Vektorknippen och tensorfält

Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Vektorknippen och tensorfält Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Vektorknippen och tensorfält 1 (10) 1 Introduktion Tensorer är en typ av objekt som är viktiga i vissa delar av den matematiska fysiken, såsom kontinummekaniken och den allmänna relativitetsteorin. Inom differentialtopologin generaliseras och geometriseras dessa till s.k. vektorknippen, vilka är målet för detta kapitel. Vektorknippen över en mångfald är en naturlig generalisering av tangentknippen. Dessa var en mångfald så konstruerad att den bestod av alla tangentrum till en given mångfald, så hopsatta att tangentrummen T x M varierade glatt med baspunkten x på M. I ett vektorknippe har vi på samma sätt satt ett givet vektorrum, som alltså inte behöver vara tangentrummet, i varje punkt, och satt ihop det hela så att resultatet är en glatt mångfald. Efter att ha gått igenom definitionen, och också gett en alternativ formulering av denna definition, så ska vi sedan se hur man med hjälp av gamla vektorknippen kan konstruera nya. I den processen kommer vi att speciellt konstruera en uppsättning vektorrum som konstrueras ur tangentrummet till en mångfald, nämligen de tensorrum som fysiken är intresserad av. Därefter ska vi se hur man kan förse ett givet vektorknippe med mer struktur, såsom en orientering eller en metrik. Och slutligen ska vi ge på det hela ur ett annat perspektiv, som bygger mer på symmetrier. Och som därför har fått bilda bas för den matematiska formuleringen av partikelfysiken. 2 Vad är ett vektorknippe? Ett (reellt) vektorknippe består av två glatta mångfalder E och M och en glatt, surjektiv avbildning π : E M sådan att för varje x M fibern E x = π 1 (x) är ett n-dimensionellt reellt vektorrum. Dessutom ska vi lokalt ha att om (U, φ) är en karta på M, så gäller att det finns en karta Φ : π 1 (U) U R n, sådana att mängderna (π 1 (U), Φ) ska utgöra en atlas på E och restriktionen av Φ till en fiber E x, x U, ska vara en linjär isomorfi mellan E x och R n. Det totala rummet E är en n + k-dimensionell mångfald om M är en k-dimensionell mångfald och fiberdimensionen är n. Vi kallar E för totalrummet, M för basrummet och π är en projektion av det förra på det andra, och vi säger att E är ett vektorknippe av rangen n över M om fiberdimensionen är n. Anmärkning Om ɛ i = (0,..., 1,..., 0) är den i:te basvektorn i R n kan vi sätta e i (x) = Φ 1 (x, ɛ i ), x U. Vi får då glatta avbildningar e i : U E sådana att alla vektorer v E x kan skrivas v = i v ie i (x). Vi kan uttrycka detta som att identifikationen π 1 (U) = U R n sker genom att vi lokalt väljer vektorerna e i. Det är nu bekvämt att införa följande terminologi. En glatt avbildning s : M E sådan att π s = id M kallas en sektion av E. Villkoret innebär att för varje x M gäller

Vektorknippen och tensorfält 2 (10) att s(x) E x. Om detta är sant i en öppen delmängd U M talar vi om en lokal sektion. I en koordinatomgivning (π 1 (U i ), Φ i ) gäller för en sektion s att vi kan skriva Φ i (s(x)) = (x, s i (x)) där s i : U R n. Anmärkning Ett vektorknippe har alltid en sektion, nämligen nollsektionen s(x) = 0, x M. Med hjälp av nollsektionen kan vi se M som undermångfald till E. Om ett vektorknippe E över M är diffeomorft med M R n, sägs det vara trivialt. Det är ekvivalent med att det finns n stycken sektioner s i som är linjärt oberoende överallt. En sådan uppsättning (ordnade) sektioner kallas en ram på E. Vi har alltså att om det finns en global ram på E är E trivialt, medan definitionen av vektorknippe innebär att det i en omgivning till varje punkt finns en lokal ram. Det finns en alternativ beskrivning av vektorknippen som utgår ifrån en atlas {(U i, φ i )} på M och tillhörande trivialiseringar (π 1 (U i ), Φ i ) av E. Motsvarande övergångsfunktioner Φ ij = Φ j Φ 1 i kan skrivas Φ ij (x, v) = (x, g ij (x)v) där g ij är inverterbara n n-matriser. Annorlunda uttryckt, övergångsfuktionerna på E beskrivs av funktioner Dessa uppfyller de s.k. kocykel-villkoren g ij : U i U j GL(n, R). g ij g ji = id, g ij g jk = g ik. (1) För en sektion s gäller att den i lokala koordinater uppfyller s i (x) = g ij (x)s j (x), x U i U j. Anmärkning Vi kan också definiera komplexa vektorknippen om vi istället använder C n i stället för R 2n. Då tar vi alltså komplexa matriser. Om M är en komplex mångfald och alla g ij är holomorfa säges M vara ett holomorft vektorknippe. Vi återkommer till detta längre fram i detta kapitel. Komplexa vektorknippen är alltså reella vektorknippen av dubbla dimensionen, men har mer struktur p.g.a. den komplexa strukturen på C. Anmärkning Ett vektorknippe vars fiberdimension är ett kallas ett linjeknippe. Lägg märke till att om det är ett vektorknippe över C, så är den reella fiberdimensionen 2. Det är ofta användbart att betrakta t.ex. tangentknippen till en 2-dimensionell yta som komplexa linjeknippen. Anmärkning Hur går vi då från beskrivningen av ett vektorknippe i form av övergångsmatriser, till ett vektorknippe enligt vår ursprungliga definition? Vi börjar med att på mängden E = i I(U i R n {i}) M R n I införa relationen (x, t, i) (x, t, j) x = x och t = g ij (x)t.

Vektorknippen och tensorfält 3 (10) P.g.a. (1) är detta en ekvivalensrelation, och vi sätter E = E / som vi förser med kvottoplogin och låter κ : E E vara den kanoniska projektionen. Ur projektionen E X induceras en kontinuerig projektion π : E X för vilken π 1 (x) får strukturen av ett n-dimensionellt vektorrum över R. Det gäller att π 1 (U i ) = κ(u i R n {i}) och κ : U i R n {i} π 1 (U i ) är homeomorfismer. Om vi låter Φ i vara inverserna till dessa följer påståendet om vi identifierar U i R n {i} med U i R n Vi tar nu och tittar på några exempel. Exempel 1 Om M är en glatt mångfald så är dess tangentknippe T M ett vektorknippe på M. Det beskrivs i form av övergångsfunktioner till en given atlas {(U i, φ i )} på M med hjälp av g ij = d(φ j φ 1 i ) i φ i (U i U j ). Om vi låter y 1,..., y n vara de lokala koordinaterna i U j och x 1,..., x n de lokala koordinaterna i U i, så betyder det att g ij = ( y ν / x µ ), alltså funktionalmatrisen för koordinatbytet. I fysiken definierar man objekt som vid variabelbyte transformeras med hjälp av funktionalmatrisen på detta sätt som vektorer. Det innebär att man alltid arbetar i lokala koordinater. Exempel 2 Tangentknippet till enhetssfären S n i R n+1 ges av T S n = {(x, v) S n R n+1 ; v x}. För att konstruera trivialiseringar definierar vi för varje x S n den öppna mängden U x som består av den (öppna) halvsfär som har x som nordpol. Definiera φ x : π 1 (U x ) U x T x S n genom φ x (y, v) = (y, p x (v)), där p x är den ortogonala projektionen på hyperplanet T x S n. Då är (π 1 (U x ), φ x ) en karta om vi identifierar T x S n med R n. Av dessa är tangentknippena till S 1, S 3 och S 7 triviala. Det är de enda som är det, och att orsaken till att det är så har att göra med att det bara är på R 2, R 4 och R 8 man kan definiera en multiplikation (förutom R förstås). Vi börjar med n = 1. Om vi sätter v(x) = ( x 2, x 1 ), så är sektionen x (x, v(x)) aldrig noll på T S 1. Det betyder att T S 1 är trivialt, och en trivialisering ges av inversen till avbildningen S 1 R (x, t) (x, tv(x)) T S 1. Detta blir klarare om vi identifierar R 2 med C. Vektorfältet är då z iz och z, iz är ortogonala vektorer. Anledningen till att T S 3 är trivialt är på samma sätt Hamiltons kvartioner H. Dessa innebär att vi skriver x R 4 som z = x 1 + x 2 i + x 3 j + x 4 k där ij = ji = k, kj = jk = i, ki = ik = j och i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1. Med hjälp av dessa definierar vi följande tre vektorfält (x 1, x 2, x 3, x 4 ) ( x 2, x 1, x 4, x 3 ) d.v.s. z iz (x 1, x 2, x 3, x 4 ) ( x 3, x 4, x 1, x 2 ) d.v.s. z jz. (x 1, x 2, x 3, x 4 ) ( x 4, x 3.x 2.x 1 ) d.v.s. z kz

Vektorknippen och tensorfält 4 (10) Man ser lätt att de är parvis ortogonala, och därmed en ram på T S 3 som alltså är trivialt. Den underliggande orsaken till att detta fungerar är att kvarterionmultiplikationen uppfyller zw = z w där. är den vanliga längdmätningen i R 4. Kvarterionerna 1, i, j, k bildar den vanlig ON-basen och vi får en ny ON-bas genom att multiplicera alla dessa med en kvarterion z S 3. Samma konstruktion fungerar för Cayleys oktoner, som man kan tänka på som H H med en multiplikation definierad av (z 1, z 2 )(w 1, w 2 ) = (z 1 w 1 w 2 z 2, z 2 w 1 + w 2 z 1 ). De uppfyller nyckelegenskapen zw = z w. Så om vi imiterar konstruktionen ovan får vi sju stycken ortogonala tangentvektorer på S 7. Exempel 3 Ett annat vektorknippe hörande till en hyperyta är normalknippet. För S n innebär det vektorknippet med totalrum (T S n ) = {(x, v) S n R n+1 ; v = tx för något t R.} Detta är ett trivialt 1-dimensionellt vektorknippe, där trivialiseringen ges av inversen till avbildningen S n R (x, t) (x, tx) T S n. Exempel 4 Parametrisera S 1 med e iθ och definiera Möbiusknippet på S 1 som {(e iθ L θ } S 1 R 2, där L θ är de 1-dimensionella linjerna som ges av te iθ/2, t R. En lokal trivialisering fås av t.ex. ψ : L S 1 \p (e iθ, ce iθ/2 ) (e iθ, c) S 1 \p R. Denna trivialisering kan inte utvidgas kontinuerligt till punkten p. Exempel 5 Det reella projektiva n-planet P n är rummet av linjer i R n+1 genom origo. Eftersom en sådan linje skär enhetssfären S n i antipodala punkter kan vi alternativt se det projektiva rummet som att vi identifierar antipodala punkter på enhetssfären. Det kanoniska linjeknippet, också kallat Hopfknippet, γ 1 n på P n definieras just som det underrum till P n R n+1 som består av par (l, v) med v l. En övertäckning av det projektiva rummet ges av de n+1 mängderna U i = {x; x i 0} och motsvarande karta är φ i (x) = x 1 i (x 0,..., x i 1, x i,..., x n ). Det betyder att Φ i : φ 1 i (U i ) U i R n ges av Φ i ([x], tx) = ([x], tx i ). Ur det följer sedan att övergångsfunktionerna för γn 1 ges av g ij (x) = x j /x i i U i U j. Hopfknippet γ 1 1 över P 1 S 1 är isomorft med Möbiusknippet. Vi går över γ 1 1 med hjälp en linje som roterar vinkeln π, så vi får en rektangel [0, π] R med sidorna {0} R och {π} R identifierade. Identifikationen är (0, x) (π, x) eftersom en vektor som roterats vinkeln π producerar sig själv i motsatt riktning. Om s är en sektion av Hopfknippet så kan vi lyfta den till en glatt avbildning Ψ : S n γ 1 n sådan att Ψ( x) = Ψ(x). Men det betyder att Ψ(x) = ([x], f(x)x) där f : S n R är sådan att f( x) = f(x). Enligt medelvärdessatsen finns då minst ett nollställe till f. Det följer att alla sektioner av Hopfknippet är noll någonstans, och alltså är Hopfknippet inte ett trivialt knippe för något n. Till det kanonska linjeknippet har vi också ett ortogonalt komplement i form av vektorknippet (γ 1 n) = {(l, v) P n R n+1 ; v l.}

Vektorknippen och tensorfält 5 (10) 3 Direkta summan av vektorknippen Ur givna vektorknippen kan man konstruera nya. För detta börjar vi med följande observation som lämnas som övning. Exempel 6 En avbildning f mellan två vektorknippen E och F på M ges av en glatt avbildning f : E F sådan att f(e x ) F x och f x : E x F x är linjär. Då blir nollrummet till f ett underknippe N(f) E och värderummet V (f) ett underknippe till F om och endast om f är av konstant rang överallt. En närliggande konstruktion finns i nästa lemma. Lemma 1 Låt (E, π, M) vara ett vektorknippe och f : N M en glatt avbildning. Då finns ett vektorknippe (f E, π, N) sådant att f E x E f(x). Anmärkning Avbildningen f kallas tillbakadragningen av E från M till N. Om {(U i, φ i )} är en atlas på M så ges övergångsfunktionerna av g ij f i f 1 (U i ) f 1 U j ) och en sektion s av E dras uppenbarligen tillbaka till en sektion f s = s f av f E. Bevis. Per definition har vi att f E = {(y, v) N E; f(y) = π(v)} och π (y, v) = y. Tillbakadragningen av ett trivialt knippe är trivialt eftersom då består f E av alla (y, x, v) med x = f(y), vilket gör faktorn M överflödig. Alternativt kan vi se det som att en ram s i av E leder till en ram f s i av f E. Men detta visar också att f E är lokalt trivialt om E är det. Ur detta följer att om A M är en delmängd så får vi ett vektorknippe på A från ett vektorknippe på M. Ett underknippe F E är en samling underrum F x E x sådana att F = x F x är en undermångfald till E. Det senare betyder att det till varje x M finns en karta (U, φ) och en trivialisering (med E U = π 1 (U)) sådan att Φ : E U U R n Φ F : F U U R k U R n. Det innebär att E:s övergångsmatriser ser ut som ( ) huv (x) k g UV (x) = UV (x) 0 j UV (x) på U V. Här ser vi att F har övergångsfunktionerna h UV och matriserna j UV är övergångsfunktioner för kvotknippet E/F vars fibrer är E x /F x. En annan konstruktion är den kartesiska produkten av två vektorknippen (E i, π i, M i ), i = 1, 2 som vi skriver (E 1 E 2, π 1 π 2, M 1 M 2 ). Konstruktionen är uppenbar. Detta för oss till den direkta summan av de två vektorknippena över samma mångfald M. Den definieras av E 1 E 2 = {(v 1, v 2 ) E 1 E 2 ; π 1 (v 1 ) = π 2 (v 2 )}

Vektorknippen och tensorfält 6 (10) och är alltså restriktionen av E 1 E 2 till diagonalen M = {(x, x) M M}. Fibrerna är naturligtvis den direkta summan av motsvarande fibrer. Den direkta summan av två triviala vektorknippen är naturligtvis också trivialt, men det kan hända att två icke-triviala, eller ett icke-trivialt och ett trivialt, vektorknippes direkta summa blir trivialt. Exempel 7 För tangentknippet T S n och dess normalknippe (T S n ) gäller att T S n (T S n ) S n R n+1. Den direkta summan består ju av tripletter (x, v, tx) där x S n, t R och v x, och avbildningen (x, v, tx) (x, v + tx) ger en isomorfism mellan den direkta summan och S n R n+1 Exempel 8 Om γ 1 n är det kanoniska linjeknippet på P n, ser vi på samma sätt att avbildningen (l, v, w) (l, v + w) definierar en isomorfism mellan den direkta summan γ 1 n (γ 1 n) och P n R n+1. I fallet n = 1 är (γ 1 1) isomorf med γ 1 1; använd multiplikation med i, och vi har sett att γ 1 1 är isomorf med Möbiusknippet över S 1 = P 1, så det följer ur detta att den direkta summan av två Möbiusknippen är ett trivialt vektorknippe. För att se detta geometriskt inbäddar vi Möbiusknippet i det trivala knippet S 1 R 2 genom att ta linjen i fibern {θ} R 2 som har vinkeln θ/2 med x-axeln, och då gäller att de ortogonala fibrerna bildar ett andra Möbiusknippe. 4 Tensorprodukter av vektorknippen Om vi har två vektorknippen (E i, π i, M), i = 1, 2 över samma mångfald M kan vi konstruera ett nytt vektorknippe E 1 E 2 vars fibrer består av tensorprodukterna av fibrerna i de två vektorknippena. Den enklaste beskrivningen av denna får vi om vi karakteriserar vektorknippet genom sina övergångsmatriser istället. Till en given atlas {(U i, φ i )} på M, låt dessa vara g 1 ij respektive g 2 ij för de två vektorknippena. Då kommer tensorprodukten att definieras av övergångsfunktionerna g 1 ij g 2 ij i U i U j. Givet ett vektorrum V definieras dess duala rum V som de linjära reellvärda avbildningarna på V. Till en linjär isomorfism Φ x : E x V har vi den duala isomorfism är Φ t x : V E x. Det följer att (Φ t x) 1 : E x V är isomorfismer. Om nu E är ett vektorknippe så kan vi med hjälp av denna observation konstruera det duala knippet E och vi ser då att om g ij är övergångsfunktionerna för en övertäckning för E, så följer att övergångsfunktionerna av E ges av (g t ij) 1. Med hjälp av tensorprodukten och ett vektorknippe och dess dual kan vi definiera allmänna tensorrum T j,k (E) = ( j 1E) ( k 1E ). Till T 0,k (E) finns några viktiga underknippen, nämligen först de alternerande k-linjära formerna Λ k (E ). När k = n är detta ett linjeknippe med övergångsfunktioner det g ij. På motsvarande sätt har vi underknippet av symmetriska k-linjära former Sym k (E ) Ett vektorfält på en mångfald M är en sektion av tangentk nippet T M. På motsvarande sätt är en 1-form på M en sektion av dess dual, kotangentknippet T M. Allmännare

Vektorknippen och tensorfält 7 (10) definieras en k-form på M som en sektion av Λ k (T M). Lokalt, om (U, φ) är en koordinatomgivning på M och om x är de vanliga koordinaterna i R n och ɛ i är enhetsvektorn i x i, så definierar vi φi (x) = (dφ 1 )(φ(x))(ɛ i ). Dessa blir ett vektorfält på U, och vi ser att ett godtyckligt vektorfält på U kan skrivas k 1 a i(x) φi (x). På motsvarande sätt kan vi skriva en 1-form lokalt som i a idφ i, där dφ i är den duala basen till φi. Genom att bilda produkter av tangentknippen och kotangentknippen får vi tensorknippena T r,s (M) = ( r 1T M) ( s 1T M) av typ (r, s). Ett element i T r,s sägs vara kovariant av ordning r och kontravariant av ordning s. En sektion av T r,s (M) sägs vara en (r, s) tensor på M. Notera att bland (0, k)-tensorerna har vi sektionerna av Λ k (T M), alltså k-formerna på M. Ett annat delknippe är S k (T M) som består av alla k-linjära och symmetriska former. Ett annat sätt att se konstruktionen av tensorknippena utifrån ett givet vektorknippe E utgår ifrån en atlas på E med övergångsfunktioner {g ij }. Vi har ju att alla g ij GL(n, R) och om vi tar en grupphomomorfism ρ : GL(n, R) GL(n, R), alltså en avbildning sådan att ρ(ab) = ρ(a)ρ(b) och ρ(id) = id, så kan vi ur E definiera ett nytt vektorknippe E ρ genom att använda samma atlas med övergångsfunktionerna ρ(g ij ). Vi har då att a) med ρ(a) = A får vi E ρ = E, b) med ρ(a) = (A t ) 1 får vi E ρ = E, c) m.m. På detta sätt har vi en bekväm metod att associera nya vektorknippen till ett givet. 5 Orienterade vektorknippen Det finns olika sätt att lägga mer struktur på ett vektorknippe. Vi ska nu se på några exempel och börjar med orientering. Om vi har två baser e, e på ett vektorrum V, så gäller att det finns ett A GL(V ) sådan att e = Ae. Eftersom det A är antingen positivt eller negativt, kan vi dela upp baserna i två ekvivalensklasser genom att utgå ifrån en bas och säga att alla baser med positiv determinant på A (relativt denna givna bas) utgör den ena klassen, och de med negativ determinant den andra. Den första klassen svarar mot att vi endast betraktar baser svarande mot element i komponenten GL + (V ) av GL(V ). Att välja en av dessa ekvivalensklasser av baser är detsamma som att välja en orientering av V. En alternativ beskrivning av detta får vi genom att observera att Λ n (V ) är ett 1-dimensionellt rum och att element ω Λ n (V ) är sådana att ω(av 1,..., Av n ) = det Aω(v 1,..., v n ). Att välja en orientering på V är därför detsamma som att välja ett element i Λ n (V ). Detta överförs naturligt till vektorknippen E. Den lokala trivialiseringen innebär att vi väljer en lokal ram, och av kontinuitetsskäl måste den bevara orienteringen i närliggande

Vektorknippen och tensorfält 8 (10) fibrer. För att vi ska kunna orientera hela knippet måste det gå att gå från en lokal trivialisering till en annan utan att orienteringen ändras, vilket är ekvivalent med att varje övergångsmatris har positiv determinant. Vi kan alltså säga att vi har ett orienterat vektorknippe om övergångsfunktionerna alla ligger i undergruppen GL + (n, R). Alternativt kan vi beskriva det som att vi fixerar ett element i Λ n (E ) som aldrig är noll. Vi orienterar en mångfald M genom att välja en orientering på dess tangentknippe T M. Anmärkning Vi kan notera att att orientera ett vektorknippe är något annat än att orientera totalrummet E som en mångfald. I det senare fallet ska vi ju orientera tangentknippet T E. Vi säger att (E, π, M) är ett G-vektorknippe, där G är en undergrupp till GL(n, V ), om det gäller att alla övergångsmatriser g ij (x) G. Detta ger mer struktur åt vektorknippet, och att orientera det är ett första exempel. 6 Vektorknippen med en skalärprodukt En annan struktur vi kan lägga på ett vektorknippe är en skalärprodukt. Det innebär att vi i varje fiber definierar en icke-singulär, positivt definit, bilinjär form på sådant sätt att den varierar kontinuerligt med basrummet. Ett annat sätt att uttrycka det är att vi tar en sektion av den symmetriska tensorprodukten S 2 (E ). Om vektorknippet E är försett med en skalärprodukt och E 0 E är ett underknippe, så är även E 0, vars fibrer består av E 0x, ett underknippe. Bevis. Låt (U, φ) vara en karta på M runt en punkt x sådan att π 1 (U) E 0 U (R m 0) U R n genom en ortonormerad ram e 1,..., e m på U. Vi kan då komplettera den till en ortonormerad ram i E x och överföra den till en ram i π 1 (U). Genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsförfarande kan vi sedan göra den ortonormerad i varje fiber i π 1 (U), och detta så att vi får en glatt ram för π 1 (U) E 0. Därmed har vi utvidgat vår ram för E 0 till en ram för E som avbildar E 0 på U R m och E 0 på U R n m. Det vi har visat är alltså att om det finns en skalärprodukt på ett vektorknippe E på M och E 0 är ett underknippe till E, så finns ett underknippe E 0 till E sådant att E 0 E 0 E. Anmärkning Vi kan notera att E 0 E/E 0. Med en positivt definit skalärprodukt på E kan vi alltid välja de vektorfält som definierar våra lokala trivialiseringar så att de utgör en ortonormerad bas. Det betyder att vi betraktar (E, π, M) som ett O(n)-vektorknippe, där O(n) är den ortogonala undergruppen till GL(n, R). Lemma 2 Varje reellt vektorknippe har en positivt definit skalärprodukt. Bevis. I varje trivialisering kan vi alltid dra tillbaka den euklidiska skalärprodukten i R n till π 1 (U). Vidare gäller att om g och g skalärpodukter, så är alla linjärkombinationer på formen (1 t)g+t g, 0 t 1, också positivt definita skalärprodukter, vilket gör att vi kan sätta ihop skalärprodukterna i trivialiseringarna till en globalt definierad skalärprodukt med hjälp av en partition av enheten.

Vektorknippen och tensorfält 9 (10) Anmärkning Notera att beviset fungerar därför att vi har positivt definita former. Argumentet fungerar inte för indefinita former. Lemma 3 Om M är kompakt finns till varje knippe (E, π, M) ett knippe (E, π, M) sådant att E E är ett trivialt knippe. Bevis. I syfte att motivera konstruktionen, antag först att det är sant och att E = M R N. Vi kan då konstruera en avbildning E R N som är en linjär isomorfism i varje fiber. Det vi ska göra i beviset är att vända på logiken här: först konstruera en avbilding E R N som är en linjär injektion i varje fiber, och sedan visa att detta ger en inbäddning av E i M R N som en direkt summand. Varje punkt x M har en omgivning U x över vilken E är trivial. Tag φ x : M [0, 1] sådan att φ x = 0 utanför U x och φ x (x) 0. Mängderna φ 1 x ((0, 1]) utgör då en öppen övertäckning av M. Eftersom M är kompakt har denna en ändlig delövertäckning (U i, φ i ), i = 1,..., M. Definiera sedan g i : E R n genom g i (v) = φ i (π(v))(π i h i (v)) där π i h i är sammansättningen av den lokala trivialiseringen h i : π 1 (U i ) U i R n och projektionen π i på R n. Då är g i en linjär injektion på varje fiber över φ 1 i ((0, 1]). Sätt g = (g 1,..., g M ) : E R M, som också blir en linjär injektion på varje fiber. Paret f = (π, g) definierar nu en avbildning E M R N. Bilden av denna är ett underknippe eftersom projektionen av R N på den i:te R n -faktorn ger den andra koordinaten i den lokala trivialiseringen över φ i ((0, 1]). Det följer att E är isomorf med ett underknippe till M R N. Från det föregående lemmat följer att det finns ett komplement-knippe E sådant att E E är isomorft med M R N. En mångfald M vars tangentknippe T M är försedd med en positivt definit skalärprodukt kallas en Riemannsk mångfald. Dess metrik är då alltså en sektion av S 2 (T M) och kan skrivas i lokala koordinater x 1,..., x n på M som n g = g ij (x)dx i dx j. i,j=1 Detta kan generaliseras till skalärprodukter som inte är positivt definita. Vi måste bara välja en lämplig kvadratisk form Q i R n att utgå ifrån. Vi kan sedan alltid välja vår bas ortonormerad i överförd mening, och om vi väljer att hålla oss till sådana så gör vi en reduktion av GL(V ) till den ortogonala undergruppen O(V, Q). Anmärkning För indefinita metriker gäller emellertid att de inte måste finnas det är inte säkert att en given mångfald har en indefinit skalärprodukt av en viss typ. T.ex. kan man visa att S 2 inte har någon metrik av Minkowskityp. 7 Ramknippen och dess associerade vektorrum Vi ska nu titta närmare på relationen mellan gruppen GL(n, R n ) och ett vektorknippe E av rang n över en mångfald M. Vi börjar med att betrakta endast ett vektorrum V. Om e 0 är en ordnad bas för V, så vet vi att varje annan bas e för V fås med hjälp av en matris A GL(n, R n ) genom e = e 0 A. Låt mängden av baser på V betecknas F (V ). Vi har då gjort två viktiga observationer:

Vektorknippen och tensorfält 10 (10) a) Gruppen GL(n, R) opererar från vänster på V genom (v, A) Av, medan den opererar från höger på F (V ) genom (e, A) ea. Vidare ser vi att avbildningen är en isomorfism. R A : F (V ) e ea F (V ), A GL(n, R) b) När vi valt ett e 0 så ser vi att vi kan identifiera F (V ) och G genom att e och A identifieras om e = e 0 A. Eftersom G är en mångfald (den är en öppen delmängd av ett vektorrum), betyder det att även F (V ) är en mångfald. Vidare har vi att om vi kan rekonstruera V ur F (V ) på följande sätt. Låt v V vara en given vektor. Till varje bas e F (V ) finns då ett x(e) R n sådant att v = ex(e). Om vi byter bas till ea ändras koordinaterna till x(ea) = A 1 x(e). Om vi därför tar alla par (e, x) i F (V ) R n och inför ekvivalensrelationen (e, x) (ea, A 1 x), så gäller att F (V ) R n / blir detsamma som V. Låt nu E vara ett vektorknippe på M. Vi ska då konstruera en ny mångfald (ej vektorknippe) som består av alla baser i någon fiber till E. Vi definierar alltså mängden F (E) = F (E x ). x M Då opererar GL(n, R n ) på fibrerna i F (E) på samma sätt som ovan. Vidare, om π 1 (U) är en karta på E, så finns en lokal ram e 0 definierad på U som definierar denna trivialisering. Då gäller att varje annan lokal ram e på U kan skrivas e = e 0 A där A : U GL(n, R n ). Vi ser därför att vi lokalt kan identifiera motsvarande del av F (E) över U med U GL(n, R n ) genom att e(x) svarar mot (x, A(x)). Eftersom detta är en glatt mångfald, ser vi att även F (E) är en glatt mångfald, som vi kallar ramknippet för E. Vi har en naturlig projektion från F (E) M som vi också kan kalla π (den gör ju samma sak som π på E: identifierar baspunkt). Varje fiber π 1 (x) är isomorf med GL(n, R n ). Från F (E) kan vi rekonstruera E precis som ovan: vi använder samma ekvivalensrelation fast nu på E R n. Men vi kan utvidga detta. Om ρ är en grupphomomorfism på GL(n, R n ), och vi istället använder ekvivalensen (e, x) (ea, ρ(a 1 )x), så får vi det associerade vektorknippet E ρ. Följande observation är nu viktig. En sektion s : M E ρ kan uppfattas som en funktion f : F (E) R n som är sådan att R Af = f R A = ρ(a 1 ) f. Processen är som följer. Till x M tar vi e π 1 (x) och sedan det f(e) R n som bestäms av att s(x) = ef(e). Vi ser att f(e) utgör koordinaterna i den givna basen e, och transformationslagen beskriver hur sektionen ändrar koordinater när vi byter bas. Detta svarar mot den klassiska tensorlärans transformationslagar. Antag nu att vi lägger lite mer struktur på E, t.ex. kan vi ge det en orientering. Vi är då naturligtvis endast intresserade av baser med samma orientering, och diskussionen ovan fungerar exakt lika bra om vi ersätter gruppen GL(n, R n ) med gruppen GL + (n, R n ) av inverterbara matriser med positiv determinant. På samma sätt, om vi har en positivt definit metrik på E så kanske vi endast är intresserade av ortonormerade baser, och då byter vi ut GL(n, R n ) mot gruppen O(n) av ortogonala matriser istället. Vi ser att vi får mer struktur på E genom att reducera den grupp vi arbetar med.