) + γy = 0, y(0) = 1,

Relevanta dokument
Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Sammanfattning (Nummedelen)

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID:

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

Konvergens för iterativa metoder

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Tentamen: Lösningsförslag

dy dx = ex 2y 2x e y.

Omtentamen i DV & TDV

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

DN1212 Numeriska Metoder och Grundläggande Programmering DN1214 Numeriska Metoder för S Lördag , kl 9-12

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

Laboration 1. Ekvationslösning

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

Laboration 1. x = 1±0.01, y = 2±0.05. a) Teoretiskt med hjälp av felfortplantningsformeln (Taylor-utveckling).

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Föreläsning 1. Numeriska metoder grundkurs II, DN1240. Carina Edlund Mottagningstid i rum 4516: onsdagar kl.

ODE av andra ordningen, och system av ODE

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Laboration 1. 1 Matlab-repetition. 2 Störningsräkning 1. 3 Störningsräkning 2

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Omtentamen i DV & TDV

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?

Numeriska metoder för fysiker Lördag , kl 10-14

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

1 x dx Eftersom integrationskonstanten i (3) är irrelevant, kan vi använda oss av 1/x som integrerande faktor. Låt oss beräkna

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att:

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 =

DN1212+DN1214+DN1215+DN1240+DN1241+DN1243 mfl Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del 2 (av 2) Lördag , kl 9-12

Tentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13.

Repetitionsuppgifter

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 10. 1/17

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT 2004 LABORATION 1. Ekvationslösning

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Partiella differentialekvationer av första ordningen

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Lösningsförslag till inlämningsuppgift 3 i Beräkningsprogrammering Problem 1) function condtest format compact format long

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1

Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Transkript:

Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del Numeriska metoder SF545 8.00-.00 / 04 Inga hjälpmedel är tillåtna (ej heller miniräknare). Råd för att undvika poängavdrag: Skriv lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar. Del rättas om del är godkänd. Betygsgränser: D 0, C 0, B 0 och A 40 poäng. Det finns två alternativa uppgifter.. Givet är en differentialekvation d y dt + sin(dy dy ) + γy 0, y(0), dt dt (0) 0 där γ är en parameter (oberoe av t). (a) 4p Skriv om differentialekvationen som ett system av första ordningens differentialekvationer på vektorform, dvs. du f(t, u). dt (b) 7p Skriv en MATLAB-funktion som tar parametern γ som argument, och returnerar en approximation till y(), beräknad med Eulers metod med steglängd h 0.00. (c) 7p Vi vill hitta ett värde på γ som ger y() 0. Skriv ett MATLAB-program som med intervallhalveringsmetoden eller sekantmetoden bestämmer detta värde. Programmet kan anropa den funktion du konstruerat i uppgift (b). En lösning ligger i närheten av γ. Låt u u u y y. Då blir ekvationen u (t) u (t) sin u (t) γu (t) Ett exempel på matlabfunktion är function y eulerg( gamma ) h0.00; %steglangd N/h; u;0; for n:n uu+h*u();-sin(u())-gamma*u(); yu(); och ett exempel på intervallhalvering är : f ( t, u(t) ).

g0.5; %startvarde g.5; %startvarde f0eulerg(g0); %motsvarande funktionsvarde feulerg(g); N0; % antal intervallhalveringar if(f0*f>0) error( startfunktionsvarden med samma tecken ) for n:n g(g0+g)*0.5; fxeulerg(g); if(f0*fx<0) gg; ffx; else g0g; f0fx; disp( gamma ) disp(g). Följande två kurvor är givna: och x(t) sin(t) y(t) sin(t) + cos(t) x(s) sin(s) y(s) cos(αs). För α är kurvorna plottade i figuren bred- 0.5 0 0.5 vid. x (a) p Visa att när α har kurvorna en skärningspunkt för t π och s π. Ange x och y-koordinaten för punkten. (b) 6p Vi ska nu hitta en skärningspunkt när α.0. Formulera problemet som ett olinjärt ekvationssystem i två variabler. (c) 7p Skriv ett MATLAB-program som med Newtons metod bestämmer en lösning. Vi har ( x(π), y(π) ) (sin π, sin 4π + cos π) (0, ) i första kurvan och ( x(π), y(π) ) (sin π, cos 6π) (0, ) i andra kurvan. y 0

Ekvationssystemet lyder vilket för y (t, s) kan skrivas f(y) och Jacobianen blir f (y) sin t sin s 0 sin t + cos t cos(αs) 0 sin y sin y sin y + cos y cos(αy ) 0 cos y cos y cos y sin y α sin(αy ) så Newtonsteget är: lös f (y)d f(y) och låt y y d. Ett exempel på matlaprogram är %Newtons metod for skarande kurvor alfa.0; %parameter y*pi;*pi; %startgissning tole-0; %tolerans rnorm(y); while r>tol f sin(y())-sin(y()); sin(*y())+cos(y())-cos(alfa*y()) %funktion fpcos(y()), -cos(y()); *cos(*y())-sin(y()), alfa*sin(alfa*y()); %Jacobian dfp\f; yy-d; %Newtonsteg rnorm(d); %andring i y disp( (t,s) ) disp(y) Uppgift eller den alternativa uppgiften får göras, inte båda!. (6p) Betrakta potensmetoden function lam,upowerit(a,x,k) for j:k ux/norm(x); xa*u; lamu *x; ux/norm(x);

4 5 4 Låt funktionens indata vara A och x. Bestäm asymptotiska värden av matlabfunktionens utdata när k växer mot oändligheten och avgör konvergenshastigheten (d.v.s. feluppskattning). Matrisen A har egenvärden λ som uppfyller 5 λ 4 0 det (5 λ)( λ) + 8 (λ ) λ + 4 a vilket ger lösningarna λ och λ. Motsvarande egenvektorer v i ger b 0 4 4 a 0 b / så v a och normalisering ger v / för λ och 0 4 a 0 4 b 5 / så v b och normalisering ger v 5 / för λ. Vi har då / 5 c v + c v / c / 5 / c där c 5 / 5 / 5 / c 0 / / / 5 /. Vi ser att utdata u efter k potensiterationer har samma riktning som A k x där A k x c λ k v + c λ k v k (c k v + c v ) dvs A k x är asymptotiskt parallell med v, för stora k, och u Ak x A k x c v + c k v c + c k + c c k v T v v + α k där α k O( k ), så u k v O( k ). Utdata lam blir asymptotiskt det största egenvärdet lam u T k Au k (v + α k ) T A(v + α k ) v T Av + α T k Av + v T Aα k + α T k Aα k λ + O( k ) + O( k ).

Alternativ uppgift. (6p) Formulera och bevisa en sats om konvergens av Newtons metod. Se sats. i kursboken 5