UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Anders Källström Prov i matemati Fristående urs Analys MN1 distans 6 11 Srivtid: 1-15. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna sall åtföljas av förlarande text och figurer. Varje problem ger högst 5 poäng. Vill du räna din poäng från delprovet sa du ej lämna in lösning på problem 1 och. Väljer du att redovisa lösning på något av dessa problem, ränas istället poängen från slutprovet för både problem 1 och. För godänt rävs minst 18 poäng, för väl godänt minst 8 poäng, inlusive din poäng från delprovet. 1. Beräna gränsvärdena a) lim x x ln(1/x ) 1 x ln x b) lim x e sin x 1 x x ln(1 + x). AB är en diameter i en cirel med radie R. Från en punt P på cireln dras en normal till tangenten i B. Normalens fotpunt allas C. Beräna maximum av längden AP + PC då P genomlöper cireln.. Beräna integralerna a) dx b) (x 1) 1 x(ln x) dx 4. Två cirlar i rummet sär varandra under rät vinel längs en gemensam diameter av längd D. En vadrat rör sig längs den gemensamma diametern så att dess diagonaler är ordor i de två cirlarna. Bestäm volymen av den ropp som genereras av vadraten. 5. Bestäm den lösning till differentialevationen y 6y + 9y = 9x som tangerar x-axeln i origo. Är origo en loal extrempunt? 6. Sissera grafen till y = x x 4 x i dess huvuddrag, med angivande av eventuella asymptoter och loala extrempunter. Beräna arean av det område i första vadranten som begränsas av x-axeln, urvan, den sneda asymptoten samt en linje x = a där a >. Undersö om denna area har ett gränsvärde då a och bestäm i så fall gränsvärdet. ( 1 ) 7. Undersö om serien 1 cos är onvergent. =1 8. Derivatan av funtionen f (x) existerar och är växande för x. Vidare är f () =. Visa att funtionen g (x) = f (x)/x är växande för x >. (Ledning: Medelvärdessatsen an anse användas.) (V.g.v.)
Några MacLaurin-utveclingar e x = 1 + x + x! + x xn 1 + +! (n 1)! +O(xn ) sin x = x x! + x5 ( 1)n 1 + 5! (n 1)! xn 1 +O(x n+1 ) cos x = 1 x! + x4 ( 1)n + 4! (n)! xn +O(x n+ ) ln(1 + x) = x x + x ( 1)n n xn +O(x n+1 ) (1 + x) a a(a 1) = 1 + ax + x a(a 1) (a n + 1) + + x n +O(x n+1 )! n! arctan x = x x + x5 ( 1)n 1 + + 5 n 1 xn 1 +O(x n+1 ) f (x) = f () + f ()x + f ()! x + + f (n) () x n +O(x n+1) ) n! Några trigonometrisa formler sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y
Lösning till problem 1: I a) sriver vi x ln(1/x ) 1 x ln x 1 = x ln x x ln x då x. I b) använder vi MacLaurin-utveclingar = 1 x ln x e sin x = e x+o(x) = 1 + x +O(x ) + 1 ( x +O(x ) ) +O(x ) = 1 + x + x +O(x ) och x ln(1 + x) = x(x +O(x )) = x +O(x ) e sin x 1 x x ln(1 + x) = x / +O(x ) x +O(x ) 1/ +O(x) = 1 1 +O(x) vilet ger då x. Lösning till problem : Vi lägger in ett oordinatsystem enligt figur och får punterna A = ( R,), B = (R,), P = (x, y) (där x + y = R ) samt C = (R, y). Detta ger för den söta längden d = (x + R) + y + R x = = R + Rx + R x. x + y + R + Rx + R x A P C B Definitionsmängden till denna funtion är R x R och vi ser att d(x) = R + Rx + R x. Här blir d( R) = d(r) = R. Kritisa punter fås ur d (x) = R R + Rx 1 = R + Rx = R x = R/ och d( R/) = R + R + R/ = 5R/ vilet är det söta maximivärdet. Lösning till problem : I a) an vi dividera och dela upp integranden. Detta ger Detta ger att (x 1) = 1 + x (x 1) = 1 + x 1 + (x 1) dx = x + ln x 1 (x 1) x 1 +C. En något enlare räning får man anse genom ett variabelbyte t = x 1 vilet ger integralen (t + 1) + 1 t + t + (1 t dt = t dt = + t + ) dt t I b) använder vi partiell integration två gånger. Obsevera att det är en generaliserad integral eftersom ln x är odefinierad för x =, men vi har att x ln x då x. 1 x ( ln x ) x ( ) 1 1 dx = ln x x ln x dx = x 1 ln x 1 x + dx }}}} = = = x 1 4 = 1 4.
Lösning till problem 4: Vi inför betecningar enligt: R är radien i cirlarna, s är sidan i vadraten och H är halva diagonalen. Om x är avståndet från cirlarnas medelpunt till vadraten så är enligt Pytagoras sats s = H + H R = x + H vilet ger s = (R x ). Den area som särs ut ur den söta volymen av en vadrat på avståndet x är alltså A(x) = s = (R x ). Sivmetoden för volym ger nu den söta volymen R V = A(x)dx = R R (R x )dx = 4 (R x x ) R där D alltså är längden av diametern i cirlarna. = 8R = D Lösning till problem 5: Vi har en linjär differentialevation av ordning med onstanta oefficienter. Karateristisa evationen är m 6m + 9 = (m ) =, dvs vi har dubbelrot m =. Lösningen till den homogena evationen är alltså y H = C 1 e x +C xe x. För att hitta en partiulärlösning ansätter vi y P = Ax + B. Insättning i differentialevationen ger 9A = 9 A = 1 6A + 9(Ax + B) = 9x 6A + 9B = B = / Detta ger den fullständiga lösningen y = y H + y P = C 1 e x + C xe x + x + /. De givna villoren att lösningen sall tangera x-axeln i origo ger att y() = y () =. Dessa villor ger C1 + / = C 1 +C + 1 = C1 = / C = 1 och lösningen blir y = ( 1 e x ) + x ( 1 + e x). För att avgöra om origo är en loal maximipunt an vi MacLaurin-utvecla denna funtion y = ( 1 1 x 9x = x +O(x 4 ) 7x 6 +O(x4 ) ) + x ( 1 + 1 + x + 9x +O(x ) ) vilet visar att origo inte är en loal maximipunt. Alternativt an vi, för att visa att origo inte är en loal extrempunt till den lösning som har y() = y () = använda differentialevationen diret och sätta in x =. Detta ger y () 6y () + 9y() = y () =. Om vi nu deriverar evationen och sätter in x = så blir y () () 6y () + 9y () = 9 y () () = 9 och vi ser att MacLaurin-utveclingen av y(x) börjar med termerna y(x) = y() + y ()x + y ()! = x + vilet visar att origo inte an vara en loal extrempunt. x + y() () x +! 4
Lösning till problem 6: Vi sriver funtionen på formen y = x 1 4 x och vi ser omedelbart att definitionsmängden är x, och x = är en lodrät asymptot med lim y =, samt att y = x 1 är en x sned asymptot. Vidare finner man att den enda särningspunten med x-axeln är x =. Derivatan blir y = 1 + 8 x = x + 8 x med enda rot x = vilet ger ett loalt maximum. Den söta arean i första vadranten fås som summan av en triangelarea (mellan x = 1 och x = ) samt arean mellan urvan och asymptoten A = 1 a (x + 1 ( x 1 4 ) ) x dx = 1 a + 4 x dx = 1 [ 4 x = 5 4 a Vi ser omedelbart att arean går mot 5/ då a går mot oändligheten. Lösning till problem 7: Det är en positiv serie och vi an använda jämförelseriteriet. Serieutvecling av termerna ger ( 1 cos 1 ) = (1 ( 1 1 +O(1/4 ) )) = 1 5/ +O(1/11/ ) Vi an jämföra med standardserien 1/ 5/ där exponenten 5/ är större än 1 och serien är onvergent. Lösning till problem 8: För funtionen g (x) = f (x)/x är g (x) = f (x)x f (x) x Vi behöver visa att denna derivata är. Medelvärdessatsen för f ger (eftersom ocså f () = ) ] a x = a f (x) = f (x) f () = x f (ξ) där < ξ < x Men eftersom f är växande så är f (ξ) f (x) vilet ger att f (x) = x f (ξ) x f (x) eller evivalent f (x)x f (x). Detta visar att g (x). 5