Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13 Facit.16 Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 1
Teori Multiplikationsprincipen Om du vill ha både en grönsaksrätt och en potatisrätt på Blaise Bistro så kan var och en av fem grönsaksrätter kombineras med en av fyra potatisrätter. Alltså blir det totala antalet val 5 4 = 20. Om man skall göra två val där det första kan utföras på n 1 olika sätt och det andra på n 2 olika sätt (efter det att det första utförts) så har man totalt n 1 n 2 valmöjligheter. Om det finns ytterligare val n 1 n 2 n 3..n k så har man totalt n 1 n 2 n 3.. n k valmöjligheter G1.1 Du har tänkt köpa en ny bil och kan välja mellan tre modeller av en Volvo samt fyra olika färger. Hur många valmöjligheter har du totalt? G1.2 Du vill ha både en grönsaksrätt, en potatisrätt och dessert på Blaise Bistro. Det finns tre sorters desserter. På hur många olika sätt kan du beställa en måltid? G1.3 Registreringsskyltarna i Sverige har tre bokstäver och tre siffror. Antag vidare att man bara använder sig av 25 bokstäver. Hur många skyltar finns det om a) alla tecken får upp upprepas, b) varje tecken bara får användas en gång? G1.4 Adrian har 6 par strumpor, 2 par långbyxor och 3 T-shirts. På hur många olika sätt kan han klä sig i dessa plagg? G1.5 Ett hexadecimalt tal kan skrivas med siffrorna : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. På hur många sätt kan ett sådant tal skrivas med 3 siffror eller färre? G1.6 Henri tippar en stryktipsrad på måfå. På hur många olika sätt kan han tippa en rad? G1.7 Morsealfabetet består av två olika signaler, en kort och en lång. Dessa sätts samman till en signalföljd som får vara högst fem signaler lång. Hur många morsesignaler kan man åstadkomma? 2
G1.8 Vilken är sannolikheten för att man får tre hjärter om man drar tre kort ur en kortlek och efter varje dragning lägger tillbaks g kortet? (I modulen Sannolikhetslära ges formeln P= ) m Teori Permutationer Exempel 1 Bostadsrättsföreningen Ekorren skall välja en styrelse bestående av ordförande, vice ordförande, sekreterare och ytterligare en ledamot. Av föreningens 9 medlemmar kan alla tänka sig att ingå i styrelsen. På hur många olika sätt kan styrelsen sättas samman? Lösning Ordförande kan väljas på 9 olika sätt, därefter kan vice ordförande väljas på 8 olika sätt, sekreteraren på 7 olika sätt och till slut den siste ledamoten på 6 olika sätt. Enligt multiplikationsprincipen kan styrelsen väljas på 9 8 7 6 = 3024 olika sätt. Exempel 2 Samma bostadsrättsföreningen skall året därpå välja en ny styrelse och nu kan endast 4 av föreningens medlemmar tänka sig att ingå i styrelsen. På hur många olika sätt kan styrelsen sättas samman? Enligt den generaliserade multiplikationsprincipen kan styrelsen väljas på 4 3 2 1 = 24 olika sätt. Definition Om n är ett positivt heltal så definieras n! (n-fakultet) enligt n! = n(n-1)(n-2) 2 1. Vi definierar vidare 0! =1 I det första exemplet kan vi skriva = 987654321 9! 9! = 9876 = = = 54321 5! (9 4)! Definition Antag att vi har n objekt. (i) Varje ordnad uppräkning av alla n objekt kallas en permutation. (ii) Varje ordnad uppräkning av k st av dessa n objekt kallas en permutation av ordning k. Antalet permutationer av ordning k (av våra n objekt) där 1 k n n! ges av funktionen P(n, k) = (n - k)! 3
Antag att a, b och c är tre objekt. Alltså är abc, acb, bac, bca, cab och cba de sex permutationerna P(3, 3) av ordning 3 och ab, ac, ba, bc, ca och cb de sex permutationerna P(3, 2)av ordning 2 och a, b och c de tre permutationerna P(3, 1) av ordning 1. G1.9 Hur många ord med olika bokstäver kan man bilda med bokstäverna N, I, L och S? G1.10 Beräkna P(7, 2). G1.11 Hur många ord kan man bilda genom att ta ut tre bland bokstäverna N, I, L och S? G1.12 En lärare skall testa sina elever på ordkunskap rörande 8 olika ord. På hur många olika sätt kan han skriva dessa 8 ord i följd? G1.13 En palindrom är ett ord som ser likadant ut både framlänges och baklänges som t ex ajabaja. Hur många palindromer med sex bokstäver kan man bilda om ingen bokstav får användas mer än två gånger? G1.14 Visa att P(n, n) = P(n, n-1) a) På hur många sätt kan siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5 permuteras? b) Hur många av permutationerna i a) börjar med 3? c) Hur många av permutationerna i a) börjar med 1 och slutar med 5? G1.15 I Elitserien skall varje lag spela mot varje annat lag två gånger. Om serien omfattar 12 lag, hur många matcher har då spelats då serien är färdig? G1.16 På hur många sätt kan fem personer sitta runt ett bord? På hur många sätt kan n personer sitta runt ett bord? G1.17 Finn två heltalslösningar till ekvationen n! + 1 = x 2. G1.18 Antag att vi har siffrorna 1, 2, 4, 5 och 7 som bara får användas en gång vardera. a) Hur många tresiffriga tal kan man bilda? b) Hur många tresiffriga jämna tal kan man bilda? c) Hur många tresiffriga udda tal kan man bilda? 4
d) Hur många tresiffriga tal som är delbara med 5 kan man bilda? e) Hur många tresiffriga tal som är delbara med 4 kan man bilda? Fundera på detta! Teori Kombinationer På hur många olika sätt vi kan välja ut k objekt bland n objekt, där 1 k n? Antag att vi har tre objekt a, b och c. Alltså är ab, ac, ba, bc, ca, cb de 3! sex permutationerna av ordning 2. (3 2)! Om den inbördes ordningen av bokstäverna i permutationen inte spelar någon roll så är ab ekvivalent med ba, bc med cb samt ac med ca. Permutationen av objekten a och b (eller b och c, eller a och c) är 2! Alltså blir antalet sätt vi kan välja ut 2 objekt bland 3 objekt: 3! (3 2)! 3! eller 2! (3-2)! 2! Detta värde tecknas n n. (Hur beräknar du k med din miniräknare?) k 5
Vårt resonemang för objekten a, b och c gäller oberoende av antalet element, n, och hur många vi väljer ut, k. För värdena n och k blir n! antalet ( n k)! k! Antalet sätt på vilket vi kan välja ut k objekt bland n objekt, där 1 k n skrivs n k (läses: n över k) och är lika med n! (n - k)! k!. G1.19 Ulla har tänkt ta med sig 3 böcker på sin semester. På hur många olika sätt kan detta urval göras om hon har att välja bland 10 olika böcker? G1.20 Beräkna på hur många sätt man kan välja ut 4 objekt bland 10 om ordningen bland de 4 är oviktig. G1.21 Låt oss åter betrakta vår bostadsrättsförening Ekorren som skall välja en styrelse bestående av ordförande, vice ordförande, sekreterare och ytterligare en ledamot. Av föreningens medlemmar kan 9 medlemmar tänka sig att ingå i styrelse. På hur många olika sätt kan styrelsen sättas samman om styrelsen själva får fördela förtroendeposterna? G1.22 I en bägare har vi fem olikfärgade kulor. På hur många olika sätt kan man ta upp tre kulor ur bägaren? G1.23 Ett personalmöte samlar 15 män och 10 kvinnor. En festkommitté på 3 personer ses ut genom sluten omröstning. Vilken är sannolikheten att den bara består av män? G1.24 En matematikskrivning har 39 uppgifter och deluppgifter, som maximalt ger 26 poäng för G och 13 poäng för VG. För att få VG på skrivningen måste man ha 15 G-poäng och 7 VGpoäng. På hur många sätt kan man får precis det antal poäng som behövs för VG? G1.25 På ett plan befinner sig 6 punkter där inga tre punkter ligger på en rät linje. Hur många trianglar kan du rita med hjälp av dessa 6 punkter? 6
G1.26 Med hjälp av mängden A = {a, b, c} kan vi bilda mängden av alla delmängder till A. Dessa är {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, }. De är alltså 2 3 = 8 stycken. Visa att en godtycklig mängd på n element har 2 n delmängder. G1.27 Bilden nedan visar en oktav. Vi antar att en hand bara når över en oktav. Ett ackord är en kombination av tre eller flera toner som ljuder samtidigt. Vad är antalet unika ackord som kan spelas med en hand (alla är kanske inte fysiskt möjliga att utföra)? G1.28 Bilden på första sidan i modulen Mängdlära visar hur mängden {1, 2, 3, 4, 5} kan illustreras i 52 uppdelningar. Kan du teckna svaret för mängden {1, 2, 3, 4}? 7
Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter Exempel En urna innehåller tre svarta och fyra vita kulor. Man tar på måfå och utan återläggning tre kulor ur urnan. Beräkna sannolikheten för att man får två svarta och en vit kula. Man kan plocka 7 ut tre kulor bland sju på olika sätt (= n). 3 3 Antalet sätt att plocka ut två svarta kulor bland tre är. Antalet sätt 2 4 att plocka ut en vit kul bland fyra är. Alltså är antalet sätt att 1 3 plocka ut två svarta och en vit 2 4. Sannolikheten för två svarta 1 3 4 g 2 1 12 och en vit är = = n 7 35 3 Låt oss definiera det n:te katalantalet som C n 1 2n = n 1 n + De sju första katalantalen är C 0, C 1,..C 6 = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132. Kontrollera några av dessa beräknade katalantal. 8
G1.29 Johan har fyra semesterveckor per år. På hur många olika sätt kan han få sin semester? De behöver inte ligga i följd. G1.30 Johan har fem semesterveckor per år. På hur många olika sätt kan han få sin semester, om han måste välja två semesterveckor under 12 sommarveckor? G1.31 En urna innehåller två röda, tre blå kulor och två vita kulor. Man tar på måfå två kulor ur urnan. Beräkna sannolikheten för a) två röda kulor b) två blå kulor c) en röd och en blå kula d) en röd och två vita. G1.32 Jevgenij har tvättat strumpor och lagt sex par i en låda, av vilka två par är röda, två par blå och två par gröna. Bortsett från färgen är de tolv strumporna lika och väl blandade. Nästa morgon, när det är mörkt ute och ljuset strejkar, tar han på måfå två strumpor ur lådan. Beräkna sannolikheten för att han får två strumpor av samma färg. G1.33 Åtta personer i en bostadsrättsförening skall få varsin parkeringsplats. De åtta platserna lottas ut bland dessa personer. Beräkna sannolikheten för att ett gift par som har varsin bil får två platser bredvid varandra. 9
G1.34 Man drar två kort ur en kortlek. Bestäm sannolikheten för följande händelser: a) man får två hjärter b) man får en ruter och en spader c) man får en kung och en dam. G1.35 En person byter sina sommardäck mot vinterdäck och placerar dem på måfå. Vad är sannolikheten för att däcken hamnar på samma plats som föregående vinter? G1.36 På hur många olika sätt kan man ta fem kort ur en kortlek, en s k pokerhand? a) Vad är sannolikheten att få en Royal flush (ess, kung, dam, knekt, tia i samma färg) när man tar fem kort? b) Vad är sannolikheten att få en Straight flush, fem kort i samma färg och direkt ordningsföljd när man tar fem kort? c) Vad är sannolikheten att få Fyrtal, som t ex kan vara fyra 7:or? V1.37 I en enkätundersökning deltog 500 personer. Av dessa var 310 st gifta, 110 st var gifta och under 25 år, 60 st var ogifta och 25 år eller äldre. Hur många var under 25 år? V1.38 I en påse ligger det 10 röda kulor och 20 svarta kulor, alla av samma storlek. Du plockar på måfå fem stycken kulor. Hur stor är sannolikheten att du får minst fyra röda kulor? 10
Teori Duvslageprincipen Om du placerar 6 duvor i 5 duvslag så måste åtminstone ett duvslag hysa mer än en duva. Om n + 1 objekt skall placeras i n fack eller lådor, så måste minst ett fack ha två eller flera av dessa objekt. Om n k + 1 objekt skall placeras i n fack eller lådor, så måste minst ett fack ha k + 1 eller flera av dessa objekt. G1.40 Varför måste det i en grupp på 55 stycken personer som är högst 50 år gamla finnas åtminstone två som är födda samma år? G1.41 In en bägare har du nio tärningar. Hur många måste du ta upp för att säkert få upp två med samma antal ögon? G1.42 In en bägare har du tjugo tärningar. Hur många måste du ta upp för att säkert få upp tre med samma antal ögon? G1.43 Visa att om 13 punkter placeras i rutnätet här bredvid så måste två av dem ha ett avstånd på högst 2 från varandra. 11
V1.44 Visa att om 9 punkter placeras slumpmässigt i en rektangel med sidorna 9 cm och 12 cm så måste det finnas minst två punkter vars inbördes avstånd är högst 5 cm. V1.45 Jevgenij har tvättat strumpor och lagt sex par i en låda, av vilka två par är röda, två par blå och två par gröna. Bortsett från färgen är de tolv strumporna lika och väl blandade. Nästa morgon, när det är mörkt ute och ljuset strejkar, tar han på måfå två strumpor ur lådan. Hur många måste han minst ta för att få ett par av samma färg? V1.46 15 studenter skrev en diktamen. Johan gjorde 13 fel, alla andra gör mindre än 13 fel. Bevisa att minst två elever gjorde lika många fel. V1.47 12
Teori Pascals triangel och Mosertal Om vi skulle beräkna (a + b) n för allt större värden på n med våra kunskaper i algebra från tidigare kurser så skulle det bli ganska tidskrävande. (a + b) 0 1 (a + b) 1 a + b (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 3 (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 4 Vi anar utifrån tabellen ovan att: (a + b) 6 = a 6 + a 5 b + a 4 b 2 + a 3 b 3 + a 2 b 4 + ab 5 + b 6 Dvs summan av gradtalen för a och b i varje term är 6. Hur får vi nu koefficienterna till de olika ab-termerna? Jo, (a + b) 6 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b) a 6 termen får vi genom att ta ett a från varje parentes. Detta kan bara göras på ett sätt. Alltså är koefficienten till a 6 en etta. a 5 b termen får genom att välja ut ett b från de parenteserna. 6 Detta kan göras på = 6 olika sätt. Koefficienten till a 5 b en sexa. 1 a 4 b 2 termen får genom att välja ut två b:n från de parenteserna. 6 Detta kan göras på = 15 olika sätt. Alltså är koefficienten till 2 a 4 b 2 talet femton. 13
6 Vi får till slut: (a + b) 6 = 0a 6 + 6 6 a 5 b + a 4 b 2 + 1 2 + 6 6 6 a 2 b 4 + ab 5 + b 6 4 5 6 (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 6 a 3 b 3 + 3 Binomialsatsen fås genom att föra liknande resonemang för godtyckliga värden n. (a + b) n = n 0 a n + n 1 a n-1 b +...+ n k an-k b k +...+ n Koefficienterna n kallas binomialkoefficienter k n bn Med Pascals triangel kan man lätt hitta koefficienterna till (a + b) n, hur? Detta sätt att beräkna koeficienterna kan även fås med Pascals formel: n-1 n-1 n + = k-1 k k 14
Mosertal Placera fyra sju punkter på en cirkel. Fördela punkterna någorlunda jämnt runt periferin som i figuren nedan. Förena varje punkt med alla övriga punkter. Man kan dra 21 kordor (Varför just 21?) som delar in cirkeln i 57 (ett Mosertal) områden. Genom att summera de färgade raderna i Pascals triangel får vi Moser-talen: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, som motsvaras av antalet punkter på cirkeln: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... G1.48 Använd Pascals triangel för att fylla i det som fattas i identiteten nedan: (a + b) 9 = a 9 + a 8 b + a 7 b 2 + + a 6 b 3 + a 5 b 4 + a 4 b 5 + a 3 b 6 + a 2 b 7 + ab 8 + b 9 G1.49 Vad är värdet på 8 enligt Pascals triangel? 3 V1.50 Bevisa Pascals formel. G1.51 Verifiera att antalet kordor för en regelbunden sexhörning inuti en cirkel har 15 kordor samt att antalet områden är? G1.52 Bestäm tredje och fjärde termen i binomialutvecklingen av (3a + 4b) 7. V1.53 n n Visa att 2 + = n 2 1 2 15
Facit G1.1 Du har 3 4 valmöjligheter. G1.2 3 4 5 =60 G1.3 a) 25 25 25 10 10 10 = 15625000 b) 25 24 23 10 9 8 = 9936000 G1.4 På 6 2 3 = 36 olika sätt. G1.5 Det finns 3 16 = 4096 olika tal med tre eller färre siffror. G1.6 13 3 = 1594323 olika sätt 5 4 3 2 G1.7 2 + 2 + 2 + 2 + 2= 62 G1.8 gynnsamma fall 13 13 13 1 P = = = möjliga fall 52 52 52 64 G1.9 256 G1.10 7! P(7, 2) = Pnk (, ) = = 42 5! G1.11 4 3 2 = 24 G1.12 8! = 40320 G1.13 29 28 27 = 21924 G1.14 P(n, n) = n! n! = = n! och ( n- n)! 0! P(n, n-1) = n! n! = = n! Alltså är P(n, n) = P(n, n-1). ( n-[ n 1])! 1! G1.15 66 matcher G1.16 24 respektive (n 1)! G1.17 Heltalslösningar får vi om n! + 1 är en jämn kvadrat. Prövningar ger n = 4 med lösningarna x = ±5 (även n = 5 med lösningarna x = ±11) G1.18. a) 60 b) 24 16 c) 36 d) 12 e) Ett tal är delbart med 4 om talet i de två sista siffrorna är delbart med 4, dvs talen 12, 24, 52 och 72, fyra möjligheter därefter återstår tre siffror. Alltså blir resultatet 4 3 2=24
G1.19 15 = 455 3 G1.21 9 = 126 4 G1.20 G1.23 G1.24 10 = 210 4 G1.22 5 = 10 3 15 15! 3 g 12!3! 13 14 15 13 7 3 13 7 P 91 = = = = = = = n 25 25! 23 24 25 23 12 5 23 4 5 460 3 22!3! 26 13 = 26838 240 15 7 G1.25 6 = 20 3 G1.26 För varje element finns det två möjligheter, en delmängd innehåller elementet eller inte. Eftersom vi har n element i mängden får vi 2 n delmängder. G1.27 G1.28 G1.29 12 12 12 + + = 220 + 495 + 924 = 1639 3 4 5 4 4 2 4 4 + + + = 15 1 2 1 3 4 52 = 270725 4 G1.30 12 40 = 652080 2 3 G1.31. a) b) 2 g 2 1 P = = = n 7 21 2 3 g 2 1 P = = = n 7 7 2 2 2 g 1 2 2 P = = = n 7 21 2 2 3 g 1 1 2 P = = = n 7 7 2 17
G1.32 Han ar 4 3 möjligheter att ta två röda eller två blå eller två gröna strumpor. 3 (4 3) Det finns totalt 12 strumpor. Alltså är P= 12 11 G1.33 Det finns sju möjligheter (=g) att få platser bredvid varandra. Det finns 1 8 8 möjligheter att välja ut två godtyckliga platser. Alltså är P = 7 2 2 13 13 13 4 4 2 G1.34 a) 3 1 1 = b) 13 = 52 51 52 102 c) 1 1 8 = 0,012 52 663 2 2 2 g 1 G1.35 P = = m 4 3 2 1 g 4 g 9 G1.36 a) P = = 0, 0000015 b) P = = 0, 0000035 m 52 m 52 5 5 g 4 13 c) P = = 0, 00005 m 52 5 V1.37 18
V1.38 10 20 10 20 + 4 1 5 0 11 = 0, 0032 30 3393 5 G1.40 Efter att ha tagit ut 50 personer så har alla olika ålder eller åtminstone två samma ålder och då är saken klar. Om alla har samma ålder så kommer den femtioförsta få en ålder som redan är upptagen. G1.41 10 stycken G1.42 41 stycken G1.43 Om 16 punkter har tagit upp alla rutorna så måste den 17:de hamna i en V1.44 upptagen ruta. Längsta avståndet till den punkten kan vara diagonalen 2. V1.45 4 strumpor V1.46 Låt oss låtsas att eleverna är "duvor" och lägg dem i 14 hål numrerade 0, 1, V1.47 2,..., 13, beroende på antalet gjorda fel. I hålet 0 sätter vi de elever som gjort något fel, i hål 1 dem som gjort exakt 1 fel, i hål 2 som gjort 2 fel, och så vidare. Hål 13 upptas endast av Jimmy. Alltså måste något hål upptas av minst två elever. V1.48 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 V1.49 19
V1.50 V1.51 n-1 n-1 ( n-1)! ( n-1)! VL.. = k-1 + k = + = ( n- k)!( k-1)! ( n-1- k)! k! k( n-1)! + ( n- k)( n-1)! ( n-1)![ k+ ( n- k)] n! = = = V.S.B ( n- k)! k! ( n- k)! k! ( n- k)!( k)! V1.52 81648 V1.53 n n 2( n-1) n 2n 2 2 n V.S.B 2 + = + = 1 2 2 20