. När eleverna har gjort minst tre uppdelningar jämför de med en kompis och skriver ner kompisens lösningar. Avsluta med en gemensam genomgång där ni samlar de olika uppdelningarna som har gjorts. Samtalstips Observera vilken strategi eleverna har när de delar upp de knapparna. Utgår de från en känd uppdelning? Hur systematiska är de i uppdelningarna? Ställ frågor som: Hur tänkte du när du gjorde uppdelningen? Hur kan du skriva det på mattespråk? Kan du dela upp på fler sätt? Vilken del är störst? Vilken del är minst? Hur många högar måste du minst dela upp talet i? Hur många högar kan du som mest dela upp talet i? Lösningsmodeller Det finns två typer av uppdelningar: uppdelning i lika stora högar och uppdelning i olika stora högar. Genom att titta på de uppdelningar som är lika kan du som lärare föra in eleverna på sambandet mellan addition och multiplikation ( ) samt sambandet mellan multiplikation och division ( 6, /6, /6). När det gäller indelningen i olika stora högar kan man urskilja två undergrupper: dels de uppdelningar där man delat upp i två högar (t.ex. +0), dels de uppdelningar där man delat upp i flera högar (t.ex. ++++). 8

19 PrimA matematik 3A kap MÅL Dela upp tal på olika sätt. Tal kan delas upp på många olika sätt Dela upp talet. + 0 : + 0 : + 0 : : : : 9 Dela upp talet i femmor : : : Skriv alla uppdelningar du kan av talet 8, om alla termer är lika stora Dela upp talet i tvåor Skriv alla uppdelningar du kan av talet 8, om termerna får vara olika stora. Exempel på lösning: Dela upp talet i två lika stora delar _Kap0.indd _Kap0.indd mål Dela upp tal på olika sätt. Arbetsgång Att kunna dela upp tal på olika sätt är en viktig grund för att kunna använda sig av effektiva strategier vid huvudräkning och olika typer av beräkningar. Uppslaget är en fortsättning på mattelabbet och innebär fortsatt träning på uppdelning av tal. Titta gärna gemensamt på faktarutan och de olika uppdelningar som finns där. Kan eleverna se någon skillnad på de tal som står i den vänstra kolumnen och de som står i den högra? Varför tror de att talen står just så här? Saknar de några uppdelningar i faktarutan? Varför? Innan eleverna börjar arbeta med uppslaget är det bra om instruktionerna till uppgifterna på s. 8 är tydliga för dem det behöver betonas att det i den översta rutan handlar om en uppdelning i lika stora delar medan det i den nedre rutan handlar om olika stora delar. Uppmuntra eleverna att verkligen hitta många olika uppdelningar när termerna får vara olika stora. På s. 9 är det lämpligt att visa på sambandet mellan multiplikation och division när talet ska delas upp i lika stora delar. Arbeta med konkret material och gör olika uppdelningar. Öva på att föra över den uppdelning som gjorts till mattespråk och på att skriva den med tal och symboler. Omvänt kan man även arbeta med att ge en färdig uppdelning (t.ex ) och be eleverna visa den med konkret material. Vilket är talet som uppdelningen visar? Tänk på att gärna använda tal som leder till många jämna uppdelningar, t.ex. och 6. Titta på de uppdelningar som eleverna har gjort på sidan. Kan de överföra dessa till bråk? Hur kan man beskriva en av delarna i bråkform? Använd kopieringsunderlag. 9

20 kap PrimA matematik 3A MÅL Multiplikation och division, tabell och. Dra streck mellan bilden och rätt multiplikation. Skriv produkten. MULTIPLIKATION faktor faktor produkt Skriv färdigt multiplikationen. :. : :. : 8 :. 3 : 6 :. 3 : :. : 8 :. : 6 :. : 0 :. : 0 :. 6 : :. 6 : :. 7 : :. 7 : 8 Fortsätt talmönstret. :. 8 : 6 :. 8 : :. 9 : 8 :. 9 : : 0. 0 : 0 Måla -hoppen. Ringa in -hoppen _Kap0.indd _Kap0.indd mål Multiplikation med och. Arbetsgång Inled med att repetera terminologin, dvs. orden multiplikation, multiplicera, faktor och produkt. Använd de konkreta exempel som finns i faktarutan och visa hur man skriver dem som en multiplikation. Visa hur den första faktorn anger antalet tärningar medan den andra faktorn anger värdet på varje tärning. betyder alltså i detta fall fem stycken tärningar som visar medan betyder fem stycken tärningar som visar talet. Skriv färdigt multiplikationen. Eleverna fyller i rätt multiplikation till bilden, dvs. anger det antal tärningar som visas tärningens värde. Dra streck mellan bilden och rätt multiplikation. Skriv produkten. Eleverna drar streck mellan bilden och den tillhörande multiplikationen. Notera särskilt om de kan skilja på talen och som representerar två olika konkreta händelser. Fortsätt talmönstret. Hoppen i dessa talmönster är gemensamma med de produkter som finns i tvåans och fyrans multiplikationstabeller. måla -hoppen. ringa in -hoppen. Ser eleverna mönstret för hur de olika hoppen (tabellerna) hänger ihop? Diskutera med eleverna och se om de kan upptäcka att bägge tabellerna enbart innehåller jämna tal. Kan de förklara varför det är så? Använd tärningsbilderna. Lägg upp olika antal tärningar som visar talet. Be eleverna skriva vilken multiplikation tärningarna visar och be dem räkna ut produkten. Gör sedan det omvända skriv en multiplikation med, t.ex. 3 och be eleverna visa denna med tärningar. Träna på samma sätt med tärningsvärdet. Spela Yatzy! (Kopieringsunderlag ) 0