Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2013:14 Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study Gustav Burman och Niklas Neville Självständigt arbete 15 högskolepoäng inom Statistik III, ht 2013 Handledare: Pär Stockhammar
Sammanfattning Uppsatsens syfte är att undersöka univariata tidsseriemodellers prognosförmåga avseende växelkursindexet kronindex för perioden 1994/01-2013/11. Modellerna utvärderas och jämförs med Konjunkturinstitutets prognoser på kort och lång sikt. Vidare utvärderas även modellernas prognosförmåga genom jämförelse med naiva prognoser. Enligt Box-Jenkins metodologi väljs GARCH(1,1) och EGARCH(1,1) som lämpliga modeller för att prognostisera kronindex. Från resultatet dras slutsatsen att de valda prognosmodellerna inte presterar bättre än Konjunkturinstitutets prognosmodell på varken kort eller lång sikt. Dessutom uppvisar ARMA-modellerna inte en genomsnittlig prognosförmåga på vare sig kort eller lång sikt. Istället för att följa kronindex faktiska rörelser konvergerar de mot deras långsiktiga medelvärde. Däremot uppvisar Konjunkturinstitutets prognoser en prognosförmåga på både kort och lång sikt. Avslutningsvis ges förslag på ytterligare modeller som vore intressanta att utvärdera i en ny studie. Nyckelord: ARIMA, EGARCH, Ekonometri, GARCH, KIX, Prognosutvärdering
Förord Vi vill tacka vår handledare Pär Stockhammar för hans stora engagemang och behjälplighet i uppsatsarbetet.
Innehållsförteckning 1 Inledning... 6 1.1 Bakgrund... 6 1.2 Kronindex... 6 1.3 Tidigare forskning... 6 1.4 Syfte och frågeställning... 7 1.5 Metod och data... 7 1.6 Avgränsningar... 8 1.7 Disposition... 8 2 Metod... 9 2.1 Generella begrepp... 9 2.1.1 Stationaritet och invertibilitet... 9 2.1.2 Vitt brus och slumpvandring... 9 2.1.3 Heteroskedasticitet... 10 2.2 Test för stationaritet... 10 2.3 ARMA modeller... 11 2.3.1 AR-modellen... 11 2.3.2 MA-modellen... 12 2.3.3 ARMA-modellen... 12 2.4 ARCH-modellen... 13 2.5 GARCH-modellen... 13 2.6 EGARCH-modellen... 13 2.7 Modelldiagnostik... 14 2.7.1 Informationskriterier... 14 2.7.2 Residualanalys och modellutvärdering... 15 2.8 Prognosutvärdering... 16 2.8.1 Prognosavvikelse... 16 2.8.2 Prognosprocedur... 17 3 Resultat... 18 3.1 Stationaritet... 18 3.2 Heteroskedasticitet... 18 3.3 Modellval... 19 3.4 Modellutprövning och residualanalys... 20 3.4.1 Informationskriterier för skattade modeller... 20 3.4.2 Autokorrelation för skattade modellers residualer... 21 3.4.3 Heteroskedasticitet för skattade modellers residualer... 21 3.4.4 Normalitetstest för skattade modellers residualer... 22 3.4.5 Slutgiltigt modellval... 22 3.5 Prognoser på kort sikt... 23
3.6 Prognoser på lång sikt... 27 4 Diskussion och slutsatser... 31 4.1 Diskussion... 31 4.2 Slutsatser... 32 Referenser... 33 Bilaga A: Skattade modellers residualer... 35 Bilaga B: Skattade modellers parametrar... 36 Bilaga C: Programmeringskod i R 3.0.2... 37 Bilaga D: Programmeringskod i SAS 9.3... 38
1 Inledning 1.1 Bakgrund Under våren år 2007 publicerade Konjunkturinstitutet (KI) den första prognosen på det effektiva växelkursindexet kronindex (KIX). Sedan dess har de publicerat nya prognoser fyra gånger per år med varierande resultat. Vid prognosarbetet används en multivariat ansats som tar hänsyn till förväntningar på bland annat reporäntan, olika riskpremier och inrikes inflation jämfört med andra länder. Pär Stockhammar, verksam vid KI och Stockholms Universitet har uttryckt ett intresse att testa om det finns andra fungerande modeller. Mer precist ligger intresset i att undersöka hur väl univariata prognosmodeller står sig jämfört med den multivariata prognosmetod som används av KI, på kort och lång sikt. En univariat prognosmodell är fördelaktig att använda eftersom den enbart använder en variabel och kan därför användas resurssnålt. Om den dessutom kan prognostisera KIX med högre precision gynnar det användarna av prognoserna samtidigt som förtroendet hos användarna av KI:s prognoser kommer öka. Med ovanstående sagt ämnar uppsatsen i korthet undersöka lämpliga univariata tidsseriemodellers prognosförmåga och jämföra dessa med prognoser utförda av KI. 1.2 Kronindex I en öppen ekonomi är ett lands växelkurs gentemot andra valutor betydelsefull för landets import- och exportpriser. I Sverige uppgår den sammanlagda exporten och importen till drygt 90 procent av BNP med en nettoexport nära 6 procent (SCB 2013). Det är möjligt att kronan apprecierar mot en valuta samtidigt som den deprecierar mot en annan valuta. Genom att enbart studera bilaterala växelkurser är det svårt att mäta växelkursers inverkan på svensk utrikeshandel. En mer överskådlig bild fås istället om ett flertal bilaterala växelkurser kombineras till ett sammanvägt index. Ett sådant index kallas för ett effektivt växelkursindex och är ett viktat medelvärde av bilaterala växelkurser. Indexet är tänkt att mäta ett lands konkurrenskraft vid utrikeshandel. Det finns ett flertal index av denna typ. Ett av dessa är KIX som är konstruerat av KI. Indexet beräknas på dagsbasis av Sveriges Riksbank och är baserat på vikter för 28 OECD länder samt Kina, Brasilien, Ryssland och Indien. Vikterna uppdateras årligen och beror på Sveriges handelsmönster med andra länder (Erlandsson & Markowski 2006). 1.3 Tidigare forskning Två framstående namn inom ekonometrin är Robert F. Engle och Tim Bollerslev, som har följts åt sedan Bollerslev doktorerade med Engle som handledare. 1982 utvecklade Engle ARCH (Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity)-modellen som gjorde det möjligt att modellera variansen för tidsserier med tidsvarierande volatilitet. För bland annat ARCH-modellen tilldelades Engle år 2003 Sveriges Riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne. Den första stora utvecklingen av den nobelprisbelönade ARCH-modellen presenterades av Bollerslev år 1986, den så kallade GARCH (Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity)-modellen. 6
Utöver denna finns fler än hundra släktingar till ARCH-modellen beskrivna i litteraturen. Både ARCH- och GARCH-modellen är linjära volatilitetsmodeller och behandlar positiva och negativa chocker lika. Under åren har därför ett flertal utvecklingar av den ursprungliga GARCH-modellen tagits fram för att modellera olika egenskaper hos tidsserier. För att tillåta asymmetriska chocker utvecklade exempelvis Daniel B. Nelson år 1991 en icke-linjär GARCH-modell som fick namnet EGARCH (Exponential Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity). GARCH-modeller är vanligt förekommande vid modellering av volatiliteten hos växelkurser. Bollerslev (1987) anpassade framgångsrikt en GARCH(1,1)-modell för volatiliteten hos USD/GBP och USD/DEM för åren 1980-1985. Bollerslevs forskning kring användbarheten av GARCH(1,1)-modellen för växelkurser har bidragit till ett flertal nya artiklar där GARCH(1,1)-modellen har lyckats beskriva volatiliteten hos växelkurser väl. Till exempel konstaterar Alexander och Lazar (2006) att GARCH(1,1)- modellen presterar bättre än andra GARCH-modeller av högre ordning för växelkurserna USD/GBP, USD/EUR och USD/YEN. Till synes används GARCHmodellen frekvent vid modellering av volatiliteten hos växelkurser. Dock har den oss veterligen inte applicerats i ett vetenskapligt sammanhang på KIX tidigare. 1.4 Syfte och frågeställning Syftet med uppsatsen är att undersöka univariata tidsseriemodellers prognosförmåga och jämföra dessa med Konjunkturinstitutets prognoser på kort och lång sikt. Mot bakgrund av detta ämnar uppsatsen besvara följande frågeställningar: Har univariata tidsseriemodeller förmåga att prognostisera KIX? Hur står sig dessa tidsseriemodellers prognoser mot KI:s prognoser? Presterar prognoserna olika på kort och lång sikt? 1.5 Metod och data Med hjälp av 230 månatliga observationer av KIX för perioden 1994/01-2013/02 väljs lämpliga univariata prognosmodeller. Månatliga observationer används istället för dagliga, för att möjliggöra jämförelser mellan KI:s månatliga prognoser. Data är hämtat från KI:s hemsida (Konjunkturinstitutet 2013). Prognosmodellerna väljs enligt Box- Jenkins (1970) metodologi. Box och Jenkins rekommenderar att välja modeller enligt följande arbetsschema: databeredning, modellval, estimering, modelldiagnostik, prognostisering. De valda prognosmodellerna används sedan för att prognostisera KIX i mars, juni, augusti och december under perioden 2008/03-2013/11. Prognoserna utvärderas sedan, tillsammans med prognoser gjorda under samma tidshorisont av KI, med det verkliga utfallet av KIX. Utvärderingen görs på kort och lång sikt. Prognoserna jämförs även med en naiv prognosmodell för att undersöka om det finns någon prognosförmåga hos modellerna. I analysen används Excel 2010 för att bearbeta data, beräkna prognosavvikelsemåtten RMSE, ME och Theils U 2, samt göra tabeller i resultatdelen. Programvaran R 3.0.2 används tillsammans med programpaketet Rugarch 1.2-7 för estimering och utvärdering av olika prognosmodeller. R används även för att prognostisera framtida värden av KIX 7
med iterationsteknik. Vidare används SAS 9.3 för att utföra Augmented Dickey-Fuller test. 1.6 Avgränsningar Studien är avgränsad till att undersöka univariata tidsseriemodellers prognosförmåga. Även om det finns en uppsjö av univariata tidsseriemodeller begränsas studien till några vanligt förekommande modeller. Medelvärdet i tidsserien modelleras med en ARIMAmodell medan variansen modelleras med en GARCH- eller en EGARCH-modell. Prognoser utförda av KI under år 2007 exkluderas eftersom KIX under år 2007 beräknades på ett annorlunda vis jämfört med åren efter. På grund av detta kan KI:s prognoser under år 2007 inte jämföras med KIX som studeras i uppsatsen. 1.7 Disposition Inledningsvis presenteras i kapitel två en genomgång av de teoretiska delar som används i uppsatsens metod samt en förklaring av prognosproceduren. I kapitel tre redovisas uppsatsens resultat i form av tabeller och diagram tillsammans med förklaringar. Kapitel fyra avslutar uppsatsen med en diskussion kring resultatet och slutsatser som författarna har kommit fram till. 8
2 Metod 2.1 Generella begrepp 2.1.1 Stationaritet och invertibilitet Många tidsseriemodeller kräver stationära tidsserier. En stokastisk process kallas för svagt stationär eller kovariansstationär om dess väntevärde och varians är konstanta över tid och om kovariansen mellan två tidsperioder enbart beror på distansen mellan två tidsperioder. Formellt är en stokastisk process med ändligt väntevärde och varians svagt stationär om följande villkor håller för alla och, där, och är konstanter och där Om något eller några av villkoren ovan inte håller är processen icke-stationär. Om en tidsserie är icke-stationär går det enbart att studera dess beteende för en specifik tidsperiod. Därför är det ej möjligt att generalisera beteendet till andra tidsperioder. På grund av detta kan syftet med prognoser på icke-stationära tidsserier ha liten eller ingen praktisk betydelse (Enders 2010, sid 53-54). För att det ska vara möjligt att göra prognoser med en modell krävs att den är invertibel. I MA-processen, som beskrivs i avsnitt 2.3.2, ekvation (2.17), kan vitt brus-termen skrivas som en linjär funktion av nuvarande och tidigare observationer. För en invertibel process ska observationer långt bak i tiden ges mindre vikt än mer närliggande observationer. Av det följer att. Om ges observationer långt bak i tiden större vikt än närliggande observationer. Om är vikterna konstanta och således har observationer långt bak i tiden samma inverkan som närliggande observationer. Vid prognostisering är det viktigt att vikterna avtar i värde eftersom det enbart finns ett ändligt antal tidigare observationer att basera prognoserna på. 2.1.2 Vitt brus och slumpvandring Ett krav för att en tidsseriemodell ska anses lämplig är att residualerna karaktäriseras av en vitt brus-process. Att residualerna följer en vitt brus-process innebär att modellen lyckas beskriva all tillgänglig information i tidsserien som inte är slumpmässig. En sekvens kallas vitt brus om alla värden i sekvensen har väntevärdet noll, konstant varians och är seriellt okorrelerade. Matematiskt kan processen för en given tidsperiod,, uttryckas som (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) 9
Om observationerna i tidsserien dessutom är normalfördelade benämns sekvensen som Gaussiskt vitt brus. När skillnaden mellan två värden i en serie enbart beror på vitt brus kallas serien för en slumpvandring. Den kan uttryckas som Inom tidsserieanalys är slumpvandringen ett klassiskt exempel på en icke-stationär process. Om tidsserien är en slumpvandring kan prognoser av framtida nivåer av serien inte utföras eftersom nivån i serien enbart beror på slumpen. Slumpvandringsmodellen sägs besitta ett oändligt minne eftersom effekterna av en chock inte avtar med tiden. Vidare har slumpvandringen konstant väntevärde med en varians som varierar med tiden, vilket kan uttryckas matematiskt som (2.6) (2.7) (2.8) och där Följaktligen uppfyller slumpvandringen inte antagandet om konstant varians i ekvation (2.9) och benämns av den orsaken som en icke-stationär process. 2.1.3 Heteroskedasticitet Många tidsseriemodeller kräver att antagandet om homoskedasticitet är uppfyllt, det vill säga att ekvation (2.2) håller. Om ekvation (2.2) ej håller benämns tidsserien som heteroskedastisk. Det är vanligt att tidsserier uppvisar perioder med ovanligt hög volatilitet följt av perioder med låg volatilitet (Enders 2010, sid 125). Vid sådana omständigheter är antagandet om homoskedasticitet ej uppfyllt, varför en modell som tar hänsyn till icke-konstant varians bör användas för att modellera tidsserien. 2.2 Test för stationaritet Innan formella test utförs är det generella rådet att undersöka tidsserien grafiskt för att få en överskådlig bild av tidsseriens egenskaper. Vid misstanke om icke-stationaritet bör även ett formellt test utföras. Ett av de populäraste stationaritetstesten är enhetsrotstestet. Från följande ekvation (2.9) (2.10) där är en vitt brus-process och är en koefficient, vet vi att tidsserien har en enhetsrot om. Om tidsserien har en enhetsrot uppfyller den egenskaperna hos en icke-stationär tidsserie. För att ta reda på om tidsserien är icke-stationär kan följande regression skattas (2.11) 10
där och. Om vi accepterar nollhypotesen att kan vi dra slutsatsen att vi har en enhetsrot och att tidsserien är icke-stationär. Dickey och Fuller (1979) har visat att koefficienten för följer en tau-fördelning under nollhypotesen. Användande av tau-statistikan för att testa nollhypotesen kallas även Dickey-Fullers (DF) test. Ett mer praktiskt test är dock Dickey och Fullers (1981) Augmented (ADF) test. ADF testet tillåter till skillnad från DF testet att vara korrelerade och modelleras med autoregressiva termer. ADF testet utförs med tre olika ekvationer beroende på den underliggande tidsseriens egenskaper är en slumpvandring: (2.12) är en slumpvandring med konstant: (2.13) är en slumpvandring med konstant runt en stokastisk trend: (2.14) där nollhypotesen är att och är alternativhypotesen. En betydande del av testutförandet är att välja antalet lagg. Ett tillvägagångssätt är att inleda med ett större antal lagg och eliminera de som är insignifikanta. Om för få lagg används finns det risk att feltermen är autokorrelerad (Verbeek 2004, sid 272-273). 2.3 ARMA modeller 2.3.1 AR-modellen En AR (Auto Regressive)-modell av ordning skrivs (2.15) där är ett positivt heltal, är vitt brus och är vikter. Modellen är en linjär kombination av nuvarande värde som beror på föregående värden. En AR(p)- process är alltid invertibel men är endast stationär om rötterna till polynomet (2.16) är mindre än 1 i absolutvärde. För en AR(1) modell innebär detta att den är stationär om villkoret är uppfyllt. Vidare kännetecknas autokorrelationsfunktionen (ACF) för en AR-modell av ett geometriskt avtagande mönster och/eller en dämpad sinuskurva 11
beroende på rötterna i ekvation (2.16). På grund av detta är det svårt att identifiera ordningen för AR-processen genom att enbart studera ACF. Istället kan vi studera partiella autokorrelationsfunktionen (PACF) för att identifiera ordningen. Den partiella autokorrelationsfunktionen för en AR-process karaktäriseras av att den partiella autokorrelationen är nära noll efter lagg. I en stationär AR-process ges störningar långt bak i tiden mindre påverkan på processen medan närliggande störningar ges större påverkan, eftersom. 2.3.2 MA-modellen En MA (Moving Average)-modell är enkelt uttryckt en linjär kombination av nuvarande värde som beror på föregående vitt brus-termer. Generellt skrivs en MA-process av ordning som (2.17) där är vitt brus och är tidsseriens medelvärde. I en MA-process av ändlig ordning sätts vanligtvis och de vikter som inte är noll betecknas med. Genom att studera egenskaperna hos ACF kan vi identifiera MA( )-modellen och dess korrekta ordning, eftersom autokorrelationerna efter ordning är nära noll. PACF för en MAprocess kännetecknas av ett geometriskt avtagande mönster och/eller en dämpad sinuskurva. En MA( )-process av ändlig ordning är alltid stationär oavsett värdet på dess vikter. För att en MA( )-process ska vara invertibel krävs dock att rötterna till polynomet (2.18) måste vara mindre än 1 i absolutvärde. För en MA(1) modell innebär detta att den är invertibel om villkoret är uppfyllt. 2.3.3 ARMA-modellen Det är möjligt att kombinera AR- och MA-modellen till en ARMA-modell. Generellt kan modellen uttryckas som (2.19) Om AR-komponenten i modellen innehåller stycken lagg och MA-komponenten innehåller stycken lagg kallas modellen en ARMA( )-modell. Om reduceras ARMA( )-modellen till en AR( )-modell. På motsvarande vis reduceras ARMA( )-modellen till en MA( )-modell om. Om rötterna i polynomet för AR-modellen är mindre än 1 i absolutvärde är modellen stationär. Vidare är modellen invertibel om rötterna i polynomet för MA-modellen är mindre än 1 i absolutvärde. Precis som med stationaritet och invertibilitet bestäms ACF och PACF för en ARMAprocess av MA- och AR-komponenterna. Därför kommer ACF och PACF för ARMAmodellen uppvisa ett geometriskt avtagande mönster och/eller ett dämpat sinusmönster. 12
Om vi utökar modellen och låter rötterna i polynomet för AR-modellen vara större eller lika med 1, får vi en icke-stationär ARMA-process. Om vi differentierar tidsserien gånger och får en stationär tidsserie, blir tidsserien en Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA)-modell. Generellt skrivs modellen som en ARIMA( ). 2.4 ARCH-modellen I AR-, MA- och ARMA-modellerna som beskrivs i avsnitt 2.3 antas att variansen i feltermen är konstant. Många ekonomiska tidsserier uppvisar dock tidsvarierande volatilitet, varför antagandet om konstant varians (homoskedasticitet) inte alltid är lämpligt. Engle (1982) har visat att det är möjligt att modellera en tidsseries väntevärde och varians simultant. Engles modell benämns ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) och modellerar det heteroskedastiska mönstret i slumptermen som en AR-process. I ARCH( )-modellen antas att (2.20) där är vitt brus, betecknar residualerna för modellen och där koefficienterna för. I originalartikeln betecknar Engle den betingade variansen som och skriver istället. Den intresserade läsaren hänvisas till Enders (2010, sid 125-130) för en mer detaljerad förklaring. 2.5 GARCH-modellen Bollerslev (1986) utökade Engles ARCH-modell genom att låta den betingade variansen följa en ARMA-process. Bollerslevs modell benämns GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) och låter den nuvarande betingade variansen även bero på tidigare betingade varianser. I GARCH( )-modellen antas att (2.21) där fortfarande är vitt-brus. Det krävs även att och. Variansen får alltså variera men måste vara ändlig. I praktiken är GARCH-modellen mer användbar än ARCH-modellen eftersom GARCH-modellen ofta beskriver volatiliteten med färre parametrar. Vidare är modellen fördelaktig eftersom ARCH-modellen tenderar att överskatta volatiliteten på grund av att modellen reagerar långsamt på stora chocker. Det är svårt att identifiera den rätta ordningen för GARCH-modellen men som nämnts i avsnitt 1.3 lämpar sig i praktiken ofta GARCH(1,1)-modellen väl för att modellera volatiliteten hos växelkurser. En mer detaljerad beskrivning av GARCH-modellen återfinns i Enders (2010, sid 131-132). 2.6 EGARCH-modellen En intressant egenskap hos finansiella tidsserier är att negativa chocker tenderar att påverka volatiliteten mer än positiva chocker. Tendensen kallas oftast för hävstångseffekt. En modell som tar hänsyn till dessa asymmetriska effekter är den icke- 13
linjära EGARCH (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)-modellen som utvecklades av Nelson (1991). För att ta hänsyn till asymmetrierna införs en viktad chock (2.22) där och är konstanter. De oberoende vitt brus sekvenserna och har väntevärdet 0. Av det följer att. Asymmetrin i ekvation (2.22) kan ses om den skrivs om som (2.23) Från ekvation (2.23) ser vi att negativa chocker tilldelas vikten medan positiva chocker tilldelas vikten. Det går att visa att EGARCH( )-modellen kan skrivas som (2.24) där är en konstant, är fördröjningsoperatorn för vilken t.ex.. Av framställningen i ekvation (2.24) kan vi urskilja två viktiga skillnader mellan GARCHoch EGARCH-modellen. I EGARCH-modellen används den logaritmerade betingade variansen för att släppa på begränsningen att koefficienterna i modellen måste vara positiva. Dessutom tillåter användandet av modellen att reagera asymmetriskt vid negativa och positiva chocker. För ytterligare detaljer om EGARCH-modellen hänvisas läsaren till Enders (2010, sid 155-157). 2.7 Modelldiagnostik 2.7.1 Informationskriterier För att undersöka hur väl en modell beskriver en tidsserie inom stickprovet finns ett antal olika mått att tillgå. De två vanligaste måtten för att välja mellan olika modeller är Akaikes Informationskriterium (AIC) och Schwartz Bayesianska Kriterium (SBC). Måtten är snarlika och beräknas enligt följande (2.25) (2.26) där är antalet parametrar i den skattade modellen, är antalet observationer och är det maximerade värdet på likelihood-funktionen för den estimerade modellen. Vi ser i ekvation (2.25) och ekvation (2.26) att det enda som skiljer måtten är att AIC använder sig av värdet där SBC använder sig av. Idealt ska AIC och SBC uppvisa så låga värden som möjligt. Kriterierna kan användas för att välja den lämpligaste modellen. För att två eller flera modeller ska vara jämförbara krävs att måtten beräknas för samma tidsperiod och antal observationer. Det kan hända att måtten väljer olika modeller, men om måtten väljer samma modell kan vi vara relativt säkra på resultaten. 14
2.7.2 Residualanalys och modellutvärdering Autokorrelation För att en serie av feltermer ska kallas vitt brus krävs bland annat att feltermerna inte är autokorrelerade enligt ekvation (2.6) i avsnitt 2.1.2. Om residualerna uppträder enligt ett mönster finns anledning att misstänka autokorrelation vid en lagg. En ytterligare anledning att misstänka autokorrelation är om ACF avtar långsamt. Vid misstanke om autokorrelation, kan analysen fortsätta med formella test. Q-statistikan kan användas för att testa nollhypotesen att en eller flera autokorrelationer är statistiskt skilda från noll. Ursprungligen utvecklades Q-statistikan av Box och Pierce (1970), där de använde sig utav stickprovsautokorrelationen för att beräkna (2.27) där är antalet observationer och är stickprovsautokorrelationen vid lagg. Ljung och Box (1978) utvecklade en variant av Box och Pierce statistika som är likvärdig med Q-statistikan, men som visat sig besitta bättre egenskaper vid små stickprov. Ljung-Box Q-statistikan definieras som (2.28) Under nollhypotesen att alla värden på är noll, följer Q approximativt en chi-två föredelning med antalet frihetsgrader lika med. Intuitionen bakom testet är att för höga värden på stickprovsautokorrelationerna följer ett högt värde på Q. För en ren vitt brus-process är således i teorin. Om Q-värdet överstiger det kritiska värdet för chi-två fördelningen, kan vi förkasta nollhypotesen att feltermerna inte är autokorrelerade. Tsay (2005, sid 27) rekommenderar att utföra testet med antal lagg. Heteroskedasticitet För att testa för heteroskedasticitet finns ett antal olika test tillgängliga. Ett av de mest använda testen är ARCH-Lagrange Multiplier (LM) testet utvecklat av Engle (1982). Testet används för att testa om residualerna från en skattad modell är en vitt brusprocess. Om residualerna följer en vitt brus-process kan vi säga att modellen är homoskedastisk, eftersom villkoret i ekvation (2.4) är uppfyllt. LM testet prövar nollhypotesen att i regressionen (2.29) där är vitt brus, är ett positivt heltal och betecknar storleken på stickprovet. Engle har visat att är asymptotiskt chi-två fördelad med frihetsgrader under nollhypotesen, där är förklaringsgraden för regressionen i ekvation (2.29). Om kan vi förkasta nollhypotesen att tidsserien är homoskedastisk. Signifikanta resultat kan indikera vilken ordning som är lämplig för ARCH-modellen. Ordningen kan bestämmas genom att studera vilka som förkastar nollhypotesen. Om höga 15
värden för förkastar nollhypotesen bör en GARCH-modell användas eftersom den kan beskriva volatiliteten med färre parametrar jämfört med ARCH-modellen. Normalitet Givet att vi har en bra modell ska residualerna vara normalfördelade eftersom ickenormalitet hos residualerna kan ge felaktiga konfidensintervall för parameterskattningarna och prognosskattningarna. Antagandet kan inledningsvis undersökas genom att studera histogram och QQ-plottar för residualerna. Ett vanligt formellt test är Jarque-Beras (1980) JB test för normalitet, som jämför fördelningen för residualerna med den teoretiska normalfördelningen. Normalfördelningen har och. Testet utförs genom att beräkna (2.30) där och är fördelningens skevhet och toppighet och är antalet observationer. Under nollhypotesen följer en chi-två fördelning med två frihetsgrader. Om p-värdet för -statistikan är mindre än vald signifikansnivå, förkastas nollhypotesen att residualerna är normalfördelade. En svaghet hos testet är att det nästan alltid förkastar nollhypotesen vid stora stickprov även vid små avvikelser från normalfördelningen. För finansiella tidsserier är det vanligt att tidsserien avviker från normalfördelningen på grund av heteroskedasticiteten i tidsserien. Detta kan leda till att toppigheten för tidsseriens fördelning blir större än 3, vilket leder till tjockare svansar än i normalfördelningen. Dessutom kan fördelningens skevhet avvika från noll eftersom serien tenderar att reagera olika på positiva och negativa chocker (Stockhammar 2009, sid 2-7). 2.8 Prognosutvärdering 2.8.1 Prognosavvikelse För att utvärdera prognosförmågan för en modell är det vanligt att studera prognosfelet. Det kan definieras som skillnaden mellan det prognostiserade värdet och det verkliga utfallet för en prognos gjord vid tidpunkt och beräknas enligt (2.31) Det finns ett flertal prognosmått att tillgå, men i uppsatsen används roten ur det kvadrerade medelfelet (RMSE), medelprognosfelet (ME) och Theils för att utvärdera prognoserna. RMSE mäter genomsnittet av den kvadrerade skillnaden mellan de prognostiserade värdena och de faktiska utfallen och beräknas enligt följande: (2.32) 16
Måttet används för att jämföra hur nära en prognos i genomsnitt ligger det verkliga utfallet. För att mäta om en prognos i genomsnitt över- eller underskattar det verkliga utfallet kan användas. beräknas enligt (2.33) Vidare används Theils för att utvärdera modellernas prognosförmåga. 1958 presenterade Theil ett mått på en modells prognosprecision som kallas. 1966 utvecklade han ett nytt mått som jämförde den utvärderade prognosmodellen med en naiv prognos. Det nya måttet kallas och anses vara mer användbart än. Med en naiv prognos menas att man inte förväntar sig en nivåförändring under prognosperioden, det vill säga att dagens nivå används som prognos för hela prognosens tidshorisont. Theils beräknas enligt (2.34) där. Om är prognosen bättre än den naiva prognosen och sägs besitta en prognosförmåga. Om är prognosen likställd som den naiva prognosen. Om är den naiva prognosen bättre än den skattade prognosen och den skattade prognosen sägs då sakna en prognosförmåga. (Theil 1966, sid 27-29). 2.8.2 Prognosprocedur I resultatdelen används lämpliga modeller för att prognostisera framtida värden för KIX. För att möjliggöra rättvisa jämförelser mellan de estimerade prognoserna och prognoserna från KI, kortas tidsserien ner till månaden innan prognosutfallet. Modellerna som används i uppsatsen estimeras sedan för den kortade tidsserien och prognoser görs sedan med hjälp av dessa modeller för framtida värden på KIX. Denna procedur upprepar sig sedan för samtliga prognosperioder. Detta görs för att modellerna som används i uppsatsen inte ska få möjlighet till fördelar på grund av att de estimeras med fler observationer. Prognoserna beräknas sedan med iterationsteknik parallellt för ARIMA- och GARCH/EGARCH-modellen. Om modellerna är stationära går det att visa att långsiktsprognoserna går mot deras medelvärde. Den naiva prognosen fixeras till det sista kända utfallet på KIX innan startpunkten för utvärderingen av prognosen. Det fixerade värdet används sedan som prognos för hela prognoslängden. Prognoserna jämförs slutligen på kort och lång sikt. Med kort sikt menas de första 12 månaderna för prognosen och med lång sikt menas månad 13 till och med sista månaden i prognosen. För härledning av prognosberäkningar för ARIMA- och GARCH-modeller hänvisas läsaren till Enders (2010, sid 83-84 & 151-152). 17
3 Resultat 3.1 Stationaritet Figur 3.1: KIX för perioden 1994/01-2013/02 I figuren ovan tycks serien sakna en trend och ett säsongsmönster. Utseendet liknar en stationär tidsserie som är en slumpvandring med konstant. För att säkerställa att serien är stationär utförs Augmented Dickey-Fullers test med ekvation (2.13) i avsnitt 2.2. Tabell 3.1: ADF test utfört på KIX 1 Typ av modell Antal lagg tau-värde Slumpvandring med konstant 7-3,23** Vid 7 lagg resulterade testet i p-värdet 0,0202 och vi kan även med ett formellt test konstatera att tidsserien är stationär. Analysen går därför vidare utan att tidsserien transformeras. 3.2 Heteroskedasticitet Studerar vi serien i Figur 3.1 finns en antydan till att serien är heteroskedastisk, eftersom den uppvisar perioder med låg volatilitet som efterföljs av perioder med hög volatilitet. Detta återspeglas tydligt vid finanskrisen år 2008 när KIX ökar kraftigt under en kort period, för att sedan återgå till normala nivåer med lägre volatilitet. Då vi tycker oss observera en heteroskedastisk tidsserie utförs ARCH-LM test. 1 *, ** och *** är notationen för signifikansnivån 18
Tabell 3.2: ARCH-LM test Antal laggar 1 209,26*** 2 209,57*** 3 208,70*** 4 208,24*** 5 207,26*** 6 206,57*** 7 205,63*** 8 204,50*** 9 203,50*** 10 202,72*** 11 202,19*** 12 201,23*** I ARCH-LM testet ovan kan vi utläsa signifikanta resultat för laggarna 1 till 12. Således kan vi konstatera att tidsserien är heteroskedastisk vid samtliga lagg, vilket indikerar att en GARCH-modell är lämplig för att modellera det heteroskedastiska mönstret i serien. 3.3 Modellval För att bedöma vilka modeller som lämpligast beskriver tidsseriens mönster studerades initialt korrelogram för KIX. Autokorrelationsfunktionen för KIX uppvisade ett avtagande mönster som startade vid första laggen. Den partiella autokorrelationsfunktionen uppvisade signifikanta autokorrelationer vid lagg 1, 2 och 11. Signifikansen vid lagg 11 bortses dock från eftersom Box-Jenkins metodologi förespråkar restriktivitet vid inkluderande av nya parametrar. Sammantaget antyder detta att ARMA(1,1), AR(1) och AR(2) är lämpliga modellval för att modellera medelvärdet i vår tidsserie. För att undersöka om modellerna är lämpliga studeras autokorrelationsfunktionen och den partiella autokorrelationsfunktionen för skattningarna av dessa modeller grafiskt. Figur 3.2: ACF och PACF för skattad ARMA(1,1) 19
För den skattade modellen i Figur 3.2 uppvisar autokorrelationsfunktionen inte längre ett avtagande mönster. Vi observerar istället insignifikanta autokorrelationer för samtliga lagg utom vid lagg 9. Vi observerar också ett liknande mönster för den partiella autokorrelationsfunktionen med insignifikanta autokorrelationer för samtliga lagg utom vid lagg 9. Trots den knappa överskridelsen vid lagg 9 bedöms residualerna för processen ligga inom ramen för en vitt brus-process. Figur 3.3: ACF och PACF för skattad AR(1) I Figur 3.3 observerar vi för den skattade AR(1)-modellen signifikanta autokorrelationer vid första laggen för både autokorrelationsfunktionen och den partiella autokorrelationsfunktionen. Residualerna för AR(1)-modellen tycks med andra ord vara korrelerade. En AR(2)-modell skattades också, men uppvisade en näst intill identisk autokorrelationsfunktion och partiell autokorrelationsfunktion som observerades för AR(1)-modellen. Då Box-Jenkins metodologi förespråkar återhållsamhet vid inkluderande av fler parametrar exkluderas AR(2)-modellen från analysen eftersom den är likvärdig med AR(1)-modellen, men innehåller fler parametrar. 3.4 Modellutprövning och residualanalys Eftersom tidsserien uppvisar heteroskedasticitet estimeras och utvärderas AR(1)- och modellen med en GARCH(1,1)-modell för att ta hänsyn till det heteroskedastiska mönstret. Vidare skattas även AR(1)- och modellen parallellt med en EGARCH(1,1)-modell för att fånga eventuella asymmetriska chocker. 3.4.1 Informationskriterier för skattade modeller Tabell 3.3: Informationskriterier för estimerade modeller AR(1)- GARCH(1,1) AR(1)- EGARCH(1,1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) AIC 3,731 3,687 3,686 3,657 SBC 3,823 3,794 3,792 3,779 I Tabell 3.3 har de estimerade modellerna utvärderats med informationskriterierna Akaikes Informationskriterium och Schwartz Bayesianska Kriterium. Bådadera rangordnar modellerna i samma ordning där modellerna rankas högst, även om det rör sig om relativt små skillnader för samtliga modeller. 20
3.4.2 Autokorrelation för skattade modellers residualer Autokorrelationsfunktionerna och de partiella autokorrelationsfunktionerna i avsnitt 3.3 gav en antydan om autokorrelation. För att undersöka om residualerna för de skattade modellerna är autokorrelerade utförs Ljung-Box test. Testet genomförs på de standardiserade residualerna. Enligt beslutsregeln att inkludera antal lagg genomförs testet på upp till lagg 6. 2 Tabell 3.4: Ljung-Box test för standardiserade residualer AR(1)- GARCH(1,1) AR(1)- EGARCH(1,1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) Q (lagg 1) 9,541*** 9,239*** 0,744 0,326 Q (lagg 2) 9,600*** 9,262*** 0,883 1,080 Q (lagg 3) 11,318** 10,815** 2,712 3,003 Q (lagg 4) 11,965** 11,362** 2,835 3,028 Q (lagg 5) 13,704** 12,925** 4,150 3,030 Q (lagg 6) 14,700** 13,786** 4,631 3,272 I Tabell 3.4 utläses signifikanta autokorrelationer för båda AR(1)-modellerna, medan de standardiserade residualerna från modellerna inte uppvisar någon signifikant autokorrelation. Testet bekräftar således misstanken från avsnitt 3.3 om problem med autokorrelation för AR(1)-modellen. 3.4.3 Heteroskedasticitet för skattade modellers residualer För att testa om GARCH och EGARCH har eliminerat heteroskedasticiteten som påvisades i avsnitt 3.2 utförs ARCH-LM test ånyo för de skattade modellernas residualer. Tabell 3.5: ARCH-LM test för skattade modeller Ordning AR(1)- GARCH(1,1) AR(1)- EGARCH(1,1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) 1 0,072 0,059 0,105 0,054 2 0,948 0,948 0,264 0,050 3 0,525 1,090 0,288 0,025 4 2,741 1,860 3,082 0,338 5 2,781 9,298* 2,711 0,154 6 3,638 3,727 3,613 2,058 7 3,412 2,752 3,627 2,064 8 5,289 5,710 3,950 2,346 9 5,087 5,738 4,328 2,353 10 5,510 6,270 4,540 3,081 11 5,241 5,949 4,589 2,785 12 7,236 9,276 5,040 6,135 2 21
Till skillnad från Tabell 3.2 uppvisar Tabell 3.5 icke-signifikanta resultat på 5 % -nivån för samtliga modeller. Således tycks samtliga modeller beskriva det heteroskedastiska mönstret så till vida att ingen signifikant heteroskedasticitet går att påvisa när vi utför ARCH-LM test på nytt för de skattade modellerna. 3.4.4 Normalitetstest för skattade modellers residualer För att testa om residualerna för de skattade modellerna följer en normalfördelning används Jarque-Beras test. Vidare studeras residualernas fördelning med QQ-plottar och histogram. Tabell 3.6: Jarque-Bera test för skattade modeller AR(1)- GARCH(1,1) AR(1)- EGARCH(1,1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) 458,415*** 409,828*** 270,066*** 218,597*** Skevhet 1,094 1,031 0,831-0,253 Toppighet 9,561 9,206 8,041 4,129 Jarque-Beras test förkastar nollhypotesen om normalfördelade residualer för samtliga modeller. Till synes avviker modellerna från den teoretiska normalfördelningen med och. Detta är föga förvånande eftersom finansiella tidsserier ofta avviker från normalfördelningen med en toppighet större än 3 och tjockare svansar. Även om Jarque-Beras test förkastar nollhypotesen om normalfördelade residualer är toppigheten och skevheten hos ARMA-modellerna närmare de teoretiska värdena för normalfördelningen, jämfört med AR-modellerna. Observerar vi istället histogram och QQ-plottar för de skattade modellerna i Bilaga A ser dock residualerna ut att vara approximativt normalfördelade, även fast Jarque-Beras test inte accepterar nollhypotesen. 3.4.5 Slutgiltigt modellval Baserat på testerna och informationskriterierna som redovisas ovan väljs GARCH(1,1) och EGARCH(1,1) som lämpliga modeller för prognostisering av KIX. AR(1)-GARCH(1,1) och AR(1)-EGARCH(1,1) anses mindre lämpliga eftersom de uppvisar tydlig autokorrelation och har högre värden på informationskriterierna jämfört med de valda modellerna. Dessutom avviker deras residualer mer från normalfördelningen. I brist på modeller med normalfördelade residualer frånses icke-normaliteten hos de valda modellerna. Vid prognostisering av KIX med de valda modellerna antas därför residualerna approximativt följa en normalfördelning. Vidare bör även nämnas att normalfördelade residualer är av sekundär betydelse för uppsatsen, eftersom syftet är att göra prognoser och utvärdera dessa och inte att göra konfidensintervall för prognos- och parameterskattningarna. Slutligen uppvisar samtliga parameterskattningar för de valda modellerna i Bilaga B signifikanta koefficienter på 5 % -nivån. 22
3.5 Prognoser på kort sikt Prognoser på kort sikt utvärderas på 12 månaders sikt enligt tillvägagångssättet beskrivet i avsnitt 2.8. Tabell 3.7: RMSE för prognoser på kort sikt 3 Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) mar-08 12 8,95 7,45 7,25 jun-08 12 13,31 11,38 11,05 aug-08 12 13,58 12,23 12,24 dec-08 12 4,27 5,91 4,74 mar-09 12 5,17 2,61 4,41 jun-09 12 5,03 2,23 3,04 aug-09 12 1,28 3,94 5,62 dec-09 12 2,04 2,60 3,38 mar-10 12 3,28 4,45 5,24 jun-10 12 4,44 6,60 7,41 aug-10 12 4,68 5,70 6,38 dec-10 12 2,41 4,74 5,18 mar-11 12 2,87 1,38 1,48 jun-11 12 2,39 1,76 1,43 aug-11 12 1,03 2,19 3,21 dec-11 12 2,36 4,87 5,34 mar-12 12 2,34 4,74 4,41 jun-12 12 4,22 7,51 7,95 aug-12 12 1,56 4,91 3,63 dec-12 12 2,40 5,32 5,34 Summa RMSE 87,61 102,52 108,72 Tabell 3.7 redovisar RMSE för samtliga prognoser på kort sikt. För prognoser under perioden 2008/03 till och med 2009/06 ger ARMA-modellerna överlag lägre värden på RMSE jämfört med KI:s prognoser. De höga värdena på RMSE under perioden 2008/03 till och med 2008/08 beror på en hastig uppgång av KIX till följd av finanskrisen år 2008. Även om ARMA-modellernas prognoser redovisar lägre värden på RMSE jämfört med KI:s prognoser lyckas ingen modell förutspå den hastiga uppgången av KIX. Från 2009/08 presterar KI:s prognoser bäst utom för prognostillfällena 2011/03 och 2011/06. Vidare ser vi att GARCH(1,1) presterar bättre än EGARCH(1,1) överlag. Summa RMSE redovisar totala RMSE där samtliga prognoser har adderats för respektive modell. Jämför vi värdena kan vi konstatera att KI:s prognoser presterar bäst sett över samtliga prognostillfällen. 3 I tabellen markerar vit bakgrund lägst, streckad bakgrund näst lägst och grå bakgrund högst RMSE 23
Tabell 3.8: Theils U 2 för prognoser på kort sikt Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) mar-08 12 1,08 0,90 0,88 jun-08 12 1,01 0,86 0,84 aug-08 12 1,00 0,90 0,90 dec-08 12 0,93 1,28 1,03 mar-09 12 0,76 0,38 0,65 jun-09 12 1,02 0,45 0,62 aug-09 12 0,16 0,49 0,69 dec-09 12 0,44 0,55 0,72 mar-10 12 0,53 0,71 0,84 jun-10 12 0,55 0,82 0,92 aug-10 12 0,71 0,87 0,97 dec-10 12 0,65 1,28 1,40 mar-11 12 1,16 0,56 0,59 jun-11 12 1,13 0,84 0,68 aug-11 12 0,79 1,68 2,47 dec-11 12 0,74 1,52 1,66 mar-12 12 0,88 1,79 1,66 jun-12 12 0,72 1,28 1,36 aug-12 12 0,62 1,94 1,43 dec-12 12 0,95 2,11 2,12 Genomsnittligt Theils U 2 0,79 1,06 1,12 Tabell 3.8 redovisar modellernas prognosförmåga. För KI:s prognoser kan vi utläsa värden på Theils U 2 som understiger 1 i de flesta fallen. I fallen då Theils U 2 överstiger 1 rör det sig om förhållandevis små skillnader jämfört med den naiva prognosen. Det genomsnittliga värdet för Theils U 2 på 0,79 visar att KI:s prognoser i genomsnitt har en prognosförmåga. ARMA-modellerna uppvisar överlag en prognosförmåga till och med 2011/06. För prognoser efter denna tidsperiod går det inte att påvisa någon prognosförmåga hos endera. Observerar vi genomsnittligt Theils U 2 för ARMAmodellerna kan vi konstatera att de för samtliga prognoser inte har någon genomsnittlig prognosförmåga. 24
Tabell 3.9: ME för prognoser på kort sikt Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) 08-mar 12 5,49 3,66 3,41 08-jun 12 11,25 9,44 9,12 08-aug 12 12,31 11,06 11,08 08-dec 12 3,19 5,1 3,34 09-mar 12-4,68-1,29-3,37 09-jun 12-4,54 0,43-1,5 09-aug 12 0,25-3,64-5,48 09-dec 12-1,05-1,44-2,31 10-mar 12-1,81-3,29-4,08 10-jun 12-3,57-5,91-6,66 10-aug 12-4,17-5,17-5,83 10-dec 12-1,85-4,57-5,04 11-mar 12 2,62-0,51-0,56 11-jun 12 2,27-0,69 0,1 11-aug 12 0,4-0,95-2,66 11-dec 12-1,68-4,21-4,63 12-mar 12-1,2-3,62-3,22 12-jun 12-3,89-7,15-7,54 12-aug 12 0,29-4,39-3,1 12-dec 12-2,15-4,99-5,01 Genomsnittligt ME 0,37-1,11-1,70 I Tabell 3.9 redovisas medelprognosfelet för de kortsiktiga prognoserna. KI:s prognoser uppvisar både under- och överskattningar av det verkliga utfallet utan något tydligt mönster bortsett från finanskrisen. Observerar vi istället medelprognosfelet för ARMAmodellerna ser vi att de underskattar det verkliga utfallet till en början under finanskrisen. Efter toppen år 2009 finns dock ett tydligt mönster där modellerna överskattar det verkliga utfallet. Det genomsnittliga medelprognosfelet visar också att ARMA-modellerna i genomsnitt överskattar det verkliga utfallet medan KI:s prognoser i genomsnitt uppvisar en knapp underskattning av det verkliga utfallet. 25
Figur 3.4: KIX och prognoser på kort sikt för perioden 2006/06 2013/11 Figur 3.4 illustrerar prognoserna på kort sikt tillsammans med KIX. Som nämnts tidigare underskattar samtliga prognoser uppgången vid finanskrisen år 2008, vilket syns tydligt i grafen. Efter toppen år 2009 är det också tydligt att ARMA-modellernas prognoser överskattar utfallet för KIX i de flesta fallen. Istället för att följa KIX faktiska rörelse konvergerar ARMA-modellernas prognoser mot deras långsiktiga medelvärde. KI lyckas däremot prognostisera KIX riktning relativt väl i de flesta fallen. För deras prognoser går det inte att urskilja något tydligt mönster som i ARMA-modellernas fall. Istället över- och underskattar KI det faktiska utfallet utan ett synbart mönster. Jämfört med ARMA-modellernas prognoser ligger KI:s prognoser i de flesta fall relativt nära det faktiska utfallet. 26
3.6 Prognoser på lång sikt Vid utvärdering av prognoser på lång sikt utvärderas prognoserna från och med månad 13 och framåt. Tabell 3.10: RMSE för prognoser på lång sikt 4 Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) mar-09 10 13,65 10,53 10,12 jun-09 19 9,53 6,54 6,17 aug-09 17 6,80 4,70 4,54 dec-09 13 1,77 2,88 4,31 mar-10 10 3,12 4,73 8,10 jun-10 7 2,71 3,87 6,64 aug-10 17 3,55 7,93 10,89 dec-10 13 4,14 6,90 8,44 mar-11 10 3,89 6,52 7,91 jun-11 19 3,79 7,26 8,68 aug-11 17 3,81 6,88 8,12 dec-11 13 2,51 6,93 7,96 mar-12 10 1,95 5,67 6,08 jun-12 7 1,63 6,40 5,92 aug-12 5 3,73 8,44 10,13 dec-12 12 3,38 9,18 10,24 mar-13 9 2,95 8,52 8,79 jun-13 6 3,08 8,96 9,89 aug-13 4 0,68 7,24 5,62 Summa RMSE 76,68 130,09 148,56 I Tabell 3.10 redovisas RMSE för de långsiktiga prognoserna. I likhet med prognoserna på kort sikt presterar ARMA-modellernas prognoser bättre än KI:s prognoser vid de första prognostillfällena. Ur tabellen kan vi utläsa lägre RMSE-värden för ARMAmodellerna under perioden 2009/03-2009/08, där EGARCH-modellen har lägst värden. För resterande prognosperioder observerar vi en klar trend där KI:s prognoser har lägre värden på RMSE för samtliga prognostillfällen efter 2009/08. Av ARMA-modellerna tycks dessutom GARCH-modellen prestera bättre än EGARCH-modellen överlag för perioden. För samtliga prognostillfällen ser vi även att summan av KI:s RMSE är förhållandevis lågt jämfört med ARMA-modellerna. Relativt sett ser vi att skillnaden mellan RMSE för de olika prognosmodellerna ökar på lång sikt. 4 I tabellen markerar vit bakgrund lägst, streckad bakgrund näst lägst och grå bakgrund högst RMSE 27
Tabell 3.11: Theils U 2 för prognoser på lång sikt Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) mar-09 10 1,03 0,80 0,76 jun-09 19 1,03 0,70 0,66 aug-09 17 1,04 0,72 0,69 dec-09 13 0,26 0,43 0,64 mar-10 10 0,22 0,34 0,58 jun-10 7 0,26 0,37 0,63 aug-10 17 0,21 0,47 0,65 dec-10 13 0,37 0,62 0,76 mar-11 10 0,40 0,68 0,82 jun-11 19 0,37 0,71 0,85 aug-11 17 0,47 0,85 1,01 dec-11 13 0,48 1,33 1,53 mar-12 10 0,92 2,68 2,88 jun-12 7 0,79 3,09 2,85 aug-12 5 0,58 1,31 1,58 dec-12 12 0,55 1,50 1,67 mar-13 9 0,68 1,95 2,01 jun-13 6 0,47 1,38 1,52 aug-13 4 0,26 2,72 2,11 Genomsnittligt Theils U 2 0,55 1,19 1,27 Tabell 3.11 presenterar modellernas prognosförmåga på lång sikt. KI:s prognoser uppvisar prognoser med prognosförmåga för samtliga prognostillfällen utom för perioden 2009/03-2009/08. Efter 2009/08 har KI:s prognoser en relativt hög prognosförmåga i de flesta fall, då Theils U 2 understiger 1 med goda marginaler. Detta återspeglar sig även för genomsnittligt Theils U 2 som visar ett värde på 0,55. Jämfört med genomsnittligt Theils U 2 för KI:s prognoser på kort sikt är Theils U 2 för prognoser på lång sikt lägre. Theils U 2 för ARMA-modellerna följer däremot ett liknande mönster som för de kortsiktiga prognoserna. För prognosperioden 2009/03-2011/06 har modellerna en prognosförmåga, men efter det uppvisar ingen modell någon prognosförmåga. Från modellernas genomsnittliga Theils U 2 kan vi även konstatera att ARMA-modellerna inte i genomsnitt har någon prognosförmåga på lång sikt. Theils U 2 för långsiktsprognoserna är också något högre jämfört med kortsiktsprognoserna för ARMA-modellerna. 28
Tabell 3.12: ME för prognoser på lång sikt Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) 09-mar 10 13,11 9,71 9,26 09-jun 19 8,52 4,6 4,02 09-aug 17 6,03 3,21 2,71 09-dec 13 0,51-0,27-3,19 10-mar 10 2,2-0,74-2,16 10-jun 7-2,52-3,2-6,25 10-aug 17-2,87-7,73-10,74 10-dec 13-3,4-6,75-8,32 11-mar 10 3,26-3,36-3,88 11-jun 19-3,52-7,04-8,48 11-aug 17-3,51-6,6-7,87 11-dec 13-1,85-6,64-7,69 12-mar 10 0,63-5,19-5,53 12-jun 7 0,05-6,15-5,61 12-aug 5-1,24-6,74-8,61 12-dec 12-3,2-9,11-10,17 13-mar 9-2,78-8,49-8,76 13-jun 6-3,08-8,96-9,88 13-aug 4-0,67-7,23-5,61 Genomsnittligt ME 0,30-4,04-5,09 Tabell 3.12 redovisar medelprognosfelet för de långsiktiga prognoserna. I likhet med de kortsiktiga prognoserna finns inget tydligt mönster i KI:s över- och underskattningar av det verkliga utfallet. Även ARMA-modellernas prognoser påminner om de kortsiktiga prognoserna, eftersom de till en början underskattar det verkliga utfallet vid finanskrisen. Därefter överskattar ARMA-modellerna det verkliga utfallet. Överskattningarna är dessutom större jämfört med de kortsiktiga prognoserna vilket syns tydligt om vi för ett ögonblick studerar det genomsnittliga medelprognosfelet. Medelprognosfelet för KI:s långsiktiga prognoser liknar de kortsiktiga prognoserna. Underskattningarna är dock i genomsnitt något mindre på lång sikt jämfört med på kort sikt. 29
Figur 3.5: KIX och prognoser på lång sikt för perioden 2006/06 2013/11 I Figur 3.5 ses KIX tillsammans med de långsiktiga prognoserna för respektive prognosmodell. I likhet med de kortsiktiga prognoserna i Figur 3.4 underskattar ARMA-modellernas och KI:s prognoser finanskrisen även på lång sikt. KI:s prognoser följer inget tydligt mönster vad gäller över- och underskattningar. Till synes lyckas de prognostisera riktningen på KIX relativt väl. ARMA modellerna överskattar däremot det verkliga utfallet tydligt efter toppen år 2009 och lyckas inte prognostisera riktningen på det verkliga utfallet. Istället konvergerar de, precis som de kortsiktiga prognoserna, mot deras långsiktiga medelvärde. 30
4 Diskussion och slutsatser 4.1 Diskussion För hela prognosperioden uppvisar GARCH(1,1) och EGARCH(1,1) ingen prognosförmåga på vare sig kort eller lång sikt. Till en början uppvisar modellerna en prognosförmåga men efter juni år 2011 presterar modellerna överlag sämre än den naiva prognosen. I vissa fall rör det sig om stora avvikelser från det verkliga utfallet och den naiva prognosen. En förklaring till detta är att tidsserien uppvisar historiskt låga nivåer efter juni år 2011. Istället för att följa KIX nivåer konvergerar ARMA-modellerna mot deras långsiktiga medelvärden. På grund av den negativa trenden i tidsserien överskattar modellerna därför det verkliga utfallet och lyckas inte prognostisera KIX historiskt låga nivåer. Även om modellerna är bristfälliga presterar GARCH-modellen överlag bättre än EGARCH-modellen. KI:s prognoser presterar i många fall bättre än de undersökta prognosmodellerna som används i uppsatsen. Prognoserna uppvisar till skillnad från ARMA-modellernas prognoser, ingen tydlig tendens att överskatta det verkliga utfallet om vi studerar det genomsnittliga medelprognosfelet. Det bör dock noteras att de kraftiga underskattningarna av det verkliga utfallet under finanskrisen har en betydande inverkan på det genomsnittliga medelprognosfelet. Om vi bortser från finanskrisen överskattar KI:s prognoser i genomsnitt det verkliga utfallet, även om överskattningarna inte är lika tydliga som för ARMA-modellerna. Jämfört med ARMA-modellerna har KI:s prognoser dessutom en genomsnittlig prognosförmåga både på kort och lång sikt. Anmärkningsvärt är att KI:s prognoser på lång sikt uppvisar en högre prognosförmåga jämfört med motsvarande prognoser på kort sikt. Ett undantagsfall där KI:s prognoser presterar sämre än ARMA-modellerna är under finanskrisen. Detta är dock av försumbar betydelse eftersom ingen av modellerna lyckas fånga vändningen som uppstår i ekonomin under finanskrisen. I tidigare forskning har GARCH(1,1)-modellen använts framgångsrikt för att modellera volatiliteten hos växelkurser. I uppsatsen lyckas GARCH och EGARCH modellera det heteroskedastiska mönstret så till vida att ingen heteroskedasticitet gick att påvisa när ARCH-LM test utfördes för de skattade modellernas residualer. Det tyder på att ARMA-modellen inte lyckas modellera medelvärdet särskilt väl. En potentiell brist hos modellen är att residualerna inte kunde påvisas normalfördelade vid ett formellt test. Intressant vore istället att använda modellen tillsammans med en annan fördelning över feltermerna. En annan lösning är att modellera medelvärdet med en icke-linjär medelvärdesmodell som tar hänsyn till asymmetrier i medelvärdet. Eftersom KI använder en multivariat ansats vore det även intressant att undersöka om det är möjligt att utveckla en multivariat modell som lämpar sig bättre för att prognostisera KIX. En sista tänkbar metod vore att använda en så kallad nedifrån-och-upp -ansats där en univariat prognosmodell används för att prognostisera samtliga växelkurser som ingår i KIX och sedan aggregera dessa enligt vikterna för KIX. 31