Föreläsning 3
Föregående föreläsning Dubbel provtagningsplan Tabeller för Dubbel provtagningsplan
Dagens innehåll 1 Genomsnittsligt provuttag 2 Genomgång av problem 116 från boken 3 Genomsnittslig kontrollomfattning 4 Genomsnittslig utgående kvalitet 5 Genomgång av problem 124 från boken
Sekventiell provtagningsplan För resonemanget från dubbel provtagningsplan vidare Från urval 2 kan man gå vidare till urval 3 etc Detta kallas för sekventiell provtagningsplan ( Ingår inte i kursen!) Figur: För varje kontrollerad enhet undersöker man ifall antal defekta är inom intervallet (mellan röd och grön linje)
Genomsnittsligt provuttag Vi vill ha ett mått på hur många enheter vi i genomsnitt kommer att kontrollera Denition: Genomsnittsligt provuttag ASN(p) = genomsnittsligt provuttag (Average Sample Number) Förväntat antal enheter kontrollerade för given provtagningsplan och p-värde ASN(p) = N kp(accepterar eller avvisar då k kontrollerats) k=0 Enkel provtagningsplan Man kontrollerar alltid n:st enheter ASN(p) = n Dubbel provtagningsplan ASN(p) = n 1 + n 2 P(c 1 < ξ 1 (p) < r 1 )
Problem: 116 Beräkna ASN för ett parti med felkvoten 6% Använd den dubbla provtagningsplanen n 1 = 30, n 2 = 60, c 1 = 0, c 2 = 2 och r 1 = r 2 = 3
Problem: 116 Beräkna ASN för ett parti med felkvoten 6% Använd den dubbla provtagningsplanen n 1 = 30, n 2 = 60, c 1 = 0, c 2 = 2 och r 1 = r 2 = 3 Lösning: 116 p = 006 och vi antar binomialapproximation ( n N vanligt ξ 1 Bin(n = 30, p = 006) P(0 < ξ 1 < 3) = 2 ( ) 30 006 k 094 30 k k=1 k < 01) som 30 29 = 30 006 01662 + 00036 01768 = 576% 2 ASN(6%) = 30 + 60 0576 = 6456
Tabell: Tabell för dubbel provtagningsplan när n 2 = 2n 1 och α = 5%, β = 10% Provtagningsplan nr p2 p1 Approximativt Acceptanstal värde på n 1 p då L(p) = c 1 c 2 095 050 010 Approx värde på ASN(p 1 )/n 1 1 145 0 1 016 084 232 1273 2 807 0 2 030 107 242 1511 3 648 1 3 060 180 289 1238 Sista kolumnen i tabellerna för dubbel provtagningsplan ger oss ett approximativt värde för ASN(p 1 )
Tabell: Tabell för dubbel provtagningsplan när n 2 = 2n 1 och α = 5%, β = 10% Provtagningsplan nr p2 p1 Approximativt Acceptanstal värde på n 1 p då L(p) = c 1 c 2 095 050 010 Approx värde på ASN(p 1 )/n 1 1 145 0 1 016 084 232 1273 2 807 0 2 030 107 242 1511 3 648 1 3 060 180 289 1238 Tex om vi vill ta reda på ASN(p 1 ) för vår dubbla provtagningsplan från föregående exempel
Tabell: Tabell för dubbel provtagningsplan när n 2 = 2n 1 och α = 5%, β = 10% Provtagningsplan nr p2 p1 Approximativt Acceptanstal värde på n 1 p då L(p) = c 1 c 2 095 050 010 Approx värde på ASN(p 1 )/n 1 1 145 0 1 016 084 232 1273 2 807 0 2 030 107 242 1511 3 648 1 3 060 180 289 1238 p 1 = 030 30 = 001
Tabell: Tabell för dubbel provtagningsplan när n 2 = 2n 1 och α = 5%, β = 10% Provtagningsplan nr p2 p1 Approximativt Acceptanstal värde på n 1 p då L(p) = c 1 c 2 095 050 010 Approx värde på ASN(p 1 )/n 1 1 145 0 1 016 084 232 1273 2 807 0 2 030 107 242 1511 3 648 1 3 060 180 289 1238 p 1 = 030 30 = 001 ASN(p 1 ) = 1511 30 = 4533 45419 (korrekt svar)
Faktum är att eftersom ASN(p) beror på p för en dubbel provtagningsplan så kan vi rita ut den som en graf ASN(p) 0 20 40 60 00 02 04 06 08 10 p Figur: ASN(p) för den dubbla provtagningsplanen från föregående exempel
Vi kan jämföra detta med en enkel provtagningsplan med samma producent och konsumentrisk Alltså: p 1 = 1% och p 2 = 807 p 1 = 807% (från tabellen) För att ta reda på den enkla provtagningsplanen så använder vi oss av binomialfördelningsnomogrammet, L(1%) = 095, L(807%) = 10%
Vi kan jämföra detta med en enkel provtagningsplan med samma producent och konsumentrisk Alltså: p 1 = 1% och p 2 = 807 p 1 = 807% (från tabellen) För att ta reda på den enkla provtagningsplanen så använder vi oss av binomialfördelningsnomogrammet, L(1%) = 095, L(807%) = 10% n = 55 c = 2
För de esta p-värden är ASN bättre med den dubbla provtagningsplanen Men inte i intervallet [002, 009] ASN(p) 0 20 40 60 00 02 04 06 08 10 p Figur: ASN(p) för dubbel provtagningsplan och enkel provtagningsplan
Genomsnittslig kontrollomfattning Vad gör man efter att man valt att avvisa ett helt parti? I många fall vill man kontrollera hela partiet för att få en förståelse för varför så många var defekta och för att sälja de som faktiskt fungerade ATI är ett mått som berättar hur många man genomsnittsligt kan behöva kontrollera givet att ett avvisat parti allkontrolleras Denition: Genomsnittslig kontrollomfattning ATI(p) = genomsnittslig kontrollomfattning (Average Total Inspection) Förväntat antal enheter som kommer kontrolleras ATI (p) = N kp(accepterar då k kontrollerats) k=0 + NP(Partiet avvisas)
Enkel provtagningsplan ATI (p) = nl(p) + N(1 L(p)) Dubbel provtagningsplan ATI (p) = n 1 P(ξ 1 c 1 ) + (n 1 + n 2 )P((ξ 1 + ξ 2 c 2 ) (ξ 1 > c 1 )) + NP((ξ 1 r 1 ) ((c 1 < ξ 1 < r 1 ) (ξ 1 + ξ 2 r 2 ))) ATI (p) varierar beroende på p för både en enkel och dubbel provtagningsplan
Exempel: dubbel provtagningsplan Antag provtagningsplanen n 1 = 20, n 2 = 30, c 1 = 2, r 1 = 5, c 2 = 4, r 2 = 5 Partiet består av N = 1000 enheter Vad blir ATI (p = 10%)?
Lösning: första termen Antag binomialfördelning: ξ 1 Bin(n = 20, p = 10%) n 1 P(ξ c 1 ) = ( 2 20 ) 20 k=0 01k 09 20 k = 20 06769 = 13538 k
Lösning: andra termen ξ 2 Bin(n = 30, p = 10%) P((ξ 1 + ξ 2 c 2 ) (ξ 1 > c 1 )) = P(ξ 2 0) = 09 30 = 4239% 4 P(ξ 2 4 k)p(ξ 1 = k) k=3 P(ξ 2 1) = 4239% + 30 01 09 29 = 18369% ( ) 20 P(ξ 1 = 3) = 01 3 09 17 = 19012% 3 ( ) 20 P(ξ 1 = 4) = 01 4 09 16 = 8978% 4 (n 1 + n 2 )P((ξ 1 + ξ 2 c 2 ) (ξ 1 > c 1 )) = 50(01837 01901 + 00424 00898) = 1936
Lösning: tredje termen P((ξ 1 r 1 ) (ξ 1 + ξ 2 > c 2 )) = P(ξ 1 + ξ 2 5) 4 = P(ξ 1 5) + P(ξ 2 5 k)p(ξ 1 = k) k=3 P(ξ 1 = 3) = 19012%, P(ξ 1 = 4) = 8978% P(ξ 1 5) = 1 P(ξ 1 4) = 1 0677 019 009 = 43% P(ξ 2 5 3) = 1 P(ξ 2 1) = 8163% P(ξ 2 5 4) = 1 P(ξ 2 0) = 9576% P((ξ 1 r 1 ) (ξ 1 + ξ 2 > c 2 )) = 0043 + 0816 019 + 0958 009 = 2843% N 02843 = 2843
Exempel: dubbel provtagningsplan Antag provtagningsplanen n 1 = 20, n 2 = 30, c 1 = 2, r 1 = 5, c 2 = 4, r 2 = 5 Partiet består av N = 1000 enheter Vad blir ATI (p = 10%)? Lösning: ATI (01) = 1354 + 194 + 2843 = 29978
Genomsnittlig utgående kvalitet Man kan också vara intresserad av den genomsnittsliga utgående felkvoten (Hur många fel kunderna upptäcker) Detta säger någonting om hur eektiv kvalitetsstyrningen har varit Denition: Genomsnittlig utgående kvalitet AOQ(p) = genomsnittslig utgående kvalitet (Average Outgoing Quality) Förväntad sannolikhet att en enhet är trasig hos de enheter som skickas vidare efter kvalitetskontrollen AOQ(p) = n k=0 D k N P(d = k acceptera) Detta värde blir samma oavsett om man väljer att allkontrollera alla avvisade partier eller bara slänga dem
Det nns approximativa formler för både enkel- och dubbel-provtagningsplan Enkel provtagningsplan Dubbel provtagningsplan AOQ(p) pl(p) N n AOQ(p) p N n 1 N A 1 + p N n 1 n 2 N A 1 = P(ξ 1 c 1 ) N A 2 A 2 = P((c 1 < ξ 1 < r 1 ) (ξ 1 + ξ 2 r 2 ))
Problem: 124 a) Antag att du har en enkel provtagningsplan n = 80, c = 3 Partistorleken är 1000 enheter Beräkna den genomsnittsliga utgående kvaliteten vid en ingående felkvot på 5%
Problem: 124 a) Antag att du har en enkel provtagningsplan n = 80, c = 3 Partistorleken är 1000 enheter Beräkna den genomsnittsliga utgående kvaliteten vid en ingående felkvot på 5% Lösning: 124 a) Enligt denition: AOQ(p) = c D k k=0 P(ξ = k) = {binomial approximation} = N 3 k=0 (005 k )( ) 80 005k 095 80 k = 205% N k Enligt approximation: AOQ(p) 005 L(005) 103 80 = ( 10 3 3 ( 005 80 ) ) i=0 005i 095 80 i 920 = i 10 3 0046 0428 = 1969%
Maximal genomsnittlig utgående kvalitet Ett stort AOQ värde är dåligt (mer defekta enheter) AOQL är det största AOQ värdet som kan fås för given provtagningsplan Denition: Gränsen för genomsnittlig utgående kvalitet AOQL = gränsen för genomsnittslig utgående kvalitet (Average Outgoing Quality Limit) Ingår inte i kursen AOQL = max AOQ(p) 0 p 1
Acceptanskontroll enligt variabelmetoden Tidigare: (godkänd eller defekt) Om kontrollen innebär att man mäter någonting och får ett kvantitativt värde, då får man mer information än bara sant/falskt Givet vissa antaganden kan man dra slutsatser med mindre antal mätningar än för attributmetoden eftersom man fått den här extra informationen Mätningarna antas fördelad som någon sannolikhetsfördelning med okända parametrar (typiskt normalfördelning) Parametrarna skattas från mätningarna Sannolikheten att ett värde är oacceptabelt högt/lågt räknas ut med hjälp av sannolikhetsfördelningen Ingår inte i kursen
Sammanfattning av dagens innehåll Genomsnittsligt provuttag (ASN(p)) Genomsnittsligt antal kontrollerade enheter per parti Fördelen med dubbel provtagningsplan framför enkel är att ASN kan göras mindre Genomsnittslig kontrollomfattning (ATI (p)) Om man antar allkontroll av avvisade partier ATI beskriver det genomsnittsliga antalet enheter som måste kontrolleras Genomsnittslig utgående kvalitet (AOQ(p)) Sannolikheten att en slumpmässigt vald enhet är defekt efter att den gått igenom kvalitetskontrollen