Geometriska vektorer. Vektorräkning utan koordinater. Vektorer och riktade sträckor

Geometriska vektorer Läs Sparr, avsn. 2.1-2.2 Vektorer och riktade sträckor Vektorer förhåller sig till riktade sträckor som tal till bråk: På samma sätt som olika bråk som 2 3, 4 6, 6 9, 8 12, 1 15,... representerar ett och samma tal, så representerar lika långa och lika riktade sträckor en och samma vektor. Vid addition av bråk väljer vi representanter som har samma nämnare, vidadditionavvektorer väljer vi representanter, sådana att den andra börjar, där den första slutar,... Till dig som läst om ekvivalensrelationer: man kan säga att vektorer är ekvivalensklasser av riktade sträckor under ekvivalensrelationen lika lång och lika riktad (liksom de rationella talen kan betraktas som ekvivalensklasser av bråk a/b, a, b heltal, b 6=, under ekvivalensrelationen a b säges vara ekvivalent med c d om ad = bc (Till dig som inte läst om ekvivalensrelationer: här har du alltså två exempel på vad det är.) Vektorräkning utan koordinater 22. Låt ABCD vara en parallellogram. Låt x och y vara vektorer som representeras av de riktade sträckorna AC resp. BD. Uttryck vektorerna z och u, som representeras av AB resp. AD, med hjälp av x och y. 23. Låt ABCDEF GH vara en godtycklig parallellepiped (Figur som begränsas av sex parvis parallella plan. Vinklarna mellan planen behöver inte vara räta är de räta heter det rätblock.) A E D (Råkade ha t.o.m. två figurer i datorn:) H B F C G 21. Rita i figuren vektorerna (eg. representanter för vektorerna) 2u +3v, 3u 2v, u v, 2u 3v v u Uttryck vektorerna AG, HF, FD+ CH som linjärkombinationer av AB, AD och AE (d.v.s. på formen x AB + yad + zae med några tal x, y, z). 12

Sammansätting av hastigheter Om en kropp K har hastigheten u relativt ett referenssystem S, somisinturrörsigmedhastighetenv relativt ett annat referenssystem T, så fås K:s hastighet relativt T som u + v. 24. En motorbåts maxfart i stillastående vatten är 6 m/s. Båtenkörsnupåmaxfartienälv, där vattnet strömmar rakt söderut med farten 2 m/s. 211. Låt A, B, C, D vara fyra punkter i rummet. Låt E,F,G och H vara mittpunkterna på sträckorna AB, BC, CD resp. DA. D H G F C (a) Bestäm båtens hastighet (storlek och riktning) om den styrs i rakt östlig riktning. (b) Vilken kurs skall båten hålla för att röra sig rakt österut? A Visa att EFGH är en parallellogram. E B 25. Ett flygplan, som vill flyga med 5 km/h åt ost, är utsatt för 5 km/h:s vind från nordost. Med vilken hastighet (storlek och riktning) relativt luften skall piloten flyga? 26. (Forts.) Om man i stället vill flyga åt nordväst med 5 km/h? 27. Låt A m,b m,c m beteckna mittpunkterna på sidorna i triangeln ABC. (A m ligger "mitt emot" A, etc.) Visa att för varje punkt O gäller att OA + OB + OC = OA m + OB m + OC m 28. Punkten C delar sträckan AB i förhållandet 1:3 (förhållandet mellan längderna AC och BC är 1/3). Visa att för varje punkt O är OC = 3 OA + 1 OB 4 4 29. Generalisera mittpunktsformeln: Låt P dela sträckan AB i förhållandet m : n, d.v.s. AP PB = m n Uttryck OP som en linjärkombination av OA och OB. 21. En annan slags generalisering (hur då?) : Låt A, B, C, D vara fyra punkter i rummet och M och N mittpunkterna på AB resp. CD. Visa att då är MN = 1 ³ AD + BC 2 Ett sätt att visa att två punkter sammanfaller Övertyga dig själv (och lägg på minnet) : Om A, B, O är tre punkter och man på något sätt har räknat sig fram till att OA = OB så måste det betyda att A och B sammanfaller! 212. Visa att bimedianerna (förbindelsesträckorna mellan mittpunkterna på motstående sidor) i en godtycklig fyrhörning skär varandra mitt itu. 213. För en godtycklig fyrhörning ABCD låt M och N beteckna mittpunkterna på (diagonalerna) AC resp. BD och låt P vara skärningspunkten mellan EG och FH, där E,F,G och H är mittpunkterna på sidorna AB, BC, CD resp. DA. Visaatt P sammanfaller med mittpunkten på MN. 214. Gäller föregående resultat även ifall (a) fyrhörningens sidor skär varandra? C A (b) A, B, C, D inte ligger i ett och samma plan? B D 13

215. En regelbunden n-hörning fås genom att dela en cirkel med n punkter i n lika långa bågar och förbinda dem med raka sträckor; här en regelbunden femhörning : 218. Visa i detalj hur av räknelagarna 1) u + v = v + u 2) (u + v)+w = u +(v + w) följer att för alla vektorer a, b, c, d (a + b)+(c + d) =(a + c)+(b + d) Om man betecknar cirkelns medelpunkt med O och n-hörningens hörn med A i,i=1, 2,...,n, så har du väl på känn att 2 nx OA i = i=1 I fallet n =5summerar vi alltså vektorerna (Skriv om vänsterledet upprepade gånger tills du får fram högerledet, och motivera varje steg med antingen 1 eller 2.) Anm. Måhända tycker du att vi slösar bort tiden på självklarheter så här räknade vi ju redan på lågstadiet? Låt dig inte vilseledas av att ord (addition) och symboler (+) är välbekanta! Här betecknar de något nytt - ihopslagning av vektorer! Detärintesjälvklartattdennaoperation lyder samma regler som addition för tal! Eg. skulle vi valt helt nya beteckningar i början och först när vi kontrollerat att det går att räkna på samma sätt, skulle vi sagt Aha, låt oss nyttja det välbekanta +, så kommer det automatiskt att påminna oss om hur vi skall räkna!. Försök formulera någon förklaring varför resultanten måste vara =. 216. Låt H 1,H 2,...,H 6 vara hörnen i en regelbunden sexhörning och M medelpunkten för dess omskrivna cirkel. Visa att för en godtycklig punkt A gäller 6X AH k =6 AM k=1 217. Generalisera föregående resultat! 2 Fördigsomännuinteärförtrogen med summatecknet: n OAi = OA 1 + OA 2 +... + OA n i=1 Titta igenom Sparr, avsnitt 2.3 219. Visa att diagonalerna i en parallellogram delar varandra mitt itu. 22. (Forts.) "Visa att"-uppgifter som föregående avslöjar sanningar "från ovan", men antag nu att du inte välsignats med någon uppenbarelse. Du vill ställa upp formler som gör det möjligt att för en godtycklig given parallellogram ABCD, vars diagonaler AC och BD skär varandra i S, räkna ut förhållandena AS BS och CS DS utifrån sidornas längder och vinklarna mellan dem. Kanduräknadigframtillatt dessa förhållanden alltid är 1? (Om inte, gå igenom nästa spalt om medianerna.) 14

Medianernas skärningspunkt Se läroboken [Sparr, sid.27]. Det beviset borde väcka vissa funderingar: Varifrån kommer förhållandet 2:1? Har man mätt och gissat? OK, ett så enkelt förhållande som 2:1 är kanske inte orimligt att upptäcka experimentellt, men om det hade varit mer komplicerat? Finns det inget sätt att räkna sig fram till det? Jo det finns, och det är inte minst därför som vektorräkning är så bra! Låt T vara skärningspunkten mellan medianerna AA 1 och BB 1. (Askådligt klart att två medianer inte kan vara parallella.) Vi kan teckna vektorn AT påtvåolikasätt: s AA 1 = AT = AB + t BB 1, <s,t<1 Det vi är intresserade utav är talen s och t. (Att de går att lösa ut, fast vi bara har en ekvation, berorpåattdetärenvektorekvation.) Uttryck båda leden i två st. icke-parallella vektorer, förslagsvis AB och AC : s 1 ³ AB + AC = µ 1 AB + t AC AB 2 2 s AB + s AC = (1 t) t AB + AC 2 2 2 Att AB och AC inte är parallella medför att framställningen är entydig, d.v.s. motsvarande koefficienter måste vara lika: (Detta är entydigheten i Sparr, sid.29, sats 2.) ½ ½ s/2 =1 t s/2 =1 t s/2 =t/2 s = t ½ s =2/3 t =2/3 vilket ger att skärningspunkten delar båda i ett och samma förhållande, nämligen 2:1. Nu var det ingenting speciellt med AA 1 och BB 1 delningsförhållandet 2:1gäller även AA 1 och CC 1 Men det finns endast en punkt på AA 1 som delar den i förhållandet 2:1. Den punkten är gemensam för alla tre medianerna! Anm. Just det här medianproblemet har en elegant lösning med likformiga trianglar, men vektormetoden kräver nog mindre påhittighet och är lättare att tillämpa på mer komplicerade figurer. 221. Låt ABCD vara en tetraeder (Figur som begränsas av fyra plana ytor. De fyra sidoytorna är trianglar, som inte behöver vara liksidiga/likbenta. Är alla sidorna liksidiga trianglar säger vi regelbunden tetraeder.) Sammanbindningslinjen mellan ett hörn och motstående sidas tyngdpunkt kallar vi (i analogi med triangelfallet) för median. Låt M vara den punkt som delar medianen AA 1 i förhållandet 3:1. Visa att OM = 1 ³ OA + OB + OC + OD 4 Förklara hur/varför av denna formel följer att de fyra medianerna skär varandra i M. (Punkten M kallas tetraederns tyngdpunkt.) 222. (Forts.) Även här kan vi göra samma invändning som för triangelmedianernas skärningspunkt: Varifrån kom förhållandet 3:1? Kan man inte själv räkna sig fram till det? Sålåtsasnuattdualdrigsett/tänktpå 1 ³ OA + OB + OC + OD 4 och måste göra allt jobb från grunden : Visa att medianerna genom A och B skär varandra 3 och förklara varför även resterande två medianer går genom den denna skärningspunkt! (Kan göras på minst två, något olika, sätt.) 223. I en tetraeder sammanbinder man mittpunkterna på motstående kantlinjer. Visa att de tre sammanbindningssträckorna, som kallas bimedianer, skär varandra i en punkt. (Är punkten bekant från andra sammanhang?) 3 I tre dimensioner är det ju inte alls uppenbart att två medianer skulle skära varandra, men vi kan undersöka genom att räkna på! 15

224. Punkterna E och F delar sidorna AD resp. CD i parallellogrammen ABCD i förhållandet 1:3. (Prickarna delar vardera sidan i tre lika långa sträckor.) D F C 227. På medianen CD i triangeln ABC väljs en punkt E. Linjerna AE och BE skär motstående sidor i A 1 resp. B 1. Visa att A 1 B 1 är parallell med AB. C E A B B 1 E A 1 Visa att BE,BD och BF delar AC i fyra lika långa sträckor. 225. Triangeln ABC är godtycklig. Linjen går genom A och skär BC i D, så att BC delas i förhållandet 1:2. I vilket förhållande delar medianen BM? A M 226. Mullvaden Mulles revir är den triangelformade åkern KIL. Hans sovhåla H finns i skärningspunkten mellan linjerna r och s, där r går genom K och den punkt som delar IL i förhållandet 1:2, medan s går genom L och den punkt som delar KI i förhållandet 1:2. Mulle vill ha en så kort underjordisk gångväg från H till K som möjligt, men av estetiska skäl skall alla hans gångar vara parallella med antingen KI eller IL. Beskriv hur Mulle skall gräva! K C L D B I A Linjärt oberoende vektorer och entydig framställning Notera att nyckeln till framgång i de lösningsvarianter till föregående uppgifter där vi räknade på "förutsättningslöst" utan att utgå ifrån delningsförhållandenas korrekta värden var den s.k. entydigheten i framställningen den gav oss två resp. tre vanliga ekvationer ur en enda vektorekvation. I två dimensioner är villkoret för entydig framställning att vektorerna inte är parallella. I tre dimensioner att de inte alla tre är parallella med ett och samma plan (det kan inte finnas fler än tre st. sådana vektorer). En sammanfattande benämning på sådana konfigurationer är linjärt oberoende vektorer Vektorerna u 1, u 2,..., u n kallas linjärt oberoende, om det är så att λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λ n u n = µ 1 u 1 + µ 2 u 2 +... + µ n u n D λ 1 = µ 1 λ 2 = µ 2... λ n = µ n (Detta är en av flera ekvivalenta definitioner.) Sparr: entydighetsdelen i satser 2&3 i avsn. 2.3, linjärt beroende/oberoende iavsn.2.4 B 16

Uppgifterna i denna spalt är av ungefär samma typ som 21-216, och borde därmed kunna överhoppas. Kan sparas till senare repetition/övning. 228. Låt ABCD vara en parallellogram, M och N tyngdpunkterna i trianglarna ABC resp. ABD. Skriv MN som en linjärkombination av AB och AD. 229. Triangeln ABC har tyngdpunkten M. Visa att MA+ MB + MC = 23. Låt a, b, c, d vara vektorer från en tetraeders tyngdpunkt till resp. sidotriangels tyngdpunkt. Förenkla a + b + c + d 231. Låt ABC vara en godtycklig triangel. Antag att punkterna A 1,B 1 och C 1 delar sidorna BC,CA resp. AB i samma förhållande. Visa att tyngdpunkterna på trianglarna A 1 B 1 C 1 och ABC sammanfaller. Uppgifterna i denna spalt har i viss mån karaktären av "kluringar". För den som har tid och lust. Fortsättningen kan klaras bra, även utan dem. 232. Visa att medianerna AA,BB och CC i en godtycklig triangel ABC (A,B,C är mittpunkterna på BC,CA resp. AB), med lämpliga parallellförflyttningar, kan fås att själva bilda en triangel. (Vi tänker alltså på medianerna som tre pinnar, som kan parallellförflyttas oberoende av varandra.) 233. Beskriv en procedur för uppdelning av en given vektor v i två komposanter, om den ena komposanten skall ha en given längd och den andra en given riktning. Går det alltid att göra en sådan uppdelning? Är uppdelningen entydig? 234. Givna är 1 vektorer, icke alla parallella och med egenskapen att, om man adderar 999 av dem, så fås en vektor som är parallell med den vektor som utelämnats, och detta oavsett hur de 999 vektorerna väljs. Vad kan sägas om summan av alla de 1 vektorerna? 235. För k =1, 2, 3,...,12, låt v k beteckna vektorn från en klockas medelpunkt till timpunkten för kl. k. Ur dessa 12 vektorer vill man välja en delmängd med en så lång vektorsumma som möjligt. Hur skall man välja? 236. A treasure map has n villages marked on it, and it contains the following instructions: Start at village A, go 1/2 of the way to village B, then 1/3 of the way to village C, 1/4 of the way to village D, etc. The treasure is buried at the last stop. Problem: You lose the instructions, and don t know in what order to select the villages. Show that it doesn t matter! Then relate this to the problem of the medians of a triangle intersecting at a single point. 17

Bas och koordinater Koordinatsystem Vad behövs för att specificera ett koordinatsystem? origo, koordinataxlarnas riktningar, koordinataxlarnas gradering (hur långt det skall vara mellan och 1 på resp. koordinataxel). Obs. att man kan tänka sig använda koordinatsystem för vilka vinklarna mellan axlarna inte är räta, det är olika långt mellan och 1 på de olika axlarna. Skillnaden är att man då får acceptera "parallellogramrutnät" som det i övn. 21, i stället för enbart kvadratiska rutnät. Bas kan sägas vara ett rutnät utan att någon punkt pekats ut som origo. Kolonnnotationen I kap.2 6 skriver Sparr talmultiplar (vektorernas koordinater) radvis: (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9) 2(1, 2, 3) = (2, 4, 6) I kap.7-1 kommer vi att se att man ofta ställer upp koordinaterna kolonnvis i stället : 1 2 + 4 5 = 5 7 3 6 9 2 1 2 = 2 4 3 6 Här använder jag ofta kolonnotationen, inte minst för att det då tydligare syns vilka koordinater som hör ihop. Läs Sparr, avsnitt 2.3 237. Åter till figuren i övn. 21. Vilka koordinater har 2u +3v, 3u 2v, u v, 2u 3v (a) i basen u, v? (b) i basen v, u? (c) i basen u, u v? 238. Åter till parallellepipeden i övn. 23. Ange koordinaterna för vektorerna AG, HF, relativt basen AB, AD, AE. FD+ CH 239. Bokför räkningarna i första lösningen till 223 med koordinater. Representationen av vektorer med talpar/taltripplar gör det möjligt att i ännu högre grad! räknameddem"sommedtal". Varför man oftast föredrar rätvinkliga koord.system och med lika gradering längs axlarna? Avståndsberäkningar blir enklast då! 24. Beräkna längden av den längsta möjliga resultanten i "klockproblemet" 235, om klockans radie tas som längdenhet. 241. Två vektorer (x, y, z), (a, b, c), säger vi, har proportionella koordinater, om x a = y b = z c Om någon nämnare här skulle vara =, så är det OK om även motsv. täljare är =. Analogt för 2D-vektorer. Visa att u och v är parallella 242. Är vektorerna parallella? (a) (1, 1, 1), (3, 1, 2) (b) (1,, 2), ( 2,, 4) de har proportionella koordinater 18

Basbegreppet Det kan vara svårt att inse vitsen med begrepp som bas och linjärt oberoende, om man inte tar till fler exempel, och då inte minst från andra områden än geometri. Vektorbegreppet inskränker sig inte till pilar enbart! Genom att använda "geometrisk" terminologi i icke-geometriska sammanhang, kan man få en koppling mellan det åskådliga och det abstrakta som främjar förståelsen för båda. Vektorrum Med det ordet avser vi här ettdera av Sparrs "planet" resp. "rummet" (antingen alla vektorer parallella med ett plan, eller alla vektorer i det 3D-rum vi lever i), men terminologin kan användas även i andra sammanhang, där objekt adderas och multipliceras med tal, enligt samma räkneregler se efterföljande sidor med exempel från s.k. funktionsrum. (Sparr har en notis på sid.19-11) Linjärkombination Om a 1, a 2,..., a p är vektorer, medan x 1,x 2,...,x p är tal, så kallas vektorn x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x p a p Bas för ett vektorrum V kallar vi en uppsättning vektorer a 1, a 2,..., a p som uppfyller följande två krav : (1) de skall spänna upp hela rummet, d.v.s. varje vektor y V skall kunna uttryckas som linjärkombination av dem y = x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x p a p (2) koefficienterna x 1,x 2,..., x p ovan skall vara entydigt bestämda, d.v.s. x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x p a p = x 1a 1 + x 2a 2 +... + x pa p x j = x j för alla j Villkor (2) kan visas vara ekvivalent med (2 ) Mängden a 1, a 2,..., a p är minimal m.a.p. förmågan att spänna upp ingenäktadelmängdava 1, a 2,..., a p klarar av att spänna upp hela vektorrummet. samt ett par andra formuleringar som leder till begreppet linjärt oberoende (sid. 25 här). en linjärkombination av a 1, a 2,..., a p Man kan visa att alla baser, som ett visst vektorrum kan ha, innehåller lika många vektorer. Det antalet kallas rummets dimension. Plan kallas 2-dimensionella rum, eftersom de spänns upp av två, men inte färre, vektorer. En linje är ett 1-dim. rum. Rummet vi lever i är 3-dimensionellt alla möjliga baser består av 3 vektorer. 243. Vektorerna e x, e y, e z har koordinater (1,, ), (1, 1, ) resp. (1, 1, 1) m.a.p. en viss bas e x, e y, e z för rummet. Utgör e x, e y, e z också en bas? 19

Polynom som linjärkombinationer Ett polynom som t.ex. kan vi kalla för 2x 3 5x 2 +7x 3 en linjärkombination av funktionerna x 3,x 2,x och 1 med koefficienter 2, 5, 7 resp. 3. "Standardbasen" för polynom Polynomen 1,x,x 2,x 3,... utgör en bas för mängden av alla polynom i och med att 1. Varje polynom av grad kanskrivassomenlin.komb.avdessa 2. Olika val av koefficienter ger olika polynom (Påstående 2. är inte självklart det följer av det faktum att ett polynom inte kan ha fler än n nollställen, vilket bevisas m.h.a. den s.k.k faktorsatsen, men låt oss inte fördjupa oss i det nu.) (Rummet av alla polynom P är oändligtdimensionellt 4 det finns ingen ändligt mängd av polynom som kan spänna upp hela P.) Polynomen 1,x,x 2,x 3,..., x n utgör en bas för vektorrummet P n = {polynom av grad n}. Mängden av alla polynom av grad exakt = något givet tal n, är däremot inget vektorrum, eftersom addition av två sådana polynom kan leda utanför mängden, t.ex. med n =3: 2x 3 +7x 3 + 2x 3 =7x 3 Standardbasen för polynom är bekväm att använda, om man behöver addera polynom / multiplicera polynom med tal : Säg att p (x) = (x +1) 3 q (x) = (x 1) (x 2) (x 3) Vad är p + q? Om vi uttrycker polynomen i standardbasen, är det bara att addera motsvarande koefficienter : p (x) = x 3 +3x 2 +3x +1 q (x) = x 3 6x 2 +11x 6 p (x)+q (x) = 2x 3 3x 2 +8x 5 Vi skulle rentav kunna bokföra räkningen så här: ( 1, 3, 3, 1 ) + ( 1, 6, 11, 6 ) = ( 2, 3, 8, 5 ) Operationer på polynomaddition reduceras till operationer på talmultiplar, ochsammafenomeninträffar i Sparr, kap. 2.3 : operationer på "pilar" reduceras till operationer på talmultiplar, närvälenbasärvald. derivera polynom På sid.23 betraktas en problemställning, där det finns anledning att arbeta med andra baser. 4 Så du kan skryta över att ha erfarenheter från ett oändligtdimensionellt rum! 2

Fourieranalys En funktion som y.75 3cos5t 2sin5t.5 kan vi kalla för en linjärkombination av cos 5t och sin 5t med koefficienter 3 resp. 2. -5-2.5.25 -.25 -.5 2.5 5 x En av de viktigaste matematiska insikterna kom fransmannen Fourier (1768-183) till : I viss mening kan alla funktioner approximeras (tillräckligt noggrant för de flesta ändamål) med lin.komb. av cosinus- och sinusfunktioner. Exempel : (I och med att cos och sin är periodiska, är det naturligt att först titta på periodiska funktioner) Ett oändligt rektangulärt "pulståg" : (de vertikala sträckorna ingår egentligen inte) -5 -.75 y =sinx + 1 3 sin 3x y.75.5.25-2.5 2.5 -.25 5 x y.75.5.25 -.5 -.75 y =sinx + 1 3 sin 3x + 1 5 sin 5x -5-2.5 2.5 5 y -.25 x.75.5 -.5.25 -.75-5 -2.5 2.5 5 -.25 x y (x) = ½ π/4, när <x<π π/4, när π<x< y (x + n2π) = y (x) för alla heltal n kan approximeras så som figurerna i högerspalten visar. Det är de här linjärkombinationerna med cosinus- och sinusfunktioner som, när man tar allt fler och fler termer, ger upphov till det som kallas Fourierserier. Sparr berör dem i notisen på sid.112. -.5 -.75 y =sinx + 1 3 sin 3x + 1 5 sin 5x + 1 7 sin 7x y.75.5.25-5 -2.5 2.5 5 x -.25 -.5 -.75 y =sinx + 1 3 sin 3x +... + 1 99 sin 99x 21

Linjära differentialekvationer I en grundkurs om differentialekvationer (Persson & Böiers, Analys i en variabel, kap.8) lär man sig att Lösningarna till y (t)+ay (t)+by (t) = a, b givna reella konstanter ges av endera av föjlande tre formler, beroende på rötterna till det s.k. karaktäristiska polynomet p (r) =r 2 + ar + b (i) Om p har två olika reella rötter r 1 och r 2 : y (t) =C 1 e r 1t + C 2 e r 2t (ii) Om p har en reell dubbelrot r : y (t) =C 1 e rt + C 2 te rt (iii) Om p har två komplexa rötter r = α ± iβ : y (t) =C 1 e αt cos βt + C 2 C 1 och C 2 för godtyckliga konstanter: varje val av C 1,C 2 ger en lösning, och alla lösningar fås på detta sätt. Ovanstående kan uttryckas så här: Lösningarna bildar ett 2-dimensionellt vektorrum med funktionerna e r1t, e r 2t som bas i fall (i) e rt, te rt (ii) e αt cos βt, e αt sin βt (iii) Man kan (relativt lätt) visa att olika par (C 1,C 2 ) ger olika funktioner, m.a.o. en lösnings "koordinater" är entydgit bestämda. T.ex. [Persson&Böiers, Analys i en variabel, kap.8.9] 4t 3 y (3) (t)+3ty (t) 3y (t) =, t > har den allmänna lösningen y (t) = C 1 t + C 2 t + C3 t 3/2, C 1,C 2,C 3 godtyckliga konstanter vilket kan uttryckas som så att lösningsmängden bildar ett tredimensionellt vektorrum med funktionerna t, t 1/2 och t 3/2 som bas. (Differentialekvationen ovan säges vara av ordning 3, då y (3) är den högsta ordningen på förekommande derivataor, linjär, vänsterledet beror linjärt på var och en av y och dess derivator, homogen, då högerledet är.) Ovannämnda exempel har en generalisering som i linjära algebrans språk lyder: Lösningarna till en homogen linjär diff.ekvation av ordning n y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n 1 y + a n y = där a 1,a 2,..., a n är givna funktioner (behöver inte vara konstanter!), medan y är den obekanta sökta funktionen, bildar ett n-dimensionellt vektorrum, d.v.s. det går att hitta n st. funktioner y 1,y 2,...,y n sådana att lösningarna är precis alla linjärkombinationer C 1 y 1 + C 2 y 2 +... + C n y n och olika val av koefficienter C 1,C 2,.., C n ger olika lösningar. 22

Interpolation En problemställning, där andra polynombaser än standardbasen är bekväma att arbeta med: Givet fyra punkter i xy-planet, (a, y a ), (b, y b ), (c, y c ), (d, y d ), a,b,c,d olika, Mankanocksåvisaatt varje polynom av grad 3 1) kan skrivas som en linjärkombination av p a,p b,p c,p d, 2) med entydigt bestämda koefficienter. Därför kan vi säga att p a,p b,p c,p d utgör en alternativ bas för P 3. bestäm, om möjligt, ett polynom, p (x), av så lågt gradtal som möjligt, vars graf går genom alla de fyra punkterna. (En slags generalisering av problemet att bestämma ekv. för en rät linje genom två givna punkter.) Lagranges interpolationspolynom Betrakta först specialfallen då alla utom ett av y-värdena, y a,y b,y c,y d är =. Observera att (x b)(x c)(x d) (x a)(x c)(x d) (x a)(x b)(x d) (x a)(x b)(x c) är polynom som är =i tre av de fyra förekommande x-värdena a, b, c, d. Genom att multiplicera med en lämplig konstant, kan vi få vilket y-värde vi vill i den återstående fjärde punkten: p a (x) = p b (x) = p c (x) = p d (x) = (x b)(x c)(x d) (a b)(a c)(a d) (x a)(x c)(x d) (b a)(b c)(b d) (x a)(x b)(x d) (c a)(c b)(c d) (x a)(x b)(x c) (d b)(d b)(d c) är fyra polynom (Inga x i nämnarna endast konstanter!) som är =i tre av punkterna och =1i den återstående fjärde punkten. Det är nu lätt att kontrollera att följande linjärkombination av p a,p b,p c,p d har graf som går genom våra fyra givna punkter: y a p a (x)+y b p b (x)+y c p c (x)+y d p d (x) Newtons interpolationspolynom Samma problem som i vänsterspalten. Det är ändå inte självklart att Lagranges bas av interpolationspolynom alltid är det bästa valet! Säg att vi får punkterna (a, y a ), (b, y b ),... en i taget. Vi har redan räknat ut det interpolerande polynomet för 4 punkter, men så får vi en punkt till, (e, y e ), som vi vill ta hänsyn till. Om vi har arbetat med p a,p b,p c,p d som i vänsterspalten, så går det inte att återanvända dem nu vi måste modifiera dem alla. Om vi i stället hade använt basen 1 x a (x a)(x b) (x a)(x b)(x c) så hade vi bara behövt lägga till en lämplig multipel av (x a)(x b)(x c)(x d) till det polynom vi redan har. Vi har nämligen att y a går genom (a, y a ), y a + y b y a b a går genom (a, y a ) och (b, y b ) (x a) y b y a b a y a + y yc ya b y a b a (x a)+ c a (c b) går genom (a, y a ), (b, y b ) och (c, y c ), (x a)(x b) etc. 23

Basbyten Läs Sparr, avsn. 2.5 Ex. 12 där hänvisar till linjärt beroende, men det behövs inte se nedan. Avgöra om tre vektorer bildar bas i rummet genom att "invertera" sambandet Betrakta problemet att avgöra om en relation (på punkternas plats förutsätts konstanter stå) e 1 =...e 1 +...e 2 +...e 3 e 2 =...e 1 +...e 2 +...e 3 e 3 =...e 1 +...e 2 +...e 3 definierar en ny bas e 1, e 2, e 3, förutsatt att e 1, e 2, e 3 utgör en bas. Undersök, om det går att invertera sambandet, d.v.s. att lösa ut e 1, e 2, e 3 som linjärkombinationer av e 1, e 2, e 3. (Betrakta relationen som ett 3 3-ekv.system, där e 1, e 2, e 3 är givna och e 1, e 2, e 3 obekanta.) Om ja, så betyder det att varje vektor u kan framställas som en linjärkombination av e 1, e 2, e 3 : Iochmedatte 1, e 2, e 3 är en bas, har vi u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 med några tal x 1,x 2,x 3, och insättning av de uttryck vi fått fram e 1 = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 e 2 = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 e 3 = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 ger oss då u som linj.komb. av e 1, e 2, e 3 u = x 1e 1 + x 2e 2 + x 3e 3 Därmed uppfyller e 1, e 2, e 3 detförstakravetpåbas: de "spänner upp hela rummet". Följaktligen kan inte alla tre vara parallella med ett och samma plan. Det andra kravet att varje vektors koordinater m.a.p. e 1, e 2, e 3 är entydigt bestämda är då automatiskt uppfyllt enligt Sparr, sid.3-31, sats 3. 244. Låt e 1, e 2, e 3 vara en bas i rummet. (a) Visa att be 1 = e 1 + e 2 be 2 = e 1 + e 2 e 3 be 3 = e 2 e 3 kan väljas som ny bas. (b) Bestäm koordinaterna relativt be-basen för vektorn u =2e 1 +3e 2 2e 3. 245. Låt e 1, e 2, e 3 vara en bas i rummet. (a) Visa att e 1 = e 2 +e 3 e 2 = e 1 +2e 2 +e 3 e 3 = e 1 +2e 3 också duger som bas. (b) Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna? 246. Låt e 1, e 2, e 3 vara en bas. (a) Visa att för varje värde på a är e 1 = e 1 + e 2 + e 3 e 2 = e 1 +2e 2 + e 3 e 3 =2e 1 + ae 2 + e 3 också en bas. (b) Finns det något värde på a, för vilket vektorn med koord. (9, 1, 6) relativt e 1, e 2, e 3, får koordinaterna (1, 2, 3) relativt e 1, e 2, e 3? 247. Vektorn e 1 har koord. (1, 3) m.a.p. 5 basen e 1, e 2. Man vill välja vektorn e 2 så att e 1, e 2 blir en bas och så att den vektor, som har koordinaterna (a, 2) m.a.p. e 1, e 2, får koordinaterna (2, 1) m.a.p. e 1, e 2. (a) Undersök för vilka värden på a som detta är möjligt. (b) Bestäm för varje sådant a koordinaterna för e 2 m.a.p. e 1, e 2. 5 m.a.p. = med avseende på 24

Linjärt beroende Entydighetsvillkoret (2) har flera ekvivalenta omformuleringar: (2 ) Nollvektorns framställning är entydig : x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x p a p = alla x j = (2 ) a 1, a 2,...,a p är linjärt oberoende, vilket definieras som att de inte är linjärt beroende, vilket i sin tur definierass enl. följande Linjärt beroende kallas vektorerna a 1, a 2,..., a p, om det är så att någon av dem kan skrivas som en linjärkombination av övriga. Läs Sparr, avsn. 2.4 Man kan undra varför begreppet linjärt beroende behövs: Är antalet vektorer två, är linjärt beroende detsamma som parallellitet. Är antalet tre, så är frågan, om de alla är parallella med ett och samma plan eller inte. Fyra eller fler (geom.) vektorer är alltid linjärt beroende. Varför då skrämmas med linjärkombinationer Linjärt beroende/oberoende funktioner T.ex. funktionerna 1,x,x 2,x 3,..., x 1 kallas linjärt oberoende, eftersom a 1+a 1 x + a 2 x 2 +... + a 1 x 1 = nollfunktionen d.v.s. = för alla x då och endast då alla a k = vilket, enligt [Sparr, sid.36], är ekvivalent med att ingen av de 11 potenserna kan skrivas som en linjärkombination av de övriga t.ex. går det inte att hitta tal c,c 1,..., c 99 så att x 1 = c + c 1 x + c 2 x 2 +... + c 99 x 99 för alla x Antalet linjärt oberoende vektorer (i detta fall funktioner, alltså) kandärmedlättblihurstortsomhelst. Funktionerna 1, cos x, sin x, cos 2 x, cos x sin x, sin 2 x är linjärt beroende, eftersom t.ex. sin 2 x =1 cos 2 x λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λ n u n när det ändå aldrig är aktuellt med n>3? Jo, det blir aktuellt med n>3 senare, när vektorbegreppet generaliseras, så att vi får vektorrum med fler än tre dimensioner : Sparr, kap. 6.2. Ytterligare exempel i högra spalten. Fler än n vektorer i ett n-dimensionellt rum är alltid linjärt beroende. Så kan man sammanfatta och generalisera [Sparr, 34-35, sats 4]. 25

248. Visa med ett konkret exempel att för tre vektorer u, v och w kan gälla : u kan inte skrivas som lin. komb. av v och w, men u, v och w är ändå linjärt beroende. 249. (Se till att inte göra fel på detta! ) Tre vektorer i rummet är linjärt oberoende om och endast om ingen av vektorerna är lika eller motsatt riktad i förhållande till någon av de övriga. Sant eller falskt? 25. Visa att 251. Visa att Om u 1, u 2,..., u n är linjärt beroende, så är även u 1, u 2,..., u n, v lin. beroende oavsett vilken vektor v vi lägger till. Om u 1, u 2,..., u n är linjärt oberoende, och det är så att v inte kan skrivas som lin.komb. av u 1, u 2,..., u n så är även u 1, u 2,...,u n, v lin. oberoende Föreg. två resultat gör det möjligt att förenkla "linjärt oberoende-testet" Har λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = lösningar utöver den triviala? ifalletmedenbart3 st. vektorer. Tittapåvektorernaparvis(3st.par) är något par parallella (och det är lätt att avgöra m.h.a. 241), är saken klar: vektorerna är linjärt beroende. Är inget par parallella, välj 2 st., säg u 1 och u 2, och undersök om u 3 kan framställas som en lin.komb. av dessa, d.v.s. om u 3 = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 är lösbart (förutsatt u 1 u 2 ) (Den geometriska innebörden: u 1 och u 2 spänner upp ett plan. Är u 3 parallell med detta plan, är vektorerna linjärt beroende, annars inte. Att u 3 är parallell med planet är u 3 = λ 1 u 1 + λu 3 gäller för några tal λ 1,λ 2.) Fördelen? Man har nu att undersöka ett system med bara 2 obekanta, i stället för 3. 252. Är vektorerna linjärt beroende? (a) (1, 1, 1), (3, 1, 2) (b) (1,, 2), ( 2,, 4) (c) (1, 1, 1), (3, 1, 2), (, 2, 1) (d) (, 1, 1), (1,, 1), (1, 1, ) (e) (2,, 3), (1,, 2), ( 2,, 4) (f) (1,, 2), (3,, 4), (, 5,, 6) (g) (1, 1, ), (1,, 1), (,, 1, 1), (3, 3, 3) 253. Visa att (1, 1, 1), (1, 2, 1), (2,a,1) är linjärt oberoende för varje a. 26