Kapitel 8 Ledtrådar 800 Testa för mindre tal där du lättare kan kontrollera resultatet, försök sedan föra över resonemanget på problem med betydligt större tal Du inser att efter det första omloppet är alla tal som vid division med ger resten strukna Vilket är det första talet som stryks vid andra omloppet och vilken rest ger dessa tal vid division med 800 Hur många ensiffriga tal finns det? Hur många tvåsiffriga tal finns det? Osv Hur många platser upptar de ensiffriga talen, de tvåsiffriga osv? 800 Låt det sista talet man behöver addera vara x Det ger: positivt heltal p x ( x+ ) = p, för något 8004 Utnyttja att ( n+ m)( m+ ) n+ ( n+ ) + + ( n+ m) = 4 4 800 Skriv om n + 4 som n + 4n + 4 4n 8006 Titta gärna först på ett konkret fall, exempelvis n = För att produkten ska vara jämn så räcker det med att en enda av faktorerna är jämn, med andra ord så måste alla talen a, a, a,, a vara udda för att produkten ska bli udda Är detta möjligt? En annan möjlig lösningsväg är att studera summan ( + ) + ( ) + ( ) a ) ( a a a 8007 Exempelvis gäller att det bland fem på varandra följande tal finns ett som är delbart med, minst ett som är delbart 4, minst ett som är delbart med, minst två som är delbara med Varför måste det vara så? Generalisera! 8008 Ett heltal kan ge resten 0, eller vid division med 8009 Låt exempelvis n vara, det ger talen,,,, 98, 99 Para därefter ihop talen så att varje par av tal får summan 99: (0 + 99), ( + 98), ( + 97),, (48 + ), (49 + 0) Detta ger 0 stycken par där entalssiffrorna i varje par har summan 8 Då n = blir summan av siffrorna i raden,,,, 98, 99 därför 8 0 = 900 Generalisera detta resonemang till att gälla alla tal n 800 Utnyttja att q= p+ 6 (varför kan inte p= q+ 6 ) Det ger p < 9 6+ p och 4 p > 7 6+ p 80 Summan n n+ + n+ + n+ + + n+ + + + + n n( n+ ) n kan skrivas = = n+ ( n+ ) 80 Hur många av talen är delbara med, hur många är delbara med 7 och hur många är delbara med både och 7? 4678 n 80 Slutsiffran är densamma som i talet 8 Visa att slutsiffran i 8 är periodisk när n genomlöper talen,,, Berglund/Problemlösning är # 00 David Berglund och Liber AB
804 Låt beteckna det okända olikhetstecknet: 9 4 + 4 4 Utför nu endast operationer som gör att olikhetstecknet inte byter håll 80 Det givna bråket kan skrivas: ( n )( n )( n ) n( n+ )( n+ )( n+ ) 467 806 I problemet ska det stå n 4 (för n = får vi en heltalskvadrat)vilken slutsiffra har! +! +! + + n! för n 4? 807 Vad avgör hur många nollor ett tal slutar med? 808 Titta på den längsta sekvensen av konsekutiva (på varandra följande) nollor i talet 809 Eftersom ingen står på samma avstånd till två personer måste det finnas två personer som har det kortaste avståndet mellan sig Dessa två kommer därför att skjuta på varandra Om alla ska bli träffade får ingen bli träffad mer än en gång n(n+ ) 800 Från början var summan av alla talen på tavlan + + + + n= = n(n+ ) Vad kan sägas om talet n(n + )? 80 Anta att kan skrivas som ett rationellt tal och visa att detta antagande leder till en motsägelse 80 Visa att b + b+ ligger mellan två heltalskvadrater eller anta att b + b+ kan skrivas som en kvadrat för något heltal a, dvs att: b + b+ = a, och visa att detta ger en motsägelse 80 Det finns ett flertal sätt att komma fram till lösningen på Ett är att rita en liksidig triangel med sträckan DC som bas och toppen nedåt Förbind därefter denna liksidiga triangels nedersta hörn med punkten E och studera den triangel som får DE som bas 804 Tolka följande figur: Visa att c T = och använd detta i formeln för den omskrivna cirkelns radie: abc R = 4T 80 Sidan i sexhörningen blir hälften så lång som sidan i triangeln (varför?) Dela upp sexhörningen i 6 liksidiga trianglar för att beräkna arean av sexhörningen 806 Dra sträckan EC och jämför triangeln DEC med de två parallellogrammerna Berglund/Problemlösning är # 00 David Berglund och Liber AB
807 Längden av CA måste vara mindre än summan av längderna av AB och BC (triangelolikheten) Använd cosinussatsen så att vinkeln vid B förekommer 808 Beräkna arean av respektive sexhörning (den stora sexhörningen kan delas in i en sexhörning och sex trianglar) eller utnyttja att areaskalan = längdskalan 809 Rita en figur och bilda en liksidig triangel genom att sammanbinda cirklarnas medelpunkter 800 Förläng en av flaggsidorna så att linjen skär marklinjen Försök hitta eller konstruera likformiga trianglar 80 Dela upp fyrhörningen i två trianglar 80 Det finns ett flertal sätt att komma fram till lösningen på Dela exempelvis upp stjärnan i mindre geometriska figurer vars vinkelsumma du känner till 80 Låt sidorna i triangeln vara exempelvis a, b, c och ställ upp två samband utifrån problemtexten Utnyttja därefter att triangeln är rätvinklig 804 Dra den andra diagonalen i rektangeln 80 Förbind medelpunkterna och dra lämpliga hjälplinjer parallella med baslinjen Bilda sedan rätvinkliga trianglar 806 Hur kan den lilla triangeln märkt med ett frågetecken utnyttjas? 807 Hämta inspiration från problem 80 808 Dra en diameter från B och förbind den med punkten A Vad kan sägas om den erhållna triangeln 809 Använd cosinussatsen eller Herons formel 8040 Förbind A med B och använd cosinussatsen på de två erhållna trianglarna 804 Problemet kan antingen lösas med hjälp av derivata eller genom att vika ut kuben på ett smart sätt 804 Ta hjälp av något trigonometriskt samband eller visa att trianglarna DBQ och PDQ är likformiga och utnyttja detta på något sätt 804 Problemet kan lösas med derivata eller genom en enklare variant inspirerad av spegling inom fysiken 8044 Flugorna kommer hela tiden utgöra hörn i en ständigt krympande kvadrat Hur snabbt minskas kvadratens sida? Berglund/Problemlösning är # 00 David Berglund och Liber AB
abc 804 Utnyttja att R =, 4T T r = samt T = p( p a)( p b)( p c) p 8046 Spelar rännans placering någon roll? Hur hade det blivit om rännan inte funnits där? 8047 Problemet kan angripas på många olika sätt, som så ofta! Man kan blanda in trigonometri, Herons formel mm Försök hitta din helt egna väg Man kan ha stor nytta av att + +, där α, β, γ är triangelns vinklar Varför gäller denna olikhet? sinα sin β sinγ 8048 Börja med att omforma olikheten till: + + + + (hur då?) ab bc ac a b c 8049 Rita en figur över situationen och titta vilka sex områden det rör sig om 800 Studera rektanglar vars sidor bildar en geometrisk talföljd 80 Rita figur! Låt r, r,r vara respektive inskrivna cirkels radie Visa sedan att a+ b c p + h a q+ h b r =, r =, r =, där p och q är de två delar som höjden delar sidan c i 80 Addera samtliga ekvationer ledvis 80 Uttryck exempelvis a och c i b, bilda därefter produkten av abc uttryckt i b 804 a) Gör bråken liknämniga b) Ersätt varje bråk med respektive differens 80 a) Utgå från olikheten < < (varför gäller denna olikhet?) och k+ k+ + k k förläng den mellersta kvoten med ett lämpligt uttryck b) Gå till väga på liknande sätt som i a) 806 Tänkt på att denna ekvation kan ge upphov till falska lösningar (varför?) 807 Vilka värden kan n anta? Ta gärna hjälp av olikheten mellan det aritmetiska och det harmoniska medelvärdet 808 Använd Pythagoras sats för att skriva om olikheten 809 Skriv om olikheten som x > x och dela upp i två fall, då x < 0 och x 0 8060 Observera att division med noll inte är definierat 806 Logaritmering och användning av en rotlag ger: ( x)lg x> 0 806 Problemet kan lösas med derivata eller genom att utnyttja att t + t Berglund/Problemlösning är # 00 David Berglund och Liber AB 4
806 Hur definieras absolutbeloppet? 8064 Likheten kan visas med induktion eller genom att komma på en finurlig omskrivning 806 Samma som i föregående problem: induktion eller tjusigheter! 8066 Utnyttja att + + + + + < + + + + + +!!! n! n 8067 a) Försök skriva om olikheten så att den endast innehåller kvadrater b) Ersätt varje term vänster om olikhetstecknet med hjälp av olikheten i a) 8068 a) Kan ( a+ b c)( a b+ c) skrivas om med konjugatregeln? b) Ersätt vänsterledet med enklare uttryck med hjälp av olikheterna i a) c) Använd följande formel för den omskrivna abc cirkelns radie: R =, samt Herons formel: T = p( p a)( p b)( p c) Dra lärdom av det 4T du lärt dig i a)- och b)-problemen + + + > + 4 8069 Visa först att: + + + + > + osv 8 + + + + > + 4 6 8070 Använd konjugatregeln 807 Skriv x x som x i vänsterledet 807 Börja med att undersöka vilka värden r antar för olika k: k r k k Antal,, 4,, 6 4 7,, 6 4,, 0 8 Hur stor är summan i varje rad? 807 Gör gärna en tabell som visar hur problemen kan fördela sig: Berglund/Problemlösning är # 00 David Berglund och Liber AB
Antal poäng per problem 4 0 Antal problem som erhållit den ovan givna poängen 6 4 4 8074+807 Rita upp ett rutnät med de möjliga utfallen och ringa sedan in de som är gynnsamma 8076 Tillämpa lådprincipen 8077 Gör en skiss över situationen och börja experimentera 8078 Kan man lista ut hur många handskakningar som hade ägt rum innan den försenade gästen anlände? Hur många handskakningar behövs exempelvis för att alla ska hälsa på alla exakt en gång i ett rum med fem personer? 8079 Välj först en av punkterna helt slumpmässigt längs cirkelns periferi Var måste den andra punkten hamna för att kordan ska bli lika med eller kortare än cirkelns radie? Rita in en regelbunden sexhörning i cirkeln 8080 När kungen tar ett mynt ur en kista för att låta testa det så har tjuven 99 00 undkomma Observera att kungen gör 00 sådana stickprov chans att 808 Titta tillbaka på avsnittet om geometriska sannolikheter, kapitel 808 Rita ett diagram över telefonkedjan Tänk på att när en person har hunnit ringa ett av sina två samtal så kommer den person som mottagit samtalet omedelbart själv börja ringa 808 John kastar antingen fler krona än Mary eller fler klave, han kan inte göra både och (varför?) 8084 Gör en tabell Man behöver endast tänka på uppdelningen av päronen (varför?) 808 Eftersom f( x) = f( x ) så måste f ( x+ ) = f( x) 8086 Bestäm f (6) genom att sätta in n = i f( n) = n+ f(n ) Bestäm därefter f (9) och sedan f ( ) 8087 Utnyttja att f( x) = f0( f0( x)), f( x) = f0( f( x)), f( x) = f0( f( x)) Berglund/Problemlösning är # 00 David Berglund och Liber AB 6
8088 Para ihop termerna i ln tan + ln tan + ln tan + + ln tan89 enligt: ln tan + ln tan 89 + ln tan + ln tan 88 + Visa att ett uttryck på formen ln tan v + ln tan(90 v) har värdet 0 Vilket värde har l n tan 4? 8089 Genom att prova sig fram kan man ana att för alla värden på x 8090 Titta på system med färre antal kugghjul f x =, visa med induktion att detta stämmer 809 Låt bollen, ficklampan och videobandet kosta b, f respektive v kronor, det ger: v> f v> f b+ f + v= 00 samt f > 4b Omforma f > 4b på olika sätt och utnyttja att b+ f + v= 00 b> v b> v för att skapa olikheter där v, f, b alla ingår Man kan då börja lista ut inom vilka gränser priserna varierar 809 Visa att var fjärde tal måste vara lika 809 Under 4 timmar vrider sig minutvisaren 4 varv och timvisaren varv 8094 Om en linje dras från cirkelns periferi och korsar N andra linjer (områdesgränser) på sin väg till andra sidan bildas det N + nya områden (varför?) 809 Rita en bild och bilda trianglar mellan mittstaden och städerna runt omkring: A B M v C D Vad kan sägas om vinkeln v? 8096 Se facit 8097 Hur stor är koncentrationen av ättika i vattnet efter första hällningen? 8098+8099 Här får du allt klara dig utan ledtrådar! 800 Hur många småkuber förblir omålade? 80 Hur lång tid tar det var bakteriekulturen att fördubblas? 80 Antag att motsatsen gällde, alltså att det för varje par av tävlande elever finns minst en uppgift som ingen av de två klarade Hur många olika elevpar kan man bilda av totalt 6 elever? 80 Varje valt tal är en summa ett heltal längst till vänster och ett högst upp Berglund/Problemlösning är # 00 David Berglund och Liber AB 7
804 Skriv om talen på grundpotensform 80 Se facit 806 Försök upptäcka ett mönster genom att experimentera med små värden på n 807 Från varje punkt finns det från början 004 möjligheter att dra den första kordan 808 Riddaren kan minska drakens antal huvuden med 6 eller och öka antalet med 9 eller Med ett eventuellt sista slag kan han även minska antalet huvuden med, 7 eller 0 809 Studera den nolla som är utplacerad mellan de två ettorna 80 Varje gång Erik vinner ökas hans förmögenhet med 0 % och varje gång han förlorar minskar den med 0 % 8 Låt var och en av de fyra personerna vara brottslingen och se hur många sanna respektive falska påståenden vart och ett av dessa fyra fall ger upphov till 8 Tänk på att en rät linje får dras hur långt som helst 8 Anta att skogen har n stycken träd, låt deras respektive höjd vara h, h, h,, hn (där h är det längsta trädet och det kortaste) och kalla platserna de n träden växer på för h n p, p, p,, pn Utnyttja att sträckorna mellan de platser där två träd växer är mindre än eller lika med skillnaden hos trädens höjder, dvs att: p p a a p p a a,, pn pn an a, n 84 Testa alla tänkbara vägar att dra linjerna 8+86 Dela upp mynten i tre högar med tre mynt i varje 87 Dela upp mynten i tre högar med fyra i varje 88 Se facit 89 Sök gärna på Internet, där finns mycket att lära sig om Nim och Hex Berglund/Problemlösning är # 00 David Berglund och Liber AB 8